Точное дифференциальное уравнение

В математике точное дифференциальное уравнение или общее дифференциальное уравнение - это определенный вид обычного дифференциального уравнения , которое широко используется в физике и технике.

Определение

Учитывая просто и открытое подмножество D подключенное $\mathbb {R} ^{2}$ и две функции I и J, которые непрерывны на D , неявное обычное дифференциальное уравнение первого порядка формы

$I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,$

называется точным дифференциальным уравнением , если существует непрерывно дифференцируемая функция F , называемой потенциальной функцией , так что

${\frac {\partial F}{\partial x}}=I$

и

${\frac {\partial F}{\partial y}}=J.$

Точное уравнение также может быть представлено в следующей форме:

$I(x,y)+J(x,y)\,y'(x)=0$

где те же ограничения на i и j применяются для дифференциального уравнения, если быть точным.

Номенклатура «точного дифференциального уравнения» относится к точной дифференциации функции. Для функции $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$точное или полное производное по отношению к $x_{0}$ дано

${\frac {dF}{dx_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dx_{0}}}.$

Пример

Функция $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ дано по

$F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c$

потенциальная функция для дифференциального уравнения

$x\,dx+y\,dy=0.\,$

Точные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение точных дифференциальных уравнений первого порядка

Пусть функции ${\textstyle M}$, ${\textstyle N}$, ${\textstyle M_{y}}$, и ${\textstyle N_{x}}$, где подписки обозначают частичное производное по отношению к относительной переменной, быть непрерывными в регионе ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$Полем Тогда дифференциальное уравнение

$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$

точнее, если и только тогда

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$

То есть существует функция $\psi (x,y)$, назвал потенциальную функцию , так что

$\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

Итак, в целом:

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\iff {\begin{cases}\exists \psi (x,y)\\\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$

Доказательство

Доказательство имеет две части.

Во -первых, предположим, что есть функция $\psi (x,y)$ так что $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

Затем следует, что $M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$

С $M_{y}$ и $N_{x}$ непрерывны, тогда $\psi _{xy}$ и $\psi _{yx}$ также непрерывны, что гарантирует их равенство.

Вторая часть доказательства включает в себя строительство $\psi (x,y)$ и также может использоваться в качестве процедуры для решения точных дифференциальных уравнений первого порядка. Предположим, это $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$ И пусть будет функция $\psi (x,y)$ для которого $\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

Начать с интеграции первого уравнения по отношению к $x$Полем На практике не имеет значения, если вы интегрируете первое или второе уравнение, если интеграция сделана в отношении соответствующей переменной.

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,y)=M(x,y)$$ $$\psi (x,y)=\int M(x,y)\,dx+h(y)$$ $$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$

где $Q(x,y)$ какая -либо дифференцируемая функция такой, что $Q_{x}=M$Полем Функция $h(y)$ играет роль константы интеграции, но вместо постоянной это функция $y$, с $M$ является функцией обоих $x$ и $y$ и мы интегрируемся только по отношению к $x$.

Теперь, чтобы показать, что всегда можно найти $h(y)$ так что $\psi _{y}=N$. $$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$

Дифференцировать обе стороны по отношению к $y$. $${\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)+h'(y)$$

Установить результат, равный $N$ и решить для $h'(y)$. $$h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$$

Чтобы определить $h'(y)$ От этого уравнения правая сторона должна зависеть только от $y$Полем Это может быть доказано, показав, что его производная по отношению к $x$ всегда ноль, поэтому дифференцируйте правую сторону по отношению к $x$. $${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\iff {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)$$

С $Q_{x}=M$, $${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial M}{\partial y}}(x,y)$$ Теперь, это нулевое, основываясь на нашем первоначальном предположении, что $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$

Поэтому, $$h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$$ $$h(y)=\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}$$

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+\int \left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)\,dy+C$$

И это завершает доказательство.

Решения точных дифференциальных уравнений первого порядка

Точные дифференциальные уравнения первого порядка формы $$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$$

может быть написан с точки зрения потенциальной функции $\psi (x,y)$ $${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0$$

где $${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

Это эквивалентно принятию точного дифференциала $\psi (x,y)$. $${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\iff {\frac {d}{dx}}\psi (x,y(x))=0$$

Решения точного дифференциального уравнения затем даются $$\psi (x,y(x))=c$$

и проблема превращается в поиск $\psi (x,y)$.

Это можно сделать путем интеграции двух выражений $M(x,y)\,dx$ и $N(x,y)\,dy$ и затем записывать каждый термин в результирующих выражениях только один раз и суммируя их, чтобы получить $\psi (x,y)$.

Причина, лежащая в основе этого, - следующее. С $${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

следует, интегрируя обе стороны, что $${\begin{cases}\psi (x,y)=\int M(x,y)\,dx+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=\int N(x,y)\,dy+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$$

Поэтому, $$Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)$$

где $Q(x,y)$ и $P(x,y)$ дифференцируемые функции так, чтобы $Q_{x}=M$ и $P_{y}=N$.

Чтобы это было правдой, и для обеих сторон привести к тому же выражению, а именно $\psi (x,y)$, затем $h(y)$ должен содержаться в выражении для $P(x,y)$ Потому что это не может быть содержатся внутри $g(x)$, поскольку это полностью функция $y$ а нет $x$ и поэтому не разрешается иметь какое -либо отношение к $x$Полем По аналогии, $g(x)$ должен содержаться в выражении $Q(x,y)$.

Поэтому, $$Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)$$

для некоторых выражений $f(x,y)$ и $d(x,y)$Полем Подключившись к вышеуказанному уравнению, мы обнаруживаем, что $$g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\Rightarrow f(x,y)=d(x,y)$$ и так $f(x,y)$ и $d(x,y)$ оказывается той же функцией. Поэтому, $$Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)$$

Поскольку мы уже показали, что $${\begin{cases}\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$$

Это следует за этим $$\psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)$$

Итак, мы можем построить $\psi (x,y)$ делая $\int M(x,y)\,dx$ и $\int N(x,y)\,dy$ и затем принимая общие термины, которые мы находим в двух, возникающих в результате выражений (это было бы $f(x,y)$ ) и затем добавление терминов, которые уникально найдены в любом из них - $g(x)$ и $h(y)$.

Точные дифференциальные уравнения второго порядка

Концепция точных дифференциальных уравнений может быть распространена на уравнения второго порядка. Рассмотрим, как начинать с точного уравнения первого порядка:

$I(x,y)+J(x,y){dy \over dx}=0$

Поскольку обе функции $I(x,y)$, $J(x,y)$ являются функциями двух переменных, неявно дифференцируя многомерную функцию

${dI \over dx}+\left({dJ \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0$

Расширение общих производных дает это

${dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

и это

${dJ \over dx}={\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}$

Объединение ${\textstyle {dy \over dx}}$ Условия дают

${\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial I \over \partial y}+{\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0$

Если уравнение точное, то ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$Полем Кроме того, общая производная $J(x,y)$ равна своему неявному обычному производному ${\textstyle {dJ \over dx}}$Полем Это приводит к переписанному уравнению

${\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial J \over \partial x}+{dJ \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0$

Теперь пусть будет какое-то дифференциальное уравнение второго порядка

$f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0$

Если ${\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}$ Для точных дифференциальных уравнений, тогда

$\int \left({\partial I \over \partial y}\right)\,dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)\,dy$

и

$\int \left({\partial I \over \partial y}\right)\,dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)\,dy=I(x,y)-h(x)$

где $h(x)$ является какой -то произвольной функцией только $x$ это было дифференцировано до нуля при принятии частичного производного $I(x,y)$ Что касается $y$Полем Хотя знак на $h(x)$ может быть положительным, более интуитивно понятно думать о результате интеграла как $I(x,y)$ В этом не хватает оригинальной дополнительной функции $h(x)$ Это было частично дифференцировано до нуля.

Далее, если

${dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

тогда термин ${\partial I \over \partial x}$ должно быть функцией только $x$ и $y$, поскольку частичная дифференциация по отношению к $x$ будет держать $y$ постоянные и не производят какие -либо производные $y$Полем В уравнении второго порядка

$f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0$

Только термин $f(x,y)$ это термин исключительно из $x$ и $y$Полем Позволять ${\partial I \over \partial x}=f(x,y)$Полем Если ${\partial I \over \partial x}=f(x,y)$, затем

$f(x,y)={dI \over dx}-{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

Поскольку общая производная $I(x,y)$ Что касается $x$ эквивалентен неявной обычной производной ${dI \over dx}$ , затем

$f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}={dI \over dx}={d \over dx}(I(x,y)-h(x))+{dh(x) \over dx}$

Так,

${dh(x) \over dx}=f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))$

и

$h(x)=\int \left(f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))\right)\,dx$

Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка

$f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0$

точнее, только если $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ и только в случае выражения ниже

$\int \left(f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))\right)\,dx=\int \left(f(x,y)-{\partial \left(I(x,y)-h(x)\right) \over \partial x}\right)\,dx$

это функция исключительно из $x$Полем Один раз $h(x)$ рассчитывается по его произвольной постоянной, он добавляется в $I(x,y)-h(x)$ сделать $I(x,y)$Полем Если уравнение является точным, то мы можем уменьшить точную форму первого порядка, которая разрешается обычным методом точных уравнений первого порядка.

$I(x,y)+J(x,y){dy \over dx}=0$

Теперь, однако, в окончательном неявном решении будет $C_{1}x$ термин от интеграции $h(x)$ Что касается $x$ вдвое больше, чем $C_{2}$, две произвольные константы, как и ожидалось от уравнения второго порядка.

Пример

Учитывая дифференциальное уравнение

$(1-x^{2})y''-4xy'-2y=0$

всегда можно легко проверить точность, изучив $y''$ срок. В этом случае как частичное и полное производное $1-x^{2}$ Что касается $x$ являются $-2x$, так что их сумма $-4x$, что именно термин перед $y'$Полем С одним из условий для точности, можно рассчитать, что

$\int (-2x)\,dy=I(x,y)-h(x)=-2xy$

Пусть $f(x,y)=-2y$, затем

$\int \left(-2y-2xy'-{d \over dx}(-2xy)\right)\,dx=\int (-2y-2xy'+2xy'+2y)\,dx=\int (0)\,dx=h(x)$

Так, $h(x)$ действительно является функцией только $x$ и дифференциальное уравнение второго порядка точное. Поэтому, $h(x)=C_{1}$ и $I(x,y)=-2xy+C_{1}$Полем Сокращение доходности точного уравнения первого порядка

$-2xy+C_{1}+(1-x^{2})y'=0$

Интеграция $I(x,y)$ Что касается $x$ доходность

$-x^{2}y+C_{1}x+i(y)=0$

где $i(y)$ является некоторой произвольной функцией $y$Полем Дифференцируя по отношению к $y$ дает уравнение, коррелирующее производную и $y'$ срок.

$-x^{2}+i'(y)=1-x^{2}$

Так, $i(y)=y+C_{2}$ и полное неявное решение становится

$C_{1}x+C_{2}+y-x^{2}y=0$

Явно решает $y$ доходность

$y={\frac {C_{1}x+C_{2}}{1-x^{2}}}$

Точные дифференциальные уравнения высшего порядка

Концепции точных дифференциальных уравнений могут быть распространены на любой заказ. Начиная с точного уравнения второго порядка

${d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))+{dy \over dx}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+f(x,y)=0$

Ранее было показано, что уравнение определяется таким образом, что

$f(x,yt)={dht(x) \over dx}+{d \over dx}(I(x,y)-h(x))-{\partial J \over \partial x}{dy \over dx}$

Неявная дифференциация уравнения второго порядка $n$ время даст $(n+2)$Дифференциальное уравнение TH-порядка с новыми условиями для точности, которые можно легко вывести из формы произведенного уравнения. Например, дифференцирование вышеуказанного дифференциального уравнения второго порядка один раз, чтобы дать точное уравнение третьего порядка, дает следующую форму

${d^{3}y \over dx^{3}}(J(x,y))+{d^{2}y \over dx^{2}}{dJ \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+{df(x,y) \over dx}=0$

где

${df(x,y) \over dx}={d^{2}h(x) \over dx^{2}}+{d^{2} \over dx^{2}}(I(x,y)-h(x))-{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}-{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$

и где $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ это функция только $x,y$ и ${dy \over dx}$Полем Объединяя все ${dy \over dx}$ и ${d^{2}y \over dx^{2}}$ Условия не поступают из $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ дает

${d^{3}y \over dx^{3}}(J(x,y))+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+F\left(x,y,{dy \over dx}\right)=0$

Таким образом, три условия для точности для дифференциального уравнения третьего порядка: ${d^{2}y \over dx^{2}}$ термин должен быть $2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$, ${dy \over dx}$ термин должен быть ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ и

$F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}(I(x,y)-h(x))+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$

Должен быть функция исключительно из $x$.

Пример

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка

$yy'''+3y'y''+12x^{2}=0$

Если $J(x,y)=y$, затем $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ является $2y'y''$ и $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$который вместе суммируют $3y'y''$Полем К счастью, это появляется в нашем уравнении. Для последнего условия точности,

$F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I(x,y)-h(x)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=12x^{2}-0+0+0=12x^{2}$

который действительно является функцией только $x$Полем Итак, дифференциальное уравнение точное. Интеграция дважды доход $h(x)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I(x,y)$Полем Переписывание уравнения в качестве точного дифференциального уравнения первого порядка

$x^{4}+C_{1}x+C_{2}+yy'=0$

Интеграция $I(x,y)$ Что касается $x$ дает это ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i(y)=0$Полем Дифференцируя по отношению к $y$ и приравнивая это к термину перед $y'$ в уравнении первого порядка дает это $i'(y)=y$ и это $i(y)={y^{2} \over 2}+C_{3}$Полем Полное неявное решение становится

${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}+{y^{2} \over 2}=0$

Явное решение, таким образом,

$y=\pm {\sqrt {C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}-{\frac {2x^{5}}{5}}}}$

Смотрите также

• Точный дифференциал
• Неточное дифференциальное уравнение

Дальнейшее чтение

• Бойс, Уильям Э.; Diprima, Richard C. (1986). Элементарные дифференциальные уравнения (4 -е изд.). Нью -Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN   0-471-07894-8