Тессерактические соты

Тессерактические соты
Перспективная проекция красно-синей шахматной доски 3х3х3х3.
Тип	Обычные 4-местные соты Униформа 4-сотовая
Семья	Гиперкубические соты
Символы Шлефли	{4,3,3,4} т _0,4 {4.3,3.4} {4,3,3 ^1,1} {4,4} ⁽²⁾ {4,3,4}×{∞} {4,4}×{∞} ⁽²⁾ {∞} ⁽⁴⁾
Диаграммы Кокстера-Динкина
4-гранный тип	{4,3,3}
Тип ячейки	{4,3}
Тип лица	{4}
Краевая фигура	{3,4} ( октаэдр )
Вершинная фигура	{3,3,4} ( 16-ячеечный )
Группы Кокстера	${\tilde {C}}_{4}$ , [4,3,3,4] ${\tilde {B}}_{4}$ , [4,3,3 ^1,1]
Двойной	самодвойственный
Характеристики	вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , грани-транзитивный , клеточно-транзитивный , 4-гранный-транзитивный

В четырехмерной евклидовой геометрии тессерактические соты — это одна из трёх правильных заполняющих пространство мозаик (или сот ), представленных символом Шлефли {4,3,3,4} и состоящих из упаковки тессерактов (4- гиперкубов) . ).

Его вершинная фигура представляет собой 16-клеточную фигуру . Два тессеракта встречаются в каждой кубической ячейке , четыре встречаются на каждой квадратной грани , восемь встречаются на каждом ребре и шестнадцать встречаются в каждой вершине .

Это аналог квадратной мозаики {4,4} плоскости и кубических сот {4,3,4} трёхмерного пространства. Все они являются частью гиперкубического сотового семейства мозаик формы {4,3,...,3,4}. Тесселяции в этом семействе самодвойственны .

Координаты

Вершины этой соты можно расположить в 4-мерном пространстве во всех целочисленных координатах (i,j,k,l).

Сферическая упаковка

Как и все обычные гиперкубические соты , тессерактические соты соответствуют сферической упаковке сфер с диаметром ребра, центрированной в каждой вершине или вместо этого (двойственно) вписанной в каждую ячейку. В гиперкубических сотах четырех измерений одновременно помещаются трехмерные сферы с вершинами и вписанные в них ячейки, образуя уникальную правильную объемноцентрированную кубическую решетку из сфер одинакового размера (в любом количестве измерений). Поскольку тессеракт радиально равносторонний , в отверстии между 16 центрированными по вершинам 3-сферами достаточно места для еще одной 3-сферы с длиной ребра и диаметром. (Эта 4-мерная кубическая решетка с объемным центром на самом деле представляет собой объединение двух тессерактических сот, находящихся в двойных положениях.)

Это та же самая плотная из известных регулярных трехсферных упаковок с номером целования 24, которая также наблюдается в двух других регулярных мозаиках четырехмерного пространства: сотах из 16 ячеек и сотах из 24 ячеек . Каждая 3-сфера, вписанная в тессеракт, целует окружающую оболочку из 24 3-сфер, 16 в вершинах тессеракта и 8 вписанных в соседние тессеракты. Эти 24 точки целования являются вершинами 24-клетки с радиусом (и длиной ребра) 1/2.

Конструкции

Существует множество различных конструкций Wythoff из этих сот. Наиболее симметричной формой является регулярная с символом Шлефли {4,3,3,4}. Другая форма имеет две чередующиеся грани тессеракта (как шахматная доска) с символом Шлефли {4,3,3. ^1,1}. Конструкция Витхоффа с самой низкой симметрией имеет 16 типов граней вокруг каждой вершины и призматическое произведение, символ Шлефли {∞} ⁴. Один можно получить путем стерилизации другого.

Связанные многогранники и замощения

[4,3,3,4], генерирует Группа Коксетера 31 перестановку однородных мозаик, 21 с четкой симметрией и 20 с отличной геометрией. Расширенные тессерактические соты (также известные как стерилизованные тессерактические соты) геометрически идентичны тессерактическим сотам. Три симметричных сот относятся к семейству [3,4,3,3]. Два чередования (13) и (17), а также четверть тессерактики (2) повторяются и в других семействах.

Соты C4
Extended symmetry	Extended diagram	Order	Honeycombs
[4,3,3,4]:		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, ₇, ₈, ₉, ₁₀, ₁₁, ₁₂, ₁₃
[[4,3,3,4]]		×2	₍₁₎, ₍₂₎, ₍₁₃₎, ₁₈ ₍₆₎, ₁₉, ₂₀
[(3,3)[1⁺,4,3,3,4,1⁺]] ↔ [(3,3)[3^1,1,1,1]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	×6	₁₄, ₁₅, ₁₆, ₁₇

[4,3,3 ^1,1], генерирует Группа Кокстера 31 перестановку однородных мозаик, 23 с четкой симметрией и 4 с отличной геометрией. Существуют две чередующиеся формы: чередования (19) и (24) имеют ту же геометрию, что и соты с 16 ячейками и курносые соты с 24 ячейками соответственно.

Соты B4
Extended symmetry	Extended diagram	Order	Honeycombs
[4,3,3^1,1]:		×1	₅, ₆, ₇, ₈
<[4,3,3^1,1]>: ↔[4,3,3,4]	↔	×2	₉, ₁₀, ₁₁, ₁₂, ₁₃, ₁₄, ₍₁₀₎, ₁₅, ₁₆, ₍₁₃₎, ₁₇, ₁₈, ₁₉
[3[1⁺,4,3,3^1,1]] ↔ [3[3,3^1,1,1]] ↔ [3,3,4,3]	↔ ↔	×3	₁, ₂, ₃, ₄
[(3,3)[1⁺,4,3,3^1,1]] ↔ [(3,3)[3^1,1,1,1]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	×12	₂₀, ₂₁, ₂₂, ₂₃

Сота из 24 ячеек аналогична, но помимо вершин с целыми числами (i,j,k,l) в ней есть вершины с полуцелыми числами (i+1/2,j+1/2,k+1/2 ,l+1/2) только нечетных целых чисел. Это наполовину заполненный куб с центром в теле (шахматная доска, в которой красные четверки имеют центральную вершину, а черные — нет).

Тессеракт с тремя тессерактами может составлять регулярную мозаику 4-сферы на каждую грань с символом Шлефли {4,3,3,3}, называемым тессерактическими сотами третьего порядка . Он топологически эквивалентен правильному пентеракту многогранника в 5-мерном пространстве.

Тессеракт может составлять регулярную мозаику 4-мерного гиперболического пространства с 5 тессерактами вокруг каждой грани с символом Шлефли {4,3,3,5}, называемым тессерактическими сотами пятого порядка .

Плитка Аммана-Бенкера представляет собой апериодическую мозаику в двух измерениях, полученную путем разрезания и проецирования тессерактических сот вдоль оси симметрии вращения восьмого порядка. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Биректифицированные тессерактические соты

Биректифицированные тессерактические соты , , содержит все выпрямленные 16-клеточные ( -клеточные ) грани и представляет собой мозаику Вороного D 24 ₄^* решетка . Фасеты могут быть одинаково окрашены из двойного ${\tilde {C}}_{4}$ ×2, симметрия [[4,3,3,4]], поочередно окрашенные из ${\tilde {C}}_{4}$ , [4,3,3,4] симметрия, три цвета из ${\tilde {B}}_{4}$ , [4,3,3 ^1,1] симметрия и 4 цвета из ${\tilde {D}}_{4}$ , [3 ^1,1,1,1] симметрия.

См. также

Правильные и однородные соты в 4-мерном пространстве:

Ссылки

^ Бааке, М; Джозеф, Д. (1990). «Идеальные и дефектные конфигурации вершин в плоской восьмиугольной квазирешетке». Физический обзор B . 42 (13): 8091–8102. Бибкод : 1990PhRvB..42.8091B . дои : 10.1103/physrevb.42.8091 . ПМИД 9994979 .
^ Beenker FPM, Алгебраическая теория непериодических мозаик плоскости двумя простыми строительными блоками: квадратом и ромбом, Отчет TH 82-WSK-04 (1982), Technische Hogeschool, Эйндховен

Коксетер, Правильные многогранники HSM (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 стр. 296, Таблица II: Обычные соты.
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Георгий Ольшевский, Равномерные паноплоидные тетракомбы , Рукопись (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомб) - Модель 1
Клитцинг, Ричард. «4D евклидовы мозаики» . x∞ox∞ox∞ox∞o, x∞xx∞ox∞ox∞o, x∞xx∞xx∞ox∞o, x∞xx∞xx∞xx∞o,x∞xx∞xx∞xx∞x, x∞ox∞o x4o4o, x∞ox∞o o4x4o, x∞xx∞o x4o4o, x∞xx∞o o4x4o, x∞ox∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4o, x∞xx∞x o4x4o, x∞xx∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3o *d4x, x∞o o3o3o *d4x, x∞x x4o3o4x, x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o *b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - тест - O1

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	0 _[3]	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	0 _[4]	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	0 _[5]	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	0 _[6]	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	0 _[7]	д ₇	hδ ₇	. _{7 кв}	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	0 _[8]	д ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	0 _[9]	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	0 _[10]	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	0 _[11]	д ₁₁	HD ₁₁	11 _{квартал}
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	0 _{[ н ]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] Бааке, М; Джозеф, Д. (1990). «Идеальные и дефектные конфигурации вершин в плоской восьмиугольной квазирешетке». Физический обзор B . 42 (13): 8091–8102. Бибкод : 1990PhRvB..42.8091B . дои : 10.1103/physrevb.42.8091 . ПМИД 9994979 .

[2] Beenker FPM, Алгебраическая теория непериодических мозаик плоскости двумя простыми строительными блоками: квадратом и ромбом, Отчет TH 82-WSK-04 (1982), Technische Hogeschool, Эйндховен

[ 1 ]

[ 2 ]