Принцип взрыва

В классической логике , интуиционистской логике и подобных логических системах действует принцип взрыва. ^{[ а ]}^{[ б ]} Это закон , согласно которому любое утверждение может быть доказано из противоречия . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} То есть из противоречия любое предложение (в том числе и его отрицание можно вывести ); это известно как дедуктивный взрыв . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Доказательство этого принципа впервые дал французский философ XII века Вильгельм Суассонский . ^{[ 6 ]} В силу принципа взрыва существование противоречия ( несогласованности ) в формальной аксиоматической системе губительно; поскольку любое утверждение можно доказать, оно упрощает понятия истины и ложности. ^{[ 7 ]} Примерно на рубеже 20-го века открытие таких противоречий, как парадокс Рассела, в основах математики поставило под угрозу всю структуру математики. Такие математики, как Готтлоб Фреге , Эрнст Цермело , Авраам Френкель и Торальф Скулем, приложили много усилий для пересмотра теории множеств , чтобы устранить эти противоречия, что привело к созданию современной теории множеств Цермело-Френкеля .

В качестве демонстрации этого принципа рассмотрим два противоречивых утверждения: «Все лимоны желтые» и «Не все лимоны желтые» — и предположим, что оба они верны. Если это так, то можно доказать что угодно, например утверждение, что « единороги существуют», используя следующий аргумент:

Мы знаем, что «не все лимоны желтые», и это считается правдой.
Мы знаем, что «Все лимоны желтые», и это считается правдой.
Следовательно, двухчастное утверждение «Все лимоны желтые или единороги существуют» также должно быть истинным, поскольку первая часть утверждения («Все лимоны желтые») уже предположена, а использование « или » означает, что если хотя бы одна часть утверждения верна, то и утверждение в целом должно быть истинным.
Однако, поскольку мы также знаем, что «Не все лимоны желтые» (как это и предполагалось), первая часть ложна, и, следовательно, вторая часть должна быть истинной, чтобы гарантировать истинность утверждения, состоящего из двух частей, т. е. единороги существуют (этот вывод известен как дизъюнктивный силлогизм ).
Процедуру можно повторить, чтобы доказать, что единорогов не существует (следовательно, доказывая дополнительное противоречие, когда единороги существуют и не существуют), а также любую другую правильно построенную формулу . Таким образом, происходит взрыв правдивых утверждений.

В качестве другого решения проблем, поставленных принципом взрыва, некоторые математики разработали альтернативные теории логики, называемые паранепротиворечивыми логиками , которые позволяют доказывать некоторые противоречивые утверждения, не затрагивая истинностное значение (всех) других утверждений. ^{[ 7 ]}

Символическое представление

В символической логике принцип взрыва схематически можно выразить следующим образом: ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

P,\lnot P\vdash Q

Для любых утверждений P и Q , если P и not- P оба истинны, то из этого логически следует, что Q истинно.

Доказательство

Ниже приведен аргумент Льюиса : ^{[ 10 ]} формальное доказательство принципа взрыва с использованием символической логики .

Шаг	Предложение	Вывод
1	$P\land \neg P$	Помещение ^{[ с ]}
2	$P$	Устранение союза (1)
3	$\neg P$	Устранение союза (1)
4	$P\lor Q$	Введение в дизъюнкцию (2)
5	$Q$	Дизъюнктивный силлогизм (4,3)

Это доказательство было опубликовано К.И. Льюисом и названо в его честь, хотя его версии были известны средневековым логикам. ^{[ 11 ]} ^{[ 12 ]} ^{[ 10 ]}

Это всего лишь символическая версия неформального аргумента, приведенного во введении, с $P$ что означает «все лимоны желтые» и $Q$ означает «Единороги существуют». Начнем с предположения, что (1) все лимоны желтые и что (2) не все лимоны желтые. Из утверждения, что все лимоны желтые, мы заключаем, что (3) либо все лимоны желтые, либо единороги существуют. Но затем из этого, а также из того факта, что не все лимоны желтые, мы заключаем, что (4) единороги существуют посредством дизъюнктивного силлогизма.

Семантический аргумент

Альтернативный аргумент в пользу этого принципа вытекает из теории моделей . Предложение $P$ является смысловым следствием набора предложений $\Gamma$ только если каждая модель $\Gamma$ является моделью $P$ . Однако модели противоречивого множества не существует. $(P\wedge \lnot P)$ . Тем более , модели нет. $(P\wedge \lnot P)$ это не модель $Q$ . Таким образом, по пустякам, каждая модель $(P\wedge \lnot P)$ является моделью $Q$ . Таким образом $Q$ является смысловым следствием $(P\wedge \lnot P)$ .

Паранепротиворечивая логика

паранепротиворечивые логики Были разработаны , допускающие субпротивоположные -образующие операторы. Паранепротиворечивые логики, занимающиеся теорией моделей, часто отрицают предположение о том, что не может быть никакой модели $\{\phi ,\lnot \phi \}$ и разработать семантические системы, в которых существуют такие модели. С другой стороны, они отвергают идею о том, что предложения можно классифицировать как истинные или ложные. Теоретико-доказательные паранепротиворечивые логики обычно отрицают обоснованность одного из шагов, необходимых для получения взрыва, обычно включая дизъюнктивный силлогизм , введение дизъюнкции и доведение до абсурда .

Использование

Метаматематическая теория ценность принципа взрыва состоит в том, что для любой логической системы, где этот принцип справедлив, любая производная , доказывающая ⊥ (или эквивалентную форму, $\phi \land \lnot \phi$ ) бесполезен, потому что все его утверждения станут теоремами , что сделает невозможным отличить истину от лжи. Другими словами, принцип взрыва является аргументом в пользу закона непротиворечия в классической логике, поскольку без него все утверждения истины становятся бессмысленными.

Снижение доказательной силы логики без ex falso обсуждается в минимальной логике .

См. также

Замечательное следствие – закон Клавиуса.
Диалетеизм – вера в существование истинных противоречий.
Закон исключенного третьего : каждое утверждение истинно или ложно.
Закон непротиворечия : ни одно утверждение не может быть одновременно истинным и неверным.
Паранепротиворечивая логика - семейство логик, используемых для разрешения противоречий.
Парадокс следствия - кажущийся парадокс, вытекающий из принципа взрыва.
Reductio ad абсурдум - вывод о том, что предложение ложно, поскольку оно порождает противоречие.
Тривиализм – убеждение, что все утверждения формы «П и не-П» верны.

Примечания

^ Латынь : из лжи все [следует]'; или от противоречия , что угодно [ следует]
^ Также известен как принцип Псевдо-Скота (ошибочно приписываемый Дунсу Скоту ).
^ Burgess2005 использует 2 и 3 в качестве предпосылок вместо этой.

Ссылки

^ Карниелли, Уолтер ; Маркос, Жуан (2001). «Из противоречия ничего не следует» (PDF) . Бюллетень продвинутого мышления и знаний . 1 : 89–109. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Смит, Питер (2020). Введение в формальную логику (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. Глава 17.
^ Макфарлейн, Джон (2021). Философская логика: современное введение . Рутледж. Глава 7.
^ Башкент, Джан (2013). «Некоторые топологические свойства паранепротиворечивых моделей». Синтезируйте . 190 (18): 4023. doi : 10.1007/s11229-013-0246-8 . S2CID 9276566 .
^ Карниелли, Уолтер; Конильо, Марсело Эстебан (2016). Паранепротиворечивая логика: непротиворечивость, противоречие и отрицание . Логика, эпистемология и единство науки. Том. 40. Спрингер. ix. дои : 10.1007/978-3-319-33205-5 . ISBN 978-3-319-33203-1 .
^ Священник, Грэм . 2011. «Что плохого в противоречиях?» В «Законе непротиворечивости» под редакцией Приста, Била и Армор-Гарба. Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 25.
^ Jump up to: ^а ^б МакКубре-Джорденс, Мартен (август 2011 г.). «Это не пряник: Паранепротиворечивая математика» . Плюс журнал . Математический проект тысячелетия . Проверено 14 января 2017 г.
^ де Сварт, Гарри (2018). Философская и математическая логика . Спрингер. п. 47.
^ Гамут, ЛТФ (1991). Логика, язык и значение, Том 1. Введение в логику . Издательство Чикагского университета. п. 139.
^ Jump up to: ^а ^б Макфарлейн, Джон (2021). Философская логика: современное введение . Рутледж. п. 171. ИСБН 978-1-315-18524-8 .
^ Льюис, CI; Лэнгфорд, Швейцария (1959). Символическая логика (2-е изд.). Дувр. п. 250. ИСБН 9780486601700 .
^ Берджесс, Джон П. (2005). Оксфордский справочник по философии математики и логики (под ред. Стюарта Шапиро) . Издательство Оксфордского университета. п. 732. ИСБН 9780195325928 .

[1] Латынь : из лжи все [следует]'; или от противоречия , что угодно [ следует]

[2] Также известен как принцип Псевдо-Скота (ошибочно приписываемый Дунсу Скоту ).

[13] Burgess2005 использует 2 и 3 в качестве предпосылок вместо этой.

[3] Карниелли, Уолтер ; Маркос, Жуан (2001). «Из противоречия ничего не следует» (PDF) . Бюллетень продвинутого мышления и знаний . 1 : 89–109. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[4] Смит, Питер (2020). Введение в формальную логику (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. Глава 17.

[5] Макфарлейн, Джон (2021). Философская логика: современное введение . Рутледж. Глава 7.

[6] Башкент, Джан (2013). «Некоторые топологические свойства паранепротиворечивых моделей». Синтезируйте . 190 (18): 4023. doi : 10.1007/s11229-013-0246-8 . S2CID 9276566 .

[7] Карниелли, Уолтер; Конильо, Марсело Эстебан (2016). Паранепротиворечивая логика: непротиворечивость, противоречие и отрицание . Логика, эпистемология и единство науки. Том. 40. Спрингер. ix. дои : 10.1007/978-3-319-33205-5 . ISBN 978-3-319-33203-1 .

[8] Священник, Грэм . 2011. «Что плохого в противоречиях?» В «Законе непротиворечивости» под редакцией Приста, Била и Армор-Гарба. Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 25.

[McKubre-Jordens-9] Jump up to: ^а ^б МакКубре-Джорденс, Мартен (август 2011 г.). «Это не пряник: Паранепротиворечивая математика» . Плюс журнал . Математический проект тысячелетия . Проверено 14 января 2017 г.

[10] де Сварт, Гарри (2018). Философская и математическая логика . Спрингер. п. 47.

[11] Гамут, ЛТФ (1991). Логика, язык и значение, Том 1. Введение в логику . Издательство Чикагского университета. п. 139.

[MacFarlane2021-12] Jump up to: ^а ^б Макфарлейн, Джон (2021). Философская логика: современное введение . Рутледж. п. 171. ИСБН 978-1-315-18524-8 .

[14] Льюис, CI; Лэнгфорд, Швейцария (1959). Символическая логика (2-е изд.). Дувр. п. 250. ИСБН 9780486601700 .

[Burgess2005-15] Берджесс, Джон П. (2005). Оксфордский справочник по философии математики и логики (под ред. Стюарта Шапиро) . Издательство Оксфордского университета. п. 732. ИСБН 9780195325928 .

[ а ]

[ б ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ с ]

[ 11 ]

[ 12 ]