Спираль Экмана

Спираль Экмана возникает вследствие эффекта Кориолиса.

Спираль Экмана представляет собой структуру океанских течений: направления горизонтальных течений смещаются по мере изменения глубины. Спираль Экмана, движимая океаническим ветром, является результатом баланса сил, создаваемого силой напряжения сдвига , силой Кориолиса и сопротивлением воды. Этот баланс сил дает результирующее течение воды, отличное от ветра. В океане есть два места, где можно наблюдать спираль Экмана. На поверхности океана сила напряжения сдвига соответствует силе напряжения ветра . На дне океана сила напряжения сдвига создается за счет трения о дно океана. Это явление впервые наблюдал на поверхности норвежский океанограф Фритьоф Нансен во время своей экспедиции «Фрам» . Он заметил, что айсберги дрейфуют не в том же направлении, что и ветер. Его ученик, шведский океанограф Вагн Вальфрид Экман , был первым, кто физически объяснил этот процесс.

Нижняя спираль Экмана

Две фигуры, показывающие нижнюю спираль Экмана. Фигура слева — это 3D-спираль Экмана, фигура справа — 2D.

Чтобы вывести свойства спирали Экмана, рассматривается однородное горизонтальное геострофическое внутреннее течение в однородной жидкости. Этот поток будем обозначать ${\vec {u}}=({\bar {u}},{\bar {v}})$, где два компонента постоянны из-за однородности. Другим результатом этого свойства является то, что горизонтальные градиенты будут равны нулю. В результате уравнение неразрывности будет иметь вид ${\frac {\partial w}{\partial z}}=0$. Обратите внимание, что рассматриваемый внутренний поток горизонтален, поэтому $w=0$ на всех глубинах, даже в пограничных слоях. В этом случае уравнения импульса Навье-Стокса , управляющие геофизическим движением, теперь могут быть сведены к:

${\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\[5pt]fu&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\[5pt]0&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}$

Где $f$ – параметр Кориолиса , $\rho _{0}$ жидкости плотность и $\nu _{E}$ , вихревая вязкость которые здесь для простоты приняты за постоянные. Эти параметры имеют небольшую дисперсию в масштабе спирали Экмана, поэтому это приближение будет справедливым. Однородный поток требует равномерно изменяющегося градиента давления . При замене компонентов внутреннего течения $u={\bar {u}}$ и $v={\bar {v}}$, в приведенных выше уравнениях получается следующее:

${\begin{aligned}-f{\bar {v}}&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}={\text{constant}}\\[5pt]f{\bar {u}}&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}={\text{constant}}\end{aligned}}$

Использование последнего из трех уравнений, приведенных в начале этого раздела, показывает, что давление не зависит от глубины.

${\begin{aligned}-f(v-{\bar {v}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\\[5pt]f(u-{\bar {u}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}$

$u={\bar {u}}+Ae^{\lambda z}$ и $v={\bar {v}}+Be^{\lambda z}$ будет достаточно для решения приведенных выше дифференциальных уравнений. После подстановки этих возможных решений в те же уравнения: $\nu _{E}^{2}\lambda ^{4}+f^{2}=0$ последует. Сейчас, $\lambda$ имеет следующие возможные результаты:

$\lambda =\pm (1\pm i){\sqrt {\frac {f}{2\nu _{E}}}}$

Из-за отсутствия скольжения внизу и постоянного внутреннего потока для $z\gg d$, коэффициенты $A$ и $B$ можно определить. В конечном итоге это приведет к следующему решению для ${\vec {u}}(z)$:

${\begin{aligned}u&={\bar {u}}\left[1-e^{-z/d}\cos \left({\frac {z}{d}}\right)\right]-{\bar {v}}e^{-z/d}\sin \left({\frac {z}{d}}\right),\\[5pt]v&={\bar {u}}e^{-z/d}\sin \left({\frac {z}{d}}\right)+{\bar {v}}\left[1-e^{-z/d}\cos \left({\frac {z}{d}}\right)\right],\end{aligned}}$

Здесь, $d={\sqrt {\frac {2\nu _{E}}{f}}}$. Отметим, что вектор скорости будет приближаться к значениям внутреннего потока, когда $z$ принимает заказ $d$. Вот почему $d$ определяется как толщина слоя Экмана. Из этого решения вытекает ряд важных свойств спирали Экмана:

• Когда $z\rightarrow {0}$, оказывается, что поток имеет поперечную составляющую по отношению к внутреннему потоку, которая отклоняется на 45 градусов влево в северном полушарии , $f>0$, и 45 градусов вправо в южном полушарии , $f<0$. Заметим, что в этом случае угол между этим потоком и внутренним потоком максимален. Оно будет уменьшаться по мере увеличения $z$.
• Когда ${\frac {z}{d}}$ принимает значение $\pi$, результирующий поток соответствует внутреннему потоку, но будет увеличиваться с увеличением $e^{-\pi }$, относительно внутреннего потока.
• Для более высоких значений ${\frac {z}{d}}$, в другом направлении, как и раньше, будет минимальная поперечная составляющая. Экспоненциальный член будет стремиться к нулю при $z\gg d$, в результате чего ${\vec {u}}=({\bar {u}},{\bar {v}})$. Благодаря этим свойствам вектор скорости потока в зависимости от глубины будет иметь вид спирали.

Поверхностная спираль Экмана

Две фигуры, показывающие нижнюю спираль Экмана. Фигура слева — это 3D-спираль Экмана, фигура справа — 2D.

Решением для течения, образующего нижнюю спираль Экмана, являлось результат касательного напряжения, действующего на поток со стороны дна. Логично, что везде, где к потоку может быть приложено напряжение сдвига , образуются спирали Экмана. Это происходит на границе воздух-вода из-за ветра. Рассматривается ситуация, когда ветровое напряжение ${\vec {\tau }}=(\tau _{x},\tau _{y})$ действует вдоль водной поверхности с внутренним потоком ${\vec {u}}=(u,v)$ под. Опять же, поток однороден, имеет геострофическую внутреннюю часть и представляет собой однородную жидкость. Уравнения движения геострофического потока, такие же, как указано в нижней спиральной секции, можно свести к:

${\begin{aligned}-f(v-{\bar {v}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\\[5pt]f(u-{\bar {u}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$

Граничные условия для этого случая следующие:

• Поверхность $(z=0)$: $\;\;\;\rho _{0}\nu _{E}{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau _{x}\;$ и $\;\rho _{0}\nu _{E}{\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau _{y}$
• К интерьеру $(z\rightarrow {-\infty })$: $\;\;\;u={\bar {u}}\;$ и $\;v={\bar {v}}$

При этих условиях решение может быть определено:

${\begin{aligned}u&={\bar {u}}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{0}fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\cos \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)-\tau _{y}\sin \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right]\\[5pt]v&={\bar {v}}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{0}fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\sin \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+\tau _{y}\cos \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right]\end{aligned}}$

Выявляются некоторые различия относительно нижней спирали Экмана. Отклонение от внутреннего потока зависит исключительно от ветрового напряжения , а не от внутреннего потока. Тогда как в случае нижней спирали Экмана отклонение определяется внутренним течением. Ветровая составляющая потока обратно пропорциональна толщине слоя Экмана. $d$. Таким образом, если толщина слоя мала, например, из-за небольшой вязкости жидкости, этот компонент может быть очень большим. Наконец, поток на поверхности составляет 45 градусов вправо в северном полушарии и 45 градусов влево в южном полушарии относительно направления ветра. В случае нижней спирали Экмана все наоборот.

Наблюдения

Приведенные выше уравнения и предположения не являются репрезентативными для реальных наблюдений спирали Экмана. Различия между теорией и наблюдениями заключаются в том, что угол составляет 5–20 градусов вместо ожидаемых 45 градусов. и что глубина слоя Экмана и, следовательно, спирали Экмана менее глубока, чем ожидалось. Есть три основных фактора, которые объясняют причину этого: стратификация . турбулентность и горизонтальные градиенты. Другими менее важными факторами, играющими в этом роль, являются дрейф Стокса . волны и сила Стокса-Кориолиса .