Теория Ходжа

В математике , теория Ходжа , названная в честь У.В.Д. Ходжа представляет собой метод изучения групп когомологий M гладкого многообразия с использованием уравнений в частных производных . Ключевое наблюдение состоит в том, что для римановой метрики на M каждый класс когомологий имеет канонического представителя , дифференциальную форму , которая обращается в нуль под действием оператора Лапласа метрики. Такие формы называются гармоническими .

Теория была разработана Ходжем в 1930-х годах для изучения алгебраической геометрии и основывалась на работах Жоржа де Рама о когомологиях де Рама . Он имеет основные применения в двух случаях: римановых многообразиях и кэлеровых многообразиях . Основная мотивация Ходжа — изучение сложных проективных многообразий — связана с последним случаем. Теория Ходжа стала важным инструментом в алгебраической геометрии, особенно благодаря ее связи с изучением алгебраических циклов .

Хотя теория Ходжа по своей сути зависит от действительных и комплексных чисел , ее можно применять к вопросам теории чисел . В арифметических ситуациях инструменты p -адической теории Ходжа дали альтернативные доказательства или результаты, аналогичные классической теории Ходжа.

История

В 1920-х годах область алгебраической топологии еще зарождалась. В нем еще не было развито понятие когомологий , а взаимодействие между дифференциальными формами и топологией было плохо изучено. В 1928 году Эли Картан опубликовал заметку Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos , в которой он предположил — но не доказал — что дифференциальные формы и топология должны быть связаны. Прочитав ее, Жорж де Рам, тогда еще студент, был вдохновлен. В своей диссертации 1931 года он доказал результат, который теперь называется теоремой де Рама . По теореме Стокса интегрирование дифференциальных форм по сингулярным цепям индуцирует для любого компактного гладкого многообразия M билинейное спаривание

$H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .$

Как первоначально было заявлено, Теорема де Рама утверждает, что это идеальное спаривание и, следовательно, каждый из членов в левой части является двойственным друг другу в векторном пространстве. На современном языке теорему де Рама чаще формулируют как утверждение о том, что сингулярные когомологии с действительными коэффициентами изоморфны когомологиям де Рама:

$H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).$

Тогда исходное утверждение Де Рама является следствием того факта, что над вещественными числами сингулярные когомологии двойственны сингулярным гомологиям.

Отдельно в статье Соломона Лефшеца 1927 года топологические методы использовались для доказательства теорем Римана . Говоря современным языком, если ω ₁ и ω ₂ — голоморфные дифференциалы на алгебраической кривой C , то их клиновое произведение обязательно равно нулю, поскольку C имеет только одно комплексное измерение; следовательно, чашечное произведение их классов когомологий равно нулю, и когда это было ясно указано, это дало Лефшецу новое доказательство соотношений Римана . Кроме того, если ω — ненулевой голоморфный дифференциал, то ${\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}$ — форма положительного объема, из которой Лефшец смог заново вывести неравенства Римана. В 1929 году WVD Ходж узнал о статье Лефшеца. Он сразу заметил, что аналогичные принципы применимы и к алгебраическим поверхностям. Точнее, если ω — ненулевая голоморфная форма на алгебраической поверхности, то ${\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}$ положительно, поэтому произведение чаши $\omega$ и ${\bar {\omega }}$ должно быть ненулевым. Отсюда следует, что сама ω должна представлять ненулевой класс когомологий, поэтому все ее периоды не могут быть равны нулю. Это решило вопрос Севери.

Ходж считал, что эти методы должны быть применимы и к многомерным многообразиям. Его коллега Питер Фрейзер рекомендовал ему диссертацию де Рама. Читая диссертацию де Рама, Ходж понял, что действительная и мнимая части голоморфной 1-формы на римановой поверхности в некотором смысле двойственны друг другу. Он подозревал, что подобная двойственность должна существовать и в более высоких измерениях; эта двойственность теперь известна как звездный оператор Ходжа . Далее он предположил, что каждый класс когомологий должен иметь выдающегося представителя, обладающего свойством, что и он, и его двойственный класс исчезают под действием внешнего оператора производной; теперь они называются гармоническими формами. Этой проблеме Ходж посвятил большую часть 1930-х годов. Его самая ранняя опубликованная попытка доказательства появилась в 1933 году, но он считал ее «крайне грубой». Герман Вейль , один из самых блестящих математиков той эпохи, оказался не в состоянии определить, правильно ли доказательство Ходжа или нет. В 1936 году Ходж опубликовал новое доказательство. Хотя Ходж считал новое доказательство гораздо более совершенным, Боненблюст обнаружил серьезный недостаток. Независимо Герман Вейль и Кунихико Кодайра изменил доказательство Ходжа, чтобы исправить ошибку. Это установило искомый Ходжем изоморфизм между гармоническими формами и классами когомологий.

Оглядываясь назад, становится ясно, что технические трудности, связанные с теоремой существования, на самом деле не требовали каких-либо существенных новых идей, а лишь тщательного расширения классических методов. Настоящая новинка, которая стала главным вкладом Ходжа, заключалась в концепции гармонических интегралов и их значении для алгебраической геометрии. Этот триумф концепции над техникой напоминает аналогичный эпизод в творчестве великого предшественника Ходжа Бернхарда Римана.

- М. Ф. Атья , Уильям Валланс Дуглас Ходж, 17 июня 1903 г. - 7 июля 1975 г., Биографические мемуары членов Королевского общества , том. 22, 1976, стр. 169–192.

Теория Ходжа для реальных многообразий

Когомологии Де Рама

Теория Ходжа ссылается на комплекс де Рама . Пусть M — гладкое многообразие . Для неотрицательного целого числа k пусть Ω ^к ( M ) — векторное пространство гладких дифференциальных форм степени k на M. действительное Комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов

$0\to \Omega ^{0}(M)\xrightarrow {d_{0}} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {d_{1}} \cdots \xrightarrow {d_{n-1}} \Omega ^{n}(M)\xrightarrow {d_{n}} 0,$

где d _k обозначает внешнюю производную на Ω ^к ( М ). Это коцепной комплекс в том смысле, что d _{k +1} ∘ d _k = 0 (также пишется d ² = 0 ). Теорема Де Рама гласит, что сингулярные когомологии M с действительными коэффициентами вычисляются с помощью комплекса де Рама:

$H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatorname {im} d_{k-1}}}.$

Операторы в теории Ходжа

Выберите риманову метрику g на M и напомните, что:

$\Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge \nolimits ^{k}T^{*}(M)\right).$

Метрика дает внутренний продукт на каждом волокне. $\bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))$ путем расширения (см. матрицу Грама ) скалярного произведения, индуцированного g из каждого кокасательного слоя $T_{p}^{*}(M)$ своему $k^{th}$ внешний продукт : $\bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))$. $\Omega ^{k}(M)$ тогда внутренний продукт определяется как интеграл поточечного внутреннего продукта данной пары k -форм над M относительно формы объема $\sigma$ с г. связанный Явно, учитывая некоторые $\omega ,\tau \in \Omega ^{k}(M)$ у нас есть

$(\omega ,\tau )\mapsto \langle \omega ,\tau \rangle :=\int _{M}\langle \omega (p),\tau (p)\rangle _{p}\sigma .$

Естественно, указанное выше скалярное произведение индуцирует норму, если эта норма конечна на некоторой фиксированной k -форме:

$\langle \omega ,\omega \rangle =\|\omega \|^{2}<\infty ,$

тогда подынтегральная функция представляет собой вещественнозначную, интегрируемую с квадратом функцию на M , вычисляемую в данной точке через ее поточечные нормы,

$\|\omega (p)\|_{p}:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M).$

Рассмотрим сопряженный оператор d : относительно этих скалярных произведений

$\delta :\Omega ^{k+1}(M)\to \Omega ^{k}(M).$

Тогда лапласиан на формах определяется формулой

$\Delta =d\delta +\delta d.$

Это линейный дифференциальный оператор второго порядка, обобщающий лапласиан для функций на R ^н . По определению форма на M является гармонической, если ее лапласиан равен нулю:

${\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.$

Лапласиан впервые появился в математической физике . В частности, уравнения Максвелла говорят, что электромагнитное поле в вакууме, то есть при отсутствии каких-либо зарядов, представлено 2-формой F такой, что Δ F = 0 в пространстве-времени, рассматриваемом как пространство Минковского размерности 4.

Любая гармоническая форма α на замкнутом римановом многообразии замкнута , т. е. dα = 0 . В результате существует каноническое отображение $\varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M,\mathbf {R} )$. Теорема Ходжа утверждает, что $\varphi$ является изоморфизмом векторных пространств. Другими словами, каждый действительный класс когомологий на M имеет единственного гармонического представителя. Конкретно, гармонический представитель — это единственная замкнутая форма минимума L ² норма, представляющая данный класс когомологий. Теорема Ходжа была доказана с использованием теории эллиптических уравнений в частных производных, а первоначальные аргументы Ходжа были завершены Кодайрой и другими в 1940-х годах.

Например, из теоремы Ходжа следует, что группы когомологий с вещественными коэффициентами замкнутого многообразия конечномерны . (Правда, есть и другие способы доказать это.) Действительно, операторы ∆ эллиптические, и ядро ​​эллиптического оператора на замкнутом многообразии всегда представляет собой конечномерное векторное пространство. Другое следствие теоремы Ходжа состоит в том, что риманова метрика на замкнутом многообразии M определяет вещественный скалярный продукт на целых когомологиях M по модулю кручения . Отсюда следует, например, что образ группы изометрий M в общей линейной группе GL( H ^∗ ( M , Z )) конечна (поскольку группа изометрий решетки конечна ).

Вариантом теоремы Ходжа является разложение Ходжа . Это говорит о том, что существует единственное разложение любой дифференциальной формы ω на замкнутом римановом многообразии в сумму трех частей в виде

$\omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma ,$

в котором γ является гармоническим: Δ γ = 0 . С точки зрения Л ² в ортогональную прямую сумму метрика на дифференциальных формах, это дает разложение :

$\Omega ^{k}(M)\cong \operatorname {im} d_{k-1}\oplus \operatorname {im} \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M).$

Разложение Ходжа является обобщением разложения Гельмгольца для комплекса де Рама.

Теория Ходжа эллиптических комплексов

Атья и Ботт определили эллиптические комплексы как обобщение комплекса де Рама. Теорема Ходжа распространяется на этот случай следующим образом. Позволять $E_{0},E_{1},\ldots ,E_{N}$ — векторные расслоения , снабженные метрикой, на замкнутом гладком многообразии M с формой объема dV . Предположим, что

$L_{i}:\Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})$

— линейные дифференциальные операторы, действующие на C ^∞ сечения этих векторных расслоений и что индуцированная последовательность

$0\to \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \cdots \to \Gamma (E_{N})\to 0$

представляет собой эллиптический комплекс. Введем прямые суммы:

${\begin{aligned}{\mathcal {E}}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _{i}\Gamma (E_{i})\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^{\bullet }\end{aligned}}$

и пусть Л ^∗ быть сопряженным к L . Определим эллиптический оператор ∆ = LL ^∗ + Л ^∗ Л. ​Как и в случае де Рама, это дает векторное пространство гармонических сечений

${\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.$

Позволять $H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}$ — ортогональный проектор, и пусть G — оператор Грина для ∆. Теорема Ходжа тогда утверждает следующее:

1. H и G четко определены.
2. Id = Ч + Δ G = Ч + G Δ
3. LG = GL , L ^∗ Г = ГЛ ^∗
4. Когомологии комплекса канонически изоморфны пространству гармонических сечений: $H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})$в том смысле, что каждый класс когомологий имеет уникального гармонического представителя.

В этой ситуации также имеет место разложение Ходжа, обобщающее приведенное выше утверждение для комплекса де Рама.

Теория Ходжа для комплексных проективных многообразий

Основная статья: Структура Ходжа

Пусть X — гладкое комплексное проективное многообразие, т. е. X — замкнутое комплексное подмногообразие некоторого комплексного проективного пространства CP. ^Н . По теореме Чоу комплексные проективные многообразия автоматически являются алгебраическими: они определяются обращением в нуль однородных полиномиальных уравнений на CP. ^Н . Стандартная риманова метрика на CP ^Н индуцирует риманову метрику на X , которая имеет сильную совместимость с комплексной структурой, что делает X кэлеровым многообразием .

Для комплексного многообразия X и натурального числа r каждое C ^∞ r -форма на X (с комплексными коэффициентами) может быть записана однозначно как сумма форм типа ( p , q ) с p + q = r , то есть формы, которые локально могут быть записаны как конечная сумма термов, с каждым термином принимая форму

$f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}$

с фа C ^∞ функция и z _s и w _s голоморфные функции . На кэлеровом многообразии компоненты ( p , q ) гармонической формы снова гармоничны. Следовательно, для любого компактного кэлерова многообразия X теорема Ходжа дает разложение когомологий X с комплексными коэффициентами в прямую сумму комплексных векторных пространств:

$H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).$

Фактически это разложение не зависит от выбора кэлеровой метрики (но для общего компактного комплексного многообразия аналогичного разложения не существует). С другой стороны, разложение Ходжа действительно зависит от структуры X как комплексного многообразия, тогда как группа H ^р ( X , C ) зависит только от основного пространства X топологического .

Взятие клиновых произведений этих гармонических представителей соответствует произведению чашки в когомологиях, поэтому произведение чашки с комплексными коэффициентами совместимо с разложением Ходжа:

$\smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).$

Кусок Н ^{п , д} ( X ) разложения Ходжа можно отождествить с группой когерентных пучков когомологий , которая зависит только от X как комплексного многообразия (а не от выбора кэлеровой метрики):

$H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),$

где Ом ^п обозначает пучок голоморфных p на X. - форм Например, Х ^{п , 0} ( X пространство голоморфных p -форм на X. ) — (Если X проективно, теоремы Серра GAGA из следует, что голоморфная p -форма на всем X фактически является алгебраической.)

С другой стороны, интеграл можно записать как шапочное произведение класса гомологии Z и класс когомологий, представленный $\alpha$. Согласно двойственности Пуанкаре , класс гомологий Z двойственен классу когомологий, который мы будем называть [ ] , и произведение шапки можно вычислить, взяв чашечное произведение [ Z ] и α и увенчав его фундаментальным классом X. Z

Поскольку [ Z ] — класс когомологий, он имеет разложение Ходжа. Согласно вычислениям, которые мы провели выше, если мы объединим этот класс с любым классом типа $(p,q)\neq (k,k)$, то мы получим ноль. Потому что $H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)$, мы заключаем, что [ Z ] должно лежать в $H^{n-k,n-k}(X)$.

Число Ходжа h ^{п , д} ( X ) означает размерность комплексного векторного пространства H ^{п . д} ( Х ). Это важные инварианты гладкого комплексного проективного многообразия; они не меняются, когда комплексная структура X непрерывно меняется, и все же они, вообще говоря, не являются топологическими инвариантами. Среди свойств чисел Ходжа — симметрия Ходжа h ^{п , д} = час ^{д , п} (потому что Х ^{п , д} ( X ) является комплексно- сопряженным H ^{д , п} ( X )) и час ^{п , д} = час ^{п - п , п - q} (по двойственности Серра ).

Числа Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) можно перечислить в ромбе Ходжа (показано в случае комплексной размерности 2):

		час 2,2
	час 2,1		час 1,2
час 2,0		час 1,1		час 0,2
	час 1,0		час 0,1
		час 0,0

Например, каждая гладкая проективная кривая рода g . имеет ромб Ходжа

	1
г		г
	1

Другой пример: каждая поверхность K3 имеет ромб Ходжа.

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Числа Бетти X представляют собой сумму чисел Ходжа в данной строке. Основное применение теории Ходжа состоит в том, что нечетные числа Бетти b _{2 a +1} гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) четны в силу симметрии Ходжа. неверно для компактных комплексных многообразий вообще, как показано на примере поверхности Хопфа , диффеоморфной S Это ¹ × С ³ и, следовательно, имеет b ₁ = 1 .

«Пакет Кэлера» представляет собой мощный набор ограничений на когомологии гладких комплексных проективных многообразий (или компактных кэлеровых многообразий), основанный на теории Ходжа. Результаты включают в себя теорему Лефшеца о гиперплоскости , жесткую теорему Лефшеца и билинейные отношения Ходжа-Римана . Многие из этих результатов следуют из фундаментальных технических инструментов, которые могут быть доказаны для компактных кэлеровых многообразий с использованием теории Ходжа, включая тождества Кэлера и тождества Кэлера. $\partial {\bar {\partial }}$-лемма .

Теория Ходжа и ее расширения, такие как неабелева теория Ходжа, также дают сильные ограничения на возможные фундаментальные группы компактных кэлеровых многообразий.

Алгебраические циклы и гипотеза Ходжа

Основная статья: гипотеза Ходжа

Позволять $X$ быть гладким комплексным проективным многообразием. Сложная подразновидность $Y$ в $X$ коразмерности ​ $p$ определяет элемент группы когомологий $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )$. Более того, полученный класс обладает особым свойством: его образом в комплексных когомологиях $H^{2p}(X,\mathbb {C} )$ лежит в средней части разложения Ходжа, $H^{p,p}(X)$. Гипотеза Ходжа предсказывает обратное: каждый элемент $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )$ образ которого в комплексных когомологиях лежит в подпространстве $H^{p,p}(X)$ должно иметь положительное целое кратное, которое является $\mathbb {Z}$-линейное сочетание классов сложных подмногообразий $X$. (Такая линейная комбинация называется алгебраическим циклом на $X$.)

Важным моментом является то, что разложение Ходжа — это разложение когомологий с комплексными коэффициентами, которое обычно не возникает из разложения когомологий с целыми (или рациональными) коэффициентами. В результате пересечение

$(H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )$

может быть намного меньше, чем вся группа $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}}$, даже если число Ходжа $h^{p,p}$ большой. Короче говоря, гипотеза Ходжа предсказывает, что возможные «формы» сложных подмногообразий $X$ (как описано когомологиями) определяются Ходжа структурой $X$ (сочетание целочисленных когомологий с разложением Ходжа комплексных когомологий).

Теорема Лефшеца (1,1) утверждает, что гипотеза Ходжа верна для $p=1$ (даже целочисленно, то есть без необходимости целого положительного кратного в высказывании).

Структура Ходжа разновидности $X$ описывает интегралы от алгебраических дифференциальных форм на $X$ над гомологии в классами $X$. В этом смысле теория Ходжа связана с основной проблемой исчисления : вообще не существует «формулы» для интеграла алгебраической функции . В частности, определенные интегралы от алгебраических функций, известные как периоды могут быть трансцендентными числами . Сложность гипотезы Ходжа отражает отсутствие понимания таких интегралов в целом.

Пример: для гладкой комплексной проективной поверхности K3. $X$, группа $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ изоморфен $\mathbb {Z} ^{22}$, и $H^{1,1}(X)$ изоморфен $\mathbb {C} ^{20}$. Их пересечение может иметь ранг от 1 до 20; этот ранг называется Пикара числом $X$. Пространство модулей всех проективных поверхностей К3 имеет счетное множество компонент, каждая из которых имеет комплексную размерность 19. Подпространство поверхностей К3 с числом Пикара $a$ имеет размерность $20-a$. (Таким образом, для большинства проективных поверхностей К3 пересечение $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ с $H^{1,1}(X)$ изоморфен $\mathbb {Z}$, но для «специальных» поверхностей К3 пересечение может быть больше.)

Этот пример предполагает несколько различных ролей, которые теория Ходжа играет в сложной алгебраической геометрии. Во-первых, теория Ходжа дает ограничения на то, какие топологические пространства могут иметь структуру гладкого комплексного проективного многообразия. Во-вторых, теория Ходжа дает информацию о пространстве модулей гладких комплексных проективных многообразий заданного топологического типа. Наилучший случай — когда справедлива теорема Торелли , означающая, что многообразие определяется с точностью до изоморфизма своей структурой Ходжа. Наконец, теория Ходжа дает информацию о группе Чоу алгебраических циклов на данном многообразии. Гипотеза Ходжа касается образа отображения цикла из групп Чоу в обычные когомологии, но теория Ходжа также дает информацию о ядре отображения цикла, например, с использованием промежуточных якобианов , построенных на основе структуры Ходжа.

Обобщения

Смешанная теория Ходжа , разработанная Пьером Делинем , распространяет теорию Ходжа на все комплексные алгебраические многообразия, не обязательно гладкие или компактные. А именно, когомологии любого комплексного алгебраического многообразия имеют более общий тип разложения — смешанную структуру Ходжа .

Другое обобщение теории Ходжа на сингулярные многообразия обеспечивается гомологиями пересечений . А именно, Морихико Сайто показал, что гомологии пересечений любого комплексного проективного многообразия (не обязательно гладкого) имеют чистую структуру Ходжа, как и в гладком случае. Фактически, весь пакет Кэлера распространяется на гомологию пересечений.

Фундаментальный аспект комплексной геометрии состоит в том, что существуют непрерывные семейства неизоморфных комплексных многообразий (которые все диффеоморфны как вещественные многообразия). Филлипа Гриффитса Идея о вариации структуры Ходжа описывает, как структура Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия $X$ меняется, когда $X$ варьируется. В геометрических терминах это равносильно изучению отображения периодов, связанного с семейством многообразий. Теория модулей Ходжа Сайто является обобщением. Грубо говоря, смешанный модуль Ходжа на многообразии $X$ представляет собой пучок смешанных структур Ходжа над $X$, как это могло бы возникнуть из семейства многообразий, которые не обязательно должны быть гладкими или компактными.

См. также

• Потенциальная теория
• Двойственность Серра
• Разложение Гельмгольца
• Теорема о локальном инвариантном цикле
• Arakelov theory
• Теория Ходжа-Аракелова
• Лемма о ддбаре — ключевое следствие теории Ходжа для компактных кэлеровых многообразий.

Ссылки

• Арапура, Дону, Вычисление некоторых чисел Ходжа (PDF)
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994) [1978]. Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. ISBN  0-471-05059-8 . МР   0507725 .
• Ходж, WVD (1941), Теория и приложения гармонических интегралов , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-35881-1 , МР   0003947
• Хайбрехтс, Дэниел (2005), Сложная геометрия: введение , Springer , ISBN  3-540-21290-6 , МР   2093043
• Вуазен, Клэр (2007) [2002], Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия (2 тома) , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511615344 , ISBN  978-0-521-71801-1 , МР   : 1967689
• Уорнер, Франк (1983) [1971], Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Springer , ISBN  0-387-90894-3 , МР   0722297
• Уэллс-младший, Раймонд О. (2008) [1973], Дифференциальный анализ сложных многообразий , Тексты для аспирантов по математике, том. 65 (3-е изд.), Springer , doi : 10.1007/978-0-387-73892-5 , hdl : 10338.dmlcz/141778 , ISBN  978-0-387-73891-8 , МР   2359489