Квантовая неопределенность

Квантовая неопределенность — кажущаяся необходимая неполнота описания физической системы , ставшая одной из характеристик стандартного описания квантовой физики . До появления квантовой физики считалось, что

1. физическая система имела определенное состояние , которое однозначно определяло все значения ее измеримых свойств, и
2. и наоборот , значения его измеримых свойств однозначно определяли состояние.

быть количественно охарактеризована распределением вероятностей на множестве результатов измерений наблюдаемой Квантовая неопределенность может . Распределение однозначно определяется состоянием системы, и более того, квантовая механика дает рецепт расчета этого распределения вероятностей.

Неопределенность в измерении не была новшеством квантовой механики, поскольку еще на ранних этапах экспериментаторы установили, что ошибки в измерениях могут привести к неопределенным результатам. Ко второй половине XVIII века ошибки измерений были хорошо поняты, и было известно, что их можно либо уменьшить с помощью лучшего оборудования, либо учесть с помощью моделей статистических ошибок. Однако в квантовой механике неопределенность имеет гораздо более фундаментальную природу и не имеет ничего общего с ошибками или возмущениями.

Измерение

Адекватное объяснение квантовой неопределенности требует теории измерения. С момента появления квантовой механики было предложено множество теорий , и квантовые измерения продолжают оставаться активной областью исследований как в теоретической, так и в экспериментальной физике. Возможно, первая систематическая попытка создания математической теории была предпринята Джоном фон Нейманом . Виды измерений, которые он исследовал, теперь называются проективными измерениями. Эта теория, в свою очередь, была основана на теории проекционнозначных мер для самосопряженных операторов , которая была недавно разработана (фон Нейманом и независимо Маршаллом Стоуном ) и формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве (приписанной фон Нейманом Полю Дираку) . ).

В этой формулировке состояние физической системы соответствует вектору длины 1 в гильбертовом пространстве H над комплексными числами . Наблюдаемая представляется самосопряженным (т.е. ) оператором A на H. эрмитовым Если H конечномерна спектральной , то по теореме A имеет ортонормированный базис собственных векторов . Если система находится в состоянии ψ, то сразу после измерения система займет состояние, которое является собственным вектором e оператора A и наблюдаемое значение λ будет соответствующим собственным значением уравнения A e = λ e . Отсюда следует, что измерение в целом будет недетерминированным. Более того, квантовая механика дает рецепт вычисления распределения вероятностей Pr возможных результатов при условии, что начальное состояние системы равно ψ . Вероятность $$\operatorname {Pr} (\lambda )=\langle \operatorname {E} (\lambda )\psi \mid \psi \rangle$$где E ( λ ) — проекция на пространство собственных векторов оператора A с собственным значением λ .

Пример

Сфера Блоха, показывающая собственные векторы для матриц Паули Спина. Сфера Блоха представляет собой двумерную поверхность, точки которой соответствуют пространству состояний частицы со спином 1/2. В состоянии ψ значения σ1 _{равны +1 ,} тогда как значения σ2 _. и σ3 _1/2 принимают значения +1, −1 с вероятностью

В этом примере мы рассматриваем одну со спином 1/2 частицу (например, электрон), в которой мы учитываем только степень свободы спина. Соответствующее гильбертово пространство — это двумерное комплексное гильбертово пространство C ² , где каждое квантовое состояние соответствует единичному вектору в C ² (уникальный до фазы). В этом случае пространство состояний можно геометрически представить как поверхность сферы, как показано на рисунке справа.

Паули Спиновые матрицы $$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$$являются самосопряженными и соответствуют измерениям спина по трем координатным осям.

Все матрицы Паули имеют собственные значения +1, −1.

• Для σ ₁ эти собственные значения соответствуют собственным векторам $${\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,-1)$$
• Для σ ₃ они соответствуют собственным векторам $$(1,0),(0,1)$$

Таким образом, в государстве $$\psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),$$σ ₁ имеет определенное значение +1, тогда как измерение σ ₃ может дать либо +1, либо −1 с вероятностью 1/2. Фактически, не существует состояния, в котором измерения как σ1 _, и σ3 _так имели бы определенные значения.

По поводу приведенного выше утверждения о неопределенности можно задать различные вопросы.

1. Может ли кажущаяся неопределенность быть истолкована как фактически детерминированная, но зависящая от величин, не моделируемых в современной теории, которая, следовательно, была бы неполной? Точнее, существуют ли скрытые переменные , которые могли бы объяснить статистическую неопределенность совершенно классическим способом?
2. Можно ли понимать неопределенность как возмущение измеряемой системы?

Фон Нейман сформулировал вопрос 1) и привел аргумент, почему ответом должно быть «нет», если принять предложенный им формализм. Однако, по мнению Белла, формальное доказательство фон Неймана не подтвердило его неформальный вывод. Окончательный, но частично отрицательный ответ на вопрос 1) был установлен экспериментом: поскольку неравенства Белла нарушаются, любая такая скрытая переменная(и) не может быть локальной (см. Тестовые эксперименты Белла ).

Ответ на вопрос 2) зависит от того, как понимается возмущение, особенно потому, что измерение влечет за собой возмущение (однако обратите внимание, что это эффект наблюдателя , который отличается от принципа неопределенности). Тем не менее, в самой естественной интерпретации ответ также будет отрицательным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две последовательности измерений: (A), которая измеряет исключительно σ ₁ и (B) которая измеряет только σ ₃ спиновой системы в состоянии ψ . Все результаты измерений (A) равны +1, в то время как статистическое распределение измерений (B) по-прежнему делится между +1 и -1 с равной вероятностью.

Другие примеры неопределенности

Квантовую неопределенность также можно проиллюстрировать на примере частицы с определенно измеренным импульсом, для которой должен существовать фундаментальный предел того, насколько точно можно указать ее местоположение. Этот принцип квантовой неопределенности можно выразить через другие переменные, например, частица с определенно измеренной энергией имеет фундаментальный предел того, насколько точно можно указать, как долго она будет обладать этой энергией.Единицы измерения квантовой неопределенности порядка постоянной Планка (определяемой как 6,626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹ ‍ ).

Неопределенность и неполнота

Квантовая неопределенность — это утверждение, что состояние системы не определяет уникальный набор значений для всех ее измеримых свойств. Действительно, согласно теореме Кохена-Спкера , в квантовомеханическом формализме невозможно, чтобы для данного квантового состояния каждое из этих измеримых свойств ( наблюдаемых ) имело определенное (точное) значение. Значения наблюдаемой будут получены недетерминированно в соответствии с распределением вероятностей, которое однозначно определяется состоянием системы. Обратите внимание, что состояние уничтожается при измерении, поэтому, когда мы обращаемся к коллекции значений, каждое измеренное значение в этой коллекции должно быть получено с использованием только что подготовленного состояния.

Эту неопределенность можно рассматривать как своего рода существенную неполноту в нашем описании физической системы. Однако обратите внимание, что указанная выше неопределенность применима только к значениям измерений, а не к квантовому состоянию. Например, в рассмотренном выше примере со спином 1/2 система может быть подготовлена ​​в состоянии ψ, используя измерение σ ₁ в качестве фильтра , который удерживает только те частицы, такие, что σ ₁ дает +1. По постулатам фон Неймана (так называемым) сразу после измерения система заведомо находится в состоянии ψ.

Однако Альберт Эйнштейн считал, что квантовое состояние не может быть полным описанием физической системы, и, как принято считать, никогда не соглашался с квантовой механикой. Фактически, Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен показали, что если квантовая механика верна, то классический взгляд на то, как устроен реальный мир (по крайней мере, после специальной теории относительности) больше несостоятелен. Эта точка зрения включала следующие две идеи:

1. Измеримое свойство физической системы, значение которого можно с уверенностью предсказать, на самом деле является элементом (локальной) реальности (это была терминология, используемая ЭПР ).
2. Эффекты локальных воздействий имеют конечную скорость распространения.

Этот провал классической точки зрения стал одним из выводов мысленного эксперимента ЭПР, в котором два удаленных наблюдателя , которых теперь обычно называют Алисой и Бобом , выполняют независимые измерения спина пары электронов, приготовленных в источнике в специальной установке. состояние, называемое спин-синглетным состоянием. ЭПР, используя формальный аппарат квантовой теории, пришел к выводу, что, как только Алиса измерила спин в направлении x , измерение Боба в направлении x было определено с уверенностью, тогда как непосредственно перед измерением Алисы результат Боба был определен только статистически. Отсюда следует, что либо значение вращения в направлении x не является элементом реальности, либо эффект измерения Алисы имеет бесконечную скорость распространения.

Неопределенность для смешанных состояний

Мы описали неопределенность для квантовой системы, находящейся в чистом состоянии . Смешанные состояния — это более общий вид состояний, получаемый путем статистической смеси чистых состояний. Для смешанных состояний«квантовый рецепт» определения распределения вероятностей измерения определяется следующим образом:

Пусть A — наблюдаемая квантовомеханической системы. A задается плотноопределенный самосопряженный оператор на H . Спектральная мера A условием — это проекционнозначная мера, определяемая

$\operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}\lambda \,d\operatorname {E} (\lambda ),$

для любого борелевского подмножества U в R . смешанное состояние S , мы вводим распределение A S под Учитывая следующим образом:

$\operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).$

Это вероятностная мера, определенная на борелевских подмножествах R , которая представляет собой распределение вероятностей, полученное путем измерения A в S .

Логическая независимость и квантовая случайность

Квантовая неопределенность часто понимается как информация (или ее отсутствие), о существовании которой мы предполагаем, происходящая в отдельных квантовых системах до начала измерения. Квантовая случайность — это статистическое проявление этой неопределенности, наблюдаемое в результатах многократно повторенных экспериментов. Однако связь между квантовой неопределенностью и случайностью тонка и может рассматриваться по-разному.

В классической физике случайные эксперименты, такие как бросание монеты и игральных костей, являются детерминированными в том смысле, что совершенное знание начальных условий сделает результаты совершенно предсказуемыми. «Случайность» возникает из-за незнания физической информации при первоначальном броске. Напротив, в случае квантовой физики теоремы Кохена и Шпкера: неравенства Джона Белла, и экспериментальные доказательства Алена Аспекта , все указывает на то, что квантовая случайность не возникает из какой-либо такой физической информации .

В 2008 году Томаш Патерек и др. дал объяснение в математической информации . Они доказали, что квантовая случайность — это исключительно результат измерительных экспериментов, входные параметры которых вводят логическую независимость в квантовые системы.

Логическая независимость — широко известное явление в математической логике . Это относится к нулевой логической связи, которая существует между математическими утверждениями (на одном и том же языке), которые не доказывают и не опровергают друг друга.

В работе Патерека и др. исследователи демонстрируют связь, соединяющую квантовую случайность и логическую независимость в формальной системе булевых высказываний. В экспериментах по измерению поляризации фотонов Патерек и др. продемонстрировать статистику, соотносящую предсказуемые результаты с логически зависимыми математическими утверждениями, а случайные результаты с логически независимыми утверждениями.

В 2020 году Стив Фолкнер сообщил о работе по реализации результатов Томаша Патерека и др.; показывая, что означает логическая независимость в булевых предложениях Патерека в области собственно матричной механики. Он показал, как неопределенность неопределенности возникает в эволюционировавших операторах плотности, представляющих смешанные состояния, где процессы измерения сталкиваются с необратимой «потерянной историей» и появлением неоднозначности.

См. также

• Дополнительность (физика)
• Контрфактическая определенность
• ЭПР-парадокс
• Интерпретации квантовой механики : Сравнительная таблица
• Квантовая контекстуальность
• Квантовая запутанность
• Квантовые измерения
• Квантовая механика
• Принцип неопределенности

Ссылки

• А. Аспект, Тест неравенства Белла: идеальнее, чем когда-либо , Nature 398 189 (1999). [2]
• Г. Бергманн, Логика квантов , Американский физический журнал, 1947. Перепечатано в «Чтениях по философии науки», под ред. Х. Фейгл и М. Бродбек, Appleton-Century-Crofts, 1953. Обсуждаются измерения, точность и детерминизм.
• Дж. С. Белл, О парадоксе Эйнштейна-Полдольского-Розена , Physics 1 195 (1964).
• А. Эйнштейн, Б. Подольский и Н. Розен. Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным? Физ. 47 777 ( 1935). [3] Архивировано 8 февраля 2006 г. в Wayback Machine.
• Г. Макки, Математические основы квантовой механики , В.А. Бенджамин, 1963 (переиздание в мягкой обложке, Dover, 2004).
• Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики , Princeton University Press, 1955. Перепечатано в мягкой обложке. Первоначально опубликовано на немецком языке в 1932 году.
• Р. Омнес, Понимание квантовой механики , Princeton University Press, 1999.

Внешние ссылки

• Распространенные заблуждения относительно квантовой механики. См. особенно часть III «Заблуждения относительно измерений».