Постньютоновское расширение

Схема пространства параметров компактных двойных систем с различными схемами аппроксимации и областями их применимости.

Пост-Минковский и пост-ньютоновский расширения

В общей теории относительности постньютоновские разложения ( ПН- разложения ) используются для нахождения приближенного решения уравнений поля Эйнштейна для метрического тензора . Приближения развернуты по малым параметрам, которые выражают порядки отклонений от закона всемирного тяготения Ньютона . Это позволяет делать аппроксимации уравнений Эйнштейна в случае слабых полей. Для повышения точности можно добавить члены более высокого порядка, но для сильных полей иногда предпочтительнее решать полные уравнения численно. Этот метод является общей чертой эффективных теорий поля . В пределе, когда малые параметры равны 0, постньютоновское расширение сводится к закону тяготения Ньютона.

Расширение в 1/ c ²

Постньютоновские приближения представляют собой разложения по малому параметру, который представляет собой отношение скорости материи, создающей гравитационное поле, к скорости света , которую в данном случае точнее называют скоростью гравитации . В пределе, когда фундаментальная скорость гравитации становится бесконечной, постньютоновское расширение сводится к . закону гравитации Ньютона Систематическое исследование постньютоновских расширений в рамках гидродинамических приближений было развито Субраманьяном Чандрасекаром и его коллегами в 1960-х годах.

Расширение за час

Другой подход заключается в разложении уравнений общей теории относительности в степенной ряд по отклонению метрики от ее значения в отсутствие гравитации .

$h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\eta _{\alpha \beta }\,.$

Для этого необходимо выбрать систему координат, в которой собственные значения $h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }\,$ все имеют абсолютные значения меньше 1.

Например, если сделать один шаг за пределы линеаризованной гравитации , чтобы получить разложение во второй порядок по h :

$g^{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }+\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \nu }\,.$

${\sqrt {-g}}\approx 1+{\tfrac {1}{2}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }+{\tfrac {1}{8}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \gamma }-{\tfrac {1}{4}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \alpha }\,.$

Разложения, основанные только на метрике, независимо от скорости, называются постминковскими расширениями ( PM-разложениями ).

	0ПН		1ПН		2ПН		3ПН		4ПН		5ПН		6ПН		7ПН
13:00	( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	$v^{6}$	+	$v^{8}$	+	$v^{10}$	+	$v^{12}$	+	$v^{14}$	+	...)	$G^{1}$
14:00			( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	$v^{6}$	+	$v^{8}$	+	$v^{10}$	+	$v^{12}$	+	...)	$G^{2}$
15:00					( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	$v^{6}$	+	$v^{8}$	+	$v^{10}$	+	...)	$G^{3}$
16:00							( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	$v^{6}$	+	$v^{8}$	+	...)	$G^{4}$
17:00									( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	$v^{6}$	+	...)	$G^{5}$
18:00											( 1	+	$v^{2}$	+	$v^{4}$	+	...)	$G^{6}$
Таблица сравнения мощностей, используемых для приближений PN и PM в случае двух невращающихся тел. 0PN соответствует случаю теории гравитации Ньютона. 0PM (не показано) соответствует плоскому пространству Минковского .

Использование

Первое использование ПН-разложения (до первого порядка) было сделано Альбертом Эйнштейном при расчете прецессии перигелия орбиты Меркурия . Сегодня расчет Эйнштейна признан распространенным примером применения ПН-разложений, решения общей релятивистской задачи двух тел , включающей излучение гравитационных волн .

Ньютоновская калибровка

Основная статья: ньютоновская калибровка

В общем случае возмущенную метрику можно записать как

$ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2A)d\tau ^{2}-2B_{i}dx^{i}d\tau -\left(\delta _{ij}+h_{ij}\right)dx^{i}dx^{j}\right]$

где $A$, $B_{i}$ и $h_{ij}$ являются функциями пространства и времени. $h_{ij}$ можно разложить как

$h_{ij}=2C\delta _{ij}+\partial _{i}\partial _{j}E-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\Box ^{2}E+\partial _{i}{\hat {E}}_{j}+\partial _{j}{\hat {E}}_{i}+2{\tilde {E}}_{ij}$

где $\Box$ – оператор Даламбера , $E$ является скаляром, ${\hat {E}}_{i}$ является вектором и ${\tilde {E}}_{ij}$ является бесследовым тензором.Тогда потенциалы Бардина определяются как

$\Psi \equiv A+H(B-E'),+(B+E')',\quad \Phi \equiv -C-H(B-E')+{\frac {1}{3}}\Box E$

где $H$ — постоянная Хаббла , а штрих обозначает дифференцирование по конформному времени. $\tau \,$.

принимая $B=E=0$ (т.е. установка $\Phi \equiv -C$ и $\Psi \equiv A$), ньютоновская калибровка равна

$ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2\Psi )d\tau ^{2}-(1-2\Phi )\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}\right]\,$.

Заметим, что в отсутствие анизотропного напряжения $\Phi =\Psi$.

Полезным нелинейным расширением этого являются нерелятивистские гравитационные поля .

См. также

• Координатные условия
• Уравнения Эйнштейна–Инфельда–Гоффмана.
• Линеаризованная гравитация
• Параметризованный постньютоновский формализм

Внешние ссылки

• «О движении частиц в общей теории относительности» А.Эйнштейна и Л.Инфельда. Архивировано 8 марта 2012 г. в Wayback Machine.
• Бланше, Люк (2014). «Гравитационное излучение постньютоновских источников и вдохновляющие компактные двойные системы» . Живые обзоры в теории относительности . 17 (1): 2. arXiv : 1310.1528 . Бибкод : 2014LRR....17....2B . дои : 10.12942/lrr-2014-2 . ПМЦ   5256563 . ПМИД   28179846 .
• Клиффорд, М. Уилл (2011). «О необоснованной эффективности постньютоновского приближения гравитационной физики» . ПНАС . 108 (15): 5938–5945. arXiv : 1102.5192 . дои : 10.1073/pnas.1103127108 .