Феликс Хаусдорф

Феликс Хаусдорф
Рожденный	( 1868-11-08 ) 8 ноября 1868 г. Бреслау , Королевство Пруссия (ныне Вроцлав , Польша )
Умер	26 января 1942 г. ( 1942-01-26 ) (73 года) Бонн , Германия
Национальность	немецкий
Альма-матер	Лейпцигский университет
Известный	набор η Метод туда-сюда Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа завершение Хаусдорфа Размерность Хаусдорфа Расстояние Хаусдорфа Хаусдорф разрыв Принцип максимума Хаусдорфа мера Хаусдорфа Парадокс Хаусдорфа Хаусдорфово пространство Проблема моментов Хаусдорфа Неравенство Хаусдорфа – Янга
Супруг	Шарлотта Хаусдорф (1873–1942)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Боннский университет , Грайфсвальдский университет , Лейпцигский университет
Диссертация	К теории астрономического преломления лучей   (1891 г.)
Докторантура	Генрих Брунс Адольф Майер

Феликс Хаусдорф ( / ˈ h aʊ s d ɔːr f / HOWS -dorf , / ˈ h aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ; 8 ноября 1868 г. - 26 января 1942 г. ) — немецкий математик , псевдоним Пауль Монгре ( à mon gré (фр.) = «по моему вкусу»), который считается одним из основателей современной топологии и внес значительный вклад в теорию множеств , описательную теорию множеств , теорию меры и функциональный анализ .

Жизнь Хаусдорфа и его семьи стала трудной после Хрустальной ночи 1938 года. В следующем году он предпринял попытку эмигрировать в Соединенные Штаты, но не смог договориться о получении исследовательской стипендии. 26 января 1942 года Феликс Хаусдорф вместе со своей женой и невесткой покончил жизнь самоубийством, приняв передозировку веронала , вместо того, чтобы выполнить приказ немцев переехать в лагерь Эндених, и там понес вероятные последствия: относительно которого он не питал иллюзий.

Жизнь

Детство и юность

Отец Хаусдорфа, еврейский переехал со своей молодой семьей в Лейпциг купец Луи Хаусдорф (1843–1896), осенью 1870 года и со временем работал на различных предприятиях, в том числе на фабрике льняных и хлопчатобумажных изделий. Он был образованным человеком и стал Морену в возрасте 14 лет. Он написал несколько трактатов, в том числе большую работу по арамейским переводам Библии с точки зрения талмудического закона.

Мать Хаусдорфа, Хедвиг (1848–1902), которую в различных документах также называют Йоханной, происходила из еврейской семьи Тиц. Из другой ветви этой семьи произошел Герман Титц , основатель первого универмага, а затем совладелец сети универмагов «Герман Титц». В период нацистской диктатуры имя было «арианизировано» до Херти .

С 1878 по 1887 год Феликс Хаусдорф посещал школу Николая в Лейпциге, учреждение, имевшее репутацию рассадника гуманистического образования. Он был отличником, много лет был классным руководителем и часто декламировал на школьных праздниках самостоятельно написанные латинские или немецкие стихи.

В последние годы обучения в средней школе Хаусдорфу было нелегко выбрать основной предмет обучения. Магда Диркесманн, которая часто бывала в гостях в доме Хаусдорфа в 1926–1932 годах, сообщила в 1967 году, что:

Его разносторонний музыкальный талант был настолько велик, что только настойчивость отца заставила его отказаться от плана заниматься музыкой и стать композитором.

Он решил изучать естественные науки и в выпускном классе 1887 года был единственным, кто получил высшую оценку.

Степень, докторская степень и хабилитация

С 1887 по 1891 год Хаусдорф изучал математику и астрономию , главным образом, в родном городе Лейпциге, прерываясь на один семестр во Фрайбурге (лето 1888 года) и Берлине (зима 1888/1889 года). Сохранившиеся свидетельства других студентов изображают его как чрезвычайно разностороннего и интересующегося молодого человека, который, помимо математических и астрономических лекций, посещал лекции по физике , химии и географии , а также лекции по философии и истории философии , а также по вопросы языка , литературы и социальных наук . В Лейпциге он посещал лекции по истории музыки музыковеда Оскара Пауля . Его ранняя любовь к музыке продлилась всю жизнь; Согласно показаниям свидетелей, сделанным различными участниками, в доме Хаусдорфа он проводил впечатляющие музыкальные вечера с домовладельцем за фортепиано. Еще будучи студентом в Лейпциге, он был поклонником и ценителем музыки Рихарда Вагнера .

В более поздние семестры своего обучения Хаусдорф был близок к Генриху Брунсу (1848–1919). Брунс был профессором астрономии и директором обсерватории Лейпцигского университета. Под его руководством Хаусдорф закончил учебу в 1891 году, написав работу по теории астрономического преломления света в атмосфере. За этим последовали две публикации на ту же тему, а в 1895 году за его хабилитацией последовала диссертация о поглощении света в атмосфере. Эти ранние астрономические работы Хаусдорфа, несмотря на их превосходную математическую формулировку, в конечном итоге не имели большого значения для научного сообщества.Во-первых, позже было показано, что лежащая в основе идея Брунса нежизнеспособна (существовала необходимость в наблюдениях рефракции вблизи астрономического горизонта, и, как покажет Юлиус Баушингер, это не могло быть получено с необходимой точностью). Более того, прогресс в прямых измерениях атмосферных данных (в результате подъемов метеозондов ) с тех пор сделал ненужной кропотливую точность этих данных, полученных при наблюдениях за рефракцией. За время между защитой докторской степени и получением хабилитации Хаусдорф выполнил годичный военный призыв и два года проработал военным. Человек-компьютер в обсерватории в Лейпциге.

Преподаватель в Лейпциге

После получения хабилитации Хаусдорф стал преподавателем в Лейпцигском университете, где начал обширное преподавание в различных математических областях. Помимо преподавания и исследований в области математики, он также занимался своими литературными и философскими наклонностями. Человек разнообразных интересов, он часто общался со многими известными писателями, художниками и издателями, такими как Герман Конради , Рихард Демель , Отто Эрих Хартлебен , Густав Кирштейн , Макс Клингер , Макс Регер и Франк Ведекинд . Годы с 1897 по 1904 год отмечают расцвет его литературного и философского творчества, за это время было опубликовано 18 из 22 его псевдонимных произведений, в том числе сборник стихов, пьеса, эпистемологическая книга и том афоризмов .

В 1899 году Хаусдорф женился на Шарлотте Гольдшмидт, дочери еврейского врача Зигизмунда Гольдшмидта. Ее мачехой была известная суфражистка и воспитательница дошкольных учреждений Генриетта Гольдшмидт . Единственный ребенок Хаусдорфа, его дочь Ленор (Нора), родилась в 1900 году; она пережила эпоху национал-социализма и прожила долгую жизнь, умерев в Бонне в 1991 году.

Первая профессорская должность

В декабре 1901 года Хаусдорф был назначен адъюнкт-профессором Лейпцигского университета. Часто повторяемый факт о том, что Хаусдорфу позвонили из Геттингена и он отклонил его, не может быть проверен и, скорее всего, неверен. Рассмотрев заявление Хаусдорфа в Лейпциг, декан Кирхнер счел необходимым сделать следующее дополнение к очень положительному голосованию своих коллег, написанному Генрихом Брунсом:

Факультет, однако, считает себя обязанным сообщить Королевскому министерству, что вышеуказанное заявление, рассмотренное 2 ноября с.г., когда состоялось собрание факультета, было принято не всеми, а 22 голосами против 7. Меньшинство было против, потому что д-р Хаусдорф придерживается Моисеевой веры.

Эта цитата подчеркивает присутствующий неприкрытый антисемитизм , который особенно резко усилился по всему Германскому рейху после краха фондового рынка в 1873 году . Лейпциг был центром антисемитских настроений, особенно среди студентов, что вполне могло быть причиной того, что Хаусдорф не чувствовал себя в Лейпциге комфортно. Еще одним фактором, способствовавшим этому, мог быть стресс, вызванный иерархической позицией лейпцигских профессоров.

После получения хабилитации Хаусдорф написал другие работы по оптике , неевклидовой геометрии и гиперкомплексным системам счисления , а также две статьи по теории вероятностей . Однако вскоре его основной областью работы стала теория множеств, особенно теория упорядоченных множеств . Первоначально только из философского интереса Хаусдорф начал изучать Георга Кантора творчество , начиная примерно с 1897 года, но уже в 1901 году Хаусдорф начал читать лекции по теории множеств. Это была одна из первых лекций по теории множеств; только лекции Эрнста Цермело в Геттингенском колледже зимой 1900/1901 года были раньше. В том же году он опубликовал свою первую статью о типах порядков, в которой исследовал обобщение хорошо упорядоченных порядков, называемое градуированными типами порядков , где линейный порядок считается градуированным, если никакие два его сегмента не имеют одного и того же типа порядков . Он обобщил теорему Кантора-Бернштейна , которая гласила, что совокупность счетных типов порядка имеет мощность континуума , и показала, что совокупность всех градуированных типов некоторого идемпотентная мощность m имеет мощность 2 ^м .

На летний семестр 1910 года Хаусдорф был назначен профессором Боннского университета . Там он начал серию лекций по теории множеств, которую существенно переработал и расширил к летнему семестру 1912 года.

Летом 1912 года он также начал работу над своим выдающимся произведением — книгой « Основы теории множеств» . Оно было завершено в Грайфсвальде , где Хаусдорф был назначен на летний семестр профессором в 1913 году и был освобожден в апреле 1914 года.

был Грайфсвальдский университет самым маленьким из прусских университетов. Математический институт там тоже был небольшим; Летом 1916 года и зимой 1916/17 года Хаусдорф был единственным математиком в Грайфсвальде. Это означало, что он почти полностью был занят преподаванием базовых курсов. Таким образом, назначение Хаусдорфа в 1921 году в Бонн стало существенным улучшением его академической карьеры. Там он мог свободно преподавать более широкий круг тем и часто читал лекции по своим последним исследованиям. Особенно примечательную лекцию по теории вероятностей (Н. Л. Хаусдорф: Capsule 21: Fasz 64) он прочитал в летнем семестре 1923 года, в которой обосновал теорию вероятностей на основе теоретико-мерной аксиоматической теории, за десять лет до А. Н. Колмогорова. «Основных принципов» понятия теории вероятностей» (перепечатано полностью в собрании сочинений, том V). В Бонне Хаусдорф дружил и сотрудничал с Эдуардом Стюдом , а позднее с Отто Тёплицем , которые оба быливыдающиеся математики.

Под нацистской диктатурой и самоубийством

После прихода к власти Национал-социалистической партии антисемитизм стал государственной доктриной. Первоначально Хаусдорфа не беспокоил « Закон о восстановлении профессиональной государственной службы », принятый в 1933 году, поскольку он был немецким государственным служащим еще до 1914 года. Однако полностью его не пощадили, так как одна из его лекций была прервана. студенческими чиновниками-национал-социалистами. В зимнем семестре 1934/1935 года в Боннском университете прошла рабочая сессия Национал-социалистического немецкого студенческого союза (NSDStB), которая выбрала темой семестра «Раса и этническая принадлежность». Хаусдорф отменил свой курс «Исчисление III» в зимнем семестре 1934/1935 20 ноября, и предполагается, что выбор темы был связан с отменой занятий Хаусдорфа, поскольку за свою долгую карьеру преподавателя университета он всегда преподавал свои курсы вплоть до их конец.

31 марта 1935 года, после некоторых колебаний, Хаусдорф наконец получил почетный статус. Не было сказано слов благодарности за 40 лет успешной работы в системе высшего образования Германии.

Его академическое наследие показывает, что Хаусдорф все еще работал математически в эти все более трудные времена и продолжал следить за текущими интересами. Помимо расширенного издания своей работы по теории множеств, он написал семь работ по топологии и дескриптивной теории множеств. Они были опубликованы в польских журналах: один в Studia Mathematica , другие в Fundamenta Mathematicae .Его в это время поддержал Эрих Бессель-Хаген , верный друг семьи Хаусдорф, который получал книги и журналы из академической библиотеки, в которую Хаусдорфу больше не разрешалось входить.

в 1938 году , известно немало. Об унижениях, которым особенно подверглись Хаусдорф и его семья после Хрустальной ночи Источников много, в том числе письма Бессель-Хагена.

Первая страница его прощального письма Гансу Вольштейну.

В 1939 году Хаусдорф тщетно просил математика Рихарда Куранта о исследовательской стипендии, чтобы иметь возможность эмигрировать в США. В середине 1941 года боннских евреев начали депортировать в «Монастырь Вечного Поклонения» в Энденихе , Бонн , из которого были изгнаны монахини. Транспортировка в лагеря смерти на востоке произошла позже. После того, как Хаусдорфу, его жене и сестре его жены Эдит Паппенгейм (которая жила с ними) в январе 1942 года было приказано переехать в лагерь Эндених, все трое покончили жизнь самоубийством 26 января 1942 года, приняв передозировку веронала . Их последнее пристанище находится на кладбище Поппельсдорф в Бонне. В период между их размещением во временных лагерях и своим самоубийством он передал свой рукописный Нахлас египтологу и пресвитеру Гансу Бонне , который спас как можно больше из них, даже несмотря на разрушение его дома бомбой.

Некоторые из его собратьев-евреев, возможно, питали иллюзии по поводу лагеря Эндених, но не Хаусдорф. В поместье Бессель-Хаген Э. Нойеншвандер обнаружил прощальное письмо, которое Хаусдорф написал своему адвокату Гансу Вольштейну, который также был евреем. Вот начало и конец письма:

Надгробие Хаусдорфа в Бонне -Поппельсдорфе

Дорогой друг Вольштейн!

Если вы получили эти строки, то мы (трое) решили проблему другим способом — тем способом, которым вы нас постоянно пытались отговорить. Чувство безопасности, которое вы предсказали нам, когда мы преодолеем трудности переезда, все еще ускользает от нас; напротив, Эндених, возможно, даже не конец!

То, что произошло в последние месяцы против евреев, вызывает оправданное опасение, что они не дадут нам дожить до более терпимой ситуации.

Поблагодарив друзей и с большим спокойствием выразив свои последние пожелания относительно его похорон и своего завещания, Хаусдорф пишет:

Мне жаль, что мы причиняем вам еще больше усилий после смерти, и я убежден, что вы делаете то, что можете ( что, возможно, не очень много). Простите нам наше дезертирство! Мы желаем вам и всем нашим друзьям пережить лучшие времена.

Ваш искренне преданный

Феликс Хаусдорф

К сожалению, это желание не было исполнено. Адвокат Хаусдорфа Вольштейн был убит в Освенциме .

Хаусдорфштрассе (Бонн)

Библиотеку Хаусдорфа продал его зять и единственный наследник Артур Кениг. Части «Начласса» Хаусдорфа , которые удалось спасти Гансу Бонне, сейчас находятся в университете и Государственной библиотеке Бонна. Nachlass . внесен в каталог

Работа и прием

Хаусдорф как философ и писатель (Поль Монгре)

Сборник афоризмов Хаусдорфа, опубликованный в 1897 году, был его первой работой, опубликованной под псевдонимом Поль Монгре. Она называется «Сант Иларио: Мысли о пейзаже Заратустры» . Подзаголовок в первую очередь подчеркивает тот факт, что Хаусдорф завершил свою книгу во время восстановительного пребывания на Лигурийском побережье под Генуей и что в этом же районе Фридрих Ницше написал первые две части « Так говорил Заратустра» ; он также намекает на свою духовную близость к Ницше. В статье о Сант-Иларио в еженедельной газете Die Zukunft Хаусдорф экспрессивно признал свой долг перед Ницше.

Хаусдорф не пытался копировать или даже превзойти Ницше. «От подражания Ницше нет и следа», — говорится в современной рецензии. Он следует за Ницше в попытке освободить индивидуальное мышление, взять на себя смелость подвергать сомнению устаревшие стандарты. Хаусдорф сохранял критическую дистанцию ​​по отношению к поздним работам Ницше. В своем эссе по книге « Воля к власти» , составленном на основе заметок, оставшихся в Архиве Ницше, он говорит:

В Ницше пылает фанатик. Его мораль воспитания, возведенная на наши нынешние биологические и физиологические основы знаний: это могло бы стать всемирно-историческим скандалом, на фоне которого инквизиция и процессы над ведьмами исчезнут в безобидные отклонения.

Свой критический стандарт он взял у самого Ницше:

От доброго, скромного, понимающего Ницше и от свободного духа хладнокровного, свободного от догм, бессистемного скептика Ницше...

В 1898 году — также под псевдонимом Поль Монгре — Хаусдорф опубликовал эпистемологический эксперимент под названием « Хаос в космическом отборе» . Критика метафизики, изложенная в этой книге, имела своей отправной точкой конфронтацию Хаусдорфа с идеей Ницше о вечном возвращении. В конечном итоге речь идет об уничтожении любой метафизики. О самом мире, о трансцендентном ядре мира , как говорит Хаусдорф, мы ничего не знаем и ничего не можем знать. Мы должны принять «сам мир» как неопределенный и неопределимый, как простой хаос. Мир нашего опыта, наш космос — это результат выбора, который мы сделали и всегда будем инстинктивно делать в соответствии с нашей способностью к пониманию. Из этого хаоса можно представить себе все другие структуры, другой космос. То есть из мира нашего космоса нельзя сделать никаких выводов о трансцендентном мире.

В 1904 году в журнале «Новый Рундшау» появилась пьеса Хаусдорфа — одноактная пьеса « Доктор в его честь» . Это грубая сатира на дуэль и на традиционные понятия чести и дворянства прусского офицерского корпуса, которые в развивающемся буржуазном обществе становились все более анахроничными. «Доктор в его честь» стал самым популярным литературным произведением Хаусдорфа. В 1914–1918 годах многочисленные выступления прошли более чем в тридцати городах. Позже Хаусдорф написал к пьесе эпилог, но тогда она не была поставлена. Только в 2006 году премьера этого эпилога состоялась на ежегодном собрании Немецкого математического общества в Бонне.

Помимо упомянутых выше работ, Хаусдорф также написал множество эссе, которые появились в некоторых ведущих литературных журналах того времени. Он также написал книгу стихов «Экстаз» (1900). Некоторые из его стихов были положены на музыку австрийским композитором Йозефом Марксом .

Теория упорядоченных множеств

Вступление Хаусдорфа в тщательное изучение упорядоченных множеств было отчасти вызвано проблемой Кантора о континууме: где должно быть кардинальное число? $\aleph =2^{\aleph _{0}}$ расположить в последовательности $\{\aleph _{\alpha }\}$? В письме Гильберту от 29 сентября 1904 года он говорит об этой проблеме: «Она мучила меня почти как мономания ». Хаусдорф увидел в наборе новую стратегию решения проблемы. $\mathrm {card} (T(\aleph _{0}))=\aleph$. Кантор подозревал $\aleph =\aleph _{1}$, но смог только показать, что $\aleph \geq \aleph _{1}$. Пока $\aleph _{1}$ — «число» возможных правильных порядков множества счётного , $\aleph$ теперь стало «числом» всех возможных заказов на такую ​​сумму. Поэтому было естественным изучать системы, более конкретные, чем порядки, но более общие, чем вполне упорядоченные. Хаусдорф сделал именно это в своем первом томе 1901 года, опубликовав теоретические исследования «градуированных множеств». Однако из результатов Курта Гёделя и Пола Коэна мы знаем , что эта стратегия решения проблемы континуума столь же неэффективна, как и стратегия Кантора, которая была направлена ​​на обобщение принципа Кантора-Бендиксона с закрытых множеств на общие несчетные множества.

В 1904 году Хаусдорф опубликовал названную в его честь рекурсию, в которой утверждалось, что для каждого неограниченного порядкового номера $\mu$ у нас есть $\aleph _{\mu }^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\mu }\;\aleph _{\mu -1}^{\aleph _{\alpha }}.$

Эта формула вместе с более поздним понятием конфинальности, введенным Хаусдорфом, стала основой для всех дальнейших результатов по возведению алефа в степень . Прекрасное знание Хаусдорфом рекуррентных формул такого рода также позволило ему обнаружить ошибку в Юлиуса Кенига лекции на Международном конгрессе математиков в 1904 году в Гейдельберге . Там Кениг утверждал, что континуум не может быть хорошо упорядочен, поэтому его мощность вовсе не является Алефом, и это вызвало большой переполох. Тот факт, что именно Хаусдорф разъяснил ошибку, имеет особое значение, поскольку ложное впечатление о событиях в Гейдельберге сохранялось более 50 лет.

В 1906–1909 годах Хаусдорф выполнил свою новаторскую и фундаментальную работу по упорядоченным множествам. Фундаментальное значение для всей теории имеет понятие конфинальности , введенное Хаусдорфом. Порядковый номер называется регулярным, если он конфинален с любым меньшим порядковым номером; в противном случае его называют сингулярным. Вопрос Хаусдорфа о том, существуют ли регулярные числа, индексирующие предельный ординал, стал отправной точкой для теории недоступных кардиналов. Хаусдорф уже заметил, что такие цифры, если они существуют, должны быть «непомерными».

Принципиальное значение имеет также следующая теорема Хаусдорфа: для каждого неограниченного и упорядоченного плотного множества $A$ существуют два однозначно определенных регулярных начальных числа $\omega _{\xi },\omega _{\eta }$ так что $A$ является конфинальным с $\omega _{\xi }$ и совпадающий с $\omega _{\eta }^{*}$ (где * обозначает обратный порядок). Эта теорема обеспечивает, например, метод характеристики элементов и пробелов в упорядоченных множествах.

Если $W$ представляет собой заранее определенный набор символов (символов элемента и пробела), возникает вопрос, существуют ли упорядоченные наборы, набор символов которых в точности равен $W$. Легко найти необходимое условие для $W$, но Хаусдорф также смог показать, что это условие является достаточным. Для этого нужен богатый резервуар упорядоченных множеств, который Хаусдорф также смог создать с помощью своей теории общих произведений и степеней. В этом резервуаре можно найти интересные структуры, такие как Хаусдорф. $\eta _{\alpha }$ нормальных типов, в связи с чем Хаусдорф впервые сформулировал гипотезу обобщенного континуума . Хаусдорфа $\eta _{\alpha }$-множества сформировали отправную точку для изучения важной модельной теории насыщенной структуры .

Общие произведения и степени мощности Хаусдорфа побудили его изучить концепцию частично упорядоченного множества. На вопрос о том, содержится ли какое-либо упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества в максимальном упорядоченном подмножестве, Хаусдорф ответил положительно, используя теорему о хорошем порядке. Это принцип максимума Хаусдорфа , который следует либо из теоремы о хорошем порядке, либо из аксиомы выбора и, как оказалось, также эквивалентен аксиоме выбора.

В 1908 году Артур Мориц Шенфлис в своем отчете о теории множеств обнаружил, что новая теория упорядоченных множеств (то есть та, которая возникла после расширений Кантора) почти исключительно возникла благодаря Хаусдорфу.

«Магнум Опус»: «Принципы теории множеств».

Согласно прежним представлениям, теория множеств включала не только общую теорию множеств и теорию множеств точек, но также теорию размерности и меры. Учебник Хаусдорфа был первым, в котором вся теория множеств была представлена ​​в этом широком смысле, систематически и с полными доказательствами. Хаусдорф осознавал, как легко человеческий разум может ошибаться, одновременно стремясь к строгости и истине, поэтому в предисловии к своей работе он обещает:

… максимально экономно относиться к человеческой привилегии ошибаться.

Эта книга вышла далеко за рамки мастерского изображения уже известных концепций. Он также содержал ряд важных оригинальных статей автора.

Первые несколько глав посвящены основным понятиям общей теории множеств. Вначале Хаусдорф предоставляет подробную алгебру множеств с некоторыми новаторскими концепциями (цепь разностей, кольца множеств и поля множеств, $\delta$- и $\sigma$-системы). Вводные параграфы, посвященные множествам и их связям, включали, например, современное теоретико-множественное понятие функций. В главах с 3 по 5 обсуждается классическая теория кардинальных чисел, типов порядка и ординалов, а в шестой главе «Отношения между упорядоченными и вполне упорядоченными множествами» Хаусдорф представляет, среди прочего, важнейшие результаты своих собственных исследований упорядоченных множеств. .

В главах о «множествах точек» — топологических главах — Хаусдорф впервые разработал на основе известных аксиом окрестностей систематическую теорию топологических пространств, куда, кроме того, добавил аксиому разделения, позже названную его именем. Эта теория возникает в результате всестороннего синтеза более ранних подходов других математиков и собственных размышлений Хаусдорфа о проблеме пространства. Понятия и теоремы классической теории множеств точек. $\mathbb {R} ^{n}$ переводятся, насколько это возможно, в общий случай и, таким образом, становятся частью вновь созданной общей или теоретико-множественной топологии. Но Хаусдорф не только выполнил эту «работу по переводу», но и разработал основные методы построения топологии, такие как образование ядра (открытое ядро, самоплотное ядро ) и образование оболочки ( замыкание ), а также прорабатывает фундаментальную важность концепции открытого множества (названного им «площадью») и понятия компактности, введенного Фреше. Он также основал и развил теорию связного множества, в частности, путем введения терминов «компонент» и «квазикомпонент».

Благодаря первой аксиоме счетности Хаусдорфа, а затем и второй, рассматриваемые пространства постепенно специализировались. Большой класс пространств, удовлетворяющих счетной первой аксиоме, — это метрические пространства . Они были введены в 1906 году Фреше под названием «классы (Е)». Термин «метрическое пространство» принадлежит Хаусдорфу. В «Принципах» он развил теорию метрических пространств и систематически обогащал ее рядом новых понятий: метрика Хаусдорфа , полная , тотальная ограниченность , $\rho$-связность, приводимые множества. Работы Фреше не особенно известны; Хаусдорфа только благодаря Принципам метрические пространства стали общеизвестными для математиков.

Глава с иллюстрациями и заключительная глава «Основ теории меры и интеграции» обогащены общностью материала и оригинальностью изложения. Упоминание Хаусдорфом о важности теории меры для вероятности имело большой исторический эффект, несмотря на его лаконическую краткость. В этой главе можно найти первое правильное доказательство усиленного закона больших чисел Эмиля Бореля . Наконец, в приложении содержится единственный наиболее впечатляющий результат всей книги, а именно теорема Хаусдорфа о том, что невозможно определить объем для всех ограниченных подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$ для $n\geq 3$. Доказательство основано на парадоксальном шаровом разложении Хаусдорфа, для получения которого требуется аксиома выбора.

В ХХ веке стало стандартом строить математические теории на основе аксиоматической теории множеств. Создание аксиоматически обоснованных обобщенных теорий, таких как общая топология, способствовало, среди прочего, выделению общего структурного ядра для различных частных случаев или областей и затем созданию абстрактной теории, содержавшей все эти части как частные случаи. Это принесло большой успех в виде упрощения и гармонизации и в конечном итоге принесло с собой экономию мысли. Сам Хаусдорф выделил этот аспект в « Принципах» . В топологической главе основные концепции представляют собой новаторскую работу с методологической точки зрения и проложили путь для развития современной математики.

Принципы теории множеств появились в апреле 1914 г., накануне Первой мировой войны, резко повлиявшей на научную жизнь Европы. В этих обстоятельствах влияние книги Хаусдорфа на математическое мышление не будет заметно в течение пяти-шести лет после ее появления. После войны новое поколение молодых исследователей приступило к расширению многочисленных предложений, включенных в эту работу. Несомненно, топология была в центре внимания. журнал Fundamenta Mathematicae Особую роль в рецепции идей Хаусдорфа сыграл , основанный в Польше в 1920. Это был один из первых математических журналов, в котором особое внимание уделялось теории множеств, топологии, теории действительных функций, теории меры и интегрирования, функциональному анализу, логике и основам математики. Во всем этом спектре особое внимание уделялось топологии. Хаусдорфа Принципы были процитированы в самом первом томе Fundamenta Mathematicae , и благодаря подсчету цитирований их влияние продолжалось с поразительной скоростью. Из 558 работ (без учета трех работ Хаусдорфа), появившихся в первых двадцати томах Fundamenta Mathematicae с 1920 по 1933 год, 88 цитируют Принципы . Необходимо также принять во внимание тот факт, что по мере того, как идеи Хаусдорфа становились все более распространенными, они также использовались в ряде работ, в которых они не цитировались явно.

Русская топологическая школа, основанная Паулем Александровым и Паулем Урысоном , во многом основывалась на принципах Хаусдорфа . Об этом свидетельствует сохранившаяся переписка в «Накласе» Александрова и Урысона Хаусдорфа с Урысоном, и особенно в «Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes» . работа размером с книгу, в которой Урысон разработал теорию размерности и принципы, цитируется не менее 60 раз.

После Второй мировой войны книга Хаусдорфа пользовалась большим спросом, и в Челси было три переиздания в 1949, 1965 и 1978 годах.

Описательная теория множеств, теория меры и анализ

В 1916 году Александров и Хаусдорф независимо решили. проблема континуума для борелевских множеств: каждое борелевское множество в полном сепарабельном метрическом пространстве либо счетно, либо имеет мощность континуума. Этот результат обобщает теорему Кантора–Бендиксона о том, что такое утверждение справедливо для замкнутых множеств $\mathbb {R} ^{n}$. Для линейного $G_{\delta }$ наборы Уильям Генри Янг доказал результат в 1903 году, для $G_{\delta \sigma \delta }$ наборов Хаусдорф получил соответствующий результат в 1914 г. в «Принципах» . Теорема Александрова и Хаусдорфа послужила сильным толчком для дальнейшего развития дескриптивной теории множеств.

Среди публикаций Хаусдорфа во время его пребывания в Грайфсвальде работа «Измерение и внешняя мера» особенно выделяется 1919 года. В этой работе были введены понятия, которые сейчас известны как мера Хаусдорфа и размерность Хаусдорфа . Она оставалась весьма актуальной и в последующие годы стала одной из наиболее цитируемых математических работ за десятилетие с 1910 по 1920 год.

Концепция размерности Хаусдорфа полезна для характеристики и сравнения «высоко жестких величин». Концепции размерности и внешней меры получили применение и дальнейшее развитие во многих областях, таких как теория динамических систем, геометрическая теория меры, теория самоподобных множеств и фракталов, теория случайных процессов, гармонический анализ, теория потенциала. и теория чисел.

Значительная аналитическая работа Хаусдорфа произошла во время его второго пребывания в Бонне. В книге «Методы суммирования и моментные последовательности» I в 1921 году он разработал целый класс методов суммирования расходящихся рядов, которые сегодня называются методами Хаусдорфа . В Харди классической книге «Дивергентная серия» целая глава посвящена методу Хаусдорфа. Классические методы Гёльдера и Чезаро оказались частными случаями метода Хаусдорфа. Каждый метод Хаусдорфа задается последовательностью моментов; в этом контексте Хаусдорф дал изящное решение проблемы моментов для конечного интервала, минуя теорию цепных дробей. В своей статье « Проблемы моментов для конечного интервала» 1923 года он рассмотрел более специальные проблемы моментов, например, проблемы с определенными ограничениями на создание плотности. $\varphi (x)$, например $\varphi (x)\in L^{p}[0,1]$. Критерии разрешимости и разрешимости моментных задач занимали Хаусдорфа на протяжении многих лет, о чем свидетельствуют сотни страниц рукописных заметок в его Накласе .

Значительным вкладом в развивающуюся область функционального анализа в 1920-х годах стало распространение Хаусдорфом теоремы Рисса-Фишера на $L^{p}$ пространства в его работе 1923 года «Расширение теоремы Парсеваля о рядах Фурье» . Он доказал неравенства, теперь названные в честь него и У.Г. Янга . Неравенства Хаусдорфа – Янга стали отправной точкой новых крупных разработок.

Книга Хаусдорфа «Теория множеств» появилась в 1927 году. Она была объявлена ​​вторым изданием «Принципов» , но на самом деле это была совершенно новая книга. Поскольку масштаб был значительно уменьшен из-за его появления в учебной библиотеке Гошена, большие части теории упорядоченных множеств и мер и теории интегрирования были удалены. В предисловии Хаусдорф пишет: «Возможно, даже больше, чем эти удаления, читатель пожалеет больше всего о том, что в целях дальнейшей экономии места в теории множеств точек я отказался от топологической точки зрения, благодаря которой первое издание, по-видимому, приобрело много друзей. и сосредоточился на более простой теории метрических пространств».

Фактически, это было явным сожалением некоторых рецензентов работы. В качестве компенсации Хаусдорф впервые показал нынешнее состояние дескриптивной теории множеств. Этот факт обеспечил книге почти такой же интенсивный прием, как и «Принципы» , особенно в Fundamenta Mathematicae. Как учебник он пользовался большой популярностью. В 1935 году было опубликовано расширенное издание, которое было переиздано Дувром в 1944 году. Английский перевод появился в 1957 году с переизданиями в 1962 и 1967 годах.

Существовало и русское издание (1937 г.), хотя оно было лишь частично точным переводом, а частично переработкой Александрова и Колмогорова . В этом переводе топологическая точка зрения вновь вышла на первый план. В 1928 году обзор « Теории множеств» написал Ганс Хан, который, возможно, думая об опасности немецкого антисемитизма, завершил дискуссию следующим предложением:

Образцовое во всех отношениях изображение трудной и тернистой области, работа, равная тем, которые прославили немецкую науку во всем мире, и такая, которой могут гордиться все немецкие математики.

Его последние работы

В 1938 году последняя работа Хаусдорфа «Расширение непрерывного отображения» показала, что непрерывная функция из замкнутого подмножества $F$ метрического пространства $E$ можно распространить на все $E$ (хотя изображение, возможно, придется расширить). В частном случае каждый гомеоморфизм из $F$ может быть продолжено до гомеоморфизма из $E$. Эта работа продолжила исследования предыдущих лет. В 1919 году в работе «О полунепрерывных функциях и их обобщении » Хаусдорф, среди прочего, дал еще одно доказательство теоремы о продолжении Титце . В 1930 году в работе «Расширение гомеоморфизма » он показал следующее: Пусть $E$ быть метрическим пространством, $F\subseteq E$ закрытое подмножество. Если $F$ если задана новая метрика без изменения топологии, то эту метрику можно распространить на все пространство без изменения топологии. Работа «Градуированные пространства» появилась в 1935 году, где Хаусдорф обсуждал пространства, удовлетворяющие аксиомам замыкания Куратовского вплоть до аксиомы идемпотентности. Эти пространства часто также называют пространствами замыкания, и Хаусдорф использовал их для изучения отношений между предельными пространствами Фреше и топологическими пространствами .

Хаусдорф как датель имени

Имя Хаусдорфа встречается во всей математике. Среди прочего, эти понятия были названы в его честь:

• завершение Хаусдорфа
• Хаусдорфская конвергенция
• Плотность Хаусдорфа
• Размерность Хаусдорфа
• Расстояние Хаусдорфа
• Хаусдорф разрыв
• Принцип максимума Хаусдорфа
• мера Хаусдорфа
• Метрика Хаусдорфа
• Проблема моментов Хаусдорфа
• Парадокс Хаусдорфа
• Хаусдорфово пространство
• Неравенство Хаусдорфа – Янга
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

В университетах Бонна и Грайфсвальда в его честь были названы следующие вещи:

• в Математический центр Хаусдорфа Бонне,
• Научно-исследовательский институт математики Хаусдорфа в Бонне и
• Международный конференц-центр Феликса Хаусдорфа в Грайфсвальде.

Помимо этого, в Бонне есть Хаусдорфштрассе (Хаусдорф-стрит), где он впервые жил. (Дом-№ 61). В Грайфсвальде есть улица Феликс-Хаусдорф-Штрассе, где, среди прочего, расположены Институты биохимии и физики. С 2011 года в центре Лейпцигерского района Ортштайль Голис находится «Hausdorffweg» (Hausdorff-Way) .

В его честь был назван астероид 24947 Хаусдорф .

Сочинения

Как Поль Монгре

Здесь показаны только избранные эссе, появившиеся в тексте.

• Сант-Иларио. Мысли о пейзаже Заратустры. Издательство CG Naumann, Лейпциг, 1897 г.
• Хаос в космическом отборе – эпистемологическая попытка. Издательство К.Г. Наумана, Лейпциг, 1898 г.; Перепечатано с предисловием Макса Бенсе: Баден-Баден: Agis-Verlag 1976, ISBN   3-87007-013-7
• Массовое счастье и индивидуальное счастье. Neue Deutsche Rundschau (Свободная сцена) 9 (1), (1898), стр. 64–75.
• Нечистый век. Neue Deutsche Rundschau (Свободная сцена) 9 (5), (1898), стр. 443–452.
• экстази. Том стихов. Verlag H. Seemann Nachf., Лейпциг, 1900 г.
• Воля к власти. В: Neue Deutsche Rundschau (Свободная сцена) 13 (12) (1902), стр. 1334–1338.
• Макс Клингер «Бетховен». Журнал изящных искусств, новый эпизод 13 (1902), стр. 183–189.
• Языковая критика Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), стр. 1233–1258.
• Почетный доктор, гротеск. В: Die Neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), стр. 989–1013. Новое издание как: Почетный доктор. Комедия в одном действии с эпилогом. С 7 портретами и гравюрами на дереве Ганса Александра Мюллера по рисункам Вальтера Тимана, 10 листов, 71 страница. Пятое издание Лейпцигера Bibliophilen-Abends, Лейпциг, 1910 г. Новое издание: С. Фишер, Берлин, 1912 г., 88 страниц.

В роли Феликса Хаусдорфа

• Вклад в теорию вероятностей . Труды Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Матем.-физ. Classe 53 (1901), стр. 152–178.
• Об определенном виде упорядоченных множеств. Труды Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Матем.-физ. Classe 53 (1901), стр. 460–475.
• Das Raumproblem (Вступительная лекция в Лейпцигском университете 4 июля 1903 г.). Анналы естественной философии Оствальда 3 (1903), С. 1–23.
• Понятие власти в теории множеств . Годовой отчет DMV 13 (1904 г.), стр. 569–571.
• Исследования по типам заказа I, II, III. Труды Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математика-физика \ Класс 58 (1906), стр. 106–169.
• Исследования типов орденов IV, V. Труды Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Матем.-физ. Класс 59 (1907), стр. 84–159.
• О плотных типах ордеров . Годовой отчет DMV 16 (1907), стр. 541–546.
• Основы теории упорядоченных множеств . Математика 65 (1908), стр. 435–505.
• Выпускной после последнего курса. Труды Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Матем.-физ. Класс 31 (1909), стр. 295–334.
• Основные принципы теории множеств . Издательство Veit & Co, Лейпциг. 476 стр., 53 рисунка. Дальнейшие издания: паб «Челси». Ко. 1949, 1965, 1978 гг.
• Толщина наборов Бореля . Математика 77 (1916), стр. 430–437.
• Размер и внешнее измерение . Математика 79 (1919), стр. 157–179.
• О полунепрерывных функциях и их обобщениях . Математический журнал 5 (1919), стр. 292–309.
• Методы суммирования и последовательности моментов I , II Math. Zeitschrift 9 (1921), I: стр. 74–109, II: стр. 280–299.
• Распространение теоремы Парсеваля на ряды Фурье . Математика 16 (1923), стр. 163–169.
• Проблемы моментов для конечного интервала . Математика 16 (1923), стр. 220–248.
• Менгенлере , второе переработанное издание. Verlag Walter de Gruyter & Co., Берлин. 285 С. с 12 цифрами.
• Расширение гомеоморфии (PDF; 389 КБ) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), стр. 353–360.
• Теория множеств , третье издание. С дополнительной главой и несколькими приложениями. Издательство Walter de Gruyter & Co., Берлин. 307 стр., 12 фигур. Перепечатано: Dover Pub. Нью-Йорк, 1944. Английское издание: Теория множеств . Перевод с немецкого JR Aumann et al. Паб Челси. Ко., Нью-Йорк, 1957, 1962, 1967 гг.
• Жесткое освещение (PDF; 1,2 МБ) Основы математики 25 (1935), стр. 486–502.
• Расширение непрерывного отображения (PDF; 450 КБ) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), стр. 40–47.
• Посмертные сочинения . 2 тома. Ред.: Г. Бергманн, Тойбнер, Штутгарт, 1969. Из поместья , том I включает выпуски 510–543, 545–559, 561–577, том II, выпуски 578–584, 598–658 (все выпуски приведены в виде факсимиле).

Хаусдорф об упорядоченных множествах . Пер. и редактор: Джейкоб М. Плоткин, Американское математическое общество, 2005.

Собрание сочинений

«Hausdorff-Edition» под редакцией Э. Брискорна (†), Ф. Хирцебруха (†), В. Пуркерта (весь Бонн), Р. Реммерта (†) (Мюнстер) и Э. Шольца (Вупперталь) при сотрудничестве с участием более двадцати математиков, историков, философов и ученых — это действующий проект Северо-Рейнско-Вестфальской академии наук, гуманитарных наук и искусств, целью которого является представление работ Хаусдорфа с комментариями и большим количеством дополнительных материалов. Тома были опубликованы издательством Springer-Verlag , Гейдельберг. Было опубликовано девять томов, причем том I разделен на том IA и том IB. Для получения дополнительной информации посетите веб-сайт проекта Hausdorff Project Hausdorff Edition (на немецком языке) . Объемы:

• Том IA: Общая теория множеств. 2013, ISBN   978-3-642-25598-4 .
• Том IB: Феликс Хаусдорф - Поль Монгре (биография). 2018, ISBN   978-3-662-56380-9 .
• Том II: Основы теории множеств (1914) . 2002, ISBN   978-3-540-42224-2
• Том III: Теория множеств (1927, 1935); Описательная теория множеств и топология . 2008, ISBN   978-3-540-76806-7
• Том IV: Анализ, алгебра и теория чисел . 2001, ISBN   978-3-540-41760-6
• Том V: Астрономия, оптика и теория вероятностей . 2006, ISBN   978-3-540-30624-5
• Том VI: Геометрия, пространство и время . 2020. ISBN   978-3-540-77838-7
• Том VII: Философский труд . 2004, ISBN   978-3-540-20836-5
• Том VIII: Литературное творчество . 2010, ISBN   978-3-540-77758-8
• Том IX: Переписка. 2012, ISBN   978-3-642-01116-0 .

Ссылки

• Александров, П .; Хопф, Х .: Топология. Шпрингер Верлаг , Берлин, 1935 г.
• Брискорн, Э .: Густав Ландауэр и математик Феликс Хаусдорф. В: Х. Дельф, Г. Маттенклотт: Густав Ландауэр в беседе - симпозиум к его 125-летию. Тюбинген 1997, стр. 105–128.
• Брискорн, Э. (ред.): Феликс Хаусдорф о памяти. аспекты его работы. Вьюег , Брауншвейг/Висбаден, 1996 г.
• Брискорн, Э.; Пуркерт, В.: Биография Феликса Хаусдорфа. (Том IB издания), Springer, Гейдельберг, 2018.
• Эйххорн, Э.; Тиле, Э.-Ж.: Лекции памяти Феликса Хаусдорфа , Heldermann Verlag , Берлин, 1994, ISBN   3-88538-105-2 .
• Кепке П., Кановей В., Описательная теория множеств в основных принципах теории множеств Хаусдорфа , 2001, uni-bonn.de (pdf)
• Лоренц, Г.Г.: Математическая работа Феликса Хаусдорфа. Годовой отчет DMV 69 (1967), 54 (130)–62 (138).
• Пуркерт, Вальтер: Двойная жизнь Феликса Хаусдорфа/Поля Монгре. Mathematical Intelligencer, 30 (2008), 4, с. 36 и далее.
• Пуркерт, Вальтер: Феликс Хаусдорф - Поль Монгре. Математик-философ-литератор . Математический центр Хаусдорфа, Бонн, 2013.
• Стегмайер, В .: Математик в пейзаже Заратустры. Феликс Хаусдорф как философ. Исследования Ницше 31 (2002), 195–240.
• Воллхардт Ф.: От социальной истории к культурологии? Литературно-очерковые сочинения математика Феликса Хаусдорфа (1868–1942): Предварительные комментарии с систематическим намерением. В: Хубер, М.; Лауэр, Г. (ред.): После социальной истории - концепции литературных исследований между исторической антропологией, историей культуры и теорией средств массовой информации. Макс Нимейер Верлаг, Тюбинген, 2000 г., стр. 551–573.
• Вагон, С.: Парадокс Банаха – Тарского . Кембриджский университет. Пресс, Кембридж, 1993.
• Лексикон немецко-еврейских авторов , Том 10, Саур, Мюнхен, 2002, стр. 262–268.

См. также

• Сходимость Громова – Хаусдорфа
• Расстояние Хаусдорфа
• Хаусдорф разрыв
• Морис Рене Фреше
• Медаль Хаусдорфа

Внешние ссылки

• Феликс Хаусдорф в проекте «Математическая генеалогия»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Феликс Хаусдорф» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Домашняя страница издания Hausdorff Edition (на немецком языке)
• Хаусдорф-Финдбух
• Математический центр Хаусдорфа в Бонне
• Мемориал «Столперштейн» в последнем доме Хаусдорфа в Бонне.