Теорема Рисса – Фишера

В математике теорема Рисса-Фишера в реальном анализе представляет собой любой из ряда тесно связанных результатов, касающихся свойств пространства L. ² квадратично интегрируемых функций. Теорема была независимо доказана в 1907 году Фриджесом Риссом и Эрнстом Сигизмундом Фишером .

Для многих авторов теорема Рисса–Фишера относится к тому факту, что пространства Lp $L^{p}$ из интеграции Лебега теории являются полными .

Современные формы теоремы

Наиболее распространенная форма теоремы гласит, что измеримая функция на $[-\pi ,\pi ]$ интегрируема с квадратом тогда и только тогда, когда соответствующий ряд Фурье сходится в пространстве Lp $L^{2}.$ Это означает, что если N-я частичная сумма ряда Фурье, соответствующая интегрируемой с квадратом функции f, имеет вид $S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,\mathrm {e} ^{inx},$ где $F_{n},$ n -й Фурье коэффициент определяется выражением $F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,\mathrm {e} ^{-inx}\,\mathrm {d} x,$ затем $\lim _{N\to \infty }\left\Vert S_{N}f-f\right\|_{2}=0,$ где $\|\,\cdot \,\|_{2}$ это $L^{2}$ - норма .

И наоборот, если $\{a_{n}\}\,$ представляет собой двустороннюю последовательность комплексных чисел (т. е. ее индексы варьируются от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности) такую, что $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty ,$ тогда существует функция f такая, что f интегрируема с квадратом и значения $a_{n}$ являются коэффициентами Фурье функции f .

Эта форма теоремы Рисса-Фишера является более сильной формой неравенства Бесселя и может использоваться для доказательства тождества Парсеваля для рядов Фурье .

Другие результаты часто называют теоремой Рисса-Фишера ( Данфорд и Шварц, 1958 , §IV.16). Среди них есть теорема о том, что если A — ортонормированное множество в гильбертовом пространстве H и $x\in H,$ затем $\langle x,y\rangle =0$ для всех, кроме счетного числа $y\in A,$ и $\sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}.$ Более того, если A — ортонормированный базис для H , а x — произвольный вектор, ряд $\sum _{y\in A}\langle x,y\rangle \,y$ сходится коммутативно (или безусловно ) к x . Это равносильно тому, что для каждого $\varepsilon >0,$ существует конечное множество $B_{0}$ в А такой, что $\|x-\sum _{y\in B}\langle x,y\rangle y\|<\varepsilon$ для любого конечного множества B, содержащего B ₀ . При этом следующие условия на множестве A эквивалентны:

множество A является ортонормированным базисом H
для каждого вектора $x\in H,$

\|x\|^{2}=\sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}.

Другой результат, также иногда носящий имя Рисса и Фишера, — это теорема о том, что $L^{2}$ (или в более общем плане $L^{p},0<p\leq \infty$ ) завершено .

Пример

Теорема Рисса-Фишера применима и в более общей ситуации. Пусть R — пространство внутреннего произведения , состоящее из функций (например, измеримых функций на прямой, аналитических функций в единичном круге; в старой литературе иногда называемое евклидовым пространством), и пусть $\{\varphi _{n}\}$ быть ортонормированной системой в R (например, базис Фурье, полиномы Эрмита или Лагерра и т. д. – см. ортогональные полиномы ), не обязательно полной (в пространстве внутреннего произведения ортонормированный набор является полным , если ни один ненулевой вектор не ортогонален каждому вектору в пространстве набор). Теорема утверждает, что если нормированное пространство R полно (таким образом, R — гильбертово пространство ), то любая последовательность $\{c_{n}\}$ который имеет конечный $\ell ^{2}$ определяет функцию f в пространстве R. норма

Функция f определяется формулой $f=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}c_{k}\varphi _{k},$ предел в R -норме.

В сочетании с неравенством Бесселя мы знаем и обратное: если f — функция из R , то коэффициенты Фурье $(f,\varphi _{n})$ иметь конечный $\ell ^{2}$ норма .

История: Записка Рисса и Записка Фишера (1907 г.)

В своей «Заметке» Рисс (1907 , стр. 616) формулирует следующий результат (в какой-то момент переведенный здесь на современный язык): обозначение $L^{2}([a,b])$ в 1907 году не использовался).

Позволять

\left\{\varphi _{n}\right\}

быть ортонормированной системой в

L^{2}([a,b])

и

\left\{a_{n}\right\}

последовательность вещественных чисел. Сходимость ряда $\sum a_{n}^{2}$ является необходимым и достаточным условием существования функции f такой, что

\int _{a}^{b}f(x)\varphi _{n}(x)\,\mathrm {d} x=a_{n}\quad {\text{ for every }}n.

Сегодня этот результат Рисса является частным случаем основных фактов о рядах ортогональных векторов в гильбертовых пространствах.

«Записка Рисса» появилась в марте. В мае Фишер (1907 , стр. 1023) прямо утверждает в теореме (почти современными словами), что последовательность Коши в $L^{2}([a,b])$ сходится в $L^{2}$ -норма для некоторой функции $f\in L^{2}([a,b]).$ В этом примечании последовательности Коши называются « последовательностями, сходящимися в среднем », а $L^{2}([a,b])$ обозначается $\Omega .$ Кроме того, сходимость к пределу $L^{2}$ –норма называется « сходимостью в среднем к функции ». Вот это заявление в переводе с французского:

Теорема. Если последовательность функций, принадлежащих $\Omega$ сходится в среднем, существует в $\Omega$ функция f, к которой последовательность сходится в среднем.

Фишер продолжает доказывать предыдущий результат Рисса вследствие ортогональности системы и полноты $L^{2}.$

Доказательство полноты Фишера является несколько косвенным. Он использует тот факт, что неопределенные интегралы от функций g _n в заданной последовательности Коши, а именно $G_{n}(x)=\int _{a}^{x}g_{n}(t)\,\mathrm {d} t,$ сходятся равномерно на $[a,b]$ некоторой функции G , непрерывной с ограниченной вариацией.Существование лимита $g\in L^{2}$ для последовательности Коши получается применением к G теорем о дифференцировании из теории Лебега.
Рисс использует аналогичные рассуждения в своей «Записке», но не делает явного упоминания о полноте $L^{2},$ хотя его результат можно интерпретировать и так. Он говорит, что, почленно интегрируя тригонометрический ряд с заданными суммируемыми с квадратом коэффициентами, он получает ряд, равномерно сходящийся к непрерывной функции F с ограниченной вариацией. Производная f от F , определенная почти всюду, суммируема с квадратом и имеет для коэффициентов Фурье заданные коэффициенты.

Полнота L ^п, 0 < p ≤ ∞

Некоторые авторы, особенно Ройден, ^[1] Теорема Рисса-Фишера — это результат того, что $L^{p}$ является полным : каждая последовательность Коши функций из $L^{p}$ сходится к функции в $L^{p},$ при метрике, индуцированной p -нормой. Приведенное ниже доказательство основано на теоремах сходимости интеграла Лебега ; результат также можно получить $p\in [1,\infty ]$ показав, что каждая последовательность Коши имеет быстро сходящуюся подпоследовательность Коши, что каждая последовательность Коши со сходящейся подпоследовательностью сходится и что каждая быстро сходящаяся последовательность Коши в $L^{p}$ сходится в $L^{p}.$

Когда $1\leq p\leq \infty ,$ неравенство Минковского означает, что пространство Lp $L^{p}$ является нормированным пространством. Чтобы доказать это $L^{p}$ является полным, т.е. что $L^{p}$ является банаховым пространством , то достаточно (см., например, банахово пространство#Определение ), чтобы доказать, что каждая серия $\sum u_{n}$ функций в $L^{p}(\mu )$ такой, что $\sum \|u_{n}\|_{p}<\infty$ сходится в $L^{p}$ -норма для некоторой функции $f\in L^{p}(\mu ).$ Для $p<\infty ,$ из неравенства Минковского и теоремы монотонной сходимости следует, что $\int \left(\sum _{n=0}^{\infty }|u_{n}|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\sum _{n=0}^{\infty }\|u_{n}\|_{p}\right)^{p}<\infty ,\ \ {\text{ hence }}\ \ f=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}$ определяется $\mu$ – почти везде и $f\in L^{p}(\mu ).$ Теорема о доминируемой сходимости затем используется для доказательства того, что частичные суммы ряда сходятся к f в $L^{p}$ -норма, $\int \left|f-\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \int \left(\sum _{\ell >n}|u_{\ell }|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .$

Дело $0<p<1$ требует некоторых модификаций, поскольку p -норма больше не является субаддитивной. Начнем с более сильного предположения, что $\sum \|u_{n}\|_{p}^{p}<\infty$ и использует неоднократно это $\left|\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\leq \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|^{p}{\text{ when }}p<1$ Дело $p=\infty$ сводится к простому вопросу о равномерной сходимости вне некоторой $\mu$ - ничтожный набор.

См. также

Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство.

Ссылки

^ Ройден, Х.Л. (13 февраля 2017 г.). Реальный анализ . Фитцпатрик, Патрик, 1946- (Четвертое изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк. ISBN 9780134689494 . ОСЛК 964502015 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Билз, Ричард (2004), Анализ: Введение , Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-60047-2 .
Данфорд, Н.; Шварц, Дж.Т. (1958), Линейные операторы, Часть I , Wiley-Interscience .
Фишер, Эрнст (1907), «О сходимости в среднем», Труды Академии наук , 144 : 1022–1024 .
Рисс, Фридьес (1907), «Об ортогональных системах функций», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 144 : 615–619 .

[1] Ройден, Х.Л. (13 февраля 2017 г.). Реальный анализ . Фитцпатрик, Патрик, 1946- (Четвертое изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк. ISBN 9780134689494 . ОСЛК 964502015 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1]