Jump to content

Теорема Фаррелла – Маркушевича

В математике теорема Фаррелла –Маркушевича , независимо доказанная О.Дж. Фарреллом (1899–1981). [ 1 ] и А. И. Маркушевича (1908–1979) в 1934 году, представляет собой результат, касающийся аппроксимации в среднем квадрате голоморфных функций на ограниченном открытом множестве в комплексной плоскости комплексными многочленами. Он утверждает, что комплексные многочлены образуют плотное подпространство пространства Бергмана области, ограниченной простой замкнутой жордановой кривой . Процесс Грама – Шмидта можно использовать для построения ортонормированного базиса в пространстве Бергмана и, следовательно, явной формы ядра Бергмана , что, в свою очередь, дает явную функцию отображения Римана для области.

Доказательство

[ редактировать ]

Пусть Ω — ограниченная жорданова область, и пусть Ωn ограниченная жорданова область, сходящаяся к Ω, причем Ωn содержит замыкание Ωn + 1 . теореме Римана об отображении существует конформное отображение fn Ωn на Ω, нормализованное так , По чтобы зафиксировать данную точку в Ω с положительной производной там. По ядре fn теореме Каратеодори о ( z ) сходится равномерно на компактах в Ω к z . [ 2 ] Фактически из теоремы Каратеодори следует, что обратные отображения равномерно на компактах стремятся к z . Для данной подпоследовательности f n существует подпоследовательность, сходящаяся на компактах в Ω. Поскольку обратные функции сходятся к z , то подпоследовательность сходится к z на компактах. Следовательно, сходится fn к z на компактах в Ω.

Как следствие, производная f n стремится к 1 равномерно на компактах.

Пусть g — интегрируемая с квадратом голоморфная функция на Ω, т. е. элемент пространства Бергмана A 2 (Ом). Определим g n на Ω n как g n ( z ) = g ( f n ( z )) f n '( z ). Путем замены переменной

Пусть h n — ограничение g n на Ω. Тогда норма h n меньше, чем норма g n . Таким образом, эти нормы равномерно ограничены. Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно поэтому считать, что имеет hn слабый предел в A 2 (Ом). другой стороны, hn С стремится равномерно на компактах к г. ​Поскольку оценочные карты являются непрерывными линейными функциями на A 2 (Ω), g — слабый предел h n . С другой стороны, по hn теореме лежит A в замкнутом подпространстве K пространства Рунге 2 (Ω), порожденный комплексными полиномами. Следовательно, g лежит в слабом замыкании K , которое есть K. и [ 3 ]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Орин Дж. Фаррелл получил докторскую степень (под руководством Дж. Л. Уолша ) в Гарвардском университете в 1930 году и провел свою карьеру с 1931 года в Юнион-колледже с отпуском с января 1949 по май 1949 года в Институте перспективных исследований . См. Орина Дж. Фаррелла в проекте «Математическая генеалогия» ; Бик, Теодор А. (1993). «История математического факультета» . Юнион Колледж . ; «Орин Дж. Фаррелл» . Институт перспективных исследований . 9 декабря 2019 г.
  2. ^ См.:
  3. ^ Конвей 2000 , стр. 151–152.
  • Фаррелл, О.Дж. (1934), «О приближении аналитической функции полиномами», Bull. амер. Математика. Соц. , 40 (12): 908–914, doi : 10.1090/s0002-9904-1934-06002-6
  • Маркушевич А.И. (1967), Теория функций комплексной переменной. Том. III , Прентис-Холл
  • Конвей, Джон Б. (2000), Курс теории операторов , Аспирантура по математике , том. 21, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-2065-6
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f5d3ed40cd66c52f2c676e5b25a8e51a__1709345640
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f5/1a/f5d3ed40cd66c52f2c676e5b25a8e51a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Farrell–Markushevich theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)