Теорема Вика

Формулу, выражающую высшие моменты гауссовского распределения через вторые моменты, см. в теореме Иссерлиса .

Теорема Вика — это метод сведения высокого порядка производных к задаче комбинаторики . Он назван в честь итальянского физика Джан-Карло Вика . Он широко используется в квантовой теории поля для сведения произвольных произведений операторов рождения и уничтожения к суммам произведений пар этих операторов. Это позволяет использовать методы функций Грина , а следовательно, и диаграммы Фейнмана в исследуемой области. Более общей идеей теории вероятностей является теорема Иссерлиса .

В пертурбативной квантовой теории поля теорема Вика используется для быстрого переписания каждого упорядоченного слагаемого в ряду Дайсона как суммы нормально упорядоченных членов. В пределе асимптотически свободных входящих и исходящих состояний эти члены соответствуют диаграммам Фейнмана .

Определение сокращения

Для двух операторов ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ мы определяем их сокращение как

${\hat {A}}^{\bullet }\,{\hat {B}}^{\bullet }\equiv {\hat {A}}\,{\hat {B}}\,-{\mathopen {:}}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}}$

где ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ обозначает нормальный порядок оператора ${\hat {O}}$. Альтернативно, сокращения можно обозначить линией, соединяющей ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$, нравиться ${\overset {\sqcap }{{\hat {A}}{\hat {B}}}}$.

Мы подробно рассмотрим четыре особых случая, когда ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ равны операторам создания и уничтожения. Для $N$ частиц мы будем обозначать операторы создания ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$ и операторы уничтожения ${\hat {a}}_{i}$ $(i=1,2,3,\ldots ,N)$.Они удовлетворяют коммутационным соотношениям для бозонных операторов $[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}$, или антикоммутационные соотношения для фермионных операторов $\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\}=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}$ где $\delta _{ij}$ обозначает дельту Кронекера и ${\hat {\mathbf {1} }}$ обозначает тождественный оператор.

Тогда у нас есть

${\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0$

${\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=0$

${\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0$

${\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}$

где $i,j=1,\ldots ,N$.

Эти соотношения справедливы для бозонных операторов или фермионных операторов из-за способа определения нормального порядка.

Примеры

Мы можем использовать сокращения и нормальный порядок, чтобы выразить любой продукт операторов создания и уничтожения как сумму нормальных упорядоченных членов. Это основа теоремы Вика. Прежде чем сформулировать теорему полностью, рассмотрим несколько примеров.

Предполагать ${\hat {a}}_{i}$ и ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$ являются бозонными операторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям :

$\left[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=0$

$\left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right]=0$

$\left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij}{\hat {\mathbf {1} }}$

где $i,j=1,\ldots ,N$, $\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$ обозначает коммутатор , а $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера.

Мы можем использовать эти соотношения и приведенное выше определение сокращения, чтобы выразить продукты ${\hat {a}}_{i}$ и ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$ другими способами.

Пример 1

${\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }=\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }$

Обратите внимание, что мы не изменились ${\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }$ а просто повторно выразил это в другой форме, как $\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }$

Пример 2

${\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}=({\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}){\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }{\hat {a}}_{k}=\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}\,{\mathclose {:}}+{\mathclose {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}{\mathclose {:}}$

Пример 3

${\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }=({\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij})({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl})$

$={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}$

$={\hat {a}}_{j}^{\dagger }({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{il}){\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}$

$={\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{k}+\delta _{il}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}$

$=\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet \bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet \bullet }{\mathclose {:}}$

В последней строке мы использовали разное количество $^{\bullet }$ символы, обозначающие различные сокращения. Путем многократного применения коммутационных соотношений требуется много усилий, чтобы выразить ${\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }$ в виде суммы обычно заказываемых товаров. Для более сложных продуктов расчет еще более длительный.

К счастью, теорема Вика дает кратчайший путь.

Формулировка теоремы

Продукт операторов создания и уничтожения ${\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$ может быть выражено как

${\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots &={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\sum _{\text{singles}}{\mathopen {:}}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\sum _{\text{doubles}}{\mathopen {:}}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet \bullet }{\hat {C}}^{\bullet \bullet }{\hat {D}}^{\bullet }{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\ldots \end{aligned}}$

Другими словами, строку операторов создания и уничтожения можно переписать как нормально упорядоченное произведение строки плюс нормально упорядоченное произведение после всех одиночных сокращений среди пар операторов, плюс все двойные сокращения и т. д., плюс все полные сокращения. .

Применение теоремы к приведенным выше примерам обеспечивает гораздо более быстрый способ получения окончательных выражений.

Предупреждение : в терминах в правой части, содержащих множественные сокращения, необходимо соблюдать осторожность, когда операторы являются фермионными. В этом случае необходимо ввести соответствующий знак минус согласно следующему правилу: переставить операторы (вводя знаки минус всякий раз, когда меняется порядок двух фермионных операторов), чтобы обеспечить соседство сжимаемых членов в строке. Затем можно применить сокращение (см. «Правило C» в статье Вика).

Пример:

Если у нас есть два фермиона ( $N=2$) с операторами создания и уничтожения ${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$ и ${\hat {f}}_{i}$ ( $i=1,2$) затем

${\begin{aligned}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,={}&\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\[5pt]&-\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}-{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\[5pt]&-{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,+{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\end{aligned}}$

Обратите внимание, что член со сокращениями двух операторов рождения и двух операторов уничтожения не включен, поскольку их сокращения исчезают.

Доказательство

Мы используем индукцию для доказательства теоремы для операторов рождения и уничтожения бозонов. $N=2$ базовый случай тривиален, поскольку существует только одно возможное сокращение:

${\hat {A}}{\hat {B}}={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\mathclose {:}}+({\hat {A}}\,{\hat {B}}\,-{\mathopen {:}}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}})={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\mathclose {:}}+{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }$

В общем, единственные ненулевые сокращения происходят между оператором уничтожения слева и оператором создания справа. Предположим, что теорема Вика верна для $N-1$ операторы ${\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$и рассмотрим эффект от добавления N -го оператора ${\hat {A}}$ слева от ${\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$ формировать ${\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$. По теореме Вика, примененной к $N-1$ операторы, имеем:

${\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots &={\hat {A}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\sum _{\text{singles}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}^{\bullet }{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\sum _{\text{doubles}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}^{\bullet \bullet }{\hat {D}}^{\bullet \bullet }{\hat {E}}^{\bullet }{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +{\hat {A}}\ldots \end{aligned}}$

${\hat {A}}$ является либо оператором создания, либо оператором уничтожения. Если ${\hat {A}}$ является оператором создания всех вышеперечисленных продуктов, таких как ${\hat {A}}{\mathopen {:}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}$, уже нормально упорядочены и не требуют дальнейших манипуляций. Потому что ${\hat {A}}$ находится слева от всех операторов уничтожения в ${\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$, любое сокращение, связанное с ним, будет равно нулю. Таким образом, мы можем добавить все сокращения, включающие ${\hat {A}}$ к суммам без изменения их стоимости. Следовательно, если ${\hat {A}}$ является оператором рождения, теорема Вика справедлива для ${\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$.

Теперь предположим, что ${\hat {A}}$ является оператором уничтожения. Переместить ${\hat {A}}$ с левой стороны на правую часть всехпродукты, мы неоднократно обмениваемся ${\hat {A}}$ с оператором непосредственно справа от него (назовем его ${\hat {X}}$), каждый раз применяя ${\hat {A}}{\hat {X}}={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {X}}{\mathclose {:}}+{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {X}}^{\bullet }$ для учета некоммутативности. Как только мы это сделаем, все термины будут упорядочены нормально. Все члены добавляются к суммам путем нажатия ${\hat {A}}$ через продукты соответствуют дополнительным сокращениям с участием ${\hat {A}}$. Следовательно, если ${\hat {A}}$ является оператором уничтожения, теорема Вика справедлива для ${\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots$.

Мы доказали базовый случай и шаг индукции, значит, теорема верна. Введя соответствующие знаки минус, доказательство можно распространить на фермионные операторы рождения и уничтожения. Теорема в применении к полям доказывается по существу таким же образом.

Теорема Вика в применении к полям

Корреляционная функция, возникающая в квантовой теории поля, может быть выражена сокращением операторов поля:

${\mathcal {C}}(x_{1},x_{2})=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})\mid 0\right\rangle =\langle 0\mid {\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}\mid 0\rangle =i\Delta _{F}(x_{1}-x_{2})=i\int {{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ik(x_{1}-x_{2})}}{(k^{2}-m^{2})+i\epsilon }}},$

где оператор ${\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}$ - это количество, которое не уничтожает состояние вакуума $|0\rangle$. Это означает, что ${\overline {AB}}={\mathcal {T}}AB-{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}AB{\mathclose {:}}$. Это означает, что ${\overline {AB}}$ это сокращение закончилось ${\mathcal {T}}AB$. Обратите внимание, что сжатие упорядоченной по времени строки двух полевых операторов представляет собой C-число .

В итоге приходим к теореме Вика:

T-произведение упорядоченной по времени строки свободных полей можно выразить следующим образом:

${\mathcal {T}}\prod _{k=1}^{m}\phi (x_{k})={\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod \phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\sum _{\alpha ,\beta }{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod _{k\not =\alpha ,\beta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+{}$

${\mathcal {}}+\sum _{(\alpha ,\beta ),(\gamma ,\delta )}{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}\;{\overline {\phi (x_{\gamma })\phi (x_{\delta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\prod _{k\not =\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\cdots .$

Применяя эту теорему к элементам S-матрицы , мы обнаруживаем, что члены нормального порядка, действующие на вакуумное состояние, дают нулевой вклад в сумму. Приходим к выводу, что m четно и остаются только полностью сжатые члены.

$F_{m}^{i}(x)=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})\mid 0\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairs} }{\overline {\phi (x_{1})\phi (x_{2})}}\cdots {\overline {\phi (x_{m-1})\phi (x_{m}}})$

$G_{p}^{(n)}=\left\langle 0\mid {\mathcal {T}}{\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}\dots {\mathopen {:}}v_{i}(y_{n}){\mathclose {:}}\phi _{i}(x_{1})\cdots \phi _{i}(x_{p})\mid 0\right\rangle$

где p — количество полей взаимодействия (или, что то же самое, количество взаимодействующих частиц), а n — порядок развития (или количество вершин взаимодействия). Например, если $v=gy^{4}\Rightarrow {\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}={\mathopen {:}}\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1}){\mathclose {:}}$

Это аналогично соответствующей теореме Иссерлиса в статистике для моментов гауссовского распределения .

Обратите внимание, что это обсуждение ведется с точки зрения обычного определения нормального порядка, которое подходит для вакуумных математических ожиданий (VEV) полей. (Теорема Вика позволяет выразить VEV ​​n полей через VEV двух полей. ) Возможны любые другие определения нормального порядка, и теорема Вика справедлива независимо от них. Однако теорема Вика упрощает вычисления только в том случае, если используемое определение нормального порядка изменяется, чтобы соответствовать типу желаемого ожидаемого значения. То есть мы всегда хотим, чтобы математическое ожидание нормального заказанного продукта было равно нулю. Например в В теории теплового поля другой тип среднего значения, тепловой след по матрице плотности, требует другого определения нормального порядка .

См. также

• Теорема Иссерлиса

Дальнейшее чтение

• Пескин, Мэн ; Шредер, Д.В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Книги Персея. (§4.3)
• Швебер, Сильван С. (1962). Введение в релятивистскую квантовую теорию поля . Нью-Йорк: Харпер и Роу. (глава 13, раздел в)