Хиральная модель

Процесс солитонного рассеяния двух солитонов в интегрируемой киральной модели. График показывает плотность энергии системы, а максимумы представляют собой солитоны.

В ядерной физике киральная модель , введенная Фезой Гюрси в 1960 году, представляет собой феноменологическую модель, описывающую эффективные взаимодействия мезонов в киральном пределе (когда массы кварков стремятся к нулю), но без обязательного упоминания кварков вообще. Это нелинейная сигма-модель с главным однородным пространством группы Ли. $G$ в качестве целевого многообразия . Когда модель была первоначально представлена, эта группа Ли называлась SU( N ) , где N — количество ароматов кварков . Риманова метрика целевого многообразия задается положительной константой, умноженной на форму Киллинга, действующую на форму Маурера – Картана группы SU( N ).

Внутренняя глобальная симметрия этой модели равна $G_{L}\times G_{R}$, левая и правая копии соответственно; где левая копия действует как левое действие в целевом пространстве, а правая копия действует как правое действие . Феноменологически левая копия представляет собой ароматные вращения среди левых кварков, тогда как правая копия описывает вращения среди правых кварков, в то время как они, L и R, полностью независимы друг от друга. Осевые части этих симметрий спонтанно нарушаются , так что соответствующие скалярные поля представляют собой необходимые бозоны Намбу-Голдстоуна .

Позднее модель изучалась в двумерном случае как интегрируемая система , в частности интегрируемая теория поля. Ее интегрируемость была показана Фаддеевым и Решетихиным в 1982 году с помощью квантового метода обратной задачи рассеяния . Двумерная основная киральная модель демонстрирует признаки интегрируемости, такие как формулировка пары Лакса / нулевой кривизны, бесконечное число симметрий и лежащая в основе симметрия квантовой группы (в данном случае симметрия Янга ).

Эта модель допускает топологические солитоны, называемые скирмионами .

Отклонения от точной киральной симметрии рассматриваются в киральной теории возмущений .

Математическая формулировка

На многообразии (рассматриваемом как пространство-время ) M и выборе компактной группы Ли G содержимое поля является функцией $U:M\rightarrow G$. Это определяет связанное поле $j_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U$, а ${\mathfrak {g}}$-значное векторное поле (на самом деле, ковекторное поле), которое представляет собой форму Маурера – Картана . Основная киральная модель определяется лагранжевой плотностью $${\mathcal {L}}={\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (\partial _{\mu }U^{-1}\partial ^{\mu }U)=-{\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (j_{\mu }j^{\mu }),$$ где $\kappa$ представляет собой безразмерную связь. На дифференциально-геометрическом языке поле $U$ является частью основного пучка $\pi :P\rightarrow M$ со слоями , изоморфными главному однородному пространству для M (следовательно, это определяет основную киральную модель).

Феноменология

Схема оригинальной модели с двумя вкусами.

Киральная модель Гюрси (1960; см. также Гелл-Манн и Леви) сейчас считается эффективной теорией КХД с двумя легкими кварками u и d . Лагранжиан КХД приблизительно инвариантен относительно независимых глобальных ароматных вращений левых и правых кварковых полей:

${\begin{cases}q_{L}\mapsto q_{L}'=Lq_{L}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{L}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{L}\\q_{R}\mapsto q_{R}'=Rq_{R}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{R}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{R}\end{cases}}$

где τ обозначают матрицы Паули в пространстве ароматов, а θ _L , θ _R — соответствующие углы поворота.

Соответствующая группа симметрии ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ - это хиральная группа, контролируемая шестью сохраняющимися токами

$L_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{L}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{L},\qquad R_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{R}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{R},$

которое одинаково хорошо можно выразить через векторный и аксиально-векторный токи

$V_{\mu }^{i}=L_{\mu }^{i}+R_{\mu }^{i},\qquad A_{\mu }^{i}=R_{\mu }^{i}-L_{\mu }^{i}.$

Соответствующие сохраняющиеся заряды порождают алгебру киральной группы:

$\left[Q_{I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{L}^{i},Q_{R}^{j}\right]=0,$

с I=L,R или, что то же самое,

$\left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{A}^{k}.$

Применение этих коммутационных соотношений к адронным реакциям доминировало в современных алгебраических расчетах начала семидесятых годов прошлого века.

На уровне адронов, псевдоскалярных мезонов, границ киральной модели, киральной ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ группа спонтанно распадается на ${\text{SU}}(2)_{V}$, вакуумом КХД . То есть это реализуется нелинейно , в режиме Намбу-Голдстоуна : Q _V аннигилирует вакуум, а Q _A - нет! Это хорошо визуализируется с помощью геометрического аргумента, основанного на том факте, что алгебра Ли ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}$ изоморфен SO(4). Неразрывная подгруппа, реализуемая в линейном режиме Вигнера–Вейля, имеет вид ${\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)$ который локально изоморфен SU(2) (V: изоспин).

Чтобы построить нелинейную реализацию SO(4), представление, описывающее четырехмерное вращение вектора

${\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}\pi _{1}\\\pi _{2}\\\pi _{3}\\\sigma \end{pmatrix}},$

для бесконечно малого вращения, параметризованного шестью углами

$\left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3,$

дается

${\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}\right]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}$

где

$\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}={\begin{pmatrix}0&-\theta _{3}^{V}&\theta _{2}^{V}&0\\\theta _{3}^{V}&0&-\theta _{1}^{V}&0\\-\theta _{2}^{V}&\theta _{1}^{V}&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0&\theta _{1}^{A}\\0&0&0&\theta _{2}^{A}\\0&0&0&\theta _{3}^{A}\\-\theta _{1}^{A}&-\theta _{2}^{A}&-\theta _{3}^{A}&0\end{pmatrix}}.$

Четыре действительных величины ( π , σ ) определяют наименьший нетривиальный киральный мультиплет и представляют содержимое поля линейной сигма-модели.

Чтобы переключиться от приведенной выше линейной реализации SO(4) к нелинейной, мы заметим, что на самом деле только три из четырех компонентов ( π , σ ) независимы относительно четырехмерных вращений. Эти три независимых компонента соответствуют координатам на гиперсфере S ³ , где π и σ подчиняются ограничению

${\boldsymbol {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}=F^{2},$

с константой F a ( распада пиона ) размерной массы.

Использование этого для исключения σ дает следующие свойства преобразования π при SO (4):

${\begin{cases}\theta ^{V}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{V}\times {\boldsymbol {\pi }}\\\theta ^{A}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{A}{\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\end{cases}}\qquad {\boldsymbol {\theta }}^{V,A}\equiv \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3.$

Нелинейные члены (сдвиг π ) в правой части второго уравнения лежат в основе нелинейной реализации SO(4). Хиральная группа ${\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)$ реализуется нелинейно на тройке пионов, которые, однако, по-прежнему линейно преобразуются под действием изоспина ${\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)$ вращения, параметризованные через углы $\{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\}.$ Напротив, $\{{\boldsymbol {\theta }}_{A}\}$ представляют собой нелинейные «сдвиги» (самопроизвольные разрушения).

С помощью спинорной карты эти четырехмерные вращения ( π , σ ) также можно удобно записать с использованием матричной записи 2×2, введя унитарную матрицу

$U={\frac {1}{F}}\left(\sigma \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),$

и требуя, чтобы свойства преобразования U при киральном вращении были

$U\longrightarrow U'=LUR^{\dagger },$

где $\theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.$

Далее следует переход к нелинейной реализации:

$U={\frac {1}{F}}\left({\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),\qquad {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {F^{2}}{4}}\langle \partial _{\mu }U\partial ^{\mu }U^{\dagger }\rangle ,$

где $\langle \ldots \rangle$ обозначает след в ароматическом пространстве. Это нелинейная сигма-модель .

Условия, включающие $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U$ или $\textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }$ не являются независимыми и могут быть приведены к этой форме путем частичной интеграции. Константа F ² /4 выбран таким образом, чтобы лагранжиан соответствовал обычному свободному члену для безмассовых скалярных полей, записанному в терминах пионов:

${\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot \partial ^{\mu }{\boldsymbol {\pi }}+{\frac {1}{2F^{2}}}\left(\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\pi ^{6}).$

Альтернативная параметризация

См. Также: Нарушение киральной симметрии и нелинейная реализация.

Альтернативная, эквивалентная (Гюрси, 1960) параметризация

${\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}~{\frac {\sin(|\pi /F|)}{|\pi /F|}},$

дает более простое выражение для U ,

$U=\mathbf {1} \cos |\pi /F|+i{\widehat {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\sin |\pi /F|=e^{i~{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}/F}.$

Обратите внимание на перепараметризованное π- преобразование под

$LUR^{\dagger }=\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2-i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)\exp(i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/F)\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2+i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)$

тогда, очевидно, идентично предыдущему при изоротациях, V ; и аналогично предыдущему, так как

${\boldsymbol {\pi }}\longrightarrow {\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F+\cdots ={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F(|\pi /F|\cot |\pi /F|)$

при нарушенных симметриях A сдвиги. Это более простое выражение легко обобщается (Кронин, 1967) на N легких кварков, так что $\textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.$

Интегрируемость

Интегрируемая киральная модель

Представлено Ричардом С. Уордом , интегрируемая киральная модель или модель Уорда описывается в терминах матричного поля $J:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow U(n)$ и задается уравнением в частных производных $$\partial _{t}(J^{-1}J_{t})-\partial _{x}(J^{-1}J_{x})-\partial _{y}(J^{-1}J_{y})-[J^{-1}J_{t},J^{-1}J_{y}]=0.$$ Он имеет лагранжеву формулировку с ожидаемым кинетическим членом вместе с членом, который напоминает член Весса-Зумино-Виттена . Оно также имеет формулировку, формально идентичную уравнениям Богомольного , но с сигнатурой Лоренца . Связь между этими формулировками можно найти у Дунайского ( 2010 ).

Известно много точных решений.

Двумерная основная киральная модель

Здесь основное многообразие $M$ берется в качестве римановой поверхности , в частности, цилиндр $\mathbb {C} ^{*}$ или самолет $\mathbb {C}$, условно заданные реальные координаты $\tau ,\sigma$, где на цилиндре $\sigma \sim \sigma +2\pi$ является периодической координатой. В приложении к теории струн этот цилиндр представляет собой мировой лист , охватываемый замкнутой струной.

Глобальные симметрии

Глобальные симметрии действуют как внутренние симметрии в групповом поле. $g(x)$ как $\rho _{L}(g')g(x)=g'g(x)$ и $\rho _{R}(g)g(x)=g(x)g'$. Соответствующие сохраняющиеся токи из теоремы Нётер : $$L_{\alpha }=g^{-1}\partial _{\alpha }g,R_{\alpha }=\partial _{\alpha }gg^{-1}.$$ Уравнения движения оказываются эквивалентными сохранению токов: $$\partial _{\alpha }L^{\alpha }=\partial _{\alpha }R^{\alpha }=0{\text{ or in coordinate-free form }}d*L=d*R=0.$$ Токи дополнительно удовлетворяют условию неравномерности: $$dL+{\frac {1}{2}}[L,L]=0{\text{ or in coordinates }}\partial _{\alpha }L_{\beta }-\partial _{\beta }L_{\alpha }+[L_{\alpha },L_{\beta }]=0,$$ и поэтому уравнения движения могут быть полностью сформулированы в терминах токов.

Слабая формулировка

Рассмотрим мировой лист в координатах светового конуса. $x^{\pm }=t\pm x$. Компонентами соответствующей матрицы Лакса являются $$L_{\pm }(x^{+},x^{-};\lambda )={\frac {j_{\pm }}{1\mp \lambda }}.$$ Требование выполнения условия нулевой кривизны на $L_{\pm }$ для всех $\lambda$ эквивалентно сохранению тока и равномерности тока $j=(j_{+},j_{-})$, то есть уравнения движения из основной киральной модели (ПКМ).

См. также

• Модель Сигмы
• Хиральность (физика)

Ссылки

• Гюрси, Ф. (1960). «О симметриях сильных и слабых взаимодействий». Иль Нуово Чименто . 16 (2): 230–240. Бибкод : 1960NCim...16..230G . дои : 10.1007/BF02860276 . S2CID   122270607 .
• Гюрси, Феза (1961). «О структуре и четности токов слабого взаимодействия». Анналы физики . 12 (1). Эльзевир Б.В.: 91–117. Бибкод : 1961АнФиз..12...91Г . дои : 10.1016/0003-4916(61)90147-6 . ISSN   0003-4916 .
• Коулман, С.; Весс, Дж.; Зумино, Б. (1969). «Структура феноменологических лагранжианов. I». Физический обзор . 177 (5): 2239. Бибкод : 1969PhRv..177.2239C . дои : 10.1103/PhysRev.177.2239 . ; Каллан, К.; Коулман, С.; Весс, Дж.; Зумино, Б. (1969). «Структура феноменологических лагранжианов. II». Физический обзор . 177 (5): 2247. Бибкод : 1969PhRv..177.2247C . дои : 10.1103/PhysRev.177.2247 .
• Георгий, Х. (1984, 2009). Слабые взаимодействия и современная теория частиц (Дуврские книги по физике) ISBN   0486469042 онлайн .
• Фрай, член парламента (2000). «Киральный предел двумерного фермионного определителя в общем магнитном поле». Журнал математической физики . 41 (4): 1691–1710. arXiv : hep-th/9911131 . Бибкод : 2000JMP....41.1691F . дои : 10.1063/1.533204 . S2CID   14302881 .
• Гелл-Манн, М.; Леви, М. (1960), «Аксиальный векторный ток при бета-распаде», Il Nuovo Cimento , 16 (4), Итальянское физическое общество: 705–726, Бибкод : 1960NCim...16..705G , doi : 10.1007/ БФ02859738 , ISSN   1827-6121 , S2CID   122945049
• Кронин, Иеремия А. (25 сентября 1967 г.). «Феноменологическая модель сильных и слабых взаимодействий в киральном U(3)⊗U(3)». Физический обзор . 161 (5). Американское физическое общество (APS): 1483–1494. Бибкод : 1967PhRv..161.1483C . дои : 10.1103/physrev.161.1483 . ISSN   0031-899X .