Теорема Фаррелла – Маркушевича

В математике теорема Фаррелла –Маркушевича , независимо доказанная О.Дж. Фарреллом (1899–1981). ^{[ 1 ]} и А. И. Маркушевича (1908–1979) в 1934 году, представляет собой результат, касающийся аппроксимации в среднем квадрате голоморфных функций на ограниченном открытом множестве в комплексной плоскости комплексными многочленами. Он утверждает, что комплексные многочлены образуют плотное подпространство пространства Бергмана области, ограниченной простой замкнутой жордановой кривой . Процесс Грама – Шмидта можно использовать для построения ортонормированного базиса в пространстве Бергмана и, следовательно, явной формы ядра Бергмана , что, в свою очередь, дает явную функцию отображения Римана для области.

Доказательство

Пусть Ω — ограниченная жорданова область, и пусть Ωn _— ограниченная жорданова область, сходящаяся к Ω, причем Ωn _{содержит} замыкание Ωn _{+ 1} . теореме Римана об отображении существует конформное отображение fn _Ωn на Ω, нормализованное так , _По чтобы зафиксировать данную точку в Ω с положительной производной там. По ядре fn _{теореме Каратеодори о} ( z ) сходится равномерно на компактах в Ω к z . ^{[ 2 ]} Фактически из теоремы Каратеодори следует, что обратные отображения равномерно на компактах стремятся к z . Для данной подпоследовательности f _n существует подпоследовательность, сходящаяся на компактах в Ω. Поскольку обратные функции сходятся к z , то подпоследовательность сходится к z на компактах. Следовательно, сходится _fn к z на компактах в Ω.

Как следствие, производная f _n стремится к 1 равномерно на компактах.

Пусть g — интегрируемая с квадратом голоморфная функция на Ω, т. е. элемент пространства Бергмана A ²(Ом). Определим g _n на Ω _n как g _n ( z ) = g ( f _n ( z )) f _n '( z ). Путем замены переменной

\displaystyle {\|g_{n}\|_{\Omega _{n}}^{2}=\|g\|_{\Omega }^{2}.}

Пусть h _{n —} ограничение g _n на Ω. Тогда норма h _n меньше, чем норма g _n . Таким образом, эти нормы равномерно ограничены. Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно поэтому считать, что имеет _hn слабый предел в A ²(Ом). другой стороны, hn _С стремится равномерно на компактах к г. Поскольку оценочные карты являются непрерывными линейными функциями на A ²(Ω), g — слабый предел h _n . С другой стороны, по hn теореме лежит _A в замкнутом подпространстве K пространства Рунге ²(Ω), порожденный комплексными полиномами. Следовательно, g лежит в слабом замыкании K , которое есть K. и ^{[ 3 ]}

См. также

Теорема Мергеляна

Примечания

^ Орин Дж. Фаррелл получил докторскую степень (под руководством Дж. Л. Уолша ) в Гарвардском университете в 1930 году и провел свою карьеру с 1931 года в Юнион-колледже с отпуском с января 1949 по май 1949 года в Институте перспективных исследований . См. Орина Дж. Фаррелла в проекте «Математическая генеалогия» ; Бик, Теодор А. (1993). «История математического факультета» . Юнион Колледж . ; «Орин Дж. Фаррелл» . Институт перспективных исследований . 9 декабря 2019 г.
^
См.:
- Конвей 2000 , стр. 150–151.
- Маркушевич 1967 , стр. 31–35.
^ Конвей 2000 , стр. 151–152.

Ссылки

Фаррелл, О.Дж. (1934), «О приближении аналитической функции полиномами», Bull. амер. Математика. Соц. , 40 (12): 908–914, doi : 10.1090/s0002-9904-1934-06002-6
Маркушевич А.И. (1967), Теория функций комплексной переменной. Том. III , Прентис-Холл
Конвей, Джон Б. (2000), Курс теории операторов , Аспирантура по математике , том. 21, Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-2065-6

[1] Орин Дж. Фаррелл получил докторскую степень (под руководством Дж. Л. Уолша ) в Гарвардском университете в 1930 году и провел свою карьеру с 1931 года в Юнион-колледже с отпуском с января 1949 по май 1949 года в Институте перспективных исследований . См. Орина Дж. Фаррелла в проекте «Математическая генеалогия» ; Бик, Теодор А. (1993). «История математического факультета» . Юнион Колледж . ; «Орин Дж. Фаррелл» . Институт перспективных исследований . 9 декабря 2019 г.

[2] См.:
Конвей 2000 , стр. 150–151.

Маркушевич 1967 , стр. 31–35.

[3] Конвей 2000 , стр. 150–151.

[4] Маркушевич 1967 , стр. 31–35.

[3] Конвей 2000 , стр. 151–152.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]