Замыкание (топология)
В топологии замыкание S подмножества всех точек топологического пространства состоит из S вместе S. со точками предельными точек всеми Замыкание S может быть эквивалентно определено как объединение S S. и его границы , а также как всех замкнутых множеств содержащих , пересечение Интуитивно, замыкание можно рассматривать как все точки, находящиеся либо в S либо «очень близко» к S. , находящаяся в замыкании S, точкой замыкания S. является Точка , Понятие закрытия во многом двойственно понятию внутреннего .
Определения
[ редактировать ]Точка закрытия
[ редактировать ]Для как подмножество евклидова пространства , является точкой закрытия если каждый открытый шар с центром в содержит точку (этот момент может быть сам).
Это определение обобщается на любое подмножество метрического пространства Полностью выражено, т. как метрическое пространство с метрикой является точкой закрытия если для каждого существует какой-то такое, что расстояние ( разрешено). Другой способ выразить это – сказать, что является точкой закрытия если расстояние где это низкий самый
Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» или «шар» на « окрестность ». Позволять быть подмножеством топологического пространства Затем является точкой закрытия или присоединения точкой если каждая окрестность содержит точку (снова, для разрешено). [1] Обратите внимание, что это определение не зависит от того, должны ли окрестности быть открытыми.
Предельная точка
[ редактировать ]Определение точки замыкания множества тесно связано с определением предельной точки множества . Разница между двумя определениями тонкая, но важная, а именно, в определении предельной точки. из набора , каждый район должен содержать точку кроме себя , т. е. каждая окрестность очевидно имеет но оно также должно иметь смысл это не равно для того, чтобы быть предельной точкой . Предельная точка имеет более строгое условие, чем точка замыкания в определениях. Набор всех предельных точек множества называется производным множеством . Предельную точку множества также называют точкой кластера или точкой накопления множества.
Таким образом, каждая предельная точка является точкой замыкания, но не каждая точка замыкания является предельной точкой . Точка замыкания, не являющаяся предельной точкой, является изолированной точкой . Другими словами, точка представляет собой изолированную точку если это элемент и есть окрестности который не содержит других точек чем сам. [2]
Для заданного набора и точка является точкой закрытия тогда и только тогда, когда является элементом или является предельной точкой (или оба).
Закрытие набора
[ редактировать ]Закрытие подмножества пространства топологического обозначается или, возможно, через (если понятно), где, если оба и понятны из контекста, то это также может быть обозначено или (Более того, иногда пишется с заглавной буквы .) можно определить, используя любое из следующих эквивалентных определений:
- множество всех замыкания точек
- это набор вместе со всеми его предельными точками . (Каждая точка является точкой закрытия , и каждая предельная точка также является точкой закрытия .) [3]
- является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих
- — наименьшее замкнутое множество, содержащее
- это союз и его граница
- это совокупность всех для которых существует чистая (оцененная) сумма в который сходится к в
Замыкание множества обладает следующими свойствами. [4]
- представляет собой закрытое надмножество .
- Набор закрыто тогда и только тогда, когда .
- Если затем является подмножеством
- Если является замкнутым множеством, то содержит тогда и только тогда, когда содержит
Иногда второе или третье свойство, приведенное выше, принимается за определение топологического замыкания, которое по-прежнему имеет смысл при применении к другим типам замыканий (см. Ниже). [5]
В пространстве с первой счетностью (например, метрическом пространстве ) - это множество всех пределов всех сходящихся последовательностей точек в Для общего топологического пространства это утверждение остается верным, если заменить «последовательность» на « сеть » или « фильтр » (как описано в статье о фильтрах в топологии ).
Обратите внимание, что эти свойства также выполняются, если «замыкание», «надмножество», «пересечение», «содержит/содержащий», «наименьший» и «закрытый» заменяются на «внутренний», «подмножество», «объединение», «содержащийся». в», «крупнейший» и «открытый». Дополнительную информацию по этому вопросу см. в разделе «Оператор замыкания» ниже.
Примеры
[ редактировать ]Рассмотрим сферу в трехмерном пространстве. Неявно существует две области интересов, созданные этой сферой; сама сфера и ее внутренность (которая называется открытым трехмерным шаром ). Полезно различать внутреннюю часть и поверхность сферы, поэтому мы различаем открытый трехмерный шар (внутреннюю часть сферы) и закрытый трехмерный шар – замыкание открытого трехмерного шара, то есть открытый 3-шар плюс поверхность (поверхность в виде самой сферы).
В топологическом пространстве :
- В любом пространстве, . Другими словами, замыкание пустого множества является сам.
- В любом пространстве
предоставление и стандартная (метрическая) топология :
- Если это евклидово пространство действительных чисел , то . Другими словами, замыкание множества как подмножество является .
- Если это евклидово пространство , то замыкание множества рациональных чисел — это все пространство Мы говорим, что плотный в
- Если это сложная плоскость затем
- Если является конечным подмножеством евклидова пространства затем (Для общего топологического пространства это свойство эквивалентно T 1 аксиоме .)
На множестве действительных чисел можно ставить и другие топологии, отличные от стандартной.
- Если наделен топологией нижнего предела , то
- Если рассматривать дискретная топология , в которой каждое множество замкнуто (открыто), тогда
- Если рассматривать тривиальная топология , в которой единственными закрытыми (открытыми) множествами являются пустое множество и сам, тогда
Эти примеры показывают, что замыкание множества зависит от топологии лежащего в его основе пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.
- В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество замкнуто (а также открыто), каждое множество равно своему замыканию.
- В любом недискретном пространстве поскольку закрытыми множествами являются только пустое множество и само по себе мы имеем, что замыкание пустого множества есть пустое множество, и для каждого непустого подмножества из Другими словами, каждое непустое подмножество недискретного пространства плотно .
Замыкание множества также зависит от того, в каком пространстве мы делаем замыкание. Например, если - это набор рациональных чисел с обычной относительной топологией, индуцированной евклидовым пространством. и если затем одновременно закрыт и открыт в потому что ни ни его дополнение не может содержать , что будет нижней границей , но не может находиться в потому что иррационально. Так, не имеет четко определенного замыкания из-за отсутствия граничных элементов . Однако, если мы вместо этого определим быть набором действительных чисел и определять интервал таким же образом, тогда замыкание этого интервала четко определено и будет набором всех действительных чисел, больших или равных .
Оператор закрытия
[ редактировать ]Оператор замыкания на множестве является отображением набора мощности , в себя, что удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Учитывая топологическое пространство топологическое замыкание индуцирует функцию это определяется отправкой подмножества к где обозначение или вместо этого можно использовать. И наоборот, если является оператором замыкания множества тогда топологическое пространство получается путем определения замкнутых множеств как в точности тех подмножеств которые удовлетворяют (так дополняется в из этих подмножеств образуют открытые множества топологии). [6]
Оператор закрытия двойственен , внутреннему оператору который обозначается в том смысле, что
а также
Следовательно, абстрактную теорию операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского можно легко перевести на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями в
В общем случае оператор замыкания не коммутирует с пересечениями. Однако в полном метрическом пространстве справедлив следующий результат:
Теорема [7] (Ч. Урсеску) — Пусть быть последовательностью подмножеств полного метрического пространства
- Если каждый закрыт в затем
- Если каждый открыт в затем
Факты о закрытиях
[ редактировать ]Подмножество закрыт в тогда и только тогда, когда В частности:
- Замыкание пустого множества — это пустое множество;
- Закрытие сам по себе
- Замыкание пересечения множеств всегда является подмножеством пересечения замыканий множеств (но не обязательно равно ему).
- В объединении множеств конечного числа замыкание объединения и объединение замыканий равны; объединение нулевых множеств представляет собой пустое множество, и поэтому это утверждение содержит предыдущее утверждение о замыкании пустого множества как особого случая.
- Замыкание объединения бесконечного числа множеств не обязательно должно равняться объединению замыканий, но оно всегда является надмножеством объединения замыканий.
- Таким образом, как замкнуто объединение двух замкнутых множеств, так и замыкание распространяется на бинарные объединения: т. е. Но как объединение бесконечного числа замкнутых множеств не обязательно является замкнутым, так и замыкание не обязательно распространяется на бесконечные объединения: т. е. возможно, когда бесконечен.
Если и если является подпространством (имеется в виду, что наделен топологией подпространства , которая наводит на него), то и закрытие вычислено в равно пересечению и закрытие вычислено в :
Доказательство |
---|
Отсюда следует, что представляет собой плотное подмножество тогда и только тогда, когда является подмножеством Это возможно для быть правильным подмножеством например, взять и
Если но не обязательно является подмножеством тогда только всегда гарантируется там, где это сдерживание может быть строгим (рассмотрим, например, с обычной топологией, и [доказательство 1] ), хотя если происходит с открытым подмножеством тогда равенство будет сохраняться (независимо от отношений между и ).
Доказательство |
---|
Следовательно, если любая открытая крышка и если любое подмножество, то: потому что для каждого (где каждый наделено топологией подпространства, индуцированной на нем формулой ). Это равенство особенно полезно, когда – многообразие и множества в открытой крышке являются областями координатных карт . На словах этот результат показывает, что замыкание в любого подмножества можно вычислить «локально» в множествах любого открытого покрытия а затем соединились вместе.Таким образом, этот результат можно рассматривать как аналог известного факта, что подмножество закрыт в тогда и только тогда, когда он « локально закрыт в ", что означает, что если любая открытая крышка затем закрыт в тогда и только тогда, когда закрыт в для каждого
Функции и замыкание
[ редактировать ]Непрерывность
[ редактировать ]Функция между топологическими пространствами непрерывен тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого подмножества кодобласти замкнут в этой области; явно это означает: закрыт в в любое время является закрытым подмножеством
С точки зрения оператора замыкания, непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества То есть, учитывая любой элемент принадлежащий замыканию подмножества обязательно принадлежит замыканию в Если мы объявим, что точка близко к подмножеству если тогда эта терминология позволяет дать простое английское описание непрерывности: непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества наносит на карту точки, находящиеся рядом с в точки, близкие к Таким образом, непрерывные функции — это именно те функции, которые сохраняют (в прямом направлении) отношения «близости» между точками и множествами: функция непрерывна тогда и только тогда, когда всякий раз, когда точка близка к множеству, тогда образ этой точки близок к изображение этого набора. Сходным образом, непрерывен в фиксированной данной точке тогда и только тогда, когда когда-либо близко к подмножеству затем близко к
Закрытые карты
[ редактировать ]Функция является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда всякий раз, когда является закрытым подмножеством затем является закрытым подмножеством С точки зрения оператора замыкания, является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда для каждого подмножества Эквивалентно, является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда для каждого закрытого подмножества
Категорическая интерпретация
[ редактировать ]Оператор замыкания можно определить в терминах универсальных стрелок следующим образом.
Мощность набора может быть реализован как частичного порядка категория в котором объекты являются подмножествами, а морфизмы являются картами включения. в любое время является подмножеством Более того, топология на это подкатегория с функтором включения Множество закрытых подмножеств, содержащее фиксированное подмножество можно определить по категории запятой Эта категория — также частичный порядок — имеет исходный объект Таким образом, существует универсальная стрелка от к заданное включением
Аналогично, поскольку каждое замкнутое множество, содержащее соответствует открытому множеству, содержащемуся в мы можем интерпретировать категорию как множество открытых подмножеств, содержащихся в с терминальным объектом интерьер
Все свойства замыкания могут быть выведены из этого определения и некоторых свойств вышеуказанных категорий. Более того, это определение уточняет аналогию между топологическим замыканием и другими типами замыканий (например, алгебраическим замыканием ), поскольку все они являются примерами универсальных стрелок .
См. также
[ редактировать ]- Точка присоединения - точка, принадлежащая замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
- Алгебра замыкания – алгебраическая структура.
- Замкнутое регулярное множество , множество, равное замыканию их внутренности.
- Производный набор (математика) – набор всех предельных точек набора.
- Интерьер (топология) - наибольшее открытое подмножество некоторого заданного набора.
- Предельная точка набора — точка кластера в топологическом пространстве.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Откуда и отсюда следует, что и что подразумевает
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Шуберт 1968 , с. 20
- ^ Куратовский 1966 , стр. 75.
- ^ Хокинг и Янг 1988 , с. 4
- ^ Крум 1989 , с. 104
- ^ Джеминьяни 1990 , с. 55, Первин 1965 , с. 40 и Бейкер 1991 , с. 38 используют второе свойство в качестве определения.
- ^ Первин 1965 , с. 41
- ^ Залинеску 2002 , стр. 33.
Библиография
[ редактировать ]- Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , Wm. Издательство К. Брауна, ISBN 0-697-05972-3
- Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии , издательство Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
- Джеминьяни, Майкл К. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Дувр, ISBN 0-486-66522-4
- Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, ISBN 0-486-65676-4
- Куратовский, К. (1966), Топология , вып. Я, Академик Пресс
- Первин, Уильям Дж. (1965), Основы общей топологии , Academic Press
- Шуберт, Хорст (1968), Топология , Аллин и Бэкон
- Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0 . МР 1921556 . OCLC 285163112 – через Интернет-архив .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Замыкание множества» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]