Электродинамика Вебера

Электродинамика Вебера — теория электромагнетизма, предшествовавшая электродинамике Максвелла и сменившаяся ею к концу XIX века. Электродинамика Вебера в основном основана на вкладах Андре-Мари Ампера , Карла Фридриха Гаусса и Вильгельма Эдуарда Вебера . В этой теории закон Кулона становится зависимым от скорости и ускорения. Электродинамика Вебера применима только для электростатики, магнитостатики и для квазистатического приближения . Электродинамика Вебера непригодна для описания электромагнитных волн и для расчета сил между электрически заряженными частицами, движущимися очень быстро или ускоренными более чем незначительно.

Выдающейся особенностью электродинамики Вебера является то, что она позволяет описывать магнитные силы между постоянными токами, низкочастотными переменными токами и постоянными магнитами без магнитного поля.

История

Около 1820 года Андре-Мари Ампер провел многочисленные систематические эксперименты с постоянным током. В конце концов, в 1823 году он разработал закон силы.

$$d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {\mu _{0}}{4\,\pi }}\,I_{1}\,I_{2}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\left(2\left(d\mathbf {s} _{1}\cdot d\mathbf {s} _{2}\right)-{\frac {3}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \cdot d\mathbf {s} _{1}\right)\left(\mathbf {r} \cdot d\mathbf {s} _{2}\right)\right),$$ ( 1 )

с помощью которого можно вычислить силу $d^{2}\mathbf {F}$ что текущий элемент $I_{2}\,d\mathbf {s} _{2}$ действует на другой текущий элемент $I_{1}\,d\mathbf {s} _{1}$. Здесь, $\mathbf {r}$ вектор, указывающий на текущий элемент $I_{2}\,d\mathbf {s} _{2}$ к текущему элементу $I_{1}\,d\mathbf {s} _{1}$. Текущий элемент $I\,d\mathbf {s}$ следует интерпретировать как очень короткий отрезок длины $s$ проводника с постоянным током $I$ текущий в направлении $\mathbf {s}$.

В 1835 году Карл Фридрих Гаусс понял, что закон силы Ампера можно интерпретировать путем незначительного обобщения закона Кулона . Он постулировал, что электрическая сила, действующая на точечный заряд $q_{2}$ по другому баллу $q_{1}$ зависит не только от расстояния $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$, но и от относительной скорости $\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}_{1}-{\dot {\mathbf {r} }}_{2}$:

$$\mathbf {F} ={\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\epsilon _{0}}}\,\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\cdot {\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)^{2}\right)\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}.$$ ( 2 )

Важно отметить, что закон силы Гаусса является значительным обобщением закона силы Ампера, поскольку движущиеся точечные заряды не представляют собой постоянные токи. Фактически, сегодня закон силы Ампера больше не представлен в его первоначальном виде , поскольку существуют эквивалентные представления для постоянных токов, такие как закон Био-Савара в сочетании с силой Лоренца . Это тот момент, когда электродинамика Вебера и электродинамика Максвелла идут разными путями, потому что Джеймс Клерк Максвелл решил основать свою теорию на законе Био-Савара, который первоначально также был справедлив только для замкнутых контуров проводника.

Вклад Вильгельма Эдуарда Вебера в электродинамику Вебера заключался в том, что он расширил формулу силы Гаусса таким образом, что стало возможным дать формулу для потенциальной энергии. В 1848 году он представил свою формулу, которая гласит:

$$U={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}\right),$$ ( 3 )

с ${\dot {r}}$ являющаяся лучевой скоростью . Вебер также провел многочисленные эксперименты и задокументировал состояние знаний того времени в своей существенной работе.

Электродинамика Вебера и гипотеза Гаусса постепенно канули в забвение после введения тока смещения около 1870 года, поскольку полная система уравнений Максвелла впервые позволила описать электромагнитные волны.

Примерно с 1880 года такие эксперименты, как эксперимент Майкельсона-Морли, показали, что электромагнитные волны распространяются со скоростью света независимо от состояния движения передатчика или приемника в вакууме, что не согласуется с предсказаниями уравнений Максвелла, поскольку эти описывают распространение волн в среде. Чтобы решить эту проблему, было разработано преобразование Лоренца . В результате гипотеза Гаусса о зависимости электрической силы от относительной скорости была добавлена ​​обратно в измененном виде.

Математическое описание

сила Вебера

В электродинамике Вебера электромагнитная сила $\mathbf {F}$ это балльная зарядка $q_{2}$ с траекторией $\mathbf {r} _{2}(t)$ действует на другой точечный заряд $q_{1}$ с траекторией $\mathbf {r} _{1}(t)$ во время $t$ определяется уравнением

$$\mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\mathbf {r} } }{r^{3}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).$$ ( 4 )

Здесь, $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}(t)-\mathbf {r} _{2}(t)$ это смещение $q_{1}$ относительно $q_{2}$ и $r=\Vert \mathbf {r} \Vert$ это расстояние. Обратите внимание, что

$${\dot {r}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\Vert \mathbf {r} \Vert ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\sqrt {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}{r}}$$ ( 5 )

- лучевая скорость и

$${\ddot {r}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\Vert \mathbf {r} \Vert ={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\sqrt {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} \cdot {\ddot {\mathbf {r} }}}{r}}-{\frac {(\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }})^{2}}{r^{3}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}}{r}}$$ ( 6 )

это радиальное ускорение. Если подставить это в силу Вебера ( 4 ), получим ${\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v}$ и ${\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {a}$ альтернативное представительство

$$\mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\cdot {\frac {\mathbf {v} }{c}}\right)^{2}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {a} }{c^{2}}}\right).$$ ( 7 )

Для $\mathbf {a} \approx \mathbf {0}$ получаем уравнение ( 2 ), постулированное Гауссом в 1835 году.

Связь между потенциальной энергией и силой

Совместимость потенциальной энергии Вебера ( 3 ) с формулой силы ( 4 ) можно показать с помощью уравнения ( 5 ) и уравнения $$\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {r} }{\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}}\,{\dot {U}}$$что непосредственно следует из законов движения Ньютона .

Сохранение энергии, импульса и момента количества движения

В электродинамике Вебера энергия, импульс и момент импульса являются сохраняющимися величинами . Сохранение импульса является результатом свойства силы Вебера соответствовать третьему закону Ньютона : если поменять источник и приемник силы, изменится только знак силы. Сохранение момента количества движения является следствием того, что сила Вебера является центральной силой .

частиц . Легко продемонстрировать сохранение энергии в изолированной системе, состоящей всего из двух Уравнение ( 5 ) дает $\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}=r\,{\dot {r}}$. Это приводит к $$\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).$$Производная потенциала Вебера ( 3 ) по времени равна $${\dot {U}}={\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}\left(-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}+{\frac {{\dot {r}}^{3}}{2r^{2}c^{2}}}-{\frac {{\dot {r}}{\ddot {r}}}{rc^{2}}}\right)=-{\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).$$Сравнение двух уравнений показывает, что ${\dot {U}}$ равно $-\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}$. Применение второго закона Ньютона дает ${\dot {U}}=-m\,{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}$. За исключением знака, правая часть соответствует производной по времени кинетической энергии . Это означает, что каждое изменение потенциальной энергии компенсируется именно изменением кинетической энергии. Следовательно, полная энергия, т. е. сумма потенциальной и кинетической энергии, должна быть сохраняющейся величиной.

Сравнение с электродинамикой Максвелла

сила Лоренца

Электродинамика Максвелла и электродинамика Вебера эквивалентны постоянным токам и нерелятивистским скоростям, поскольку постоянные токи могут течь только в замкнутых контурах проводников. Как уже продемонстрировал Максвелл около 150 лет назад, в этих условиях закон силы Ампера может быть представлен в нескольких вариантах.

Электродинамика Максвелла следует двухэтапному подходу, во-первых, путем задания магнитного поля. $\mathbf {B}$ каждому текущему элементу и, во-вторых, определив, что сила $\mathbf {F}$ на испытательном сроке $q$ двигаясь со скоростью $\mathbf {v}$ можно рассчитать с помощью выражения $q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B}$. Во времена Максвелла скорость $\mathbf {v}$ интерпретировалась как скорость пробного заряда относительно среды, в которой распространяется магнитное поле. В электродинамике Максвелла сила Лоренца — это физический закон, причину или механизм которого невозможно связать.

С другой стороны, электродинамика Вебера не определяет магнитное поле или силу Лоренца, а интерпретирует силу тока, действующую на пробный заряд. $q$ постулируя, что проводник с током содержит отрицательные и положительные точечные заряды, которые движутся с немного отличающимися относительными скоростями по отношению к пробному заряду. Это, в свою очередь, приводит к небольшой деформации силы, так что в зависимости от скорости испытательного заряда остаточные силы сохраняются. В целом они в точности соответствуют силе Лоренца.

Это означает, что электродинамика Вебера объясняет силу Лоренца посредством принципа относительности, хотя и только для относительных скоростей, много меньших скорости света. Таким образом, гипотеза Гаусса 1835 года уже представляет собой раннюю интерпретацию магнетизма как релятивистского эффекта. Эта интерпретация не входит в электродинамику Максвелла.

Электромагнитные волны

Для переменных токов и точечных зарядов различные представления закона силы Ампера не эквивалентны. Максвелл был знаком с электродинамикой Вебера и положительно отзывался о ней. Тем не менее, он решил построить свою теорию на законе Био-Савара, обобщив его на случаи, когда контуры проводника содержат разрывы. Значение тока смещения становится ясным при изучении поля электромагнитной силы, которую ускоренный электрон мог бы создать на покоящемся пробном заряде. На рисунках показано поле электрона, который ускоряется до 75 процентов скорости света за 3 наносекунды.

Duration: 8 seconds.0:08

Поле электромагнитной силы ускоренного отрицательного точечного заряда с точки зрения покоящегося положительного пробного заряда в электродинамике Вебера.

Duration: 8 seconds.0:08

Поле электромагнитной силы ускоренного отрицательного точечного заряда с точки зрения покоящегося положительного пробного заряда в электродинамике Максвелла.

В случае силы Вебера можно заметить, что первоначально радиальное поле становится уплощенным в направлении движения. Это представляет собой эффект, который в настоящее время связывают с лоренцевым сокращением . Нечто подобное можно увидеть и в поле, рассчитанном с помощью уравнений Максвелла. Однако, кроме того, здесь можно распознать волновой фронт. Заметно также, что в области фронта волны сила уже не является центральной силой. Этот эффект известен как тормозное излучение .

Поэтому явления электромагнитных волн не включены в электродинамику Вебера. По этой причине электродинамика Вебера применима только в тех приложениях, в которых все участвующие заряды движутся медленно и равномерно.

Третий закон Ньютона в электродинамике Максвелла и Вебера.

В Максвелла электродинамике третий закон Ньютона не выполняется для частиц. Вместо этого частицы оказывают воздействие на электромагнитные поля, а поля оказывают воздействие на частицы, но частицы не оказывают непосредственного воздействия на другие частицы. Следовательно, на две соседние частицы не всегда действуют равные и противоположные силы. В связи с этим электродинамика Максвелла предсказывает, что законы сохранения импульса и сохранения углового момента справедливы только в том случае, если учитываются импульс частиц и импульс окружающих электромагнитных полей. Общий импульс всех частиц не обязательно сохраняется, поскольку частицы могут передавать часть своего импульса электромагнитным полям или наоборот. Известное явление радиационного давления доказывает, что электромагнитные волны действительно способны «давить» вещество. см. в разделе Тензор напряжений Максвелла и вектор Пойнтинга Дополнительную информацию .

Закон Вебера совершенно иной: все частицы, независимо от размера и массы, в точности подчиняются третьему закону Ньютона . Следовательно, электродинамика Вебера, в отличие от электродинамики Максвелла, имеет сохранение импульса частицы и сохранение углового момента частицы.

Потенциальная энергия точечных зарядов в электродинамике Максвелла

В уравнениях Максвелла сила $\mathbf {F}$ на заряд от близлежащих зарядов можно рассчитать, объединив уравнения Ефименко с законом силы Лоренца . Соответствующая потенциальная энергия приблизительно равна:

$$U_{\rm {Max}}\approx {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\left(1-{\frac {\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }{2c^{2}}}-{\frac {(\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {v_{2}} \cdot \mathbf {r} )}{2r^{2}c^{2}}}\right),$$где $\mathbf {v} _{1}$ и $\mathbf {v} _{2}$ скорости $q_{1}$ и $q_{2}$соответственно, и где для простоты опущены релятивистские эффекты и эффекты запаздывания; см . Дарвин Лагранжиан .

регулярную форму закона Ампера и закона Фарадея Используя эти выражения, можно вывести . Важно отметить, что электродинамика Вебера не предсказывает выражение, подобное закону Био-Савара , и проверка различий между законом Ампера и законом Био-Савара является одним из способов проверки электродинамики Вебера.

Экспериментальные испытания

Ограничения

Согласно современным знаниям, электродинамика Вебера является неполной теорией. Выражение потенциальной энергии ( 3 ) предполагает, что это первая часть ряда Тейлора, т.е. приближение, достаточно корректное только для малых скоростей и очень малых ускорений. Проблема, однако, заключается в том, что электродинамика Вебера и электродинамика Максвелла не эквивалентны даже в этих обстоятельствах.

Поскольку электродинамика Вебера представляет собой приближение, справедливое только для малых скоростей и ускорений, экспериментальное сравнение с электродинамикой Максвелла целесообразно только в том случае, если эти условия и требования выполняются. Во многих экспериментах, опровергающих электродинамику Вебера, эти условия не выполняются. Интересно, что эксперименты, учитывающие ограничения электродинамики Вебера, часто показывают лучшее согласие электродинамики Вебера с результатами измерений, чем электродинамика Максвелла.

Эксперименты, не подтверждающие электродинамику Вебера

Тесты, зависящие от скорости

Член силы Вебера, зависящий от скорости, может привести к тому, что газ, выходящий из контейнера, станет электрически заряженным. Однако, поскольку электроны, используемые для установки этих пределов, являются кулоновскими , эффекты перенормировки могут отменить поправки, зависящие от скорости. с током Другие исследования вращали соленоиды , наблюдали остывающие металлы и использовали сверхпроводники для получения большой скорости дрейфа. Ни один из этих поисков не обнаружил никаких отклонений от закона Кулона. Наблюдение заряда пучков частиц дает более слабые оценки, но проверяет зависящие от скорости поправки к уравнениям Максвелла для частиц с более высокими скоростями.

Тесты, зависящие от ускорения

Герман фон Гельмгольц заметил, что электродинамика Вебера предсказывает, что заряды в определенных конфигурациях могут вести себя так, как если бы они имели отрицательную инерционную массу . Однако некоторые ученые оспорили аргумент Гельмгольца. Это можно проверить , измерив частоту колебаний неоновой лампы внутри сферического проводника, подключенного к высокому напряжению. Никаких существенных отклонений от теории Максвелла не наблюдалось.

Связь с квантовой электродинамикой

Квантовая электродинамика (КЭД), пожалуй, наиболее тщательно проверяемая теория в физике, чьи весьма нетривиальные предсказания подтверждены с точностью лучше 10 частей на миллиард: См. прецизионные тесты КЭД . Поскольку уравнения Максвелла можно вывести как классический предел уравнений КЭД, отсюда следует, что если КЭД верна (как широко полагают ведущие физики), то уравнения Максвелла и закон силы Лоренца также верны.

Дальнейшее чтение

• Андре Кох Торрес Ассис: электродинамика Вебера. Клювер Акад. Публикация, Дордрехт, 1994 г., ISBN   0-7923-3137-0 .