Интуиционизм

Эта статья об интуиционизме в математике и философской логике. Чтобы узнать о термине в моральной эпистемологии, см. Этический интуиционизм .

В философии математики интуиционизм неоинтуиционизм или . (в отличие от преинтуиционизма ) — это подход, при котором математика считается чисто результатом конструктивной умственной деятельности людей, а не открытием фундаментальных принципов, которые, как утверждается, существуют в объективной реальности То есть логика и математика не считаются аналитической деятельностью, в которой раскрываются и применяются глубокие свойства объективной реальности, а рассматриваются как применение внутренне непротиворечивых методов, используемых для реализации более сложных мыслительных конструкций, независимо от их возможного независимого существования в объективной реальности. .

Правда и доказательство

Фундаментальной отличительной характеристикой интуиционизма является его интерпретация того, что означает истинность математического утверждения. В оригинальном интуиционизме Брауэра истинность математического утверждения является субъективным утверждением: математическое утверждение соответствует мысленной конструкции, и математик может утверждать истинность утверждения, только проверив истинность этой конструкции с помощью интуиции . Неясность интуиционистского понятия истины часто приводит к неверным толкованиям ее значения. Клини формально определил интуиционистскую истину с реалистической позиции, однако Брауэр, вероятно, отверг бы эту формализацию как бессмысленную, учитывая его отказ от реалистической/платонистской позиции. Таким образом, интуиционистская истина остается несколько нечеткой. Однако, поскольку интуиционистское понятие истины является более ограничительным, чем понятие истины классической математики, интуиционист должен отвергнуть некоторые предположения классической логики, чтобы гарантировать, что все, что они доказывают, на самом деле является интуиционистски истинным. Это приводит к интуиционистская логика .

Для интуициониста утверждение о существовании объекта с определенными свойствами — это утверждение о том, что объект с этими свойствами может быть создан. Любой математический объект считается продуктом конструкции разума , и, следовательно, существование объекта эквивалентно возможности его построения. Это контрастирует с классическим подходом, который утверждает, что существование объекта можно доказать, опровергнув его несуществование. Для интуициониста это неверно; опровержение несуществования не означает, что можно найти конструкцию предполагаемого объекта, как это требуется для утверждения его существования. По существу, интуиционизм является разновидностью математического конструктивизма ; но это не единственный вид.

Интерпретация отрицания в интуиционистской логике иная, чем в классической логике. В классической логике отрицание утверждения утверждает, что это утверждение ложно ; для интуициониста это означает, что утверждение опровержимо . Таким образом, существует асимметрия между позитивными и негативными утверждениями в интуиционизме. Если утверждение P доказуемо, то P заведомо не может быть опровержимым. Но даже если можно показать, что невозможно опровергнуть, это не является доказательством P. P Таким образом, P является более сильным утверждением, чем not-not-P .

Аналогично, утверждать, что А или В верны, для интуициониста значит утверждать, что либо А , либо В можно доказать . В частности, закон исключенного третьего : « А или не А » не принимается в качестве действующего принципа. Например, если А — какое-то математическое утверждение, которое интуиционист еще не доказал или не опроверг, то этот интуиционист не будет утверждать истинность утверждения « А или не А ». Однако интуиционист согласится с тем, что « А и не А » не может быть истинным. Таким образом, связки «и» и «или» интуиционистской логики не удовлетворяют законам де Моргана , как в классической логике.

Интуиционистская логика заменяет абстрактную истину конструктивностью и связана с переходом от доказательства теории моделей к абстрактной истине в современной математике . Логическое исчисление сохраняет обоснование, а не истину, во всех преобразованиях, приводящих к производным суждениям. Это было воспринято как оказание философской поддержки нескольким философским школам, в первую очередь антиреализму Майкла Даммета . Таким образом, вопреки первому впечатлению, которое может произвести ее название, и как это реализуется в конкретных подходах и дисциплинах (например, нечетких множествах и системах), интуиционистская математика является более строгой, чем традиционно основанная математика, где, по иронии судьбы, основополагающие элементы, которые интуиционизм пытается построить, /refute/refound воспринимаются как интуитивно заданные.

Бесконечность

Среди различных формулировок интуиционизма существует несколько различных позиций относительно смысла и реальности бесконечности.

Термин «потенциальная бесконечность» относится к математической процедуре, в которой существует бесконечная серия шагов. После завершения каждого шага всегда необходимо выполнить еще один шаг. Например, рассмотрим процесс счета: 1, 2, 3,...

Термин «фактическая бесконечность» относится к завершенному математическому объекту, который содержит бесконечное количество элементов. служить набор натуральных чисел Примером может N = {1, 2, ...}.

В формулировке теории множеств Кантора существует множество различных бесконечных множеств, некоторые из которых больше других. Например, множество всех действительных чисел R больше, чем N , потому что любая попытка привести натуральные числа во взаимно однозначное соответствие действительным числам всегда будет неудачной: всегда останется бесконечное число действительных чисел. над". Любое бесконечное множество, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие натуральным числам, называется «счетным» или «счётным». Бесконечные множества большего размера называются «несчетными».

Теория множеств Кантора привела к созданию аксиоматической системы теории множеств Цермело-Френкеля (ZFC), которая теперь является наиболее распространенной основой современной математики . Интуиционизм возник отчасти как реакция на теорию множеств Кантора.

Современная конструктивная теория множеств включает аксиому бесконечности из ZFC (или пересмотренную версию этой аксиомы) и множество N натуральных чисел. Большинство современных конструктивных математиков признают реальность счетных бесконечных множеств (однако см. у Александра Есенина-Вольпина контрпример ).

Брауэр отверг концепцию актуальной бесконечности, но признал идею потенциальной бесконечности.

Согласно Вейлю 1946, «Брауэр ясно дал понять, и я думаю, вне всякого сомнения, что нет никаких доказательств, подтверждающих веру в экзистенциальный характер совокупности всех натуральных чисел... достигаемый переходом к следующему числу, представляет собой множество возможностей, открытых до бесконечности; оно навсегда остается в статусе творения, но не является замкнутой областью вещей, существующих сами по себе. То, что мы слепо конвертировали одно в другое, является истинным источником наших трудностей, включая антиномии – источником более фундаментального характера, чем указывал принцип порочного круга Рассела. Брауэр открыл нам глаза и заставил нас увидеть, насколько далеко классическая математика, питаемая верой в «абсолют», превосходящий все человеческие возможности реализации, выходит за рамки таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истину, основанную на доказательствах.

-   Клини 1991 , стр. 48–49.

История

Историю интуиционизма можно проследить до двух противоречий в математике девятнадцатого века.

Первым из них было изобретение трансфинитной арифметики и Георгом Кантором последующий отказ от нее рядом выдающихся математиков, включая наиболее известного его учителя Леопольда Кронекера — убежденного финитиста .

Вторым из них была попытка Готлоба Фреге свести всю математику к логической формулировке с помощью теории множеств и ее срыв юным Бертраном Расселом , открывшим парадокс Рассела . Фреге планировал написать трехтомную окончательную работу, но как раз перед выходом в печать второго тома Рассел отправил Фреге письмо, в котором излагался его парадокс, который продемонстрировал, что одно из правил самореференции Фреге противоречило самому себе. В приложении ко второму тому Фреге признал, что одна из аксиом его системы действительно привела к парадоксу Рассела.

Фреге, как гласит история, погрузился в депрессию и не опубликовал третий том своего труда, как планировал. Подробнее см. Дэвис (2000), главы 3 и 4: Фреге: от прорыва к отчаянию и Кантор: Обход через бесконечность. См. оригинальные работы и комментарии ван Хейеноорта у ван Хейеноорта.

Эти противоречия тесно связаны между собой, поскольку логические методы, использованные Кантором для доказательства своих результатов в трансфинитной арифметике, по существу такие же, как те, которые использовал Рассел при построении своего парадокса. Следовательно, то, как человек решает разрешить парадокс Рассела, имеет прямое влияние на статус, присвоенный трансфинитной арифметике Кантора.

В начале двадцатого века Л. Дж. Брауэр представлял позицию интуиционизма , а Дэвид Гильберт — формалистскую позицию ( см. ван Хейеноорта). Курт Гёдель высказал мнения, называемые платонистами (см. Различные источники о Гёделе). Алан Тьюринг считает:«неконструктивные логические системы , в которых не все этапы доказательства являются механическими, а некоторые интуитивными». Позже Стивен Коул Клини выдвинул более рациональное рассмотрение интуиционизма в своем «Введении в метаматематику» (1952).

Николя Жизен использует интуиционистскую математику для новой интерпретации квантовой неопределенности , теории информации и физики времени .

Авторы

• Анри Пуанкаре ( преинтуиционизм / конвенционализм )
• ЛЭЙ Брауэр
• Майкл Даммет
• Аренд Хейтинг
• Стивен Клини

Разделы интуиционистской математики

• Интуиционистская логика
• Интуиционистская арифметика
• Интуиционистская теория типов
• Интуиционистская теория множеств
• Интуиционистский анализ

См. также

• Антиреализм
• Интерпретация БХК
• Споры Брауэра и Гильберта
• Вычислимая логика
• Конструктивная логика
• Изоморфизм Карри – Говарда
• Основы математики
• Нечеткая логика
• Семантика игры
• Интуиция (знание)
• Теория моделей
• Теория топоса
• Ультраинтуиционизм

Ссылки

• "Анализ." Британская энциклопедия . 2006. Британская энциклопедия 2006, DVD Ultimate Reference Suite, 15 июня 2006 г., « Конструктивный анализ » ( Ян Стюарт , автор)
• В.С. Энглин , Математика: краткая история и философия , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1994.

В главе 39 «Основы » применительно к ХХ веку Энглин дает очень точные и краткие описания платонизма (относительно Гёделя), формализма (относительно Гильберта) и интуиционизма (относительно Брауэра).

• Мартин Дэвис (редактор) (1965), Неразрешимое , Raven Press, Хьюлетт, Нью-Йорк. Сборник оригинальных статей Гёделя, Чёрча, Клини, Тьюринга, Россера и Поста. Переиздано как Дэвис, Мартин, изд. (2004). Неразрешимое . Публикации Courier Dover. ISBN  978-0-486-43228-1 .
• Мартин Дэвис (2000). Логические машины: математики и происхождение компьютера (1-е изд.). WW Norton & Company, Нью-Йорк. ISBN  0-393-32229-7 .
• Джон В. Доусон -младший, Логические дилеммы: жизнь и работа Курта Гёделя , А. К. Питерс, Уэлсли, Массачусетс, 1997.

Менее читабелен, чем Гольдштейн, но в главе III «Экскурсиса » Доусон дает превосходную «Краткую историю развития логики до 1928 года».

• Ребекка Гольдштейн , Неполнота: Доказательство и парадокс Курта Геделя , Atlas Books, WW Norton, Нью-Йорк, 2005.

В главе II «Гильберт и формалисты» Гольдштейн дает дальнейший исторический контекст. Как платоник, Гёдель был сдержан в присутствии логического позитивизма Венского кружка. Гольдштейн обсуждает влияние Витгенштейна и влияние формалистов. Гольдштейн отмечает, что интуиционисты были даже более противниками платонизма, чем формализма .

• (на французском языке) Жак Хартонг и Жорж Риб , Intuitionisme 84 (впервые опубликовано в La Mathématique Non-standard , éditions du CNRS)

Переоценка интуиционизма с точки зрения (среди прочего) конструктивной математики и нестандартного анализа .

• Фреге, Готтлоб (1893). Grundgesetze der Arithmetik (на немецком языке). Том. 1. Йена: Герман Поле. Частичный перевод: Монтгомери Фюрт, 1964. Основные законы арифметики. унив. из Калифорнии Пресс. Перевод избранных разделов по Фреге (1960) . Полный перевод обоих томов: Филип А. Эберт и Маркус Россберг, 2013 г., Основные законы арифметики. Издательство Оксфордского университета.

• Фреге, Готтлоб (1903). Основные законы арифметики (на немецком языке). Том 2. Йена: Герман Поле. Перевод избранных разделов по Фреге (1960) . Полный перевод обоих томов: Филип А. Эберт и Маркус Россберг, 2013 г., Основные законы арифметики. Издательство Оксфордского университета.

• Фреге, Готтлоб (1960) [1893]. «Основные законы арифметики: послесловие» [Фреге о парадоксе Рассела]. В Гиче, Питер; Блэк, Макс (ред.). Переводы из философских сочинений Готлоба Фреге (2-е изд.). Оксфорд: Бэзил Блэквелл.

• ван Хейеноорт, Дж. , От Фреге до Гёделя, Справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1967. Перепечатано с исправлениями, 1977. Следующие статьи опубликованы в ван Хейеноорте:

• Л. Дж. Брауэр , 1923, О значении принципа исключенного третьего в математике, особенно в теории функций [перепечатано с комментариями, с. 334, ван Хейеноорт]
• Андрей Николаевич Колмогоров , 1925, О принципе исключенного третьего , [перепечатано с комментариями, с. 414, ван Хейеноорт]
• Л. Дж. Брауэр , 1927, Об областях определения функций , [перепечатано с комментариями, с. 446, ван Хейеноорт]

Хотя это и не имеет прямого отношения к делу, в своей работе (1923) Брауэр использует определенные слова, определенные в этой статье.

• Л. Дж. Брауэр , 1927 (2), Интуиционистские размышления о формализме , [перепечатано с комментариями, стр. 490, ван Хейеноорт]
• Жак Эрбран, (1931b), «О непротиворечивости арифметики», [перепечатано с комментариями, стр. 618ff, ван Хейеноорт]

Из комментария ван Хейеноорта неясно, был ли Эрбран настоящим «интуиционистом»; Гёдель (1963) утверждал, что действительно «...Эрбранд был интуиционистом». Но ван Хейеноорт говорит, что концепция Эрбрана была «в целом гораздо ближе к слову Гильберта «финитарный» («finit»), чем к «интуиционистскому» применительно к доктрине Брауэра».

• Хесселинг, Деннис Э. (2003). Гномы в тумане. Рецепция интуиционизма Брауэра в 1920-е годы . Биркхойзер. ISBN  3-7643-6536-6 .
• Аренд Хейтинг : Хейтинг, Аренд (1971) [1956]. Интуиционизм: Введение (3-е изд.). Амстердам: Паб Северной Голландии. компании ISBN  0-7204-2239-6 .
• Клини, Стивен К. (1991) [1952]. Введение в метаматематику (Десятое впечатление, 1991 г.). Амстердам, штат Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. компании ISBN  0-7204-2103-9 .

В главе III «Критика математического рассуждения», §11. Парадоксы , Клини обсуждает интуиционизм и формализм подробно . На протяжении оставшейся части книги он рассматривает и сравнивает как формалистическую (классическую), так и интуиционистскую логику, уделяя особое внимание первой.

• Стивен Коул Клини и Ричард Юджин Весли , «Основы интуиционистской математики» , издательство North-Holland Publishing Co., Амстердам, 1965. В первом предложении все сказано: «Конструктивная тенденция в математике...». Текст для специалистов, но написанный удивительно ясным стилем Клини.
• Лакатос, Имре (2015) [1976]. Доказательства и опровержения Логика математических открытий . Кембриджская классика философии. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-11346-6 .

• А. А. Марков (1954) Теория алгоритмов . [Перевод Жака Дж. Шорр-Кона и сотрудников PST] Выходные данные Москва, Академия наук СССР, 1954 г. [т. е. Иерусалим, Израильская программа научных переводов, 1961 г.; можно получить в Управлении технических служб Министерства торговли США, Вашингтон] Описание 444 стр. 28 см. Добавлено в Русский перевод трудов Математического института АН СССР, т. 42. Оригинальное название: Теория алгоритмов. [QA248.M2943 Библиотека Дартмутского колледжа. Министерство торговли США, Управление технических служб, номер OTS 60–51085.] Вторичная справка для специалистов: Марков полагал, что «Все значение для математики уточнения понятия алгоритма проявляется, однако, в связи с проблемой конструктивного фундамента математики .... [стр. 3, курсив добавлен.] Марков считал, что дальнейшее применение его работы «заслуживает специальной книги, которую автор надеется написать в будущем» (стр. 3). , указанная работа, видимо, так и не появилась.
• Хилари Патнэм и Пол Бенацерраф , Философия математики: избранные материалы для чтения , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1964. 2-е изд., Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 1983. ISBN   0-521-29648-X

Часть I. Основания математики , Симпозиум по основам математики

• Рудольф Карнап , Логистические основы математики , с. 41
• Аренд Хейтинг , Интуиционистские основания математики , с. 52
• Иоганн фон Нейман , Формалистические основы математики , с. 61
• Аренд Хейтинг, «Диспут» , с. 66
• Л. Дж. Брауэр, Интуиционизм и формализм , с. 77
• Л. Дж. Брауэр, Сознание, философия и математика , с. 90

• Констанс Рид , Гильберт , Коперник – Springer-Verlag, 1-е издание 1970 г., 2-е издание 1996 г.

Полная биография Гильберта помещает его «Программу» в исторический контекст вместе с последующей борьбой, иногда злобной, между интуиционистами и формалистами.

• Пол Розенблум , Элементы математической логики , Dover Publications Inc, Минеола, Нью-Йорк, 1950.

В стиле Principia Mathematica – много символов, некоторые античные, некоторые немецкого письма. Очень хорошие обсуждения интуиционизма в следующих местах: страницы 51–58 в разделе 4 «Многозначная логика», «Модальная логика», «Интуиционизм»; страницы 69–73 Глава III Логика пропозициональных функций Раздел 1 Неформальное введение; и п. 146-151 Раздел 7 Аксиома выбора.

• Тьюринг, Алан М. (1939). «Системы логики, основанные на ординалах» . Труды Лондонского математического общества . 2. Том. 45. С. 161–228 . Проверено 17 января 2024 г.

• Вельдман, Вим (февраль 2021 г.). «Интуитивизм: вдохновение?» . дои : 10.13140/RG.2.2.12313.54881 .

Внешние ссылки

• Иемхофф, Розали (11 июня 2019 г.). «Интуиционизм в философии математики» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

• Мошовакис, Джоан (16 декабря 2022 г.). «Интуиционистская логика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

• Волчовер, Натали (7 апреля 2020 г.). «Действительно ли время течет? Новые подсказки приходят из столетнего подхода к математике» . QuantaMagazine.org . Журнал Кванта.