Число Грасгофа

В механике жидкости (особенно в термодинамике жидкости ) число Грасгофа ( $Gr$ , в честь Франца Грасгофа ^[а]) — безразмерное число , которое аппроксимирует отношение плавучести к вязким силам , действующим на жидкость . Оно часто возникает при изучении ситуаций, связанных с естественной конвекцией , и аналогично числу Рейнольдса ( $Re$ ). ^[2]

Определение

Теплопередача

Свободная конвекция вызвана изменением плотности жидкости из-за изменения температуры или градиента . Обычно плотность уменьшается из-за повышения температуры и вызывает подъем жидкости. Это движение вызвано силой плавучести . Основной силой, которая сопротивляется движению, является сила вязкости . Число Грасгофа — это способ количественной оценки противодействующих сил. ^[3]

Число Грасгофа:

\mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}\,

для вертикальных плоских пластин

\mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,

для труб и обтекаемых тел

где:

$g$ - гравитационное ускорение Земли.
$β$ — коэффициент объемного расширения (равен примерно $1/ Т$ для идеальных газов )
$T s$ – температура поверхности
$T \infty$ — объемная температура
$L$ — вертикальная длина
$D$ - диаметр
$ν$ – кинематическая вязкость .

Индексы $L$ и $D$ указывают основу шкалы длины для числа Грасгофа.

Переход к турбулентному течению происходит в диапазоне $108 < Гр Л < 10 9$ для естественной конвекции от вертикальных плоских пластин. При более высоких числах Грасгофа пограничный слой является турбулентным; при меньших числах Грасгофа пограничный слой является ламинарным, т. е. в диапазоне $103 < Гр Л < 10 6$ .

Массовый трансфер

Существует аналогичная форма числа Грасгофа, используемая в случаях задач массопереноса с естественной конвекцией . В случае массопереноса естественная конвекция вызвана градиентами концентрации, а не градиентами температуры. ^[2]

$\mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{2}}}$

где

$\beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}}}\right)_{T,p}$

и:

$g$ - гравитационное ускорение Земли.
$C a,s$ — концентрация частиц $a$ на поверхности.
$C a,a$ – концентрация вида $a$ в окружающей среде.
$L$ – характерная длина
$ν$ — кинематическая вязкость
$ρ$ — плотность жидкости
$C a$ – концентрация видов $a$
$T$ – температура (постоянная)
$p$ – давление (постоянное).

Связь с другими безразмерными числами

Число Рэлея , показанное ниже, представляет собой безразмерное число, которое характеризует проблемы конвекции при теплопередаче. Существует критическое значение числа Рэлея , выше которого происходит движение жидкости. ^[3]

$\mathrm {Ra} _{x}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr}$

Отношение числа Грасгофа к квадрату числа Рейнольдса можно использовать, чтобы определить, можно ли в системе пренебречь принудительной или свободной конвекцией или существует их комбинация . Это характеристическое соотношение известно как число Ричардсона ( $Ri$ ). Если это соотношение намного меньше единицы, то свободной конвекцией можно пренебречь. Если соотношение намного больше единицы, принудительной конвекцией можно пренебречь. В противном случае режим совмещает принудительную и свободную конвекцию. ^[2]

\mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\gg 1\implies {\text{ignore forced convection}}

\mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\approx 1\implies {\text{combined forced and free convection}}

\mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\ll 1\implies {\text{ignore free convection}}

Вывод

Первым шагом к получению числа Грасгофа является манипулирование коэффициентом объемного расширения: $\mathrm {\beta }$ следующее.

$\beta ={\frac {1}{v}}\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {-1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}$

The $v$ в приведенном выше уравнении, которое представляет удельный объем , не совпадает с $v$ в последующих разделах этого вывода, который будет представлять скорость. Это частичное соотношение коэффициента объемного расширения, $\mathrm {\beta }$ , относительно плотности жидкости, $\mathrm {\rho }$ , при постоянном давлении можно переписать как

$\rho =\rho _{0}(1-\beta \Delta T)$

где:

$\rho _{0}$ объемная плотность жидкости
$\rho$ плотность пограничного слоя
$\Delta T=(T-T_{0})$ , разница температур между пограничным слоем и объемной жидкостью.

Отсюда есть два разных способа найти число Грасгофа. Одно из них включает уравнение энергии, а другое — выталкивающую силу, возникающую из-за разницы в плотности между пограничным слоем и объемной жидкостью.

Уравнение энергии

Это обсуждение, включающее уравнение энергии, относится к вращательно-симметричному потоку. Этот анализ будет учитывать влияние гравитационного ускорения на поток и теплообмен. Следующие математические уравнения применимы как к вращательно-симметричному потоку, так и к двумерному плоскому потоку.

${\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{0}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{0}^{n})=0$

где:

$s$ - направление вращения, т.е. направление, параллельное поверхности
$u$ - тангенциальная скорость, т.е. скорость, параллельная поверхности
$y$ - плоское направление, т.е. направление, нормальное к поверхности
$v$ - нормальная скорость, т.е. скорость, нормальная к поверхности
$r_{0}$ это радиус.

В этом уравнении верхний индекс $n$ позволяет отличить вращательно-симметричный поток от плоского потока. Справедливы следующие характеристики этого уравнения.

$n$ = 1: вращательно-симметричный поток
$n$ = 0: плоский двумерный поток
$g$ это гравитационное ускорение

Это уравнение расширяется до следующего с добавлением физических свойств жидкости:

$\rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp}{ds}}+\rho g.$

Отсюда мы можем еще больше упростить уравнение количества движения, установив объемную скорость жидкости равной 0 ( $u=0$ ).

${\frac {dp}{ds}}=\rho _{0}g$

Это соотношение показывает, что градиент давления является просто продуктом объемной плотности жидкости и гравитационного ускорения. Следующий шаг — включить градиент давления в уравнение количества движения.

$\left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+g{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho }}=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})$

где соотношение коэффициента объемного расширения и плотности $\rho -\rho _{0}=-\rho _{0}\beta (T-T_{0})$ найденное выше, и зависимость кинематической вязкости $\nu ={\frac {\mu }{\rho }}$ были подставлены в уравнение импульса. $u\left({\frac {\partial u}{\partial s}}\right)+v\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})$

Чтобы найти число Грасгофа из этой точки, предыдущее уравнение должно быть обезразмерено. Это означает, что каждая переменная в уравнении не должна иметь размерности и вместо этого должна быть отношением, характерным для геометрии и постановки задачи. Это делается путем деления каждой переменной на соответствующие постоянные величины. Длины делятся на характеристическую длину, $L_{c}$ . Скорости делятся на соответствующие опорные скорости, $V$ , что с учетом числа Рейнольдса дает $V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}$ . Температуры делятся на соответствующую разницу температур, $(T_{s}-T_{0})$ . Эти безразмерные параметры выглядят следующим образом:

$s^{*}={\frac {s}{L_{c}}}$ ,
$y^{*}={\frac {y}{L_{c}}}$ ,
$u^{*}={\frac {u}{V}}$ ,
$v^{*}={\frac {v}{V}}$ , и
$T^{*}={\frac {(T-T_{0})}{(T_{s}-T_{0})}}$ .

Звездочки представляют собой безразмерный параметр. Объединение этих безразмерных уравнений с уравнениями количества движения дает следующее упрощенное уравнение.

u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=-\left[{\frac {\rho _{0}g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\rho \nu ^{2}\mathrm {Re} _{L}^{2}}}\right]T^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}

=-\left({\frac {\rho _{0}}{\rho }}\right)\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}

где:

T_{s}

температура поверхности

T_{0}

объемная температура жидкости

L_{c}

– характерная длина.

Безразмерный параметр, заключенный в скобки в предыдущем уравнении, известен как число Грасгофа:

\mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.

Теорема Бэкингема о π

Другая форма анализа размерностей, результатом которой является число Грасгофа, известна как π-теорема Букингема . Этот метод учитывает силу плавучести на единицу объема, $F_{b}$ из-за разницы плотностей в пограничном слое и объемной жидкости.

$F_{b}=(\rho -\rho _{0})g$

Этим уравнением можно манипулировать, чтобы получить:

$F_{b}=-\beta g\rho _{0}\Delta T.$

Список переменных, которые используются в методе Букингема π, указан ниже вместе с их символами и размерами.

Переменная	Символ	Размеры
Значительная длина	$L$	$\mathrm {L}$
Вязкость жидкости	$\mu$	$\mathrm {\frac {M}{Lt}}$
Теплоемкость жидкости	$c_{p}$	$\mathrm {\frac {Q}{MT}}$
Теплопроводность жидкости	$k$	$\mathrm {\frac {Q}{LtT}}$
Коэффициент объемного расширения	$\beta$	$\mathrm {\frac {1}{T}}$
Гравитационное ускорение	$g$	$\mathrm {\frac {L}{t^{2}}}$
Разница температур	$\Delta T$	$\mathrm {T}$
Коэффициент теплопередачи	$h$	$\mathrm {\frac {Q}{L^{2}tT}}$

Согласно теореме Букингема о π, существует $9 - 5 = 4$ безразмерных групп. Выберите $Л$ , $\mu ,$ $к$ , $г$ и $\beta$ в качестве ссылочных переменных. Таким образом, $\pi$ группы следующие:

\pi _{1}=L^{a}\mu ^{b}k^{c}\beta ^{d}g^{e}c_{p}

,

\pi _{2}=L^{f}\mu ^{g}k^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho

,

\pi _{3}=L^{k}\mu ^{l}k^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T

,

\pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}k^{s}\beta ^{t}g^{u}h

.

Решение этих $\pi$ группы дает:

\pi _{1}={\frac {\mu (c_{p})}{k}}=\mathrm {Pr}

,

\pi _{2}={\frac {l^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}

,

\pi _{3}=\beta \Delta T

,

\pi _{4}={\frac {hL}{k}}=\mathrm {Nu}

Из двух групп $\pi _{2}$ и $\pi _{3},$ произведение образует число Грасгофа:

\pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .

принимая $\nu ={\frac {\mu }{\rho }}$ и $\Delta T=(T_{s}-T_{0})$ предыдущее уравнение можно представить как тот же результат, полученный путем получения числа Грасгофа из уравнения энергии.

\mathrm {Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}

При вынужденной конвекции числом Рейнольдса поток жидкости определяется . Но в естественной конвекции число Грасгофа является безразмерным параметром, определяющим поток жидкости. Использование уравнения энергии и выталкивающей силы в сочетании с анализом размеров дает два разных способа получения числа Грасгофа.

Физическое рассуждение

Также возможно получить число Грасгофа путем физического определения числа следующим образом:

$\mathrm {Gr} ={\frac {\mathrm {Buoyancy~Force} }{\mathrm {Friction~Force} }}={\frac {mg}{\tau A}}={\frac {L^{3}\rho \beta (\Delta T)g}{\mu (V/L)L^{2}}}={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu V}}$

Однако приведенное выше выражение, особенно последняя часть справа, немного отличается от числа Грасгофа, встречающегося в литературе. Для получения окончательной формы можно использовать следующую размерно-правильную шкалу с точки зрения динамической вязкости.

$\mathrm {\mu } =\rho VL$ Запись выше шкалы в Gr дает;

$\mathrm {Gr} ={\frac {L^{3}\beta (\Delta T)g}{\nu ^{2}}}$ Физические рассуждения помогают понять значение числа. С другой стороны, следующее определение скорости можно использовать в качестве характеристического значения скорости, чтобы сделать определенные скорости безразмерными.

$\mathrm {V} ={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu Gr}}$

Влияние числа Грасгофа на течение различных жидкостей

В недавнем исследовании было проведено исследование влияния числа Грасгофа на поток различных жидкостей, вызываемый конвекцией по различным поверхностям. ^[4] Используя наклон линии линейной регрессии через точки данных, можно сделать вывод, что увеличение значения числа Грасгофа или любого параметра, связанного с плавучестью, подразумевает увеличение температуры стенки, и это приводит к тому, что связь(и) между жидкостью становится более слабой, прочность Если внутреннее трение уменьшится, то сила тяжести станет достаточно сильной (т. е. удельный вес станет заметно различаться между непосредственными слоями жидкости, прилегающими к стенке). Влияние параметра плавучести весьма существенно при ламинарном течении внутри пограничного слоя, сформированного на вертикально движущемся цилиндре. Это достижимо только при учете заданной температуры поверхности (PST) и заданного теплового потока на стенке (WHF). Можно сделать вывод, что параметр плавучести оказывает незначительное положительное влияние на локальное число Нуссельта. Это верно только в том случае, если величина числа Прандтля мала или учитывается предписанный тепловой поток через стенку (WHF). Число Шервуда, число Беяна, генерация энтропии, число Стэнтона и градиент давления увеличивают свойства параметра, связанного с плавучестью, в то время как профили концентрации, сила трения и подвижность микроорганизмов уменьшают свойства.

Примечания

↑ Хотя этот термин «число Грасгофа» уже использовался, он не был назван примерно до 1921 года, через 28 лет после смерти Франца Грасгофа. Непонятно, почему группировка была названа в его честь. ^[1]

Ссылки

^ Сандер, CJ; Холман, JP (1972). «Франц Грасгоф и число Грасгофа». Межд. J. Тепломассообмен . 15 (3): 562–563. дои : 10.1016/0017-9310(72)90220-7 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Инкропера, Фрэнк (2007). Основы тепломассообмена (6-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. стр. 408 , 599, 629. ISBN. 9780471457282 . OCLC 288958608 .
^ Jump up to: ^а ^б Берд, Р. Байрон; Стюарт, Уоррен Э.; Лайтфут, Эдвин Н. (2002). Транспортные явления (2-е изд.). Нью-Йорк: Дж. Уайли. стр. 318 , 359. ISBN. 9780471410775 . OCLC 471520548 .
^ Шах, Нехад Али; Анимасаун, Иллинойс; Ибрагим, Р.О.; Бабатунде, штат Ха; Сандип, Н.; Поп, И. (2018). «Тщательное изучение влияния числа Грасгофа на поток различных жидкостей, вызываемый конвекцией по различным поверхностям». Журнал молекулярных жидкостей . 249 : 980–990. дои : 10.1016/j.molliq.2017.11.042 . ISSN 0167-7322 .

Дальнейшее чтение

Ценгель, Юнус А. (2003). Тепло- и массообмен: практический подход (3-е изд.). Бостон: МакГроу Хилл.
Экерт, Эрнст Р.Г .; Дрейк, Роберт М. (1972). Анализ тепломассообмена . Нью-Йорк: МакГроу Хилл.
Джалурия, Йогеш (1980). Естественная конвекция. Тепломассоперенос . Нью-Йорк: Пергамон Пресс. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Велти, Джеймс Р. (1976). Основы импульса, тепла и массообмена . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.

[2] Хотя этот термин «число Грасгофа» уже использовался, он не был назван примерно до 1921 года, через 28 лет после смерти Франца Грасгофа. Непонятно, почему группировка была названа в его честь. ^[1]

[:2-1] Сандер, CJ; Холман, JP (1972). «Франц Грасгоф и число Грасгофа». Межд. J. Тепломассообмен . 15 (3): 562–563. дои : 10.1016/0017-9310(72)90220-7 .

[Incropera2007-3] Jump up to: ^а ^б ^с Инкропера, Фрэнк (2007). Основы тепломассообмена (6-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. стр. 408 , 599, 629. ISBN. 9780471457282 . OCLC 288958608 .

[BirdStewartLightfoot2002-4] Jump up to: ^а ^б Берд, Р. Байрон; Стюарт, Уоррен Э.; Лайтфут, Эдвин Н. (2002). Транспортные явления (2-е изд.). Нью-Йорк: Дж. Уайли. стр. 318 , 359. ISBN. 9780471410775 . OCLC 471520548 .

[ShahAnimasaun2018-5] Шах, Нехад Али; Анимасаун, Иллинойс; Ибрагим, Р.О.; Бабатунде, штат Ха; Сандип, Н.; Поп, И. (2018). «Тщательное изучение влияния числа Грасгофа на поток различных жидкостей, вызываемый конвекцией по различным поверхностям». Журнал молекулярных жидкостей . 249 : 980–990. дои : 10.1016/j.molliq.2017.11.042 . ISSN 0167-7322 .

[а]

[2]

[3]

[4]

[1]