2 ₂₂ соты

2 ₂₂ соты
(нет изображения)
Тип	Равномерная тесселяция
Символ Коксетера	2 ₂₂
Символ Шлефли	{3,3,3 ^2,2}
Диаграмма Кокстера
6-гранный тип	2 ₂₁
5-гранные типы	2 ₁₁ {3 ⁴}
4-гранный тип	{3 ³}
Тип ячейки	{3,3}
Тип лица	{3}
Фигура лица	{3}×{3} дуопризма
Краевая фигура	{3 ^2,2}
Вершинная фигура	1 ₂₂
Группа Коксетера	${\tilde {E}}_{6}$ , [[3,3,3 ^2,2]]
Характеристики	вершинно-транзитивный , фасетно-транзитивный

В геометрии соты 2 ₂₂ равномерную представляют собой мозаику шестимерного евклидова пространства. Его можно представить символом Шлефли {3,3,3 ^2,2}. Он построен из 2 ₂₁ грани и имеет фигуру с 1 ₂₂ вершинами и 54 2 ₂₁ многогранниками вокруг каждой вершины.

Его вершинное расположение представляет собой и _, E6 корневую систему группы E6 _{решетку} Ли также можно назвать E6 _{поэтому ее} сотами .

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 7 гиперплоских зеркал в 6-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина : .

Удаление узла на конце одной из двухузловых ветвей оставляет 2 ₂₁ , единственный грани , тип

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это составляет 1 ₂₂ , .

Реберная фигура — это вершинная фигура вершинной фигуры, здесь являющаяся биректифицированным 5-симплексом , t ₂ {3 ⁴}, .

Лицевая фигура — это вершинная фигура реберной фигуры, здесь это треугольная дуопризма , {3}×{3}, .

Поцелуйный номер

Каждая вершина этой мозаики является центром 5-сферы в самой плотной известной упаковке в 6 измерениях, с номером поцелуя 72, представленным вершинами ее вершинной фигуры 1 ₂₂ .

Е ₆Решетка

2 ₂₂ сот Расположение вершин называется E ₆ решеткой . ^[1]

Е  ₆² решетка , с [[3,3,3 ^2,2]] симметрии , может быть построена объединением двух _{решеток E6} :

∪

Е  ₆^* решетка ^[2] (или Е ₆³) с [[3,3 ^2,2,2]] симметрия. Ячейка Вороного Е ₆^* решетка — это выпрямленный многогранник 1 ₂₂ , а мозаика Вороного — 2 ₂₂ усеченные соты . ^[3] Он состоит из трех копий вершин решетки E6 _, по одной из каждой из трех ветвей диаграммы Кокстера.

∪

= двойственный к

.

Геометрическое складывание

The ${\tilde {E}}_{6}$ группа относится к ${\tilde {F}}_{4}$ путем геометрического складывания , поэтому эту соту можно спроектировать в 4-мерную соту с 16 ячейками .

${\tilde {E}}_{6}$	${\tilde {F}}_{4}$

{3,3,3 ^2,2}	{3,3,4,3}

Связанные соты

Соты 2 ₂₂ — это одни из 127 однородных сот (39 уникальных) с ${\tilde {E}}_{6}$ симметрия. 24 из них имеют двойную симметрию [[3,3,3 ^2,2]] с 2 одинаково кольчатыми ветвями, а 7 имеют шестикратную (3 ! ) симметрию [[3,3 ^2,2,2]] с одинаковыми кольцами на всех 3 ветвях. В этом семействе нет правильных сот, поскольку его диаграмма Кокстера представляет собой нелинейный граф, но многогранники 2 ₂₂ и биректифицированные 2 ₂₂ являются изотопными и имеют только один тип грани : 2 ₂₁ и выпрямленный 1 ₂₂ многогранники соответственно.

Симметрия	Заказ	Соты
[3 ^2,2,2]	Полный	8: , , , , , , , .
[[3,3,3 ^2,2]]	×2	24: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .
[[3,3 ^2,2,2]]	×6	7: , , , , , , .

2 ₂₂Биректифицированные соты

2 ₂₂Биректифицированные соты
(нет изображения)
Тип	Равномерная тесселяция
Символ Коксетера	0 ₂₂₂
Символ Шлефли	{3 ^2,2,2}
Диаграмма Кокстера
6-гранный тип	0 ₂₂₁
5-гранные типы	0 ₂₂ 0 ₂₁₁
4-гранный тип	0 ₂₁ 24-ячеечный 0 ₁₁₁
Тип ячейки	Тетраэдр 0 ₂₀ Октаэдр 0 ₁₁
Тип лица	Треугольник 0 ₁₀
Вершинная фигура	Пропризма {3}×{3}×{3}
Группа Коксетера	6× ${\tilde {E}}_{6}$ , [[3,3 ^2,2,2]]
Характеристики	вершинно-транзитивный , фасетно-транзитивный

Биректифицированные 2 ₂₂ соты , исправил 1 22 грани многогранника, и пропризмы {3}×{3}×{3} фигура вершины .

Его грани сосредоточены на расположении вершин E . ₆^* решетка , как:

∪

Строительство

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина : .

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Получается пропризма {3}×{3}×{3}, .

Удаление узла на конце одной из трехузловых ветвей оставляет исправленный 1 ₂₂ , единственный грани , тип .

Удаление второго конечного узла определяет 2 типа 5-граней: биректифицированный 5-симплекс , 0 ₂₂ и биректифицированный 5-ортоплекс , 0 ₂₁₁ .

Удаление третьего конечного узла определяет 2 типа 4-граней: исправленную 5-ячейку , 0 ₂₁ , и 24-ячейку , 0 ₁₁₁ .

Удаление четвертого конечного узла определяет 2 типа ячеек: октаэдр 0 ₁₁ и тетраэдр 0 ₂₀ .

k ₂₂ многогранника

Соты 2 ₂₂ являются четвертыми в размерной серии однородных многогранников, выраженной Коксетером k ₂₂ как серия . Финал — паракомпактные гиперболические соты 3 ₂₂ . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из предыдущего как его вершинная фигура .

k ₂₂ фигуры в n измерениях
Космос	Конечный			евклидов	гиперболический
н	4	5	6	7	8
Коксетер группа	А ₂ А ₂	E_Е6	${\tilde {E}}_{6}$ = Е ₆⁺	${\bar {T}}_{7}$ = Е ₆⁺⁺
Коксетер диаграмма
Симметрия	[[3 ^2,2,-1]]	[[3 ^2,2,0]]	[[3 ^2,2,1]]	[[3 ^2,2,2]]	[[3 ^2,2,3]]
Заказ	72	1440	103,680	∞
График				∞	∞
Имя	−1 ₂₂	0 ₂₂	1 ₂₂	2 ₂₂	3 ₂₂

Соты 2 ₂₂ являются третьими в другой размерной серии 2 _2k .

2 _2k фигур n размеров
Космос	Конечный			евклидов	гиперболический
н	4	5	6	7	8
Коксетер группа	А ₂ А ₂	A_А5	E_Е6	${\tilde {E}}_{6}$ = Е ₆⁺	E_Е6⁺⁺
Коксетер диаграмма
График				∞	∞
Имя	2 _2,-1	2 ₂₀	2 ₂₁	2 ₂₂	2 ₂₃

Примечания

^ «Решетка Е6» .
^ «Решетка Е6» .
^ Ячейки Вороного решеток E6 * и E7 *. Архивировано 30 января 2016 г. в Wayback Machine , Эдвард Первин.

Ссылки

Коксетер Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
Кокстера Регулярные многогранники (1963), Macmillan Company
- Правильные многогранники , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава 5: Калейдоскоп)
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]
RT Worley , Район Вороного E6* . Дж. Аустрал. Математика. Соц. Сер. А, 43 (1987), 268–278.
Конвей, Джон Х .; Слоан, Нил Дж. А. (1998). Сферические упаковки, решетки и группы ((3-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9 . с125-126, 8.3 Шестимерные решетки: Е6 и Е6*
Клитцинг, Ричард. «6D гексакомбы x3o3o3o3o *c3o3o - jakoh» .
Клитцинг, Ричард. «6D гексакомбы o3o3x3o3o *c3o3o - ramoh» .

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] «Решетка Е6» .

[2] «Решетка Е6» .

[3] Ячейки Вороного решеток E6 * и E7 *. Архивировано 30 января 2016 г. в Wayback Machine , Эдвард Первин.

[1]

[2]

[3]

Строительство

Поцелуйный номер

Е 6 Решетка

Геометрическое складывание

Связанные соты

2 22 Биректифицированные соты

Строительство

k 22 многогранника

Примечания

Ссылки

Е ₆Решетка

2 ₂₂Биректифицированные соты

k ₂₂ многогранника