Размерность Хаусдорфа

Пример нецелых размеров. Первые четыре итерации кривой Коха , где после каждой итерации все исходные сегменты линии заменяются четырьмя, каждый из которых представляет собой самоподобную копию, длина которой составляет 1/3 длины оригинала. Один формализм размерности Хаусдорфа использует масштабный коэффициент (S = 3) и количество самоподобных объектов (N = 4) для вычисления размерности D после первой итерации, которая должна быть D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1,26.

В математике , или , размерность Хаусдорфа — это мера шероховатости точнее, фрактальная размерность , которая была введена в 1918 году математиком Феликсом Хаусдорфом . Например, размерность Хаусдорфа отдельной точки равна нулю, отрезка прямой — 1, квадрата — 2 и куба — 3. То есть для наборов точек, которые определяют гладкую форму или форму, имеющую небольшое количество углов — формы традиционной геометрии и науки — размерность Хаусдорфа представляет собой целое число, соответствующее обычному смыслу измерения, также известному как топологическое измерение . Однако были разработаны и формулы, позволяющие рассчитывать размерность других, менее простых объектов, где исключительно на основании их свойств масштабирования и самоподобия приходят к выводу, что отдельные объекты, в том числе фракталы , не имеют -целочисленные размерности Хаусдорфа. Из-за значительных технических достижений, достигнутых Абрамом Самойловичем Безиковичем, позволяющим вычислять размерности для очень нерегулярных или «грубых» множеств, это измерение также обычно называют измерением Хаусдорфа – Безиковича.

Более конкретно, размерность Хаусдорфа — это размерное число, связанное с метрическим пространством , то есть набором, в котором определены расстояния между всеми элементами. Размерность взята из расширенных действительных чисел , ${\overline {\mathbb {R} }}$, в отличие от более интуитивного понятия размерности, которое не связано с общими метрическими пространствами и принимает только целые неотрицательные значения.

С математической точки зрения размерность Хаусдорфа обобщает понятие размерности реального векторного пространства . То есть размерность Хаусдорфа n -мерного пространства внутреннего продукта равна n . Это лежит в основе более раннего утверждения о том, что хаусдорфова размерность точки равна нулю, линии — единице и т. д. и что нерегулярные множества могут иметь нецелые хаусдорфовы размерности. Например, снежинка Коха , показанная справа, состоит из равностороннего треугольника; на каждой итерации составляющие его сегменты линий делятся на 3 сегмента единичной длины, вновь созданный средний сегмент используется в качестве основания нового равностороннего треугольника, направленного наружу, и этот базовый сегмент затем удаляется, чтобы оставить конечный объект из итерация единичной длины 4. То есть после первой итерации каждый исходный сегмент линии был заменен на N=4, где длина каждой самоподобной копии составляет 1/S = 1/3 длины оригинала. Другими словами, мы взяли объект с евклидовым размером D и уменьшили его линейный масштаб на 1/3 в каждом направлении, так что его длина увеличилась до N=S. ^Д . Это уравнение легко решается для D, получая соотношение логарифмов (или натуральных логарифмов ), встречающихся на рисунках, и давая — в случае Коха и других фрактальных случаев — нецелые измерения для этих объектов.

Измерение Хаусдорфа является преемником более простого, но обычно эквивалентного измерения ящиков или измерения Минковского-Булиганда .

Интуиция

Интуитивное понятие размера геометрического объекта X — это количество независимых параметров, необходимых для выбора уникальной точки внутри. Однако любую точку, заданную двумя параметрами, можно вместо этого указать одним, поскольку мощность равна реальной плоскости мощности реальной линии (это можно увидеть из аргумента, включающего переплетение цифр двух чисел для получения одного число, кодирующее ту же информацию). Пример кривой, заполняющей пространство, показывает, что можно даже отобразить действительную линию на действительную плоскость сюръективно (взяв одно действительное число в пару действительных чисел таким образом, чтобы были покрыты все пары чисел) и непрерывно , так что одномерный объект полностью заполняет объект более высокой размерности.

Каждая кривая, заполняющая пространство, пересекает некоторые точки несколько раз и не имеет непрерывной обратной. Невозможно отобразить два измерения в одно непрерывным и непрерывно обратимым способом. Топологическое измерение, также называемое покрывающим измерением Лебега , объясняет почему. Эта размерность представляет собой наибольшее целое число n такое, что в каждом покрытии X маленькими открытыми шарами существует хотя бы одна точка, в которой n + 1 шаров перекрываются. Например, при покрытии линии с короткими открытыми интервалами некоторые точки необходимо покрыть дважды, что дает размерность n = 1.

Но топологическая размерность — это очень грубая мера локального размера пространства (размера вблизи точки). Кривая, почти заполняющая пространство, все же может иметь топологическое измерение один, даже если она заполняет большую часть площади области. Фрактал . имеет целое топологическое измерение, но с точки зрения занимаемого им пространства он ведет себя как пространство более высокой размерности

Размерность Хаусдорфа измеряет локальный размер пространства с учетом расстояния между точками, метрики . Рассмотрим количество N ( r ) шаров радиуса не более r, покрытия X. необходимое для полного Когда r очень мало, N ( r ) растет полиномиально с 1/ r . Для достаточно хорошего поведения X размерность Хаусдорфа — это уникальное число d такое, что N( r ) растет как 1/ r ^д когда r приближается к нулю. Точнее, это определяет размерность подсчета ящиков , которая равна размерности Хаусдорфа, когда значение d является критической границей между темпами роста, недостаточными для покрытия пространства, и темпами роста, которые избыточны.

Для гладких форм или форм с небольшим количеством углов, форм традиционной геометрии и науки, размерность Хаусдорфа представляет собой целое число, согласующееся с топологическим измерением. Но Бенуа Мандельброт заметил, что фракталы , множества с нецелыми хаусдорфовыми размерностями, встречаются повсюду в природе. Он заметил, что правильная идеализация большинства грубых форм, которые вы видите вокруг себя, происходит не с точки зрения гладких идеализированных форм, а с точки зрения фрактальных идеализированных форм:

Облака — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не круги, кора — не гладкая, а молния не движется по прямой.

Для фракталов, встречающихся в природе, размерность Хаусдорфа и размерность счета совпадают. Размер упаковки — еще одно похожее понятие, которое дает одно и то же значение для многих форм, но есть хорошо документированные исключения, когда все эти размеры различаются.

Формальное определение

Основная статья: мера Хаусдорфа

Формальное определение размерности Хаусдорфа достигается путем определения сначала d-мерной меры Хаусдорфа дробной размерности , аналога меры Лебега . Сначала внешняя мера строится :Позволять $X$ быть метрическим пространством . Если $S\subset X$ и $d\in [0,\infty )$,

$H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},$

где нижняя грань берется по всем счетным накрытиям $U$ из $S$. Тогда d-мерная внешняя мера Хаусдорфа определяется как ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$, а ограничение отображения на измеримые множества оправдывает его как меру, называемую $d$-мерная мера Хаусдорфа.

Размерность Хаусдорфа

Хаусдорфовое измерение $\dim _{\operatorname {H} }{(X)}$ из $X$ определяется

$\dim _{\operatorname {H} }{(X)}:=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}^{d}(X)=0\}.$

Это то же самое, что и верхняя грань множества $d\in [0,\infty )$ такой, что $d$-мерная мера Хаусдорфа $X$ бесконечно (за исключением случаев, когда этот последний набор чисел $d$ пусто, размерность Хаусдорфа равна нулю).

Хаусдорф содержание

The $d$-мерное неограниченное содержание Хаусдорфа $S$ определяется

$C_{H}^{d}(S):=H_{\infty }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{k})^{d}:\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}\supseteq S\right\}$

Другими словами, $C_{H}^{d}(S)$ имеет конструкцию меры Хаусдорфа, в которой покрывающие множества могут иметь сколь угодно большие размеры (здесь мы используем стандартное соглашение, согласно которому $\inf \varnothing =\infty$). Мера Хаусдорфа и содержание Хаусдорфа могут использоваться для определения размерности набора, но если мера набора не равна нулю, их фактические значения могут не совпадать.

Примеры

Размерность еще одного примера фрактала . Треугольник Серпинского — объект с хаусдорфовой размерностью log(3)/log(2)≈1,58.

• Счетные множества имеют хаусдорфову размерность 0.
• Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ имеет хаусдорфовую размерность $n$, и круг $S^{1}$ имеет хаусдорфову размерность 1.
• Фракталы часто представляют собой пространства, хаусдорфова размерность которых строго превышает топологическую размерность . Например, множество Кантора , нульмерное топологическое пространство , представляет собой объединение двух своих копий, каждая из которых уменьшена в 1/3 раза; следовательно, можно показать, что его хаусдорфова размерность равна ln(2)/ln(3) ≈ 0,63. Треугольник Серпинского представляет собой объединение трех своих копий, каждая из которых уменьшена в 1/2 раза; это дает размерность Хаусдорфа ln(3)/ln(2) ≈ 1,58. Эти размерности Хаусдорфа связаны с «критическим показателем» Мастер-теоремы для решения рекуррентных соотношений при анализе алгоритмов .
• Кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Пеано, имеют ту же размерность Хаусдорфа, что и пространство, которое они заполняют.
• Предполагается, что траектория броуновского движения в размерности 2 и выше имеет хаусдорфову размерность 2.

Оценка хаусдорфовой размерности побережья Великобритании.

• Льюис Фрай Ричардсон провел детальные эксперименты по измерению приблизительного размера Хаусдорфа для различных береговых линий. Его результаты варьировались от 1,02 для береговой линии Южной Африки до 1,25 для западного побережья Великобритании .

Свойства размерности Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа и индуктивная размерность

Пусть X — произвольное сепарабельное метрическое пространство. Существует топологическое понятие индуктивной размерности X , которое определяется рекурсивно. Это всегда целое число (или +∞) и обозначается dim _ind ( X ).

Теорема . Предположим, X непусто. Затем

$\dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatorname {ind} }(X).$

Более того,

$\inf _{Y}\dim _{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim _{\operatorname {ind} }(X),$

где Y пробегает метрические пространства гомеоморфные X , . Другими словами, X и Y набор точек, а метрика d _Y Y имеют один и тот же основной топологически эквивалентна d _X .

Эти результаты были первоначально установлены Эдвардом Шпильрайном (1907–1976), например, см. Гуревич и Уоллман, глава VII.

Размерность Хаусдорфа и размерность Минковского

Размерность Минковского аналогична размерности Хаусдорфа и по крайней мере равна размеру Хаусдорфа, и во многих ситуациях они равны. Однако множество рациональных точек в [0, 1] имеет нулевую размерность Хаусдорфа и единицу размерности Минковского. Существуют также компакты, у которых размерность Минковского строго больше размерности Хаусдорфа.

Размерности Хаусдорфа и меры Фростмана

Если существует мера µ, определенная на борелевских подмножествах метрического пространства X такая, что µ ( X ) > 0 и µ ( B ( x , r )) ⩽ r ^с выполняется для некоторой константы s > 0 и для каждого шара B ( x , r ) в X , тогда dim _Haus ( X ) ≥ s . Частичное обращение дает лемма Фростмана .

Поведение при союзах и продуктах

Если $X=\bigcup _{i\in I}X_{i}$ является конечным или счетным объединением, то

$\dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).$

В этом можно убедиться непосредственно из определения.

Если X и Y — непустые метрические пространства, то размерность Хаусдорфа их произведения удовлетворяет условию

$\dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).$

Это неравенство может быть строгим. Можно найти два набора размерности 0, произведение которых имеет размерность 1. В противоположном направлении известно, что когда X и Y являются борелевскими подмножествами R ^н , хаусдорфова размерность X × Y ограничена сверху хаусдорфовой размерностью плюс верхняя размерность упаковки Y X . Эти факты обсуждаются у Маттилы (1995).

Самоподобные множества

Многие множества, определяемые условием самоподобия, имеют размерности, которые можно определить явно. Грубо говоря, множество E является самоподобным, если оно является неподвижной точкой многозначного преобразования ψ, то есть ψ( E ) = E , хотя точное определение дано ниже.

Теорема . Предполагать

$\psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m$

каждое является сжимающим отображением на R ^н с константой сжатия r _i < 1. Тогда существует единственный непустой компакт A такой, что

$A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A).$

Теорема следует из теоремы Стефана Банаха о неподвижной точке о сжимающем отображении, примененной к полному метрическому пространству непустых компактных подмножеств R. ^н с расстоянием Хаусдорфа .

Открытое состояние набора

Основная статья: Состояние открытого набора

Чтобы определить размерность самоподобного множества A (в некоторых случаях), нам понадобится техническое условие, называемое условием открытого множества (OSC) на последовательности сокращений ψ _i .

Существует открытое множество V с компактным замыканием такое, что

$\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,$

где множества слева в объединении попарно не пересекаются .

Условие открытого множества — это условие разделения, которое гарантирует, что изображения ψ _i ( V ) не перекрываются «слишком сильно».

Теорема . Предположим, что условие открытого множества выполнено и каждое ψ _i является подобием, то есть композицией изометрии и расширения вокруг некоторой точки. Тогда единственной неподвижной точкой ψ является множество, размерность Хаусдорфа которого равна s , где s — единственное решение уравнения

$\sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.$

Коэффициент сжатия подобия — это величина расширения.

Вообще говоря, множество E , переносимое на себя отображением

$A\mapsto \psi (A)=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)$

самоподобен тогда и только тогда, когда пересечения удовлетворяют следующему условию:

$H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,$

где s - размерность Хаусдорфа E и H ^с обозначает s-мерную меру Хаусдорфа . Это ясно в случае с прокладкой Серпинского (пересечения представляют собой просто точки), но верно и в более общем плане:

Теорема . При тех же условиях, что и в предыдущей теореме, единственная неподвижная точка ψ самоподобна.

См. также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа. Примеры детерминированных фракталов, случайных и естественных фракталов.
• Размерность Ассуада , еще одна разновидность фрактальной размерности, которая, как и размерность Хаусдорфа, определяется с помощью покрытий шарами.
• Внутреннее измерение
• Размер упаковки
• Фрактальное измерение

Дальнейшее чтение

• Додсон, М. Морис; Кристенсен, Саймон (12 июня 2003 г.). «Хаусдорфова размерность и диофантово приближение». Фрактальная геометрия и приложения: юбилей Бенуа Мандельброта . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 72. С. 305–347. arXiv : math/0305399 . Бибкод : 2003math......5399D . дои : 10.1090/pspum/072.1/2112110 . ISBN  9780821836378 . S2CID   119613948 .
• Гуревич, Витольд ; Уоллман, Генри (1948). Теория размерности . Издательство Принстонского университета.
• Э. Шпильрайн (1937). «Измерение и мера» . Основы математики . 28 : 81–9. дои : 10.4064/fm-28-1-81-89 .
• Марстранд, Дж. М. (1954). «Размерность декартовых множеств произведений». Учеб. Кембриджская философия. Соц . 50 (3): 198–202. Бибкод : 1954PCPS...50..198M . дои : 10.1017/S0305004100029236 . S2CID   122475292 .
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-65595-8 .
• А. С. Безикович (1929). «О линейных множествах точек дробных размерностей». Математические Аннален . 101 (1): 161–193. дои : 10.1007/BF01454831 . S2CID   125368661 .
• А. С. Безикович ; HD Урселл (1937). «Множества дробных размерностей». Журнал Лондонского математического общества . 12 (1): 18–25. дои : 10.1112/jlms/s1-12.45.18 .
  Некоторые отрывки из этого тома перепечатаны в Эдгар, Джеральд А. (1993). Классика о фракталах . Бостон: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-58701-7 . См. главы 9,10,11.
• Ф. Хаусдорф (март 1919 г.). «Размеры и внешние меры» (PDF) . Математические летописи . 79 (1–2): 157–179. дои : 10.1007/BF01457179 . hdl : 10338.dmlcz/100363 . S2CID   122001234 .
• Хатчинсон, Джон Э. (1981). «Фракталы и самоподобие» . Университет Индианы. Математика. Дж . 30 (5): 713–747. дои : 10.1512/iumj.1981.30.30055 .
• Фальконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья .

Внешние ссылки

• Размерность Хаусдорфа в Математической энциклопедии
• Мера Хаусдорфа в Математической энциклопедии