Суперсимметричная калибровочная теория

В теоретической физике существует множество теорий с суперсимметрией (SUSY), которые также обладают внутренней калибровочной симметрией . Суперсимметричная калибровочная теория обобщает это понятие.

Калибровочная теория

Калибровочная теория — это теория поля с калибровочной симметрией. Грубо говоря, существует два типа симметрии: глобальная и локальная. Глобальная симметрия — это симметрия, равномерно (в некотором смысле) применяемая к каждой точке многообразия . Локальная симметрия — это симметрия, зависящая от положения. Калибровочная симметрия является примером локальной симметрии, симметрия которой описывается группой Ли (которая математически описывает непрерывные симметрии), которая в контексте калибровочной теории называется калибровочной группой теории.

Квантовая хромодинамика и квантовая электродинамика являются известными примерами калибровочных теорий.

Суперсимметрия

В физике элементарных частиц существуют частицы с двумя типами статистики частиц : бозоны и фермионы . Бозоны имеют целочисленные значения спина и характеризуются способностью иметь любое количество одинаковых бозонов, занимающих одну точку пространства. Таким образом, они отождествляются с силами . Фермионы имеют полуцелые значения спина, и по принципу Паули идентичные фермионы не могут занимать одну позицию в пространстве-времени. Бозонные и фермионные поля интерпретируются как материя . Таким образом, суперсимметрия считается сильным кандидатом на объединение излучения (бозонных сил) и материи.

Это объединение задается оператором $Q$ (или, как правило, множество операторов), известный как генератор суперзаряда или суперсимметрии, который схематически действует как

$Q|{\text{boson}}\rangle =|{\text{fermion}}\rangle$
$Q|{\text{fermion}}\rangle =|{\text{boson}}\rangle$

Например, генератор суперсимметрии может принять фотон в качестве аргумента и преобразовать его в фотоно и наоборот. Это происходит посредством трансляции в пространстве (параметров). Это суперпространство представляет собой ${\mathbb {Z} _{2}}$ - градуированное векторное пространство ${\mathcal {W}}={\mathcal {W}}^{0}\oplus {\mathcal {W}}^{1}$ , где ${\mathcal {W}}^{0}$ является бозонным гильбертовым пространством и ${\mathcal {W}}^{1}$ представляет собой фермионное гильбертово пространство.

Калибровочная теория SUSY

Мотивацией создания суперсимметричной версии калибровочной теории может быть тот факт, что калибровочная инвариантность согласуется с суперсимметрией.Первые примеры были обнаружены Бруно Зумино и Серджио Феррарой , а также независимо Абдусом Саламом и Джеймсом Стратди в 1974 году.

Калибровочными частицами могут стать как полуцелые спин-фермионы, так и целочисленные спин-бозоны. Калибровочные векторные поля и их спинорные суперпартнеры могут находиться в одном и том же представлении внутренней группы симметрии.

Предположим, у нас есть $U(1)$ калибровочное преобразование $V_{\mu }\rightarrow V_{\mu }+\partial _{\mu }A$ , где $V_{\mu }$ является векторным полем и $A$ – калибровочная функция. Основная трудность в построении калибровочной теории SUSY состоит в том, чтобы расширить описанное выше преобразование таким образом, чтобы оно согласовывалось с преобразованиями SUSY.

Калибровка Весса – Зумино (рецепт фиксации суперсимметричной калибровки ) обеспечивает успешное решение этой проблемы. Как только такая подходящая калибровка получена, динамика калибровочной теории SUSY работает следующим образом: мы ищем лагранжиан, инвариантный относительно суперкалибровочных преобразований (эти преобразования являются важным инструментом, необходимым для разработки суперсимметричной версии калибровочной теории). Тогда мы можем проинтегрировать лагранжиан, используя правила интегрирования Березина , и таким образом получить действие. Что в дальнейшем приводит к уравнениям движения и, следовательно, может обеспечить полный анализ динамики теории.

$N = 1$ SUSY в 4D (с 4 реальными генераторами)

В четырех измерениях минимальная $суперсимметрия N = 1$ может быть записана с использованием суперпространства . Это суперпространство включает в себя четыре дополнительные фермионные координаты. $\theta ^{1},\theta ^{2},{\bar {\theta }}^{1},{\bar {\theta }}^{2}$ , преобразующийся как двухкомпонентный спинор и его сопряженный.

Каждое суперполе, т. е. поле, зависящее от всех координат суперпространства, может быть расширено по новым фермионным координатам. Существует особый вид суперполей, так называемые киральные суперполя , которые зависят только от переменных $θ$ , но не от их сопряженных (точнее, ${\overline {D}}f=0$ ). Однако векторное суперполе зависит от всех координат. Оно описывает калибровочное поле и его суперпартнера , а именно фермион Вейля , подчиняющийся уравнению Дирака .

V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}v_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right)

$V$ является векторным суперполем ( препотенциалом ) и вещественным ( $V = V$ ). Поля справа являются полями компонентов.

Калибровочные преобразования действуют как

V\to V+\Lambda +{\overline {\Lambda }}

где $Λ$ — любое киральное суперполе.

Легко проверить, что киральное суперполе

W_{\alpha }\equiv -{\tfrac {1}{4}}{\overline {D}}^{2}D_{\alpha }V

является калибровочным инвариантом. Так же как и его комплексное сопряжение ${\overline {W}}_{\dot {\alpha }}$ .

несуперсимметричная ковариантная калибровка Часто используемая — это калибровка Весса – Зумино . Здесь $C, χ, M$ и $N$ установлены равными нулю. Остаточные калибровочные симметрии представляют собой калибровочные преобразования традиционного бозонного типа.

Киральное суперполе $X$ с зарядом $q$ преобразуется как

X\to e^{q\Lambda }X,\qquad {\overline {X}}\to e^{q{\overline {\Lambda }}}X

Поэтому $X e - qВ X$ является калибровочным инвариантом. Здесь $е - qВ$ называется мостом , поскольку он «соединяет» поле, которое преобразуется только под действием $Λ$ , с полем, которое преобразуется только под действием $Λ$ .

В более общем смысле, если у нас есть вещественная калибровочная группа $G$ , которую мы хотим суперсимметризировать, нам сначала нужно комплексифицировать ее до $G с \cdot и - qВ$ затем действует компенсатор сложных калибровочных преобразований, фактически поглощая их, оставляя только действительные части. Именно это и происходит в калибровке Весса-Зумино.

Дифференциальные суперформы

Давайте перефразируем все, чтобы оно больше походило на традиционную калибровочную теорию Янга – Миллса . У нас есть $калибровочная симметрия U (1),$ действующая на полное суперпространство с 1-суперформной калибровочной связностью A. В аналитическом базисе касательного пространства ковариантная производная задается выражением $D_{M}=d_{M}+iqA_{M}$ . Условия интегрируемости киральных суперполей с киральным ограничением

{\overline {D}}_{\dot {\alpha }}X=0

оставь нас с

\left\{{\overline {D}}_{\dot {\alpha }},{\overline {D}}_{\dot {\beta }}\right\}=F_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}=0.

Аналогичное ограничение для антикиральных суперполей оставляет нам $F αβ = 0$ . Это означает, что мы можем либо оценить исправление $A_{\dot {\alpha }}=0$ или $A α = 0$ , но не то и другое одновременно. Назовите две разные схемы крепления манометра I и II соответственно. В калибре I, ${\overline {d}}_{\dot {\alpha }}X=0$ а в калибровке II $d α X = 0$ . Хитрость заключается в том, чтобы одновременно использовать два разных датчика; калибровка I для киральных суперполей и калибровка II для антикиральных суперполей. Чтобы соединить две разные шкалы, нам нужно калибровочное преобразование. Назови это $е - V$ (по соглашению). Если бы мы использовали одну калибровку для всех полей, $X X$ был бы калибровочно-инвариантным. Однако нам нужно преобразовать датчик I в датчик II, преобразуя $X$ в $(e - V) д Х.$ Итак, калибровочно-инвариантная величина равна $X e - qВ Х.$

В калибре I у нас все еще есть остаточный калибр $e. л$ где ${\overline {d}}_{\dot {\alpha }}\Lambda =0$ а в калибровке II имеем остаточную калибровку $e л$ удовлетворяющее $d α Λ знак равно 0$ . Под остаточными колеями мост трансформируется как

e^{-V}\to e^{-{\overline {\Lambda }}-V-\Lambda }.

Без каких-либо дополнительных ограничений мост $e - V$ не даст всей информации о калибровочном поле. Однако при наличии дополнительного ограничения $F_{{\dot {\alpha }}\beta }$ , существует только одно уникальное калибровочное поле, совместимое с калибровочными преобразованиями моста по модулю. Теперь мост дает точно такой же информационный контент, как и поле датчика.

Теории с 8 или более генераторами SUSY ( $N > 1$ )

В теориях с более высокой суперсимметрией (и, возможно, более высокой размерностью) векторное суперполе обычно описывает не только калибровочное поле и фермион Вейля, но и по крайней мере одно комплексное скалярное поле .

Примеры

Чистые суперсимметричные калибровочные теории

Суперсимметричные калибровочные теории с материей

Супер КХД
MSSM (минимальная суперсимметричная стандартная модель)
NMSSM (Ближайшая к минимальной суперсимметричная Стандартная модель)

См. также

Ссылки

Стивен П. Мартин. Учебник по суперсимметрии , arXiv : hep-ph/9709356 .
Пракаш, Нирмала. Математический взгляд на теоретическую физику: путешествие от черных дыр к суперструнам , World Scientific (2003).
Кулшрешта, Д.С.; Мюллер-Кирстен, HJW (1991). «Квантование систем с ограничениями: метод Фаддеева-Джеки в сравнении с методом Дирака, примененным к суперполям». Физический обзор D . Физ. Ред. Д43, 3376-3383. 43 (10): 3376–3383. Бибкод : 1991PhRvD..43.3376K . дои : 10.1103/PhysRevD.43.3376 .

v т и Суперсимметрия
General topics	Supersymmetry Supersymmetric gauge theory Supersymmetric quantum mechanics Supergravity Superstring theory Super vector space Supergeometry
Supermathematics	Superalgebra Lie superalgebra Super-Poincaré algebra Superconformal algebra Supersymmetry algebra Supergroup Superspace Harmonic superspace Super Minkowski space Supermanifold
Concepts	Supercharge R-symmetry Supermultiplet Short supermultiplet BPS state Superpotential D-term FI D-term F-term Moduli space Supersymmetry breaking Konishi anomaly Seiberg duality Seiberg–Witten theory Witten index Wess–Zumino gauge Localization Mu problem Little hierarchy problem Electric–magnetic duality
Theorems	Coleman–Mandula Haag–Łopuszański–Sohnius Nonrenormalization
Field theories	Wess–Zumino N = 1 super Yang–Mills 4D N = 1 N = 4 super Yang–Mills Super QCD MSSM NMSSM 6D (2,0) superconformal ABJM superconformal
Supergravity	Pure 4D N = 1 supergravity 4D N = 1 supergravity N = 8 supergravity Higher dimensional 11D supergravity Gauged supergravity
Superpartners	Axino Chargino Gaugino Goldstino Graviphoton Graviscalar Higgsino LSP Neutralino R-hadron Sfermion Sgoldstino Stop squark Superghost
Researchers	Affleck Bagger Batchelor Berezin Dine Fayet Gates Golfand Iliopoulos Montonen Olive Salam Seiberg Siegel Roček Rogers Wess Witten Zumino