Линейная эластичность

Линейная упругость — это математическая модель того, как твердые объекты деформируются и подвергаются внутреннему напряжению в результате заданных условий нагрузки. Это упрощение более общей нелинейной теории упругости и раздела механики сплошных сред .

Фундаментальными «линеаризирующими» предположениями линейной упругости являются: бесконечно малые деформации или «малые» деформации (или деформации) и линейные зависимости между компонентами напряжения и деформации. Кроме того, линейная эластичность действительна только для напряженных состояний, не приводящих к текучести .

Эти предположения разумны для многих сценариев инженерных материалов и инженерного проектирования. Поэтому линейная упругость широко используется в структурном анализе и инженерном проектировании, часто с помощью анализа методом конечных элементов .

Математическая формулировка

Уравнения, описывающие линейно-упругую краевую задачу , основаны на трех тензорных уравнениях в частных производных для баланса погонных моментов и шести бесконечно малых соотношениях деформация - перемещение . Система дифференциальных уравнений дополняется набором линейных алгебраических определяющих соотношений .

Прямая тензорная форма

В прямой тензорной форме, которая не зависит от выбора системы координат, эти основные уравнения имеют вид:

• Уравнение импульса Коши , которое является выражением второго закона Ньютона . В конвективной форме это записывается так: $${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}$$
• Уравнения деформации-перемещения : $${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]$$
• Определяющие уравнения . Для упругих материалов закон Гука отражает поведение материала и связывает неизвестные напряжения и деформации. Общее уравнение закона Гука: $${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},$$

где ${\boldsymbol {\sigma }}$ – тензор напряжений Коши , ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ – тензор бесконечно малых деформаций , $\mathbf {u}$ вектор смещения , ${\mathsf {C}}$ четвертого порядка – тензор жесткости , $\mathbf {F}$ - массовая сила на единицу объема, $\rho$ это массовая плотность, ${\boldsymbol {\nabla }}$ представляет оператор набла , $(\bullet )^{\mathrm {T} }$ представляет собой транспонирование , ${\ddot {(\bullet )}}$ представляет вторую материальную производную по времени, и ${\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}$ является внутренним произведением двух тензоров второго порядка (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам).

Декартова координатная форма

Примечание. соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов. Ниже используется

Выраженные через компоненты относительно прямоугольной декартовой системы координат , основные уравнения линейной упругости:

• Уравнение движения : $$\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}$$ где ${(\bullet )}_{,j}$ нижний индекс — это сокращение от $\partial {(\bullet )}/\partial x_{j}$ и $\partial _{tt}$ указывает $\partial ^{2}/\partial t^{2}$, $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$ Коши – тензор напряжений , $F_{i}$ плотность массовой силы, $\rho$ - массовая плотность, а $u_{i}$ это смещение.
  Это 3 независимых уравнения с 6 независимыми неизвестными (напряжениями).
  В инженерных обозначениях это: $${\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$$
• Уравнения деформации-перемещения : $$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})$$ где $\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!$ это напряжение. Это 6 независимых уравнений, связывающих деформации и перемещения с 9 независимыми неизвестными (деформациями и перемещениями).
  В инженерных обозначениях это: $${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}$$
• Определяющие уравнения . Уравнение закона Гука: $$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}$$ где $C_{ijkl}$ – тензор жесткости. Это 6 независимых уравнений, связывающих напряжения и деформации. Требование симметричности тензоров напряжений и деформаций приводит к равенству многих упругих постоянных, сокращая количество различных элементов до 21. $C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}$.

Упругостная краевая задача для изотропно-однородной среды представляет собой систему 15 независимых уравнений и равного числа неизвестных (3 уравнения равновесия, 6 уравнений деформации-перемещения и 6 определяющих уравнений). Задав граничные условия, краевая задача полностью определена. Для решения системы можно использовать два подхода в соответствии с граничными условиями краевой задачи: формулировку перемещения и формулировку напряжения .

Цилиндрическая форма координат

В цилиндрических координатах ( $r,\theta ,z$) уравнения движения имеют вид $${\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$$Соотношения деформации-перемещения: $${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}$$и определяющие соотношения такие же, как и в декартовых координатах, за исключением того, что индексы $1$, $2$, $3$ теперь стойте за $r$, $\theta$, $z$, соответственно.

Сферическая форма координат

В сферических координатах ( $r,\theta ,\phi$) уравнения движения имеют вид $${\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$$

Сферические координаты ( r , θ , φ ), обычно используемые в физике : радиальное расстояние r , полярный угол θ ( тета ) и азимутальный угол φ ( фи ). Символ ρ ( rho ) часто используется вместо r .

Тензор деформаций в сферических координатах равен $${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}$$

(Ан)изотропные (не)однородные среды

В изотропных средах тензор жесткости дает соотношение между напряжениями (результатами внутренних напряжений) и деформациями (результатами деформаций). Для изотропной среды тензор жесткости не имеет предпочтительного направления: приложенная сила будет вызывать одинаковые смещения (относительно направления силы) независимо от направления, в котором приложена сила. В изотропном случае тензор жесткости можно записать: $$C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})$$ где $\delta _{ij}$ - дельта Кронекера , K - модуль объемного сжатия (или несжимаемость), и $\mu$ — модуль сдвига (или жесткость), два модуля упругости . Если среда неоднородна, то изотропная модель имеет смысл, если среда либо кусочно-постоянная, либо слабонеоднородная; в сильно неоднородной гладкой модели необходимо учитывать анизотропию. Если среда однородна , то модули упругости не будут зависеть от положения в среде. Определяющее уравнение теперь можно записать так: $$\sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).$$

Это выражение разделяет напряжение на скалярную часть слева, которая может быть связана со скалярным давлением, и бесследовую часть справа, которая может быть связана с силами сдвига. Более простое выражение: $$\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}$$где λ — первый параметр Ламе . Поскольку основное уравнение представляет собой просто набор линейных уравнений, деформацию можно выразить как функцию напряжений следующим образом: $$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)$$то есть снова скалярная часть слева и бесследная сдвиговая часть справа. Проще говоря: $$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]$$где $\nu$ - коэффициент Пуассона и $E$ – модуль Юнга .

Эластостатика

Эластостатика — это исследование линейной упругости в условиях равновесия, при которых сумма всех сил, действующих на упругое тело, равна нулю, а смещения не являются функцией времени. иметь вид Тогда уравнения равновесия будут $$\sigma _{ji,j}+F_{i}=0.$$В инженерных обозначениях (тау означает напряжение сдвига )

• ${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0$
• ${\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0$
• ${\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0$

В этом разделе будет обсуждаться только изотропно-однородный случай.

Формулировка смещения

В этом случае перемещения заданы всюду на границе. В этом подходе деформации и напряжения исключаются из формулировки, оставляя смещения в качестве неизвестных, которые необходимо решить в основных уравнениях.Сначала уравнения деформации-перемещения подставляются в определяющие уравнения (закон Гука), исключая деформации как неизвестные: $$\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).$$Дифференцируя (полагая $\lambda$ и $\mu$ пространственно однородны) дает: $$\sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).$$Подстановка в уравнение равновесия дает: $$\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0$$или (заменив двойные (фиктивные) (= суммированные) индексы k,k на j,j и поменяв местами индексы, ij на, ji после в силу теоремы Шварца ) $$\mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0$$где $\lambda$ и $\mu$ – параметры Ламе .Таким образом, единственными неизвестными остаются перемещения, отсюда и название этой формулировки. Основные уравнения, полученные таким образом, называются уравнениями упругости и представляют собой частный случай стационарных уравнений Навье – Коши, приведенных ниже.

Вывод стационарных уравнений Навье–Коши в инженерных обозначениях.

Во-первых, $x$-направление будет рассмотрено. Подставив уравнения деформации-перемещения в уравнение равновесия в $x$-направление у нас есть $$\sigma _{x}=2\mu \varepsilon _{x}+\lambda (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})=2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)$$$$\tau _{xy}=\mu \gamma _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)$$$$\tau _{xz}=\mu \gamma _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)$$

Затем подставив эти уравнения в уравнение равновесия в $x\,\!$-направление у нас есть $${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0$$$${\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)+F_{x}=0$$

Используя предположение, что $\mu$ и $\lambda$ постоянны, мы можем переставить и получить: $$\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0$$

Следуя той же процедуре для $y\,\!$-направление и $z\,\!$-направление у нас есть $$\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0$$$$\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0$$

Эти последние три уравнения представляют собой стационарные уравнения Навье – Коши, которые также можно выразить в векторных обозначениях как $$(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {F} =0$$

После того, как поле смещений рассчитано, смещения можно заменить в уравнениях деформации-перемещения для расчета деформаций, которые позже используются в основных уравнениях для расчета напряжений.

Бигармоническое уравнение

Уравнение упругости можно записать: $$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.$$

Беря дивергенцию обеих частей уравнения упругости и предполагая, что массовые силы имеют нулевую дивергенцию (однородны в области) ( $F_{i,i}=0\,\!$) у нас есть $$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.$$

Учитывая, что суммированные индексы не обязательно совпадают и что частные производные коммутируют, два дифференциальных члена кажутся одинаковыми, и мы имеем: $$\alpha ^{2}u_{j,iij}=0$$ из чего мы делаем вывод, что: $$u_{j,iij}=0.$$

Взяв лапласиан обеих частей уравнения упругости и приняв дополнительно $F_{i,kk}=0\,\!$, у нас есть $$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.$$

Из уравнения дивергенции первый член слева равен нулю (Примечание: суммированные индексы не обязательно должны совпадать), и мы имеем: $$\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0$$из чего мы делаем вывод, что: $$u_{i,kkmm}=0$$или, в координатно-свободных обозначениях $\nabla ^{4}\mathbf {u} =0$ что представляет собой просто бигармоническое уравнение в $\mathbf {u} \,\!$.

Формулировка стресса

В этом случае поверхностные силы сцепления заданы всюду на границе поверхности. В этом подходе деформации и смещения исключаются, а напряжения остаются неизвестными, которые необходимо решить в основных уравнениях. После того как поле напряжений найдено, деформации находятся с использованием определяющих уравнений.

Существует шесть независимых компонентов тензора напряжений, которые необходимо определить, однако в формулировке смещения необходимо определить только три компонента вектора смещения. Это означает, что на тензор напряжений необходимо наложить некоторые ограничения, чтобы уменьшить количество степеней свободы до трех. Используя определяющие уравнения, эти ограничения выводятся непосредственно из соответствующих ограничений, которые должны выполняться для тензора деформаций, который также имеет шесть независимых компонентов. Ограничения на тензор деформации выводятся непосредственно из определения тензора деформации как функции поля векторов перемещений, что означает, что эти ограничения не вносят никаких новых концепций или информации. Легче всего понять ограничения на тензор деформаций. Если представить упругую среду как набор бесконечно малых кубиков в недеформированном состоянии, то после деформирования среды произвольный тензор деформаций должен давать ситуацию, при которой искаженные кубики все еще подходят друг к другу, не перекрываясь. Другими словами, для данной деформации должно существовать непрерывное векторное поле (смещение), из которого можно получить этот тензор деформации. Ограничения на тензор деформаций, необходимые для обеспечения этого, были открыты Сен-Венаном и называются « Уравнения совместимости Сен-Венана ». Это 81 уравнение, 6 из которых являются независимыми нетривиальными уравнениями, связывающими различные компоненты деформации. В индексных обозначениях они выражаются как: $$\varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.$$В инженерных обозначениях это: $${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}$$

Деформации в этом уравнении затем выражаются через напряжения с использованием определяющих уравнений, что дает соответствующие ограничения на тензор напряжений. Эти ограничения на тензор напряжений известны как Бельтрами-Мичелла уравнения совместимости : $$\sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.$$В особой ситуации, когда объемная сила однородна, приведенные выше уравнения сводятся к $$(1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.$$

Необходимым, но недостаточным условием совместимости в этой ситуации является ${\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}$ или $\sigma _{ij,kk\ell \ell }=0$.

Эти ограничения вместе с уравнением равновесия (или уравнением движения для эластодинамики) позволяют рассчитать поле тензора напряжений. После того, как поле напряжений рассчитано по этим уравнениям, деформации можно получить из материальных уравнений, а поле смещений - из уравнений деформации-перемещения.

Альтернативный метод решения состоит в том, чтобы выразить тензор напряжений через функции напряжений , которые автоматически приводят к решению уравнения равновесия. Тогда функции напряжений подчиняются одному дифференциальному уравнению, которое соответствует уравнениям совместимости.

Решения для эластостатических случаев

Решение Томсона - точечная сила в бесконечной изотропной среде

Наиболее важным решением уравнения Навье-Коши или уравнения упругости является решение силы, действующей в точке бесконечной изотропной среды. Это решение было найдено Уильямом Томсоном (впоследствии лордом Кельвином) в 1848 году (Thomson 1848). Это решение является аналогом закона Кулона в электростатике . Вывод дан у Ландау и Лифшица. Определение $$a=1-2\nu$$$$b=2(1-\nu )=a+1$$где $\nu$ является коэффициентом Пуассона, решение может быть выражено как $$u_{i}=G_{ik}F_{k}$$ где $F_{k}$ - вектор силы, приложенной в точке, и $G_{ik}$ - тензорная функция Грина , которую можно записать в декартовых координатах как: $$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]$$

Это также можно компактно записать так: $$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]$$и это может быть явно записано как: $$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}$$

В цилиндрических координатах ( $\rho ,\phi ,z\,\!$) это можно записать так: $$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}$$где r — общее расстояние до точки.

Особенно полезно записать перемещение в цилиндрических координатах для точечной силы. $F_{z}$ направлен вдоль оси z. Определение ${\hat {\boldsymbol {\rho }}}$ и ${\hat {\mathbf {z} }}$ как единичные векторы в $\rho$ и $z$ направлениях соответственно дает: $$\mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]$$

Видно, что существует составляющая смещения в направлении силы, которая убывает, как и в случае потенциала в электростатике, как 1/ r при больших r . Имеется также дополнительная ρ-направленная компонента.

Решение Буссинеска – Черрути - точечная сила в начале бесконечного изотропного полупространства

Другое полезное решение — это точечная сила, действующая на поверхность бесконечного полупространства. Его вывел Буссинеск. для нормальной силы и Черрути для тангенциальной силы, а вывод дан у Ландау и Лифшица. В этом случае решение снова записывается в виде тензора Грина, обращающегося в ноль на бесконечности, а нормальная к поверхности компонента тензора напряжений обращается в нуль. Это решение можно записать в декартовых координатах как [напомним: $a=(1-2\nu )$ и $b=2(1-\nu )$, $\nu$ = коэффициент Пуассона]:

$$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}{\begin{bmatrix}{\frac {b}{r}}+{\frac {x^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ax^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {xy}{r^{3}}}-{\frac {axy}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}\\{\frac {yx}{r^{3}}}-{\frac {ayx}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {y^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ay^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {yz}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}\\{\frac {zx}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}&{\frac {zy}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {z^{2}}{r^{3}}}\end{bmatrix}}$$

Другие решения

• Точечная сила внутри бесконечного изотропного полупространства.
• Точечная сила на поверхности изотропного полупространства.
• Контакт двух упругих тел: решение Герца (см. код Matlab ). См. также страницу Контактная механика .

Эластодинамика с точки зрения перемещений

Эластодинамика — это изучение упругих волн , включающее линейную упругость, изменяющуюся во времени. Упругая волна — это тип механической волны , которая распространяется в упругих или вязкоупругих материалах. Эластичность материала обеспечивает восстанавливающую силу волны. Когда упругие волны возникают на Земле в результате землетрясения или другого возмущения, их обычно называют сейсмическими волнами .

Уравнение линейного количества движения — это просто уравнение равновесия с дополнительным инерционным членом: $$\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.$$

Если материал подчиняется анизотропному закону Гука (с тензором жесткости, однородным по всему материалу), можно получить уравнение смещения эластодинамики : $$\left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.$$

Если материал изотропен и однороден, получается (общее или нестационарное) уравнение Навье – Коши : $$\mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.$$

Упругодинамическое волновое уравнение также можно выразить как $$\left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}$$где $$A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}$$– акустический дифференциальный оператор , а $\delta _{kl}$ это дельта Кронекера .

В изотропных средах тензор жесткости имеет вид $$C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})$$где $K$ - модуль объемного сжатия (или несжимаемость), а $\mu$ — модуль сдвига (или жесткость), два модуля упругости . Если материал однороден (т.е. тензор жесткости постоянен по всему материалу), акустический оператор принимает вид: $$A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})$$

Для плоских волн указанный выше дифференциальный оператор становится акустическим алгебраическим оператором : $$A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})$$где $$\alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho$$являются собственными значениями $A[{\hat {\mathbf {k} }}]$ с собственными векторами ${\hat {\mathbf {u} }}$ параллельно и ортогонально направлению распространения ${\hat {\mathbf {k} }}\,\!$, соответственно. Сопутствующие волны называются продольными и сдвиговыми упругими волнами. В сейсмологической литературе соответствующие плоские волны называются Р-волнами и S-волнами (см. Сейсмическая волна ).

Эластодинамика в условиях напряжений

Исключение смещений и деформаций из основных уравнений приводит к уравнению эластодинамики Игначака. $$\left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.$$

В случае локальной изотропии это сводится к $$\left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.$$

Основные характеристики этой рецептуры включают в себя: (1) позволяет избежать градиентов податливости, но вводит градиенты массовой плотности; (2) оно выводится из вариационного принципа; (3) он удобен для решения начально-краевых задач тяги, (4) позволяет провести тензорную классификацию упругих волн, (5) предлагает ряд приложений в задачах распространения упругих волн; (6) может быть распространено на динамику классических или микрополярных твердых тел с взаимодействующими полями различных типов (термоупругих, насыщенных жидкостью пористых, пьезоэлектроупругих...), а также нелинейных сред.

Анизотропные однородные среды

Основная статья: закон Гука

Для анизотропных сред тензор жесткости $C_{ijkl}$ это сложнее. Симметрия тензора напряжений $\sigma _{ij}$ означает, что существует не более 6 различных элементов стресса. Аналогично, существует не более 6 различных элементов тензора деформаций. $\varepsilon _{ij}\,\!$. Отсюда тензор жесткости четвертого порядка $C_{ijkl}$ можно записать в виде матрицы $C_{\alpha \beta }$ (тензор второго порядка). Обозначение Фойгта - это стандартное отображение тензорных индексов, $${\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}$$

С такими обозначениями матрицу упругости для любой линейно упругой среды можно записать в виде: $$C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.$$

Как показано, матрица $C_{\alpha \beta }$ симметрична, это является результатом существования функции плотности энергии деформации, которая удовлетворяет условию $\sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}$. Следовательно, существует не более 21 различных элементов. $C_{\alpha \beta }\,\!$.

Изотропный частный случай имеет два независимых элемента: $$C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.$$

Самый простой анизотропный случай кубической симметрии имеет три независимых элемента: $$C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.$$

Случай поперечной изотропии , также называемый полярной анизотропией (с одной осью (3-осью) симметрии), имеет 5 независимых элементов: $$C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.$$

Когда поперечная изотропия слаба (т.е. близка к изотропии), альтернативная параметризация с использованием параметров Томсена удобна для формул для скоростей волн.

Случай ортотропии (симметрии кирпича) имеет 9 независимых элементов: $$C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.$$

Эластодинамика

Упругодинамическое волновое уравнение для анизотропных сред можно выразить как $$(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}$$где $$A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}$$– акустический дифференциальный оператор , а $\delta _{kl}$ это дельта Кронекера .

Плоские волны и уравнение Кристоффеля

Плоская волна имеет вид $$\mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}$$с ${\hat {\mathbf {u} }}\,\!$ единичной длины.Это решение волнового уравнения с нулевым воздействием тогда и только тогда, когда $\omega ^{2}$ и ${\hat {\mathbf {u} }}$ составляют пару собственное значение/собственный вектор акустического алгебраического оператора $$A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.$$Это условие распространения (также известное как уравнение Кристоффеля ) можно записать как $$A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}$$где ${\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}$обозначает направление распространения и $c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}$ – фазовая скорость.

См. также

• Метод Кастильяно
• Уравнение импульса Коши
• Теорема Клапейрона
• Контактные механики
• Деформация
• Эластичность (физика)
• Сорт
• Закон Гука
• Теория бесконечно малых деформаций
• Решение Мичелла
• Пластичность (физика)
• Джентльмены, проблема
• Пружинная система
• Стресс (механика)
• Функции напряжения