Группа Фробениуса

В математике группа Фробениуса — это транзитивная группа подстановок на конечном множестве , такая, что ни один нетривиальный элементфиксирует более одной точки, и какой-то нетривиальный элемент фиксирует точку. Они названы в честь Ф. Г. Фробениуса .

Структура

Предположим, G состоящая из перестановок множества X. — группа Фробениуса , Подгруппа , H группы G фиксирующая точку X, называется дополнением Фробениуса . Единичный элемент вместе со всеми элементами, не входящими ни в один сопряженный с H, образует нормальную подгруппу, ядром Фробениуса K. называемую (Это теорема Фробениуса (1901) ; до сих пор не существует доказательства этой теоремы, не использующего теорию характеров , хотя см. ^[1].) Группа Фробениуса G является полупрямым произведением K и H :

G=K\rtimes H

.

И ядро Фробениуса, и дополнение Фробениуса имеют очень ограниченную структуру. Дж. Томпсон ( 1960 ) доказал, что ядро Фробениуса K является нильпотентной группой . Если H имеет четный порядок, то K абелева. Дополнение Фробениуса H обладает тем свойством, что каждая подгруппа, порядок которой является произведением двух простых чисел, является циклической; это означает, что ее силовские подгруппы являются циклическими или кватернионов обобщенными группами . Любая группа, в которой все силовские подгруппы циклические, называется Z-группой и, в частности, должна быть метациклической группой : это означает, что она является расширением двух циклических групп. Если дополнение Фробениуса H неразрешимо, то Цассенхауз показал, что оноимеет нормальную подгруппу индекса 1 или 2, которая является произведением SL(2,5) и метациклической группы порядка, взаимно простого с 30. В частности, если дополнение Фробениуса совпадает со своей производной подгруппой, то оно изоморфно SL( 2,5). Если дополнение Фробениуса H разрешимо, то оно имеет нормальную метациклическую подгруппу такую, что фактор является подгруппой симметрической группы в 4 точках. Конечная группа является дополнением Фробениуса тогда и только тогда, когда она имеет точное конечномерное представление над конечным полем, в котором нетождественные элементы группы соответствуют линейным преобразованиям без ненулевых неподвижных точек.

Ядро Фробениуса K однозначно определяется группой G , поскольку оно является подгруппой Фиттинга , а дополнение Фробениуса однозначно определяется с точностью до сопряженности по теореме Шура-Цассенхауза . В частности, конечная группа G является группой Фробениуса не более чем в одном смысле.

Примеры

Самый маленький пример — симметричная группа по 3 точкам, состоящая из 6 элементов. Ядро Фробениуса K имеет порядок 3, а дополнение H имеет порядок 2.
Для всякого конечного поля F _q с q (>2) элементами группа обратимых аффинных преобразований $x\mapsto ax+b$ , $a\neq 0$ естественно действующая на F _q, является группой Фробениуса. Предыдущий пример соответствует случаю F ₃ , поле с тремя элементами.
Другой пример представляет собой подгруппа порядка 21 группы коллинеации плоскости Фано , порожденная 3-кратной симметрией σ, фиксирующей точку, и циклической перестановкой τ всех 7 точек, удовлетворяющей στ = τ. ²σ. Определение F ₈^× с плоскостью Фано, σ можно считать ограничением автоморфизма Фробениуса σ( x ) = x ² F и τ должно быть умножением на ₈ любой элемент, отличный от 0 или 1 (т.е. генератор циклической мультипликативной группы F 8 ₎ . Эта группа Фробениуса действует просто транзитивно на 21 флаге плоскости Фано, т. е. прямых с отмеченными точками.
Группа диэдра порядка 2 n с нечетным n является группой Фробениуса с дополнением порядка 2. В более общем смысле, если K — любая абелева группа нечетного порядка, а H имеет порядок 2 и действует на K путем инверсии, то полупрямое произведение K.H — это Группа Фробениуса.
Многие дополнительные примеры можно получить с помощью следующих конструкций. Если мы заменим дополнение Фробениуса группы Фробениуса нетривиальной подгруппой, мы получим другую группу Фробениуса. Если у нас есть две группы Фробениуса K ₁ . Н и К ₂ . Ч тогда ( К ₁ × К ₂ ). H также является группой Фробениуса.
Если K — неабелева группа порядка 7 ³ с показателем 7, а H — циклическая группа порядка 3, то существует группа Фробениуса G , которая является расширением KH группы H с помощью K . Это дает пример группы Фробениуса с неабелевым ядром. Это был первый пример группы Фробениуса с неабелевым ядром (ее построил Отто Шмидт).
Если H — группа SL ₂ ( F ₅ ) порядка 120, она свободно действует неподвижной точкой в двумерном векторном пространстве K над полем с 11 элементами. Расширение KH — наименьший пример неразрешимой группы Фробениуса.
Подгруппа группы Цассенхауза, фиксирующая точку, является группой Фробениуса.
Группы Фробениуса, подгруппа Фиттинга которых имеет сколь угодно большой класс нильпотентности, были построены Ито: пусть q — степень простого числа, d — положительное целое число, а p — простой делитель q −1, где d ≤ p . Зафиксируем некоторое поле F порядка q и некоторый элемент z этого поля порядка p . Дополнение Фробениуса H — это циклическая подгруппа, порожденная диагональной матрицей, i,i'- я запись которой равна z ^я. Ядро Фробениуса K — это силовская q -подгруппа группы GL( d , q ), состоящая из верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали. Ядро K имеет класс нильпотентности d −1, а полупрямое произведение KH является группой Фробениуса.

Теория представлений

Неприводимые комплексные представления группы Фробениуса G можно прочитать по представлениям H и K. групп Существует два типа неприводимых G представлений :

Любое неприводимое представление R группы H дает неприводимое представление G с использованием фактор-отображения из G в H . Они дают неприводимые представления группы G с K в ядре.
Если S — любое нетривиальное неприводимое представление группы K , то соответствующее индуцированное представление группы G также неприводимо. Они дают неприводимые представления группы G, в которых K отсутствует в их ядре.

Альтернативные определения

Существует ряд теоретико-групповых свойств, которые интересны сами по себе, но которые оказываются эквивалентными тому, что группа обладает представлением перестановок, которое делает ее группой Фробениуса.

G является группой Фробениуса тогда и только тогда, когда G имеет собственную неединичную подгруппу H такую, что H ∩ H ^г является единичной подгруппой для каждого g ∈ G − H , т. е. является мальнормальной подгруппой группы G. H

Это определение затем обобщается на исследование тривиальных множеств пересечений, что позволило результаты о группах Фробениуса, используемые при классификации групп CA, распространить на результаты о группах CN и, наконец, на теорему о нечетном порядке .

Предполагая, что $G=K\rtimes H$ является полупрямым произведением нормальной подгруппы K и дополнения H , то следующие ограничения на централизаторы эквивалентны тому, что G является группой Фробениуса с дополнением Фробениуса H :

Централизатор ) является C _G ( k подгруппой группы K для любой k из K. неединицы
C _H ( k ) знак равно 1 для каждой неединицы k в K .
C _G ( h ) ≤ H для каждой неединицы h в H.

Ссылки

^ Теренс Тао о теореме Фробениуса

Фробениус, Г. (1901), «О разрешимых группах. IV.», Берл. Бер. (на немецком языке): 1216–1230, номер документа : 10.3931/e-rara-18836 , JFM 32.0137.01.
Б. Юпперт, Конечные группы I , Springer, 1967.
И. М. Айзекс, Теория характеров конечных групп , AMS Chelsea, 1976 г.
Д.С. Пассман, Группы перестановок , Бенджамин, 1968 г.
Томпсон, Джон Г. (1960), «Нормальные p-дополнения для конечных групп», Mathematical Journal , 72 : 332–354, doi : 10.1007/BF01162958 , ISSN 0025-5874 , MR 0117289

[1] Теренс Тао о теореме Фробениуса

[1]