Метрика Вайдьи

В общей теории относительности метрика Вайдьи описывает непустое внешнее пространство-время сферически симметричной и невращающейся звезды, которая либо излучает, либо поглощает нулевую пыль . Она названа в честь индийского физика Прахалада Чуннилала Вайдьи и представляет собой простейшее нестатическое обобщение безызлучательного решения Шварцшильда уравнения поля Эйнштейна , поэтому ее также называют «излучающей (сияющей) метрикой Шварцшильда».

От метрики Шварцшильда к метрике Вайдьи

Метрика Шварцшильда как статическое и сферически симметричное решение уравнения Эйнштейна имеет вид

$$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right).$$ ( 1 )

Чтобы устранить координатную сингулярность этой метрики при $r=2M$, можно переключиться на координаты Эддингтона–Финкельштейна . Таким образом, введите нулевую координату «retarded(/outgoing)». $u$ к

$$t=u+r+2M\ln \left({\frac {r}{2M}}-1\right)\qquad \Rightarrow \quad dt=du+\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr\;,$$ ( 2 )

и уравнение (1) можно преобразовать в «запаздывающую (/исходящую) метрику Шварцшильда».

$$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)du^{2}-2dudr+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right);$$ ( 3 )

или вместо этого мы могли бы использовать нулевую координату «advanced(/ingoing)». $v$ к

$$t=v-r-2M\ln \left({\frac {r}{2M}}-1\right)\qquad \Rightarrow \quad dt=dv-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr\;,$$ ( 4 )

поэтому уравнение (1) становится «расширенной (/действующей) метрикой Шварцшильда»

$$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dv^{2}+2dvdr+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right).$$ ( 5 )

Уравнения (3) и (5), как статические и сферически симметричные решения, справедливы как для обычных небесных объектов с конечными радиусами, так и для сингулярных объектов, таких как черные дыры . Оказывается, это все еще физически разумно, если расширить параметр массы $M$ в уравнениях (3) и (5) от константы к функциям соответствующей нулевой координаты, $M(u)$ и $M(v)$ соответственно, таким образом

$$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M(u)}{r}}\right)du^{2}-2dudr+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\ sin^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),$$ ( 6 )

$$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M(v)}{r}}\right)dv^{2}+2dvdr+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right).$$ ( 7 )

Расширенные метрики (6) и (7) представляют собой соответственно «замедленные (/исходящие)» и «продвинутые (/исходящие)» метрики Вайдьи. Иногда также полезно преобразовать метрики Вайдьи (6) (7) в форму

$$ds^{2}={\frac {2M(u)}{r}}du^{2}+ds^{2}({\text{flat}})={\frac {2M(v)}{r}}dv^{2}+ds^{2}({\text{flat}})\,,$$ ( 8 )

где $ds^{2}({\text{flat}})$ представляет метрику плоского пространства-времени : $${\begin{aligned}ds^{2}({\text{flat}})&=-du^{2}-2dudr+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\\&=-dv^{2}+2dvdr+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\\&=-dT^{2}+dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\end{aligned}}$$ с использованием $T=t-2M\ln(r/2M-1)$.

Исходящая Вайдья с чистым Излучающим полем

Что касается «замедленной (/исходящей)» метрики Вайдьи (6), тензор Риччи имеет только одну ненулевую компоненту

$$R_{uu}=-2{\frac {M(u)_{,\,u}}{r^{2}}}\,,$$ ( 9 )

в то время как скаляр кривизны Риччи исчезает, $R=g^{ab}R_{ab}=0$ потому что $g^{uu}=0$. Таким образом, согласно бесследовому уравнению Эйнштейна $G_{ab}=R_{ab}=8\pi T_{ab}$, тензор энергии-импульса $T_{ab}$ удовлетворяет

$$T_{ab}=-{\frac {M(u)_{,\,u}}{4\pi r^{2}}}l_{a}l_{b}\;,\qquad l_{a}dx^{a}=-du\;,$$ ( 10 )

где $l_{a}=-\partial _{a}u$ и $l^{a}=g^{ab}l_{b}$ являются нулевыми (ко)векторами (см. вставку A ниже). Таким образом, $T_{ab}$ представляет собой «поле чистого излучения», который имеет плотность энергии ${\textstyle -{\frac {M(u)_{,\,u}}{4\pi r^{2}}}}$. Согласно нулевым энергетическим условиям

$$T_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0\;,$$ ( 11 )

у нас есть $M(u)_{,\,u}<0$ и, таким образом, центральное тело излучает излучение.

После вычислений с использованием формализма Ньюмана-Пенроуза (NP) в блоке A выходное уравнение пространства-времени Вайдья (6) имеет тип D Петрова , а ненулевые компоненты скаляров Вейля-NP и Риччи-NP равны

$$\Psi _{2}=-{\frac {M(u)}{r^{3}}}\qquad \Phi _{22}=-{\frac {M(u)_{\,,\,u}}{r^{2}}}\;.$$ ( 12 )

Примечательно, что поле Вайдьи представляет собой чистое радиационное поле, а не электромагнитное поле . Испускаемые частицы или потоки энергии и материи имеют нулевую массу покоя и поэтому обычно называются «нулевой пылью», обычно такой как фотоны и нейтрино , но не могут быть электромагнитными волнами, поскольку уравнения Максвелла-НП не удовлетворяются. Между прочим, исходящая и входящая скорость расширения нуля для линейного элемента (6) равны соответственно

$$\theta _{(\ell )}=-(\rho +{\bar {\rho }})={\frac {2}{r}}\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}={\frac {-r+2M(u)}{r^{2}}}\;.$$ ( 13 )

Предполагать ${\textstyle F:=1-{\frac {2M(u)}{r}}}$, то лагранжиан для нулевых радиальных геодезических $(L=0,{\dot {\theta }}=0,{\dot {\phi }}=0)$ «замедленного (/уходящего)» пространства-времени Вайдьи уравнение (6) равно $$L=0=-F{\dot {u}}^{2}+2{\dot {u}}{\dot {r}}\,,$$ где точка означает производную по некоторому параметру $\lambda$. Этот лагранжиан имеет два решения: $${\dot {u}}=0\quad {\text{and}}\quad {\dot {r}}={\frac {F}{2}}{\dot {u}}\;.$$

Согласно определению $u$ в уравнении (2) можно найти, что когда $t$ увеличивается, радиус области $r$ также увеличится для решения ${\dot {u}}=0$, пока $r$ уменьшится для решения ${\textstyle {\dot {r}}={\frac {F}{2}}{\dot {u}}}$. Таким образом, ${\dot {u}}=0$ следует признать исходящим решением, в то время как ${\textstyle {\dot {r}}={\frac {F}{2}}{\dot {u}}}$ служит входным решением. Теперь мы можем построить сложную нулевую тетраду , адаптированную к исходящим нулевым радиальным геодезическим, и использовать формализм Ньюмана-Пенроуза для выполнения полного анализа исходящего пространства-времени Вайдья. Такую исходящую адаптированную тетраду можно представить как $$l^{a}=(0,1,0,0)\,,\quad n^{a}=\left(1,-{\frac {F}{2}},0,0\right)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,$$ и поэтому двойственные базисные ковекторы равны $$l_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad n_{a}=\left(-{\frac {F}{2}},-1,0,0\right)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,\sin \theta )\,.$$

В этой нулевой тетраде спиновые коэффициенты равны $$\kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \varepsilon =0$$ $$\rho =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \mu ={\frac {-r+2M(u)}{2r^{2}}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \gamma ={\frac {M(u)}{2r^{2}}}\,.$$

Скаляры Вейля -NP и Риччи-NP имеют вид $$\Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M(u)}{r^{3}}}\,,$$ $$\Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Lambda =0\,,\quad \Phi _{22}=-{\frac {M(u)_{\,,\,u}}{r^{2}}}\,,$$

Поскольку единственным ненулевым скаляром Вейля-NP является $\Psi _{2}$, «замедленное (/исходящее)» пространство-время Вайдьи имеет тип D Петрова . Также существует поле излучения как $\Phi _{22}\neq 0$.

Для «запаздывающей (/исходящей)» метрики Шварцшильда (3) пусть ${\textstyle G:=1-{\frac {2M}{r}}}$, и тогда лагранжиан нулевой радиальной геодезической будет иметь исходящее решение ${\dot {u}}=0$ и входящее решение ${\textstyle {\dot {r}}=-{\frac {G}{2}}{\dot {u}}}$. Как и в случае с блоком А, теперь настройте адаптированную исходящую тетраду с помощью $$l^{a}=(0,1,0,0)\,,\quad n^{a}=\left(1,-{\frac {G}{2}},0,0\right)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,$$ $$l_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad n_{a}=\left(-{\frac {G}{2}},-1,0,0\right)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,\sin \theta )\,.$$ поэтому спиновые коэффициенты равны $$\kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \varepsilon =0$$ $$\rho =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \mu ={\frac {-r+2M}{2r^{2}}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \gamma ={\frac {M}{2r^{2}}}\,,$$ а скаляры Вейля-NP и Риччи-NP имеют вид $$\Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M}{r^{3}}}\,,$$ $$\Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,.$$

«Запаздывающее (/исходящее)» пространство-время Шварцшильда имеет тип D Петрова с $\Psi _{2}$ являющийся единственным ненулевым скаляром Вейля-NP.

Входящая Вайдья с чистым поглощающим полем

Что касается «продвинутой/входящей» метрики Вайдьи (7), тензоры Риччи снова имеют одну ненулевую компоненту

$$R_{vv}=2{\frac {M(v)_{,\,v}}{r^{2}}}\,,$$ ( 14 )

и поэтому $R=0$ а тензор энергии-импульса равен

$$T_{ab}={\frac {M(v)_{,\,v}}{4\pi r^{2}}}\,n_{a}n_{b}\;,\qquad n_{a}dx^{a}=-dv\;.$$ ( 15 )

Это чистое поле излучения с плотностью энергии ${\textstyle {\frac {M(v)_{,\,v}}{4\pi r^{2}}}}$, и еще раз из условия нулевой энергии (11) следует, что $M(v)_{,\,v}>0$, поэтому центральный объект поглощает нулевую пыль. Как рассчитано в блоке C, ненулевые компоненты NP Вейля и NP Риччи «продвинутой/исходящей» метрики Вайдьи (7) равны

$$\Psi _{2}=-{\frac {M(v)}{r^{3}}}\qquad \Phi _{00}={\frac {M(v)_{\,,\,v}}{r^{2}}}\;.$$ ( 16 )

Кроме того, исходящая и входящая скорость расширения нуля для линейного элемента (7) соответственно равны

$$\theta _{(\ell )}=-(\rho +{\bar {\rho }})={\frac {r-2M(v)}{r^{2}}}\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=-{\frac {2}{r}}\;.$$ ( 17 )

Усовершенствованное/текущее решение Вайдьи (7) особенно полезно в физике черных дыр, поскольку оно является одним из немногих существующих точных динамических решений. Например, его часто используют для исследования различий между различными определениями динамических границ черной дыры, такими как классический горизонт событий и квазилокальный горизонт захвата; и, как показано уравнением (17), эволюционная гиперповерхность $r=2M(v)$ всегда является маргинально внешним захваченным горизонтом ( $\theta _{(\ell )}=0\;,\theta _{(n)}<0$).

Предполагать ${\tilde {F}}:=1-{\frac {2M(v)}{r}}$, то лагранжиан для нулевых радиальных геодезических «продвинутого (/исходящего)» пространства-времени Вайдьи уравнение (7) равен $$L=-{\tilde {F}}{\dot {v}}^{2}+2{\dot {v}}{\dot {r}}\,,$$ который имеет входящее решение ${\dot {v}}=0$ и исходящее решение ${\textstyle {\dot {r}}={\frac {\tilde {F}}{2}}{\dot {v}}}$ в соответствии с определением $v$ в уравнении (4). Теперь мы можем построить сложную нулевую тетраду , адаптированную к входным нулевым радиальным геодезическим, и использовать формализм Ньюмана-Пенроуза для выполнения полного анализа пространства-времени Вайдья. Такую входящую адаптированную тетраду можно представить как $$l^{a}=\left(1,{\frac {\tilde {F}}{2}},0,0\right)\,,\quad n^{a}=(0,-1,0,0)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,$$ и поэтому двойственные базисные ковекторы равны $$l_{a}=\left(-{\frac {\tilde {F}}{2}},1,0,0\right)\,,\quad n_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,\sin \theta )\,.$$

В этой нулевой тетраде спиновые коэффициенты равны $$\kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \gamma =0$$ $$\rho ={\frac {-r+2M(v)}{2r^{2}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M(v)}{2r^{2}}}\,.$$

Скаляры Вейля -NP и Риччи-NP имеют вид $$\Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M(v)}{r^{3}}}\,,$$ $$\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,,\quad \Phi _{00}={\frac {M(v)_{\,,\,v}}{r^{2}}}\;.$$

Поскольку единственным ненулевым скаляром Вейля-NP является $\Psi _{2}$, «продвинутое(/входящее)» пространство-время Вайдья имеет тип D Петрова , и существует поле излучения, закодированное в $\Phi _{00}$.

Для «расширенной (/входящей)» метрики Шварцшильда (5) все же позвольте ${\textstyle G:=1-{\frac {2M}{r}}}$, и тогда лагранжиан нулевой радиальной геодезической будет иметь входящее решение ${\dot {v}}=0$ и исходящее решение ${\textstyle {\dot {r}}={\frac {G}{2}}{\dot {v}}}$. Аналогично блоку C, теперь настройте адаптированную входящую тетраду с помощью $$l^{a}=\left(1,{\frac {G}{2}},0,0\right)\,,\quad n^{a}=(0,-1,0,0)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,$$ $$l_{a}=\left(-{\frac {G}{2}},1,0,0\right)\,,\quad n_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,\sin \theta )\,.$$ поэтому спиновые коэффициенты равны $$\kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \gamma =0$$ $$\rho ={\frac {-r+2M}{2r^{2}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M}{2r^{2}}}\,,$$ а скаляры Вейля-NP и Риччи-NP имеют вид $$\Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M}{r^{3}}}\,,$$ $$\Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,.$$

«Расширенное (/ входящее)» пространство-время Шварцшильда имеет тип D Петрова с $\Psi _{2}$ являющийся единственным ненулевым скаляром Вейля-NP.

Сравнение с метрикой Шварцшильда

Будучи естественным и простейшим расширением метрики Швацшильда, метрика Вайдья имеет с ней много общего:

• Обе метрики относятся к типу Петрова D с $\Psi _{2}$ являющийся единственным ненулевым скаляром Вейля-NP (как рассчитано в блоках A и B).

есть три явных различия Однако между метриками Шварцшильда и Вайдьи :

• Прежде всего, массовый параметр $M$ для Шварцшильда — константа, а для Вайдья $M(u)$ является u-зависимой функцией.
• Шварцшильд — это решение вакуумного уравнения Эйнштейна. $R_{ab}=0$, а Вайдья является решением бесследового уравнения Эйнштейна $R_{ab}=8\pi T_{ab}$ с нетривиальным чисто радиационным энергетическим полем. В результате все скаляры Риччи-NP для Шварцшильда исчезают, а мы имеем $\Phi _{00}={\frac {M(u)_{\,,\,u}}{r^{2}}}$ для Вайдьи.
• Шварцшильд имеет 4 независимых векторных поля Киллинга , включая времяподобное, и, таким образом, является статической метрикой, в то время как Вайдья имеет только 3 независимых векторных поля Киллинга относительно сферической симметрии и, следовательно, является нестатическим. Следовательно, метрика Шварцшильда принадлежит к классу решений Вейля, а метрика Вайдьи — нет.

Расширение метрики Вайдьи

Метрика Кинерсли

В то время как метрика Вайдьи является расширением метрики Шварцшильда и включает чистое поле излучения, метрика Киннерсли представляет собой дальнейшее расширение метрики Вайдьи; он описывает массивный объект, который ускоряется при отдаче, поскольку он анизотропно излучает безмассовое излучение. Метрика Киннерсли является частным случаем метрики Керра-Шилда и в декартовых координатах пространства-времени $x^{\mu }$ он принимает следующую форму:

$$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-{\frac {2m{\bigl (}u(x){\bigr )}}{r(x)^{3}}}\sigma _{\mu }(x)\sigma _{\nu }(x)$$ ( 18 )

$$r(x)=\sigma _{\mu }(x)\,\,\lambda ^{\mu }(u(x))$$ ( 19 )

$$\sigma ^{\mu }(x)=X^{\mu }(u(x))-x^{\mu },\quad \eta _{\mu \nu }\sigma ^{\mu }(x)\sigma ^{\nu }(x)=0$$ ( 20 )

где на протяжении всего этого раздела все индексы будут повышаться и понижаться с использованием метрики «плоского пространства». $\eta _{\mu \nu }$, "масса" $m(u)$ является произвольной функцией собственного времени $u$ массы вдоль мировой линии , измеренной с использованием «плоской» метрики, $du^{2}=\eta _{\mu \nu }\,dX^{\mu }dX^{\nu },$ и $X^{\mu }(u)$ описывает произвольную мировую линию массы, $\lambda ^{\mu }(u)=dX^{\mu }(u)/du$ тогда четырехскорость массы, $\sigma _{\mu }(x)$ является полем нуль-вектора «плоской метрики», неявно определяемым уравнением. (20) и $u(x)$ неявно расширяет параметр собственного времени до скалярного поля во всем пространстве-времени, рассматривая его как константу на исходящем световом конусе «плоской» метрики, возникающей в результате события. $X^{\mu }(u),$ и удовлетворяет тождеству $\lambda ^{\mu }(u(x))\,\partial _{\mu }u(x)=1.$ Измельчение тензора Эйнштейна для метрики $g_{\mu \nu }$ и интегрируя исходящий поток энергии-импульса «на бесконечности», обнаруживаем, что метрика $g_{\mu \nu }$ описывает массу зависящим от собственного времени с четырехимпульсом, $P^{\mu }=m(u)\,\lambda ^{\mu }(u)$ который генерирует чистый <<link:0>> с правильной скоростью $-dP^{\mu }/du;$ если смотреть из мгновенной системы покоя массы, поток излучения имеет угловое распределение $A(u)+B(u)\,\cos(\theta (u)),$ где $A(u)$ и $B(u)$ являются сложными скалярными функциями $m(u),\lambda ^{\mu }(u),\sigma _{\mu }(u),$ и их производные, а также $\theta (u)$ — это мгновенный угол покоя между 3-ускорением и исходящим нулевым вектором. Таким образом, метрику Кинерсли можно рассматривать как описывающую гравитационное поле ускоряющейся фотонной ракеты с очень плохо коллимированным выхлопом.

В частном случае, когда $\lambda ^{\mu }$ не зависит от собственного времени, метрика Киннерсли сводится к метрике Вайдьи.

Метрика Вайдьи – Боннера

Поскольку излучаемая или поглощаемая материя может быть электрически ненейтральной, исходящие и входящие метрики Вайдьи (6) (7) можно естественным образом расширить, включив в них различные электрические заряды:

$$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M(u)}{r}}+{\frac {Q(u)}{r^{2}}}\right)du^{2}-2dudr+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})\;,$$ ( 18 )

$$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M(v)}{r}}+{\frac {Q(v)}{r^{2}}}\right)dv^{2}+2dvdr+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})\;.$$ ( 19 )

Уравнения (18)(19) называются метриками Вайдьи-Боннера и, по-видимому, их также можно рассматривать как расширения метрики Рейсснера-Нордстрема , аналогично соответствию между метриками Вайдьи и Шварцшильда.

См. также

• Метрика Шварцшильда
• Решение для нулевой пыли