Уравнение Хамады

В корпоративных финансах уравнение Хамады представляет собой уравнение, используемое для разделения финансового риска фирмы, использующей заемные средства, от ее делового риска. Уравнение сочетает в себе теорему Модильяни-Миллера с моделью ценообразования капитальных активов . Он используется, чтобы помочь определить коэффициент бета и, следовательно, оптимальную структуру капитала фирм. Он был назван в честь Роберта Хамады , профессора финансов, стоящего за этой теорией.

Уравнение Хамады связывает бета-версию фирмы с заемным капиталом (фирмы, финансируемой как за счет заемных средств, так и за счет собственного капитала) с бета-версией ее коллеги без заемного капитала (т. е. фирмы, не имеющей долга). Он оказался полезным в нескольких областях финансов, включая структурирование капитала, управление портфелем и управление рисками, и это лишь некоторые из них. Эту формулу обычно преподают на курсах MBA по корпоративным финансам и оценке. Он используется для определения стоимости капитала фирмы с использованием заемных средств на основе стоимости капитала сопоставимых фирм. В данном случае сопоставимыми фирмами будут те, которые имеют аналогичный бизнес-риск и, следовательно, такие же незакредитованные бета-версии, что и интересующая фирма.

Уравнение

Уравнение

$\beta _{L}=\beta _{U}[1+(1-T)\phi ]\qquad (1)$

где β _L и β _U — бета-версия с использованием заемных средств и без использования заемных средств соответственно, T — налоговая ставка и $\phi \,\!$ рычаг, определяемый здесь как отношение долга D к собственному капиталу E фирмы.

Важность уравнения Хамады заключается в том, что оно отделяет риск бизнеса, отраженный здесь бета-версией фирмы без кредитного плеча β _U , от риска ее коллеги с кредитным плечом β _L , который содержит финансовый риск кредитного плеча. Помимо влияния налоговой ставки, которая обычно считается постоянной, расхождение между двумя бета-коэффициентами можно объяснить исключительно тем, как финансируется бизнес.

Часто ошибочно полагают, что это уравнение в целом справедливо. Однако лежит несколько ключевых предположений : в основе уравнения Хамады

1. Формула Хамады основана на формулировке Модильяни и Миллера значений налогового щита для постоянного долга , то есть когда долларовая сумма долга постоянна во времени. Формулы неверны, если фирма следует политике постоянного левереджа , т. е. фирма перебалансирует структуру своего капитала так, чтобы заемный капитал оставался на постоянном проценте от собственного капитала, что является более распространенным и реалистичным предположением, чем фиксированный долг в долларах (Brealey, Майерс, Аллен, 2010). Если предполагается, что фирма постоянно перебалансирует соотношение своего долга к собственному капиталу, уравнение Хамады заменяется уравнением Харриса-Прингла; если фирма проводит ребалансировку только периодически, например, раз в год, следует использовать уравнение Майлза-Эззелла.
2. Бета долга β _D равна нулю. Это тот случай, когда заемный капитал имеет незначительный риск того, что выплаты процентов и основной суммы долга не будут произведены в момент задолженности. Своевременная выплата процентов подразумевает, что налоговые вычеты по процентным расходам также будут реализованы — в том периоде, в котором выплачиваются проценты.
3. Предполагается, что ставка дисконтирования, используемая для расчета налогового щита, равна стоимости заемного капитала (таким образом, налоговый щит имеет тот же риск, что и долг). Это, а также предположение о постоянном долге в (1) подразумевают, что налоговый щит пропорционален рыночной стоимости долга: Налоговый щит = T×D .

Вывод

Это упрощенное доказательство основано на оригинальной статье Хамады (Hamada, RS 1972). Мы знаем что бета компании это:

$\beta _{i}={\frac {cov(r_{i},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}\qquad (2)$

Мы также знаем, что рентабельность собственного капитала фирм без заемных средств и с использованием заемных средств равна:

$r_{E,U}={\frac {EBIT(1-T)-\Delta IC}{E_{U}}}\qquad (3)$

$r_{E,L}={\frac {EBIT(1-T)-\Delta IC+Debt_{new}-Interest}{E_{L}}}\qquad (4)$

Где $\Delta IC$ представляет собой сумму чистых капитальных затрат и изменения чистого оборотного капитала. Если подставить уравнения (3) и (4) в (2), то мы получим эти формулы (5), если предположить, что ковариации между рынком и компонентами денежного потока собственного капитала равны нулю (следовательно, β _∆IC =β _{Debt new} =β _Interest =0 ), за исключением ковариации между EBIT и рынком:

$\beta _{U}={\frac {cov({\frac {EBIT(1-T)}{E_{U}}},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}$

$\beta _{L}={\frac {cov({\frac {EBIT(1-T)}{E_{L}}},r_{M})}{\sigma ^{2}(r_{M})}}$

$E_{L}\beta _{L}=E_{U}\beta _{U}\rightarrow \beta _{L}={\frac {E_{U}}{E_{L}}}\beta _{U}$

Чтобы получить известное уравнение, предположим, что стоимость активов фирмы и стоимость собственного капитала фирмы равны, если фирма полностью финансируется за счет собственного капитала и ставка налога равна нулю. Математически это означает стоимость фирмы без заемных средств, когда ставка налога равна нулю: V _U =V _A =E _U . Если мы зафиксируем стоимость фирмы, не использующей заемных средств, и заменим часть капитала на долг ( D>0 ), стоимость фирмы останется прежней, поскольку корпоративный налог отсутствует. В этой ситуации стоимость фирмы с использованием заемных средств равна (6):

$V_{L}=V_{U}=V_{A}=E_{U}=E_{L|T=0}+D$

Если ставка налога больше нуля ( T>0 ) и существует финансовый рычаг ( D>0 ), то фирма с кредитным плечом и без кредитного плеча не равны, поскольку стоимость фирмы с кредитным плечом больше на приведенную стоимость налога. щит:

$\sum _{i}{\frac {Dr_{D}T}{(1+r_{D})^{i}}}={\frac {Dr_{D}T}{r_{D}}}=DT$,

итак (7):

$V_{L}=V_{\{U,A\}}+DT=E_{U}+DT=E_{L|T=0}+D+DT=E_{L|T>0}+D$

Где V _A — стоимость активов фирмы без заемных средств, которую мы зафиксировали выше. Из уравнения (7) E _U есть (8)

$E_{U}=E_{L|T>0}+D-DT$

Объедините уравнения (5) и (8), чтобы получить известную формулу для бета-версии капитала с использованием заемных средств и без использования заемных средств:

$\beta _{L}={\frac {E_{L}+D-DT}{E_{L}}}\beta _{U}=\left[1+{\frac {D}{E_{L}}}(1-T)\right]\beta _{U}=\beta _{U}[1+(1-T)\phi ]$

Где I — сумма процентных платежей, E — собственный капитал, D — долг, V — стоимость категории фирм (с использованием заемных средств или без них), A — активы, M относится к рынку, L означает использование заемных средств, U означает отсутствие категория с использованием заемных средств, r — ставка доходности, а T — ставка налога.

Дальнейшее чтение

• Брили Р., Майерс С. и Аллен Ф. (2010) « Принципы корпоративных финансов », McGraw-Hill, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, 10-е издание, гл. 19, стр. 485–486.
• Коэн, Р.Д. (2007) «Включение риска дефолта в уравнение Хамады для применения к структуре капитала», журнал Wilmott Magazine (загрузить статью)
• Конайн Т.Е. и Тамаркин М. (1985) «Оценка капитальной стоимости подразделения: поправка на кредитное плечо», Financial Management 14 , весенний выпуск, стр. 54.
• Харрис, Р.С. и Прингл, Дж.Дж. (1985) «Ставки дисконтирования с поправкой на риск — расширение случая среднего риска», Журнал финансовых исследований (осень 1985 г.): 237–244.
• Майлз Дж. и Эззелл Дж. (1980) «Средневзвешенная стоимость капитала, совершенные рынки капитала и срок службы проекта: разъяснение» . Журнал финансового и количественного анализа 15: 719–730.