Насыщенная модель

В математической логике подполей , и особенно в теории моделей , насыщенная модель M — это модель, которая реализует столько полных типов , сколько можно «разумно ожидать», учитывая ее размер. Например, сверхмощная модель гиперреальности : $\aleph _{1}$ -насыщенный, что означает, что каждая нисходящая вложенная последовательность внутренних множеств имеет непустое пересечение. ^[1]

Определение

Пусть κ — конечное или бесконечное кардинальное число , а M — модель на некотором языке первого порядка . Тогда M называется κ -насыщенным для всех подмножеств A ⊆ M мощности κ меньше , модель M реализует все полные типы над A. если Модель M называется насыщенной, если она | M |-насыщенный, где | М | обозначает мощность M . То есть он реализует все полные типы для наборов параметров размером меньше | М |. По мнению некоторых авторов, модель M называется счётно насыщенной, если она $\aleph _{1}$ -насыщенный; то есть он реализует все полные типы для счетных наборов параметров. ^[2] По мнению других, оно счетно насыщено, если оно счетно и насыщено. ^[3]

Мотивация

Казалось бы, более интуитивное представление о том, что реализуются все полные типы языка, оказывается слишком слабым (и соответственно называется слабой насыщенностью , что то же самое, что 1-насыщенность). Отличие заключается в том, что многие структуры содержат элементы, неопределимые (например, любой трансцендентный элемент R по определению слова не определим на языке полей ). Однако они по-прежнему являются частью структуры, поэтому нам нужны типы для описания отношений с ними. Таким образом, мы допускаем использование наборов параметров из структуры в нашем определении типов. Этот аргумент позволяет нам обсудить конкретные особенности модели, которые в противном случае мы могли бы упустить — например, граница конкретной возрастающей последовательности c _n может быть выражена как реализация типа { x ≥ c _n : n ∈ ω}, который использует счетное число. множество параметров. Если последовательность неопределима, этот факт о структуре не может быть описан с использованием базового языка, поэтому слабо насыщенная структура может не ограничивать последовательность, в то время как ℵ _{1 –} насыщенная структура.

Причина, по которой нам нужны только наборы параметров, строго меньшие, чем модель, тривиальна: без этого ограничения ни одна бесконечная модель не будет насыщенной. Рассмотрим модель M и тип { x ≠ m : m ∈ M }. Каждое конечное подмножество этого типа реализуется в (бесконечной) модели M , поэтому по компактности оно согласуется с M , но тривиально не реализуется. Любое определение, которое не удовлетворяется всеми, бесполезно; отсюда и ограничение.

Примеры

Насыщенные модели существуют для определенных теорий и мощностей:

( Q , <) — множество рациональных чисел с их обычным порядком — насыщено. Интуитивно это происходит потому, что любой тип, соответствующий теории, подразумевается типом порядка; то есть порядок расположения переменных говорит вам все, что нужно знать об их роли в структуре.
( R , <) — множество действительных чисел с их обычным порядком — не является насыщенным. Например, возьмем тип (в одной переменной x ), содержащий формулу $\textstyle {x>-{\frac {1}{n}}}$ для каждого натурального числа n , а также формула $\textstyle {x<0}$ . Этот тип использует параметры, отличные R. от Каждое конечное подмножество типа реализуется на R некоторым вещественным x , поэтому по компактности тип согласуется со структурой, но он не реализуется, поскольку это подразумевало бы верхнюю границу последовательности −1/ n , меньшую, чем 0 (его наименьшая верхняя граница). Таким образом, ( R ,<) не является ω ₁ -насыщенным и ненасыщенным. Однако он ω -насыщен, по сути, по той же причине, что и Q : каждый конечный тип задается типом порядка, который, если он непротиворечив, всегда реализуется из-за плотности порядка.
Плотное полностью упорядоченное множество без концов является η _α множеством тогда и только тогда, когда оно ℵ _α -насыщено.
Счетный случайный граф , единственным нелогическим символом которого является отношение существования ребра, также является насыщенным, поскольку любой полный тип изолирован (подразумевается) конечным подграфом, состоящим из переменных и параметров, используемых для определения типа.

И теория Q , и теория счетного случайного графа могут быть показаны как ω-категоричны с помощью метода туда и обратно . Это можно обобщить следующим образом: единственная модель мощности κ счетной κ -категоричной теории является насыщенной.

Однако утверждение о том, что каждая модель имеет насыщенное элементарное расширение , недоказуемо в ZFC . Фактически это утверждение эквивалентно ^{[ нужна ссылка ]} существование собственного класса кардиналов κ таких, что κ ^{< κ} = κ . Последнее тождество эквивалентно тому, что κ = λ ⁺ = 2 ^л для некоторых λ или κ недостижимо сильно .

Связь с простыми моделями

Понятие насыщенной модели двойственно понятию простой модели следующим образом: пусть T — счетная теория на языке первого порядка (то есть набор взаимно непротиворечивых предложений на этом языке) и пусть P — простое число модель Т. Тогда P допускает элементарное вложение в любую другую T. модель Эквивалентное понятие для насыщенных моделей состоит в том, что любая «достаточно маленькая» модель T элементарно встроена в насыщенную модель, где «достаточно малая» означает мощность, не превышающую мощность модели, в которую она должна быть встроена. Любая насыщенная модель также является однородной . Однако, хотя для счетных теорий существует единственная простая модель, насыщенные модели обязательно специфичны для определенной мощности. При определенных теоретико-множественных предположениях для произвольных теорий существуют насыщенные модели (хотя и очень большой мощности). Для λ - стабильных насыщенные модели мощности λ теорий существуют .

Примечания

^ Голдблатт 1998 г.
^ Морли, Майкл (1963). «О теориях, категоричных в неисчисляемых степенях» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 49 (2): 213–216. Бибкод : 1963ПНАС...49..213М . дои : 10.1073/pnas.49.2.213 . ПМК 299780 . ПМИД 16591050 .
^ Чанг и Кейслер, 1990 г.

Ссылки

Чанг, CC ; Кейслер, Г. Дж. Теория моделей. Третье издание. Исследования по логике и основам математики, 73. North-Holland Publishing Co., Амстердам, 1990. xvi+650 стр. ISBN 0-444-88054-2
Р. Голдблатт (1998). Лекции о гиперреальности. Введение в нестандартный анализ. Спрингер.
Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98760-6
Пуаза, Бруно; (перевод: Кляйн, Моисей) (2000), Курс теории моделей , Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98655-3
Сакс, Джеральд Э. (1972), Теория насыщенных моделей , WA Benjamin, Inc., Ридинг, Массачусетс, MR 0398817

[1] Голдблатт 1998 г.

[2] Морли, Майкл (1963). «О теориях, категоричных в неисчисляемых степенях» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 49 (2): 213–216. Бибкод : 1963ПНАС...49..213М . дои : 10.1073/pnas.49.2.213 . ПМК 299780 . ПМИД 16591050 .

[3] Чанг и Кейслер, 1990 г.

[1]

[2]

[3]