Автоморфная форма

В гармоническом анализе и теории чисел автоморфная форма — это корректная функция от топологической группы G до комплексных чисел (или комплексного векторного пространства ), которая инвариантна относительно действия дискретной подгруппы. $\Gamma \subset G$ топологической группы. Автоморфные формы представляют собой обобщение идеи периодических функций в евклидовом пространстве на общие топологические группы.

Модульные формы — это голоморфные автоморфные формы, определенные над группами SL(2, R ) или PSL(2, R ) с дискретной подгруппой, являющейся модулярной группой или одной из ее конгруэнтных подгрупп ; в этом смысле теория автоморфных форм является расширением теории модулярных форм. В более общем смысле, можно использовать адельный подход как способ работы со всем семейством конгруэнтных подгрупп одновременно. С этой точки зрения автоморфная форма над группой ( AF ) _для алгебраической группы G и поля алгебраических чисел F — это комплекснозначная функция на G ( AF _G ), которая остается инвариантной слева относительно G ( F). ) и удовлетворяет определенным условиям гладкости и роста.

Пуанкаре впервые открыл автоморфные формы как обобщения тригонометрических и эллиптических функций . Благодаря гипотезе Ленглендса автоморфные формы играют важную роль в современной теории чисел. ^[1]

Определение

В математике понятие фактора автоморфии возникает для группы, действующей на комплексно-аналитическом многообразии . Предположим, группа $G$ действует на комплексно-аналитическом многообразии $X$ . Затем, $G$ действует также в пространстве голоморфных функций из $X$ к комплексным числам. Функция $f$ называется автоморфной формой, если выполняется следующее:

f(g\cdot x)=j_{g}(x)f(x)

где $j_{g}(x)$ — всюду ненулевая голоморфная функция. Эквивалентно, автоморфная форма — это функция, делитель которой инвариантен относительно действия $G$ .

Коэффициент автоморфности для автоморфной формы $f$ это функция $j$ . Автоморфная функция — это автоморфная форма, для которой $j$ это личность.

Автоморфная форма — это функция F на G (со значениями в некотором фиксированном конечномерном векторном пространстве V в векторном случае), подчиняющаяся трем видам условий:

трансформировать при переводе по элементам $\gamma \in \Gamma$ по заданному коэффициенту автоморфности j ;
быть собственной функцией некоторых операторов Казимира на G ; и
для удовлетворения асимптотического условия «умеренного роста» - функция высоты .

Именно первый из них делает F автоморфным , то есть удовлетворяющим интересному функциональному уравнению, связывающему F ( g ) с F ( γg ) для $\gamma \in \Gamma$ . В векторном случае спецификация может включать конечномерное групповое представление ρ, действующее на компоненты и «скручивающее» их. Условие оператора Казимира гласит, что некоторые лапласианы ^{[ нужна ссылка ]} иметь F как собственную функцию; это гарантирует, что F обладает отличными аналитическими свойствами, но является ли она на самом деле комплексно-аналитической функцией, зависит от конкретного случая. Третье условие состоит в том, чтобы учесть случай, когда G /Γ не компактна , но имеет точки возврата .

Формулировка требует общего понятия фактора автоморфии j для Γ, который является типом 1- коцикла в языке групповых когомологий . Значения j могут быть комплексными числами или фактически комплексными квадратными матрицами, что соответствует возможности векторнозначных автоморфных форм. Условие коцикла, налагаемое на фактор автоморфии, можно регулярно проверять, когда j выводится из матрицы Якобиана , с помощью цепного правила .

Более простое, но технически продвинутое определение, использующее теорию полей классов , строит автоморфные формы и соответствующие им функции как вложения групп Галуа в их базовые глобальные расширения полей . В этой формулировке автоморфные формы представляют собой некоторые конечные инварианты, отображающиеся из группы классов иделей по закону взаимности Артина . При этом аналитическая структура ее L-функции допускает обобщения с различными алгебро-геометрическими свойствами; и результирующая программа Ленглендса . Если упростить, автоморфные формы в этой общей перспективе представляют собой аналитические функционалы, количественно определяющие инвариантность числовых полей в самом абстрактном смысле, тем самым указывая на «примитивность» их фундаментальной структуры . Предоставляет мощный математический инструмент для анализа инвариантных конструкций практически любой числовой структуры.

Примеры автоморфных форм в явном неабстрагированном состоянии получить трудно, хотя некоторые из них обладают непосредственно аналитическими свойствами:

- Ряд Эйзенштейна (который является прототипом модулярной формы ) над некоторыми расширениями полей как абелевы группы .

- Конкретные обобщения L-функций Дирихле как теоретико-полевых объектов класса.

- Вообще любой гармонический аналитический объект как функтор над группами Галуа , который инвариантен относительно своей идеальной группы классов (или идели ).

В качестве общего принципа автоморфные формы можно рассматривать как аналитические функции на абстрактных структурах , которые инвариантны относительно обобщенного аналога их простого идеала (или абстрактного неприводимого фундаментального представления ). Как уже упоминалось, автоморфные функции можно рассматривать как обобщения модулярных форм (как, следовательно, эллиптические кривые ), построенные с помощью некоторого аналога дзета-функции на автоморфной структуре. В простейшем смысле автоморфные формы — это модулярные формы, определенные на общих группах Ли ; из-за их свойств симметрии. Следовательно, проще говоря, это общая функция, которая анализирует инвариантность структуры относительно ее первичной «морфологии» .

История

До того, как была предложена эта очень общая установка (около 1960 г.), уже имело место существенное развитие автоморфных форм, отличных от модульных форм. Случай Γ как фуксовой группы привлекал внимание еще до 1900 г. (см. ниже). Модульные формы Гильберта (также называемые формами Гильберта-Блюменталя) были предложены вскоре после этого, хотя полная теория появилась еще долго. Модулярные формы Зигеля , для которых G — симплектическая группа , естественным образом возникли при рассмотрении пространств модулей и тэта-функций . Послевоенный интерес к нескольким комплексным переменным сделал естественным развитие идеи автоморфной формы в тех случаях, когда формы действительно являются комплексно-аналитическими. Большая работа была проделана, в частности Ильей Пятецким-Шапиро , примерно в 1960 году по созданию такой теории. Теория формулы следов Сельберга , примененная другими, показала значительную глубину теории. Роберт Ленглендс показал, как (вообще говоря, известно много частных случаев) теорема Римана – Роха может применяться для расчета размеров автоморфных форм; это своего рода апостериорная проверка обоснованности идеи. Он также создал общую теорию рядов Эйзенштейна , которая соответствует тому, что в терминах спектральной теории было бы «непрерывным спектром» для этой проблемы, оставив форму возврата для исследования или дискретную часть. С точки зрения теории чисел, формы возврата были признаны, начиная со Шринивасы Рамануджана , сутью вопроса.

Автоморфные представления

Последующее понятие «автоморфного представления» оказалось очень ценным с технической точки зрения при работе с G, алгебраической группой , рассматриваемой как адельная алгебраическая группа . Он не полностью включает идею автоморфной формы, представленную выше, поскольку адельный подход - это способ работы со всем семейством конгруэнтных подгрупп одновременной . Внутри буквы L ² В пространстве для фактора адельной формы группы G автоморфное представление — это представление, которое представляет собой бесконечное тензорное произведение представлений p-адических групп со специфическими представлениями обертывающей алгебры для бесконечного простого числа (s). Один из способов выразить смещение акцентов состоит в том, что операторы Гекке здесь фактически поставлены на тот же уровень, что и операторы Казимира; что естественно с точки зрения функционального анализа ^{[ нужна ссылка ]}, хотя и не столь очевидно для теории чисел. Именно эта концепция лежит в основе формулировки философии Ленглендса .

Пуанкаре об открытии и его работе над автоморфными функциями

Одним из первых открытий Пуанкаре в математике, сделанным в 1880-х годах, были автоморфные формы. Он назвал их фуксовыми функциями в честь математика Лазаря Фукса , потому что Фукс был известен как хороший учитель и исследовал дифференциальные уравнения и теорию функций. Пуанкаре фактически разработал концепцию этих функций в рамках своей докторской диссертации. По определению Пуанкаре автоморфная функция — это функция, аналитическая в своей области определения и инвариантная относительно дискретной бесконечной группы дробно-линейных преобразований. Автоморфные функции затем обобщают как тригонометрические , так и эллиптические функции .

Пуанкаре объясняет, как он открыл фуксовы функции:

Пятнадцать дней я пытался доказать, что не может быть никаких функций, подобных тем, которые я с тех пор назвал фуксовыми функциями. Я был тогда очень невежественен; Каждый день я садился за рабочий стол, оставался там час или два, пробовал множество комбинаций и не достигал никаких результатов. Однажды вечером, вопреки своему обыкновению, я выпил черный кофе и не мог заснуть. Идеи рождались толпами; Я чувствовал, как они сталкиваются, пока пары, так сказать, не сцепились, образуя устойчивую комбинацию. На следующее утро я установил существование класса фуксовых функций, происходящих из гипергеометрического ряда ; Мне оставалось только записать результаты, что заняло всего несколько часов.

См. также

Автоморфный фактор
Автоморфная функция
Форма острия Мааса
Автоморфные формы на GL(2) , книга Х. Жаке и Роберта Ленглендса
Форма Якоби

Примечания

^ Фридберг, Соломон. «Автоморфные формы: краткое введение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 июня 2013 года . Проверено 10 февраля 2014 г.

Ссылки

А. Н. Паршин (2001) [1994], «Автоморфная форма» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Генрик Иванец , Спектральные методы автоморфных форм, второе издание , (2002) (том 53 в аспирантуре по математике ), Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд ISBN 0-8218-3160-7
Дэниел Бамп , «Автоморфные формы и представления», 1998, издательство Кембриджского университета.

Стивен Гелбарт (1975), «Автоморфные формы на группах Адели», ISBN 9780608066042
В эту статью включены материалы Жюля Анри Пуанкаре из PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Внешние ссылки

Цитаты, связанные с автоморфной формой, в Wikiquote
СМИ, связанные с автоморфными формами, на Викискладе?

[Freidberg2013-1] Фридберг, Соломон. «Автоморфные формы: краткое введение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 июня 2013 года . Проверено 10 февраля 2014 г.

[1]

Базы данных авторитетного контроля
Международный	БЫСТРЫЙ
Национальный	Франция Данные БНФ Германия Израиль Соединенные Штаты
Другой	ИдРеф