Топологическое тензорное произведение

В математике обычно существует множество различных способов построения топологического тензорного произведения двух топологических векторных пространств . Для гильбертовых пространств или ядерных пространств существует простая с хорошим поведением теория тензорных произведений (см. Тензорное произведение гильбертовых пространств ), но для общих банаховых пространств или локально выпуклых топологических векторных пространств теория общеизвестно тонка.

Мотивация

Одна из первоначальных причин создания топологических тензорных произведений. ${\hat {\otimes }}$ является тот факт, что тензорные произведения пространств гладких вещественных функций на $\mathbb {R} ^{n}$ не вести себя так, как ожидалось. Есть инъекция.

$C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\hookrightarrow C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})$

но это не изоморфизм . Например, функция $f(x,y)=e^{xy}$ не может быть выражено как конечная линейная комбинация гладких функций в $C^{\infty }(\mathbb {R} _{x})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} _{y}).$ Мы получаем изоморфизм только после построения топологического тензорного произведения; то есть,

$C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mathop {\hat {\otimes }} C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\cong C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m}).$

В этой статье впервые подробно описана конструкция в случае банахового пространства. Пространство $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ не является банаховым пространством, и дальнейшие случаи обсуждаются в конце.

Тензорные произведения гильбертовых пространств

Основная статья: Тензорное произведение гильбертовых пространств

Алгебраическое тензорное произведение двух гильбертовых пространств A и B имеет естественную положительно определенную полуторалинейную форму (скалярное произведение), индуцированную полуторалинейными формами A и B . Так, в частности, оно имеет естественную определенную квадратичную форму , а соответствующее пополнение представляет собой гильбертово пространство A ⊗ B , называемое (гильбертовым пространством) тензорным произведением A и B. положительно

Если векторы a _i и b _j проходят через ортонормированные базисы A B и базис векторы a _i ⊗ b _j образуют ортонормированный A ⊗ B. , то

Перекрестные нормы и тензорные произведения банаховых пространств

В этом разделе мы будем использовать обозначения из ( Ryan 2002 ). Очевидный способ определения тензорного произведения двух банаховых пространств $A$ и $B$ состоит в том, чтобы скопировать метод для гильбертовых пространств: определить норму алгебраического тензорного произведения, а затем взять пополнение по этой норме. Проблема в том, что существует более одного естественного способа определить норму тензорного произведения.

Если $A$ и $B$ являются банаховыми пространствами, алгебраическим тензорным произведением $A$ и $B$ означает произведение тензорное $A$ и $B$ как векторные пространства и обозначается $A\otimes B.$ Алгебраическое тензорное произведение $A\otimes B$ состоит из всех конечных сумм $$x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i},$$где $n$ является натуральным числом, зависящим от $x$ и $a_{i}\in A$ и $b_{i}\in B$ для $i=1,\ldots ,n.$

Когда $A$ и $B$ являются банаховыми пространствами, a кросснорм (или перекрестная норма ) $p$ об алгебраическом тензорном произведении $A\otimes B$ является нормой, удовлетворяющей условиям $$p(a\otimes b)=\|a\|\|b\|,$$$$p'(a'\otimes b')=\|a'\|\|b'\|.$$

Здесь $a^{\prime }$ и $b^{\prime }$ являются элементами топологических дуальных пространств $A$ и $B,$ соответственно, и $p^{\prime }$ это двойная норма $p.$ Термин разумная перекрестная норма также используется для приведенного выше определения.

Существует перекрестная норма $\pi$ называемая проективной перекрестной нормой, определяемая формулой $$\pi (x)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|:x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\right\},$$где $x\in A\otimes B.$

Оказывается, что проективная перекрестная норма согласуется с наибольшей перекрестной нормой (( Райан 2002 ), предложение 2.1).

Существует перекрестная норма $\varepsilon$ называемая инъективной перекрестной нормой, определяемая формулой $$\varepsilon (x)=\sup \left\{\left|(a'\otimes b')(x)\right|:a'\in A',b'\in B',\|a'\|=\|b'\|=1\right\}$$где $x\in A\otimes B.$ Здесь $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ обозначают топологические двойственные $A$ и $B,$ соответственно.

При этом отметим, что инъективная перекрестная норма лишь в некотором разумном смысле является «наименьшей».

Пополнения алгебраического тензорного произведения в этих двух нормах называются проективными и инъективными тензорными произведениями и обозначаются через $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\pi }B$ и $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\varepsilon }B.$

Когда $A$ и $B$ являются гильбертовыми пространствами, норма, используемая для их тензорного произведения в гильбертовом пространстве, вообще говоря, не равна ни одной из этих норм. Некоторые авторы обозначают его $\sigma ,$ поэтому произведение тензора гильбертова пространства в приведенном выше разделе будет равно $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\sigma }B.$

А единая норма $\alpha$ это задание каждой паре $(X,Y)$ банаховых пространств разумной кросснормы на $X\otimes Y$ так что если $X,W,Y,Z$ являются произвольными банаховыми пространствами, то для всех (непрерывных линейных) операторов $S:X\to W$ и $T:Y\to Z$ оператор $S\otimes T:X\otimes _{\alpha }Y\to W\otimes _{\alpha }Z$ является непрерывным и $\|S\otimes T\|\leq \|S\|\|T\|.$ Если $A$ и $B$ представляют собой два банаховых пространства и $\alpha$ является равномерной перекрестной нормой, тогда $\alpha$ определяет разумную перекрестную норму алгебраического тензорного произведения $A\otimes B.$ Нормированное линейное пространство, полученное оснащением $A\otimes B$ с этой нормой обозначается $A\otimes _{\alpha }B.$ Завершение $A\otimes _{\alpha }B,$ которое является банаховым пространством, обозначается $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B.$ Значение нормы, определяемое формулой $\alpha$ на $A\otimes B$ и на законченном тензорном произведении $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B$ для элемента $x$ в $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B$ (или $A\otimes _{\alpha }B$) обозначается $\alpha _{A,B}(x){\text{ or }}\alpha (x).$

Единая кросснорма $\alpha$ Говорят, что это конечно порождено , если для каждой пары $(X,Y)$ банаховых пространств и каждого $u\in X\otimes Y,$$$\alpha (u;X\otimes Y)=\inf\{\alpha (u;M\otimes N):\dim M,\dim N<\infty \}.$$

Единая кросснорма $\alpha$ является коконечно порождено , если для каждой пары $(X,Y)$ банаховых пространств и каждого $u\in X\otimes Y,$$$\alpha (u)=\sup\{\alpha ((Q_{E}\otimes Q_{F})u;(X/E)\otimes (Y/F)):\dim X/E,\dim Y/F<\infty \}.$$

А тензорная норма определяется как конечно порожденная равномерная кросснорма. Проективная перекрестная норма $\pi$ и инъективная перекрестная норма $\varepsilon$ определенные выше, являются тензорными нормами и называются проективной тензорной нормой и инъективной тензорной нормой соответственно.

Если $A$ и $B$ являются произвольными банаховыми пространствами и $\alpha$ — произвольная равномерная перекрестная норма, тогда $$\varepsilon _{A,B}(x)\leq \alpha _{A,B}(x)\leq \pi _{A,B}(x).$$

Тензорные произведения локально выпуклых топологических векторных пространств

См. Также: Инъективное тензорное произведение и Проективное тензорное произведение.

Топологии локально выпуклых топологических векторных пространств $A$ и $B$ задаются семействами полунорм . Для каждого выбора полунормы по $A$ и дальше $B$ мы можем определить соответствующее семейство перекрестных норм на алгебраическом тензорном произведении $A\otimes B,$ и выбрав по одной перекрестной норме из каждой семьи, мы получим несколько перекрестных норм на $A\otimes B,$ определение топологии. Вообще существует огромное количество способов сделать это. Два наиболее важных способа — взять все проективные кросс-нормы или все инъективные кросс-нормы. Пополнения полученных топологий на $A\otimes B$ называются проективными и инъективными тензорными произведениями и обозначаются $A\otimes _{\gamma }B$ и $A\otimes _{\lambda }B.$ Существует естественная карта из $A\otimes _{\gamma }B$ к $A\otimes _{\lambda }B.$

Если $A$ или $B$ является ядерным пространством , то естественная карта из $A\otimes _{\gamma }B$ к $A\otimes _{\lambda }B$ является изоморфизмом. Грубо говоря, это означает, что если $A$ или $B$ является ядерным, то существует только одно разумное тензорное произведение $A$ и $B$.Это свойство характеризует ядерные пространства.

См. также

• Пространство Фреше - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Ядро Фредгольма - тип ядра в банаховом пространстве. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Индуктивное тензорное произведение — бинарная операция над топологическими векторными пространствами. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Инъективное тензорное произведение
• Проективное тензорное произведение – тензорное произведение, определенное в двух топологических векторных пространствах. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Проективная топология — самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Тензорное произведение гильбертовых пространств - тензорное произведение, наделенное особым внутренним произведением.

Ссылки

• Райан, Р.А. (2002), Введение в тензорные произведения банаховых пространств , Нью-Йорк: Springer .
• Гротендик, А. (1955), «Топологические тензорные произведения и ядерные пространства», Мемуары Американского математического общества , 16 .