Теорема Фаррелла – Маркушевича
![]() | Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . ( февраль 2024 г. ) |
В математике теорема Фаррелла –Маркушевича , независимо доказанная О.Дж. Фарреллом (1899–1981). [ 1 ] и А. И. Маркушевича (1908–1979) в 1934 году, представляет собой результат, касающийся аппроксимации в среднем квадрате голоморфных функций на ограниченном открытом множестве в комплексной плоскости комплексными многочленами. Он утверждает, что комплексные многочлены образуют плотное подпространство пространства Бергмана области, ограниченной простой замкнутой жордановой кривой . Процесс Грама – Шмидта можно использовать для построения ортонормированного базиса в пространстве Бергмана и, следовательно, явной формы ядра Бергмана , что, в свою очередь, дает явную функцию отображения Римана для области.
Доказательство
[ редактировать ]Пусть Ω — ограниченная жорданова область, и пусть Ωn — ограниченная жорданова область, сходящаяся к Ω, причем Ωn содержит замыкание Ωn + 1 . теореме Римана об отображении существует конформное отображение fn Ωn на Ω, нормализованное так , По чтобы зафиксировать данную точку в Ω с положительной производной там. По ядре fn теореме Каратеодори о ( z ) сходится равномерно на компактах в Ω к z . [ 2 ] Фактически из теоремы Каратеодори следует, что обратные отображения равномерно на компактах стремятся к z . Для данной подпоследовательности f n существует подпоследовательность, сходящаяся на компактах в Ω. Поскольку обратные функции сходятся к z , то подпоследовательность сходится к z на компактах. Следовательно, сходится fn к z на компактах в Ω.
Как следствие, производная f n стремится к 1 равномерно на компактах.
Пусть g — интегрируемая с квадратом голоморфная функция на Ω, т. е. элемент пространства Бергмана A 2 (Ом). Определим g n на Ω n как g n ( z ) = g ( f n ( z )) f n '( z ). Путем замены переменной
Пусть h n — ограничение g n на Ω. Тогда норма h n меньше, чем норма g n . Таким образом, эти нормы равномерно ограничены. Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно поэтому считать, что имеет hn слабый предел в A 2 (Ом). другой стороны, hn С стремится равномерно на компактах к г. Поскольку оценочные карты являются непрерывными линейными функциями на A 2 (Ω), g — слабый предел h n . С другой стороны, по hn теореме лежит A в замкнутом подпространстве K пространства Рунге 2 (Ω), порожденный комплексными полиномами. Следовательно, g лежит в слабом замыкании K , которое есть K. и [ 3 ]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Орин Дж. Фаррелл получил докторскую степень (под руководством Дж. Л. Уолша ) в Гарвардском университете в 1930 году и провел свою карьеру с 1931 года в Юнион-колледже с отпуском с января 1949 по май 1949 года в Институте перспективных исследований . См. Орина Дж. Фаррелла в проекте «Математическая генеалогия» ; Бик, Теодор А. (1993). «История математического факультета» . Юнион Колледж . ; «Орин Дж. Фаррелл» . Институт перспективных исследований . 9 декабря 2019 г.
- ^ См.:
- Конвей 2000 , стр. 150–151.
- Маркушевич 1967 , стр. 31–35.
- ^ Конвей 2000 , стр. 151–152.
Ссылки
[ редактировать ]- Фаррелл, О.Дж. (1934), «О приближении аналитической функции полиномами», Bull. амер. Математика. Соц. , 40 (12): 908–914, doi : 10.1090/s0002-9904-1934-06002-6
- Маркушевич А.И. (1967), Теория функций комплексной переменной. Том. III , Прентис-Холл
- Конвей, Джон Б. (2000), Курс теории операторов , Аспирантура по математике , том. 21, Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-2065-6