Паранепротиворечивая логика

Паранепротиворечивая логика – это попытка логической системы справиться с противоречиями в различающем способ. Альтернативно, паранепротиворечивая логика — это подполе логики , которое занимается изучением и разработкой «непоследовательных» систем логики, которые отвергают принцип взрыва .

Логики, терпимые к несогласованности, обсуждаются по крайней мере с 1910 года (и, возможно, намного раньше, например, в трудах Аристотеля ); однако термин «парапоследовательный» («рядом с последовательным») был впервые введен в обращение в 1976 году перуанским философом Франсиско Миро Кесада Кантуариасом . Изучение паранепротиворечивой логики получило название паранепротиворечивости . которая включает в себя школу диалетеизма .

Определение

В классической логике (а также интуиционистской логике и большинстве других логик) противоречия влекут за собой всё. Эта особенность, известная как принцип взрыва или ex противоречие sequitur quodlibet ( лат . «из противоречия следует все») формально может быть выражено как

1	$P\land \neg P$	Помещение
2	$P\,$	Устранение союза	от 1
3	$P\lor A$	Введение в дизъюнкцию	от 2
4	$\neg P\,$	Устранение союза	от 1
5	$A\,$	Дизъюнктивный силлогизм	с 3 и 4

Это означает: если P и его отрицание ¬ P считаются истинными, то из двух утверждений P и (некоторых произвольных) A истинно хотя бы одно. Следовательно, P или A истинно. Однако если мы знаем, что P или A истинно, а также что P ложно (что ¬P истинно ), мы можем заключить, что A , которое может быть чем угодно, истинно. Таким образом, если теория содержит единственное несоответствие, теория тривиальна , то есть каждое предложение в ней рассматривается как теорема.

Характерной или определяющей чертой паранепротиворечивой логики является то, что она отвергает принцип взрыва. В результате паранепротиворечивые логики, в отличие от классических и других логик, могут использоваться для формализации противоречивых, но нетривиальных теорий.

Сравнение с классической логикой

Отношения следования паранепротиворечивой логики пропозиционально слабее , чем в классической логике ; то есть они считают меньше пропозициональных выводов действительными. Дело в том, что паранепротиворечивая логика никогда не может быть пропозициональным расширением классической логики, то есть пропозиционально подтверждать все выводы, которые делает классическая логика. Таким образом, в некотором смысле паранепротиворечивая логика более консервативна и осторожна, чем классическая логика. Именно из-за такой консервативности парасогласованные языки могут быть более выразительными , чем их классические аналоги, включая иерархию метаязыков Альфреда Тарского и других. По словам Соломона Фефермана : «Естественный язык изобилует прямо или косвенно самореферентными, но, казалось бы, безобидными выражениями, — все из которых исключены из структуры Тарского». Это выразительное ограничение можно преодолеть с помощью паранепротиворечивой логики.

Мотивация

Основной мотивацией паранепротиворечивой логики является убеждение в том, что должна быть возможность рассуждать с противоречивой информацией контролируемым и различающим образом. Принцип взрыва исключает это, и поэтому от него следует отказаться. В непаранепротиворечивой логике есть только одна противоречивая теория: тривиальная теория, в которой каждое предложение является теоремой. Паранепротиворечивая логика позволяет различать противоречивые теории и рассуждать на их основе.

Исследования паранепротиворечивой логики также привели к созданию философской школы диалетеизма (особенно поддерживаемой Грэмом Пристом ), которая утверждает, что истинные противоречия существуют в реальности, например, группы людей, придерживающихся противоположных взглядов по различным моральным вопросам. Быть диалетистом рационально обязывает человека придерживаться той или иной формы паранепротиворечивой логики, опасаясь в противном случае принять тривиализм , то есть признать, что все противоречия (и, эквивалентно, все утверждения) истинны. Однако изучение паранепротиворечивой логики не обязательно влечет за собой точку зрения диалетеиста. Например, не нужно соглашаться ни на существование истинных теорий, ни на истинные противоречия, а лучше предпочесть более слабый стандарт, такой как эмпирическая адекватность , предложенный Басом ван Фраассеном .

Философия

В классической логике три закона Аристотеля, а именно, исключенное среднее ( p или ¬p ), непротиворечие ¬ ( p ∧ ¬p ) и тождество ( p тогда и только тогда, когда p ), считаются одним и тем же, из-за взаимного определения соединительные детали. Более того, традиционно противоречивость (наличие противоречий в теории или совокупности знаний) и тривиальность (тот факт, что такая теория влечет за собой все возможные последствия) считаются неразделимыми при условии наличия отрицания. Эти взгляды могут быть оспорены с философской точки зрения именно на том основании, что они не проводят различия между противоречивостью и другими формами непоследовательности.

С другой стороны, из «конфликта» между последовательностью и противоречиями можно вывести тривиальность, если правильно разграничить эти понятия. Сами понятия согласованности и несогласованности могут, кроме того, быть усвоены на уровне объектного языка.

Компромиссы

Парапоследовательность предполагает компромиссы. В частности, отказ от принципа взрыва требует отказа хотя бы от одного из следующих двух принципов:

Введение в дизъюнкцию	$A\vdash A\lor B$
Дизъюнктивный силлогизм	$A\lor B,\neg A\vdash B$

Оба эти принципа были подвергнуты сомнению.

Один из подходов — отказаться от введения дизъюнкции, но сохранить дизъюнктивный силлогизм и транзитивность. В этом подходе действуют правила естественной дедукции , за исключением введения дизъюнкции и исключения третьего ; более того, вывод A⊢B не обязательно означает следствие A⇒B. Кроме того, выполняются следующие обычные логические свойства: двойное отрицание , а также ассоциативность , коммутативность , дистрибутивность , Де Моргана и идемпотентность выводы (для конъюнкции и дизъюнкции). Более того, для следствия справедливо непротиворечивое доказательство отрицания: (A⇒(B∧¬B))⊢¬A.

Другой подход заключается в отказе от дизъюнктивного силлогизма. С точки зрения диалетеизма вполне логично, что дизъюнктивный силлогизм потерпит неудачу. Идея этого силлогизма заключается в том, что если ¬ A , то A исключается и B можно вывести из A ∨ B . Однако если A может выполняться так же, как и ¬A , то аргумент в пользу вывода ослабляется.

Еще один подход заключается в том, чтобы сделать и то, и другое одновременно. Во многих системах соответствующей логики , а также линейной логики имеются две отдельные дизъюнктивные связки. Один допускает введение дизъюнкции, а другой - дизъюнктивный силлогизм. Конечно, это имеет недостатки, связанные с отдельными дизъюнктивными связками, включая путаницу между ними и сложность их связи.

Более того, правило доказательства отрицания (ниже) само по себе является неустойчивым в том смысле, что отрицание каждого предложения может быть доказано из противоречия.

Доказательство отрицания	Если $A\vdash B\land \neg B$, затем $\vdash \neg A$

Строго говоря, наличие только приведенного выше правила является паранепротиворечивым, потому что это не тот случай, когда каждое предложение может быть доказано из противоречия. Однако если правило исключения двойного отрицания ( $\neg \neg A\vdash A$) добавляется, то любое предложение можно доказать от противного. Устранение двойного отрицания не справедливо для интуиционистской логики .

Логика парадокса

Одним из примеров паранепротиворечивой логики является система, известная как LP (« Логика парадокса »), впервые предложенная аргентинским логиком Флоренсио Гонсалесом Асенхо в 1966 году и позже популяризированная Пристом и другими.

Один из способов представления семантики LP — заменить обычную функциональную оценку реляционной . Бинарное отношение $V\,$ связывает формулу с истинностным значением : $V(A,1)\,$ означает, что $A\,$ это правда, и $V(A,0)\,$ означает, что $A\,$ является ложным. Формуле должно быть присвоено хотя бы одно значение истинности, но нет требования, чтобы ей было присвоено не более одного значения истинности. Семантические предложения отрицания и дизъюнкции даны следующим образом:

• $V(\neg A,1)\Leftrightarrow V(A,0)$
• $V(\neg A,0)\Leftrightarrow V(A,1)$
• $V(A\lor B,1)\Leftrightarrow V(A,1){\text{ or }}V(B,1)$
• $V(A\lor B,0)\Leftrightarrow V(A,0){\text{ and }}V(B,0)$

(Другие логические связки определяются, как обычно, в терминах отрицания и дизъюнкции.) Или, выражая ту же мысль менее символично:

• не А истинно тогда и только тогда, когда А ложно
• не А ложно тогда и только тогда, когда А истинно
• A или B истинно тогда и только тогда, когда A истинно или B истинно.
• A или B ложны тогда и только тогда, когда A ложно и B ложно.

(Семантическое) логическое следствие тогда определяется как сохранение истины:

$\Gamma \vDash A$ тогда и только тогда, когда $A\,$ истинно всякий раз, когда каждый элемент $\Gamma \,$ это правда.

Теперь рассмотрим оценку $V\,$ такой, что $V(A,1)\,$ и $V(A,0)\,$ но это не тот случай $V(B,1)\,$. Легко проверить, что эта оценка представляет собой контрпример как взрывному, так и дизъюнктивному силлогизму. Однако это также контрпример modus ponens для материального кондиционала LP. По этой причине сторонники LP обычно выступают за расширение системы за счет включения более сильной условной связки, которую невозможно определить с помощью отрицания и дизъюнкции.

Как можно проверить, LP сохраняет большинство других моделей вывода, которые можно было бы ожидать, как законы Де Моргана и обычные правила введения и исключения для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Удивительно, но логические истины (или тавтологии ) LP в точности соответствуют классической логике высказываний. (LP и классическая логика различаются только выводами, которые они считают действительными.) Ослабление требования, чтобы каждая формула была либо истинной, либо ложной, приводит к более слабой паранепротиворечивой логике, широко известной как следование первой степени (FDE). В отличие от LP, FDE не содержит логических истин.

LP — лишь одна из многих предложенных паранепротиворечивых логик. Здесь она представлена ​​просто как иллюстрация того, как может работать паранепротиворечивая логика.

Связь с другой логикой

Одним из важных типов паранепротиворечивой логики является логика релевантности . Логика является релевантной , если она удовлетворяет следующему условию:

если A → B — теорема, то A и B имеют общую нелогическую константу .

Отсюда следует, что логика релевантности не может иметь ( p ∧ ¬ p ) → q в качестве теоремы и, следовательно, (при разумных предположениях) не может подтвердить вывод от { p , ¬ p } к q .

Паранепротиворечивая логика имеет существенное совпадение с многозначной логикой ; однако не все паранепротиворечивые логики многозначны (и, конечно, не все многозначные логики паранепротиворечивы). Диалетические логики , которые также многозначны, паранепротиворечивы, но обратное неверно. Приведенная ниже идеальная трехзначная паранепротиворечивая логика становится логикой RM3 при добавлении контрапозитивной логики.

Интуиционистская логика позволяет A ∨ ¬ A не быть эквивалентной истине, тогда как паранепротиворечивая логика позволяет A ∧ ¬ A не быть эквивалентной ложному. Таким образом, кажется естественным рассматривать паранепротиворечивую логику как « двойственную » интуиционистскую логику. Однако интуиционистская логика представляет собой специфическую логическую систему, тогда как паранепротиворечивая логика охватывает большой класс систем. Соответственно, двойственное понятие паранепротиворечивости называется параполнотой , а «двойственное» интуиционистской логике (специфической параполной логике) — это специфическая паранепротиворечивая система, называемая антиинтуиционистской или дуально-интуиционистской логикой (иногда называемой бразильской логикой по историческим причинам). ). Двойственность между двумя системами лучше всего видна в рамках секвенциального исчисления . В то время как в интуиционистской логике секвенция

$\vdash A\lor \neg A$

не выводимо в дуальной интуиционистской логике

$A\land \neg A\vdash$

не является выводным . Аналогично, в интуиционистской логике секвенция

$\neg \neg A\vdash A$

не выводимо, тогда как в дуально-интуиционистской логике

$A\vdash \neg \neg A$

не является выводным. Дуальная интуиционистская логика содержит связку #, известную как псевдоразность , которая является двойственной интуиционистской импликацией. В очень широком смысле A # B можно читать как « А, но не Б ». Однако # не является истинностным , как можно было бы ожидать от оператора «но не»; аналогично, интуиционистский оператор импликации не может рассматриваться как « ¬ ( A ∧ ¬ B ) ». Дуальная интуиционистская логика также имеет базовую связку ⊤, которая является двойственной интуиционистской ⊥: отрицание может быть определено как ¬ A = (⊤ # A )

Полное описание двойственности между паранепротиворечивой и интуиционистской логикой, включая объяснение того, почему дуально-интуиционистская и паранепротиворечивая логика не совпадают, можно найти в Brunner and Carnielli (2005).

Эти другие логики избегают взрыва: импликативное исчисление высказываний , позитивное исчисление высказываний , эквивалентиальное исчисление и минимальная логика . Последняя, ​​минимальная логика, является одновременно паранепротиворечивой и параполной (подсистема интуиционистской логики). Остальные три просто не позволяют изначально выразить противоречие, так как не умеют образовывать отрицания.

Идеальная трехзначная паранепротиворечивая логика

Вот пример трехзначной логики , которая является паранепротиворечивой и идеальной , как это определено в «Идеальных паранепротиворечивых логиках» О. Ариэли, А. Аврона и А. Заманского, особенно на страницах 22–23. Три истинностных значения: t (только истина), b (истинно и ложно) и f (только ложь).

П ¬P т ж б б ж т

П → К вопрос т б ж П т т б ж б т б ж ж т т т

П ∨ Q вопрос т б ж П т т т т б т б б ж т б ж

П ∧ Q вопрос т б ж П т т б ж б б б ж ж ж ж ж

Формула является истинной, если ее истинностное значение равно t или b для используемой оценки. Формула является тавтологией паранепротиворечивой логики, если она истинна в любой оценке, которая отображает атомарные предложения в { t , b , f }. Всякая тавтология паранепротиворечивой логики является также тавтологией классической логики. Для оценки множество истинных формул замкнуто в соответствии с modus ponens и теоремой о дедукции . Любая тавтология классической логики, не содержащая отрицаний, также является тавтологией паранепротиворечивой логики (путем слияния b с t ). Эту логику иногда называют «Pac» или «LFI1».

Включено

Некоторые тавтологии паранепротиворечивой логики:

• Все схемы аксиом паранепротиворечивой логики:

$P\to (Q\to P)$ ** для теоремы о дедукции и ?→{ t , b } = { t , b }

$(P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R))$ ** для теоремы о дедукции (примечание: { t , b }→ { f } = { f } следует из теоремы о дедукции)

$\lnot (P\to Q)\to P$ ** { ж }→? = { т }

$\lnot (P\to Q)\to \lnot Q$ ** ?→{ т } = { т }

$P\to (\lnot Q\to \lnot (P\to Q))$ ** { т , б } → { б , ж } знак равно { б , ж }

$\lnot \lnot P\to P$ ** ~ { ж } = { т }

$P\to \lnot \lnot P$ ** ~{ t , b } = { b , f } (примечание: ~ { t } = { f } и ~ { b , f } = { t , b } следуют из способа кодирования значений истинности)

$P\to (P\lor Q)$ ** { т , б }в? знак равно { т , б }

$Q\to (P\lor Q)$ ** ?v{ т , б } = { т , б }

$\lnot (P\lor Q)\to \lnot P$ ** { т }в? = { т }

$\lnot (P\lor Q)\to \lnot Q$ ** ?v{ т } = { т }

$(P\to R)\to ((Q\to R)\to ((P\lor Q)\to R))$ ** { ж } v { ж } = { ж }

$\lnot P\to (\lnot Q\to \lnot (P\lor Q))$ ** { б , ж } v { б , ж } знак равно { б , ж }

$(P\land Q)\to P$ ** { ж }&? = { ж }

$(P\land Q)\to Q$ ** ?&{ ж } = { ж }

$\lnot P\to \lnot (P\land Q)$ ** { б , ж }&? = { б . е }

$\lnot Q\to \lnot (P\land Q)$ ** ?& { б , ж } = { б , ж }

$(\lnot P\to R)\to ((\lnot Q\to R)\to (\lnot (P\land Q)\to R))$ ** { т }& { т } = { т }

$P\to (Q\to (P\land Q))$ ** { т , б }& { т , б } знак равно { т , б }

$(P\to Q)\to ((\lnot P\to Q)\to Q)$ ** ? является объединением { t , b } с { b , f }

• Некоторые другие схемы теорем:

$P\to P$

$(\lnot P\to P)\to P$

$((P\to Q)\to P)\to P$

$P\lor \lnot P$

$\lnot (P\land \lnot P)$

$(\lnot P\to Q)\to (P\lor Q)$

$((\lnot P\to Q)\to Q)\to (((P\land \lnot P)\to Q)\to (P\to Q))$ ** каждое истинностное значение равно t , b или f .

$((P\to Q)\to R)\to (Q\to R)$

Исключено

Некоторые тавтологии классической логики, которые не являются тавтологиями паранепротиворечивой логики:

$\lnot P\to (P\to Q)$ ** нет взрыва в паранепротиворечивой логике

$(\lnot P\to Q)\to ((\lnot P\to \lnot Q)\to P)$

$(P\to Q)\to ((P\to \lnot Q)\to \lnot P)$

$(P\lor Q)\to (\lnot P\to Q)$ ** дизъюнктивный силлогизм не работает в паранепротиворечивой логике.

$(P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)$ ** контрапозитив не работает в паранепротиворечивой логике

$(\lnot P\to \lnot Q)\to (Q\to P)$

$((\lnot P\to Q)\to Q)\to (P\to Q)$

$(P\land \lnot P)\to (Q\land \lnot Q)$ ** не все противоречия эквивалентны в паранепротиворечивой логике

$(P\to Q)\to (\lnot Q\to (P\to R))$

$((P\to Q)\to R)\to (\lnot P\to R)$

$((\lnot P\to R)\to R)\to (((P\to Q)\to R)\to R)$ ** противоречит фактам для { b , f }→? знак равно { т , б } (несовместимо с б → ж знак равно ж )

Стратегия

Предположим, мы столкнулись с противоречивым набором посылок Γ и хотим избежать сведения к тривиальности. В классической логике единственный метод, который можно использовать, — это отвергнуть одну или несколько посылок из Γ. В паранепротиворечивой логике мы можем попытаться разделить противоречие. То есть ослабить логику так, чтобы Γ→ X больше не было тавтологией, при условии, что пропозициональная переменная X не появляется в Γ. Однако мы не хотим ослаблять логику больше, чем это необходимо для этой цели. Поэтому мы хотим сохранить modus ponens и теорему о дедукции, а также аксиомы, которые являются правилами введения и исключения логических связок (где это возможно).

С этой целью мы добавляем третье истинностное значение b , которое будет использоваться внутри отсека, содержащего противоречие. Мы сделаем b фиксированной точкой всех логических связок.

$b=\lnot b=(b\to b)=(b\lor b)=(b\land b)$

Мы должны сделать b своего рода истиной (в дополнение к t ), потому что в противном случае не было бы вообще никаких тавтологий.

Чтобы гарантировать, что modus ponens работает, мы должны иметь

$(b\to f)=f,$

то есть, чтобы гарантировать, что истинная гипотеза и истинный импликация приводят к истинному заключению, мы должны добиться того, чтобы неверный ( f ) вывод и истинная ( t или b ) гипотеза приводили к неистинному импликации.

Если всем пропозициональным переменным в Γ присвоено значение b , то сама Γ будет иметь значение b . Если мы дадим X значение f , то

$(\Gamma \to X)=(b\to f)=f$.

Значит, Γ→ X не будет тавтологией.

Ограничения: (1) Для значений истинности не должно быть констант, потому что это противоречило бы цели паранепротиворечивой логики. Наличие b изменило бы язык классической логики. Наличие t или f снова допустит взрыв, потому что

$\lnot t\to X$ или $f\to X$

будут тавтологии. Обратите внимание, что b не является фиксированной точкой этих констант, поскольку b ≠ t и b ≠ f .

(2) Способность этой логики содержать противоречия применима только к противоречиям между конкретными посылками, а не к противоречиям между схемами аксиом.

(3) Утрата дизъюнктивного силлогизма может привести к недостаточной приверженности разработке «правильной» альтернативы, что может нанести вред математике.

(4) Чтобы установить, что формула Γ эквивалентна Δ в том смысле, что одна из них может быть заменена другой везде, где они появляются в качестве подформулы, необходимо показать

$(\Gamma \to \Delta )\land (\Delta \to \Gamma )\land (\lnot \Gamma \to \lnot \Delta )\land (\lnot \Delta \to \lnot \Gamma )$.

Это сложнее, чем в классической логике, потому что контрапозитивы не обязательно следуют.

Приложения

Паранепротиворечивая логика применялась как средство управления несогласованностью во многих областях, в том числе:

• Семантика : Паранепротиворечивая логика была предложена как средство обеспечения простого и интуитивного формального объяснения истины , которое не становится жертвой таких парадоксов, как «Лжец» . Однако такие системы также должны избегать парадокса Карри , который гораздо сложнее, поскольку по сути не предполагает отрицания.
• Теория множеств и основы математики
• Эпистемология и пересмотр убеждений . Паранепротиворечивая логика была предложена как средство рассуждения и пересмотра противоречивых теорий и систем убеждений.
• Управление знаниями и искусственный интеллект . Некоторые ученые-компьютерщики использовали паранепротиворечивую логику как средство изящного решения противоречивых задач. или противоречивые информация. Математическая основа и правила паранепротиворечивой логики были предложены в качестве функции активации искусственного нейрона для построения нейронной сети для аппроксимации функции , идентификации модели и управления . успешного
• Деонтическая логика и метаэтика : Паранепротиворечивая логика была предложена как средство разрешения этических и других нормативных конфликтов.
• Программная инженерия : Паранепротиворечивая логика была предложена как средство борьбы с распространёнными несоответствиями между документацией , вариантами использования и кодом больших программных систем .
• Экспертная система . Алгоритм параанализатора, основанный на паранепротиворечивой аннотированной логике двухзначных аннотаций (PAL2v), также называемый паранепротиворечивой аннотированной доказательной логикой (PAL E t), полученный из паранепротиворечивой логики, использовался в системах принятия решений, например, для поддержки медицинских диагноз.
• При проектировании электроники обычно используется четырехзначная логика , при этом «высокое сопротивление (z)» и «все равно (x)» играют аналогичную роль «не знаю» и «одновременно верно и ложно» соответственно. на истинное и ложное. Эта логика развивалась независимо от философской логики.
• Система управления : Эталонное управление моделью, построенное с использованием рекуррентной паранепротиворечивой нейронной сети для вращающегося перевернутого маятника, показало лучшую надежность и меньшие усилия по управлению по сравнению с классическим хорошо настроенным контроллером установки столбов.
• Цифровой фильтр : Алгоритм фильтра PAL2v, использующий паранепротиворечивую искусственную нейронную ячейку обучения путем извлечения противоречий (PANLctx) в составе сети паранепротиворечивого анализа (PANnet), основанной на правилах и уравнениях PAL2V, может использоваться в качестве средства оценки, экстрактора средних значений. , фильтрация и обработка сигналов для промышленной автоматизации и робототехники.
• противоречий Экстрактор . Рекуррентный алгоритм, основанный на правилах и уравнениях PAL2v, использовался для выявления противоречий в наборе статистических данных.
• Квантовая физика
• черных дыр Физика
• Излучение Хокинга
• Квантовые вычисления
• Спинтроника
• Квантовая запутанность
• Квантовая связь
• Принцип неопределенности

Критика

Некоторые философы выступали против диалетеизма на том основании, что нелогичность отказа от любого из трех вышеприведенных принципов перевешивает любую нелогичность, которую мог бы иметь принцип взрыва.

Другие, такие как Дэвид Льюис , возражали против паранепротиворечивой логики на том основании, что просто невозможно, чтобы утверждение и его отрицание были одновременно истинными. Связанное с этим возражение состоит в том, что «отрицание» в паранепротиворечивой логике на самом деле не является отрицанием ; это просто субпротивоположный -образующий оператор.

Альтернативы

Существуют подходы, которые позволяют разрешать противоречивые убеждения, не нарушая ни одного из интуитивных логических принципов. Большинство таких систем используют многозначную логику с байесовским выводом и теорией Демпстера-Шафера , допуская, что ни одно нетавтологическое убеждение не является полностью (100%) неопровержимым, поскольку оно должно быть основано на неполных, абстрактных, интерпретированных, вероятно, неподтвержденных, потенциально неинформированных, и, возможно, неверное знание (конечно, само это предположение, если оно не тавтологично, влечет за собой собственную опровержимость, если под «опровержимым» мы подразумеваем «не вполне [100%] неопровержимое»).

Известные цифры

Известные фигуры в истории и/или современном развитии паранепротиворечивой логики включают:

• Алан Росс Андерсон (США, 1925–1973). Один из основоположников релевантной логики , разновидности паранепротиворечивой логики.
• Флоренсио Гонсалес Асенхо ( Аргентина , 1927-2013)
• Дидерик Батенс (Бельгия)
• Нуэль Белнап (США, р. 1930) разработал логические связки четырёхзначной логики .
• Жан-Ив Безио (Франция/Швейцария, р. 1965). Много писал об общих структурных особенностях и философских основах паранепротиворечивой логики.
• Росс Брэйди (Австралия)
• Брайсон Браун (Канада)
• Уолтер Карниелли ( Бразилия ). Разработчик семантики возможных переводов , новой семантики, которая делает паранепротиворечивую логику применимой и философски понятой.
• Ньютон да Кошта ( Бразилия , 1929–2024). Один из первых, кто разработал формальные системы паранепротиворечивой логики.
• Италия ML D'Ottaviano ( Бразилия )
• Дж. Майкл Данн (США). Важная фигура в логике релевантности.
• Карл Хьюитт
• Станислав Ясковский ( Польша ). Один из первых, кто разработал формальные системы паранепротиворечивой логики.
• Р.Э. Дженнингс (Канада)
• Дэвид Келлог Льюис (США, 1941–2001). Яркий критик паранепротиворечивой логики.
• Ян Лукасевич ( Польша , 1878–1956)
• Роберт К. Мейер (США/Австралия)
• Крис Мортенсен (Австралия). Много писал по паранепротиворечивой математике .
• Лоренцо Пенья (Испания, р. 1944). Разработал оригинальное направление паранепротиворечивой логики, градуалистической логики (также известной как транзитивная логика , TL), родственной нечеткой логике .
• Вэл Пламвуд [ранее Раутли] (Австралия, р. 1939). Частый сотрудник Сильвана.
• Грэм Прист (Австралия). Возможно, самый выдающийся сторонник паранепротиворечивой логики в современном мире.
• Франсиско Миро Кесада ( Перу ). Ввел термин паранепротиворечивая логика .
• Б. Х. Слейтер (Австралия). Еще один красноречивый критик паранепротиворечивой логики.
• Ричард Сильван [ранее Раутли] (Новая Зеландия/Австралия, 1935–1996). Важная фигура в логике релевантности и частый сотрудник Пламвуда и Приста.
• Николай Александрович Васильев (Россия, 1880–1940). Впервые построил логику, терпимую к противоречиям (1910).

См. также

• Девиантная логика
• Формальная логика
• Вероятностная логика
• Интуиционистская логика
• Таблица логических символов

Ресурсы

• Жан-Ив Безио ; Уолтер Карниелли ; Дов Габбай , ред. (2007). Справочник по паранепротиворечивости . Лондон: Королевский колледж. ISBN  978-1-904987-73-4 .
• Аояма, Хироши (2004). «ЛК, ЛД, двойная интуиционистская логика и квантовая логика» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 45 (4): 193–213. дои : 10.1305/ndjfl/1099238445 .
• Бертосси, Леопольдо, изд. (2004). Толерантность к противоречиям . Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-24260-0 .
• Бруннер, Андреас и Карниелли, Уолтер (2005). «Антиинтуиционизм и паранепротиворечивость» . Журнал прикладной логики . 3 (1): 161–184. дои : 10.1016/j.jal.2004.07.016 .
• Безио, Жан-Ив (2000). «Что такое паранепротиворечивая логика?». У Д. Батенса; и др. (ред.). Границы паранепротиворечивой логики . Бэлдок: Research Studies Press. стр. 95–111. ISBN  0-86380-253-2 .
• Бремер, Мануэль (2005). Введение в паранепротиворечивую логику . Франкфурт: Питер Ланг. ISBN  3-631-53413-2 .
• Браун, Брайсон (2002). «О паранепротиворечивости». В Дейле Жакетте (ред.). Компаньон философской логики . Молден, Массачусетс: Blackwell Publishers. стр. 628–650 . ISBN  0-631-21671-5 .
• Карниелли, Уолтер; Конильо, Марсело Э.; Маркос, Дж. (2007). «Логика формального противоречия». У Д. Габбая ; Ф. Гентнер (ред.). Справочник по философской логике, том 14 (2-е изд.). Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . стр. 1–93. ISBN  978-1-4020-6323-7 .
• Феферман, Соломон (1984). «К полезным бестиповым теориям, I». Журнал символической логики . 49 (1): 75–111. дои : 10.2307/2274093 . JSTOR   2274093 . S2CID   10575304 .
• Хьюитт, Карл (2008a). «Крупномасштабные организационные вычисления требуют нестратифицированного отражения и сильной парасогласованности». В Хайме Сихмане; Пабло Норьега; Джулиан Пэджет; Саша Оссовски (ред.). Координация, организации, институты и нормы в агентских системах III . Конспекты лекций по информатике. Том. 4780. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-540-79003-7 .
• Хьюитт, Карл (2008b). «Здравый смысл в отношении параллелизма и толерантности к несогласованности с использованием Direct Logic и модели актера». arXiv : 0812.4852 [ cs.LO ].
• Льюис, Дэвид (1998) [1982]. «Логика для эквивокаторов». Статьи по философской логике . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 97 –110. ISBN  0-521-58788-3 .
• Пенья, Лоренцо (1996) [1996]. «Диалетизм» Грэма Приста: действительно ли это правда?» . Сориты . 7 : 28–56. hdl : 10261/9714 . Архивировано из оригинала 4 июля 2011 г. Проверено 3 мая 2009 г.
• Священник, Грэм (2002). «Паранепротиворечивая логика». У Д. Габбая ; Ф. Гентнер (ред.). Справочник по философской логике . Том. 6 (2-е изд.). Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . стр. 287–393. ISBN  1-4020-0583-0 .
• Прист, Грэм и Танака, Кодзи (2009) [1996]. «Паранепротиворечивая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 17 июня 2010 г. (Впервые опубликовано во вторник, 24 сентября 1996 г.; основная редакция внесена в пятницу, 20 марта 2009 г.)
• Слейтер, Б.Х. (1995). «Паранепротиворечивая логика?». Журнал философской логики . 24 (4): 451–454. дои : 10.1007/BF01048355 . S2CID   12125719 .
• Вудс, Джон (2003). Парадокс и паранепротиворечивость: разрешение конфликтов в абстрактных науках . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-00934-0 .
• Де Карвалью, А.; Хусто, Дж. Ф.; Де Оливейра, AM; Да Силва Фильо, JI (2024 г.). «Всесторонний обзор паранепротиворечивой аннотированной доказательной логики: алгоритмы, приложения и перспективы». Инженерные применения искусственного интеллекта . 127B : 107342. doi : 10.1016/j.engappai.2023.107342 . ISSN   0952-1976 .

Внешние ссылки

• «Паранепротиворечивая логика» . Интернет-энциклопедия философии .
• Залта, Эдвард Н. (ред.). «Паранепротиворечивая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии .
• Залта, Эдвард Н. (ред.). «Непоследовательная математика» . Стэнфордская энциклопедия философии .
• «Всемирный конгресс по парапостоянству, Гент, 1997 г., Жюкеи, 2000 г., Тулуза, 2003 г., Мельбурн, 2008 г., Калькутта, 2014 г.»
• Паранепротиворечивая логика первого порядка с бесконечной иерархией уровней противоречий LP#. Аксиоматическая система HST# как паранепротиворечивое обобщение теории множеств Хрбачека HST
• О. Ариэли, А. Аврон, А. Заманский, «Идеальные паранепротиворечивые логики»