Единица ячейка

В геометрии , биологии , минералогии и физике твердотельного состояния единая ячейка представляет собой повторную единицу, образованную векторами, охватывающими точки решетки. ^{[ 1 ]} Несмотря на свое наводящее на мысль, единичная ячейка (в отличие от единичного вектора, например) не обязательно имеет размер единицы или даже определенный размер вообще. Скорее, примитивная ячейка является наиболее близкой аналогией с единичным вектором, поскольку она имеет определенный размер для данной решетки и является основным строительным блоком, из которого строятся более крупные ячейки.

Концепция используется особенно при описании кристаллической структуры в двух и трех измерениях, хотя это имеет смысл во всех измерениях. Решету можно охарактеризовать геометрией его единичной ячейки, которая представляет собой раздел плитки ( параллелограмм или параллелепиптизации ), который генерирует всю плитку с использованием только переводов.

Существует два особых случая единичной ячейки: примитивная ячейка и обычная ячейка . Примитивная ячейка является единой ячейкой, соответствующей одной точке решетки , это наименьшая возможная единица ячейка. ^{[ 2 ]} В некоторых случаях полная симметрия кристаллической структуры не очевидна из примитивной ячейки, в которой может использоваться обычная ячейка. Обычная ячейка (которая может быть или не быть примитивной) является единой ячейкой с полной симметрией решетки и может включать в себя более одной точки решетки. Обычные единичные ячейки представляют собой параллелотопы в n -размерках.

Примитивная клетка

Примитивная ячейка - это единица ячейка, которая содержит ровно одну точку решетки. Для единичных ячеек, как правило, точки решетки, которые разделяются $N$ -клетками, учитываются как ⁠ 1 / $n$ ⁠ точек решетки, содержащихся в каждой из этих клеток; Так, например, примитивная единичная ячейка в трех измерениях, которая имеет точки решетки только на его восьми вершин, считается, что содержит ⁠ 1/8 ⁠ каждого из из них. ^{[ 3 ]} Альтернативная концептуализация состоит в том, чтобы последовательно выбрать только одну из $точек n$ решетки, принадлежащих к данной единичной ячейке (поэтому другие $точки решетки N-1$ принадлежат к соседним единичным ячейкам).

Примитивные трансляционные векторы $a \to 1$ , $a \to 2$ , $A \to 3$ охватывают решетку с наименьшим объемом для конкретной трехмерной решетки и используются для определения вектора трансляции кристаллов.

{\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_{3},

где $u 1$ , $u 2$ , $u 3$ - целые числа, перевод, по которому оставляет инвариант решетки. ^{[ Примечание 1 ]} То есть, для точки в решетке $r$ , расположение точек выглядит одинаково от $r ' = r + t \to$ как от $r$ . ^{[ 4 ]}

Поскольку примитивная ячейка определяется примитивными осями (векторами) $a \to 1$ , $a \to 2$ , $a \to 3$ , объем $V P$ примитивной ячейки определяется параллелепиптикой из вышеуказанных оси как

V_{\mathrm {p} }=\left|{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})\right|.

Обычно примитивные клетки в двух и трех измерениях выбираются для принятия параллелограммов формы и параллелепипендов с атом в каждом углу клетки. Этот выбор примитивной клетки не является уникальным, но объем примитивных клеток всегда будет определяться при вышеприведенной экспрессии. ^{[ 5 ]}

Вигнер -Сейтц ячейка

В дополнение к параллелепипененным примитивным клеткам, для каждой решетки Bravais есть еще один вид примитивной клетки, называемой клеткой Wigner -Seitz. В ячейке Wigner -Seitz точка решетки находится в центре ячейки, и для большинства решетки Bravais форма не является параллелограммом или параллелепиптикой. Это тип ячейки Voronoi . Клетка Вигнера -Сейц взаимной решетки в пространстве импульса называется зоной Брилуина .

Обычная ячейка

Для каждой конкретной решетки кристаллографов выбирали обычную ячейку в каждом конкретном случае на основе удобства расчета. ^{[ 6 ]} Эти обычные ячейки могут иметь дополнительные точки решетки, расположенные в середине грани или тело единичной ячейки. Количество точек решетки, а также объем обычной ячейки представляет собой целочисленное множественное (1, 2, 3 или 4) объема примитивной ячейки. ^{[ 7 ]}

Два измерения

Для любой двухмерной решетки единичные ячейки представляют собой параллелограммы , которые в особых случаях могут иметь ортогональные углы, равные длины или оба. Четыре из пяти двухмерных решетки Bravais представлены с использованием обычных примитивных клеток, как показано ниже.

Обычная примитивная клетка
Название формы	Параллелограмм	Прямоугольник	Квадрат	Ромб
Бравейская решетка	Примитивный косой	Примитивный прямоугольный	Примитивный квадрат	Примитивный шестиугольный

Ценцентная прямоугольная решетка также имеет примитивную ячейку в форме ромба, но для того, чтобы обеспечить легкую дискриминацию на основе симметрии, она представлена обычной ячейкой, которая содержит две точки решетки.

Примитивная клетка
Название формы	Ромб
Обычная ячейка
Бравейская решетка	Центрированный прямоугольный

Три измерения

Для любой трехмерной решетки обычные единичные ячейки представляют собой параллелепипены , которые в особых случаях могут иметь ортогональные углы или равные длины, или оба. Семь из четырнадцати трехмерных решетков Бравеи представлены с использованием обычных примитивных клеток, как показано ниже.

Обычная примитивная клетка
Название формы	Параллелепипед	Наклонная прямоугольная призма	Прямоугольный кубоид	Квадратный кубоид	ТРИГОНАЛЬНЫЙ ТРАПЕЗОГЕРНН	Куб	Правая ромбическая призма
Бравейская решетка	Примитивная триклиническая	Примитивные моноклинные	Примитивный орторомбический	Примитивная тетрагональная	Примитивный ромбоэдрический	Примитивный кубический	Примитивный шестиугольный

Остальные семь решетки Бравеи (известные как центрированные решетки) также имеют примитивные ячейки в форме параллелепипмента, но для того, чтобы обеспечить легкую дискриминацию на основе симметрии, они представлены обычными ячейками, которые содержат более одной точки решетки.

Примитивная клетка
Название формы	Наклонная ромбическая призма	Правая ромбическая призма
Обычная ячейка
Бравейская решетка	Основанный базовый моноклинный	Основанный базовый орторомбический	Ориентированная на тел орторомбический	Ориентированная на лицо орторомбическое	Тетрагональный тетраговый	-ориентированный Кубик	Фекс-центрированный кубический

Смотрите также

Примечания

^ В $n$ измерениях кристаллический вектор будет
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{where }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
То есть, для точки в решетке $r$ , расположение точек выглядит одинаково от $r ' = r + t \to$ как от $r$ .

Ссылки

^ Эшкрофт, Нил В. (1976). «Глава 4». Физика твердого состояния . WB Saunders Company. п. 72. ISBN 0-03-083993-9 .
^ Саймон, Стивен (2013). Оксфордская твердотельная физика (1 изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 114. ISBN 978-0-19-968076-4 .
^ «DOITPOMS - TLP Библиотека кристаллография - единица ячейка» . Онлайн -ресурсы по науке о материалах: doitpoms . Кембриджский университет . Получено 21 февраля 2015 года .
^ Киттель, Чарльз (11 ноября 2004 г.). Введение в физику твердого состояния (8 изд.). Уайли. п. 4 ISBN 978-0-471-41526-8 .
^ Мел, Майкл Дж.; Хикс, Дэвид; Toher, Cormac; Леви, Охад; Хансон, Роберт М.; Харт, Гас; Curtarolo, Stefano (2017). «Библиотека кристаллографических прототипов AFLOW: часть 1». Вычислительное материаловедение . 136 Elsevier BV: S1 - S828. Arxiv : 1806.07864 . doi : 10.1016/j.commatsci.2017.01.017 . ISSN 0927-0256 . S2CID 119490841 .
^ Aroyo, Mi, ed. (2016-12-31). Международные таблицы для кристаллографии . Честер, Англия: Международный союз кристаллографии. п. 25. doi : 10.1107/978095536020600001114 . ISBN 978-0-470-97423-0 .
^ Эшкрофт, Нил В. (1976). Физика твердого состояния . WB Saunders Company. п. 73. ISBN 0-03-083993-9 .

[first-4] В $n$ измерениях кристаллический вектор будет
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{where }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
То есть, для точки в решетке $r$ , расположение точек выглядит одинаково от $r ' = r + t \to$ как от $r$ .

[1] Эшкрофт, Нил В. (1976). «Глава 4». Физика твердого состояния . WB Saunders Company. п. 72. ISBN 0-03-083993-9 .

[2] Саймон, Стивен (2013). Оксфордская твердотельная физика (1 изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 114. ISBN 978-0-19-968076-4 .

[doitpoms-3] «DOITPOMS - TLP Библиотека кристаллография - единица ячейка» . Онлайн -ресурсы по науке о материалах: doitpoms . Кембриджский университет . Получено 21 февраля 2015 года .

[5] Киттель, Чарльз (11 ноября 2004 г.). Введение в физику твердого состояния (8 изд.). Уайли. п. 4 ISBN 978-0-471-41526-8 .

[6] Мел, Майкл Дж.; Хикс, Дэвид; Toher, Cormac; Леви, Охад; Хансон, Роберт М.; Харт, Гас; Curtarolo, Stefano (2017). «Библиотека кристаллографических прототипов AFLOW: часть 1». Вычислительное материаловедение . 136 Elsevier BV: S1 - S828. Arxiv : 1806.07864 . doi : 10.1016/j.commatsci.2017.01.017 . ISSN 0927-0256 . S2CID 119490841 .

[7] Aroyo, Mi, ed. (2016-12-31). Международные таблицы для кристаллографии . Честер, Англия: Международный союз кристаллографии. п. 25. doi : 10.1107/978095536020600001114 . ISBN 978-0-470-97423-0 .

[8] Эшкрофт, Нил В. (1976). Физика твердого состояния . WB Saunders Company. п. 73. ISBN 0-03-083993-9 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ Примечание 1 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]