Jump to content

Замыкание (топология)

(Перенаправлено из «Закрытие набора »)

В топологии замыкание S подмножества всех точек топологического пространства состоит из S вместе S. со точками предельными точек всеми Замыкание S может быть эквивалентно определено как объединение S S. и его границы , а также как всех замкнутых множеств содержащих , пересечение Интуитивно, замыкание можно рассматривать как все точки, находящиеся либо в S либо «очень близко» к S. , находящаяся в замыкании S, точкой замыкания S. является Точка , Понятие закрытия во многом двойственно понятию внутреннего .

Определения

[ редактировать ]

Точка закрытия

[ редактировать ]

Для как подмножество евклидова пространства , является точкой закрытия если каждый открытый шар с центром в содержит точку (этот момент может быть сам).

Это определение обобщается на любое подмножество метрического пространства Полностью выражено, т. как метрическое пространство с метрикой является точкой закрытия если для каждого существует какой-то такое, что расстояние ( разрешено). Другой способ выразить это – сказать, что является точкой закрытия если расстояние где это низкий самый

Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» или «шар» на « окрестность ». Позволять быть подмножеством топологического пространства Затем является точкой закрытия или присоединения точкой если каждая окрестность содержит точку (снова, для разрешено). [1] Обратите внимание, что это определение не зависит от того, должны ли окрестности быть открытыми.

Предельная точка

[ редактировать ]

Определение точки замыкания множества тесно связано с определением предельной точки множества . Разница между двумя определениями тонкая, но важная, а именно, в определении предельной точки. из набора , каждый район должен содержать точку кроме себя , т. е. каждая окрестность очевидно имеет но оно также должно иметь смысл это не равно для того, чтобы быть предельной точкой . Предельная точка имеет более строгое условие, чем точка замыкания в определениях. Набор всех предельных точек множества называется производным множеством . Предельную точку множества также называют точкой кластера или точкой накопления множества.

Таким образом, каждая предельная точка является точкой замыкания, но не каждая точка замыкания является предельной точкой . Точка замыкания, не являющаяся предельной точкой, является изолированной точкой . Другими словами, точка представляет собой изолированную точку если это элемент и есть окрестности который не содержит других точек чем сам. [2]

Для заданного набора и точка является точкой закрытия тогда и только тогда, когда является элементом или является предельной точкой (или оба).

Закрытие набора

[ редактировать ]

Закрытие подмножества пространства топологического обозначается или, возможно, через (если понятно), где, если оба и понятны из контекста, то это также может быть обозначено или (Более того, иногда пишется с заглавной буквы .) можно определить, используя любое из следующих эквивалентных определений:

  1. множество всех замыкания точек
  2. это набор вместе со всеми его предельными точками . (Каждая точка является точкой закрытия , и каждая предельная точка также является точкой закрытия .) [3]
  3. является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих
  4. — наименьшее замкнутое множество, содержащее
  5. это союз и его граница
  6. это совокупность всех для которых существует чистая (оцененная) сумма в который сходится к в

Замыкание множества обладает следующими свойствами. [4]

  • представляет собой закрытое надмножество .
  • Набор закрыто тогда и только тогда, когда .
  • Если затем является подмножеством
  • Если является замкнутым множеством, то содержит тогда и только тогда, когда содержит

Иногда второе или третье свойство, приведенное выше, принимается за определение топологического замыкания, которое по-прежнему имеет смысл при применении к другим типам замыканий (см. Ниже). [5]

В пространстве с первой счетностью (например, метрическом пространстве ) - это множество всех пределов всех сходящихся последовательностей точек в Для общего топологического пространства это утверждение остается верным, если заменить «последовательность» на « сеть » или « фильтр » (как описано в статье о фильтрах в топологии ).

Обратите внимание, что эти свойства также выполняются, если «замыкание», «надмножество», «пересечение», «содержит/содержащий», «наименьший» и «закрытый» заменяются на «внутренний», «подмножество», «объединение», «содержащийся». в», «крупнейший» и «открытый». Дополнительную информацию по этому вопросу см. в разделе «Оператор замыкания» ниже.

Рассмотрим сферу в трехмерном пространстве. Неявно существует две области интересов, созданные этой сферой; сама сфера и ее внутренность (которая называется открытым трехмерным шаром ). Полезно различать внутреннюю часть и поверхность сферы, поэтому мы различаем открытый трехмерный шар (внутреннюю часть сферы) и закрытый трехмерный шар – замыкание открытого трехмерного шара, то есть открытый 3-шар плюс поверхность (поверхность в виде самой сферы).

В топологическом пространстве :

  • В любом пространстве, . Другими словами, замыкание пустого множества является сам.
  • В любом пространстве

предоставление и стандартная (метрическая) топология :

  • Если это евклидово пространство действительных чисел , то . Другими словами, замыкание множества как подмножество является .
  • Если это евклидово пространство , то замыкание множества рациональных чисел — это все пространство Мы говорим, что плотный в
  • Если это сложная плоскость затем
  • Если является конечным подмножеством евклидова пространства затем (Для общего топологического пространства это свойство эквивалентно T 1 аксиоме .)

На множестве действительных чисел можно ставить и другие топологии, отличные от стандартной.

  • Если наделен топологией нижнего предела , то
  • Если рассматривать дискретная топология , в которой каждое множество замкнуто (открыто), тогда
  • Если рассматривать тривиальная топология , в которой единственными закрытыми (открытыми) множествами являются пустое множество и сам, тогда

Эти примеры показывают, что замыкание множества зависит от топологии лежащего в его основе пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.

  • В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество замкнуто (а также открыто), каждое множество равно своему замыканию.
  • В любом недискретном пространстве поскольку закрытыми множествами являются только пустое множество и само по себе мы имеем, что замыкание пустого множества есть пустое множество, и для каждого непустого подмножества из Другими словами, каждое непустое подмножество недискретного пространства плотно .

Замыкание множества также зависит от того, в каком пространстве мы делаем замыкание. Например, если - это набор рациональных чисел с обычной относительной топологией, индуцированной евклидовым пространством. и если затем одновременно закрыт и открыт в потому что ни ни его дополнение не может содержать , что будет нижней границей , но не может находиться в потому что иррационально. Так, не имеет четко определенного замыкания из-за отсутствия граничных элементов . Однако, если мы вместо этого определим быть набором действительных чисел и определять интервал таким же образом, тогда замыкание этого интервала четко определено и будет набором всех действительных чисел, больших или равных .

Оператор закрытия

[ редактировать ]

Оператор замыкания на множестве является отображением набора мощности , в себя, что удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Учитывая топологическое пространство топологическое замыкание индуцирует функцию это определяется отправкой подмножества к где обозначение или вместо этого можно использовать. И наоборот, если является оператором замыкания множества тогда топологическое пространство получается путем определения замкнутых множеств как в точности тех подмножеств которые удовлетворяют (так дополняется в из этих подмножеств образуют открытые множества топологии). [6]

Оператор закрытия двойственен , внутреннему оператору который обозначается в том смысле, что

а также

Следовательно, абстрактную теорию операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского можно легко перевести на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями в

В общем случае оператор замыкания не коммутирует с пересечениями. Однако в полном метрическом пространстве справедлив следующий результат:

Теорема [7]  (Ч. Урсеску) Пусть быть последовательностью подмножеств полного метрического пространства

  • Если каждый закрыт в затем
  • Если каждый открыт в затем

Факты о закрытиях

[ редактировать ]

Подмножество закрыт в тогда и только тогда, когда В частности:

  • Замыкание пустого множества — это пустое множество;
  • Закрытие сам по себе
  • Замыкание пересечения множеств всегда является подмножеством пересечения замыканий множеств (но не обязательно равно ему).
  • В объединении множеств конечного числа замыкание объединения и объединение замыканий равны; объединение нулевых множеств представляет собой пустое множество, и поэтому это утверждение содержит предыдущее утверждение о замыкании пустого множества как особого случая.
  • Замыкание объединения бесконечного числа множеств не обязательно должно равняться объединению замыканий, но оно всегда является надмножеством объединения замыканий.
    • Таким образом, как замкнуто объединение двух замкнутых множеств, так и замыкание распространяется на бинарные объединения: т. е. Но как объединение бесконечного числа замкнутых множеств не обязательно является замкнутым, так и замыкание не обязательно распространяется на бесконечные объединения: т. е. возможно, когда бесконечен.

Если и если является подпространством (имеется в виду, что наделен топологией подпространства , которая наводит на него), то и закрытие вычислено в равно пересечению и закрытие вычислено в :

Доказательство

Because is a closed subset of the intersection is a closed subset of (by definition of the subspace topology), which implies that (because is the smallest closed subset of containing ). Because is a closed subset of from the definition of the subspace topology, there must exist some set such that is closed in and Because and is closed in the minimality of implies that Intersecting both sides with shows that

Отсюда следует, что представляет собой плотное подмножество тогда и только тогда, когда является подмножеством Это возможно для быть правильным подмножеством например, взять и

Если но не обязательно является подмножеством тогда только всегда гарантируется там, где это сдерживание может быть строгим (рассмотрим, например, с обычной топологией, и [доказательство 1] ), хотя если происходит с открытым подмножеством тогда равенство будет сохраняться (независимо от отношений между и ).

Доказательство

Let and assume that is open in Let which is equal to (because ). The complement is open in where being open in now implies that is also open in Consequently is a closed subset of where contains as a subset (because if is in then ), which implies that Intersecting both sides with proves that The reverse inclusion follows from

Следовательно, если любая открытая крышка и если любое подмножество, то: потому что для каждого (где каждый наделено топологией подпространства, индуцированной на нем формулой ). Это равенство особенно полезно, когда многообразие и множества в открытой крышке являются областями координатных карт . На словах этот результат показывает, что замыкание в любого подмножества можно вычислить «локально» в множествах любого открытого покрытия а затем соединились вместе.Таким образом, этот результат можно рассматривать как аналог известного факта, что подмножество закрыт в тогда и только тогда, когда он « локально закрыт в ", что означает, что если любая открытая крышка затем закрыт в тогда и только тогда, когда закрыт в для каждого

Функции и замыкание

[ редактировать ]

Непрерывность

[ редактировать ]

Функция между топологическими пространствами непрерывен тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого подмножества кодобласти замкнут в этой области; явно это означает: закрыт в в любое время является закрытым подмножеством

С точки зрения оператора замыкания, непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества То есть, учитывая любой элемент принадлежащий замыканию подмножества обязательно принадлежит замыканию в Если мы объявим, что точка близко к подмножеству если тогда эта терминология позволяет дать простое английское описание непрерывности: непрерывно тогда и только тогда, когда для любого подмножества наносит на карту точки, находящиеся рядом с в точки, близкие к Таким образом, непрерывные функции — это именно те функции, которые сохраняют (в прямом направлении) отношения «близости» между точками и множествами: функция непрерывна тогда и только тогда, когда всякий раз, когда точка близка к множеству, тогда образ этой точки близок к изображение этого набора. Сходным образом, непрерывен в фиксированной данной точке тогда и только тогда, когда когда-либо близко к подмножеству затем близко к

Закрытые карты

[ редактировать ]

Функция является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда всякий раз, когда является закрытым подмножеством затем является закрытым подмножеством С точки зрения оператора замыкания, является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда для каждого подмножества Эквивалентно, является (сильно) замкнутым отображением тогда и только тогда, когда для каждого закрытого подмножества

Категорическая интерпретация

[ редактировать ]

Оператор замыкания можно определить в терминах универсальных стрелок следующим образом.

Мощность набора может быть реализован как частичного порядка категория в котором объекты являются подмножествами, а морфизмы являются картами включения. в любое время является подмножеством Более того, топология на это подкатегория с функтором включения Множество закрытых подмножеств, содержащее фиксированное подмножество можно определить по категории запятой Эта категория — также частичный порядок — имеет исходный объект Таким образом, существует универсальная стрелка от к заданное включением

Аналогично, поскольку каждое замкнутое множество, содержащее соответствует открытому множеству, содержащемуся в мы можем интерпретировать категорию как множество открытых подмножеств, содержащихся в с терминальным объектом интерьер

Все свойства замыкания могут быть выведены из этого определения и некоторых свойств вышеуказанных категорий. Более того, это определение уточняет аналогию между топологическим замыканием и другими типами замыканий (например, алгебраическим замыканием ), поскольку все они являются примерами универсальных стрелок .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Откуда и отсюда следует, что и что подразумевает
  1. ^ Шуберт 1968 , с. 20
  2. ^ Куратовский 1966 , стр. 75.
  3. ^ Хокинг и Янг 1988 , с. 4
  4. ^ Крум 1989 , с. 104
  5. ^ Джеминьяни 1990 , с. 55, Первин 1965 , с. 40 и Бейкер 1991 , с. 38 используют второе свойство в качестве определения.
  6. ^ Первин 1965 , с. 41
  7. ^ Залинеску 2002 , стр. 33.

Библиография

[ редактировать ]
  • Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , Wm. Издательство К. Брауна, ISBN  0-697-05972-3
  • Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии , издательство Saunders College Publishing, ISBN  0-03-012813-7
  • Джеминьяни, Майкл К. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Дувр, ISBN  0-486-66522-4
  • Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, ISBN  0-486-65676-4
  • Куратовский, К. (1966), Топология , вып. Я, Академик Пресс
  • Первин, Уильям Дж. (1965), Основы общей топологии , Academic Press
  • Шуберт, Хорст (1968), Топология , Аллин и Бэкон
  • Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7f6db71ac75c7736f030caf4c79ecae5__1696525980
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/7f/e5/7f6db71ac75c7736f030caf4c79ecae5.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Closure (topology) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)