Частотно-селективная поверхность

Частотно -селективная поверхность ( FSS ) — это любая тонкая повторяющаяся поверхность (например, экран микроволновой печи), предназначенная для отражения, передачи или поглощения электромагнитных полей в зависимости от частоты поля. В этом смысле FSS представляет собой тип оптического фильтра или оптических фильтров с металлической сеткой , в которых фильтрация осуществляется за счет регулярного периодического (обычно металлического, но иногда диэлектрического) рисунка на поверхности FSS. Хотя это явно не упоминается в названии, FSS также имеет свойства, которые также меняются в зависимости от угла падения и поляризации - это неизбежные последствия способа конструкции FSS. Частотно-селективные поверхности чаще всего используются в радиосигналах электромагнитного спектра и находят применение в таких разнообразных приложениях, как вышеупомянутые микроволновые печи , антенн обтекатели и современные метаматериалы . Иногда частотно-избирательные поверхности называют просто периодическими поверхностями и представляют собой двумерный аналог новых периодических объемов, известных как фотонные кристаллы .

На понимание работы и применения частотно-селективных поверхностей влияет множество факторов. К ним относятся методы анализа, принципы работы, принципы проектирования, технологии изготовления и способы соединения этих конструкций в космические, наземные и воздушные платформы.

Метод Блоховской волны MOM

Волна Блоха - MoM - это метод первых принципов определения фотонной зонной структуры трехпериодических электромагнитных сред, таких как фотонные кристаллы . Он основан на методе трехмерной спектральной области, специализируется на трипериодических средах. Этот метод использует метод моментов (MoM) в сочетании с по Блоху волновым разложением электромагнитного поля для получения матричного уравнения собственных значений для полос распространения. Собственное значение — это частота (для заданной постоянной распространения), а собственный вектор — набор амплитуд тока на поверхности рассеивателей. Волна Блоха - МоМ по принципу действия аналогична методу разложения по плоским волнам , но поскольку для получения поверхностного интегрального уравнения дополнительно используется метод моментов, он значительно эффективнее как по числу неизвестных, так и по числу плоских волн. необходимо для хорошей сходимости.

Волна Блоха - MoM - это трехмерное расширение метода MoM в спектральной области, обычно используемого для анализа двумерных периодических структур, таких как частотно-селективные поверхности (FSS). В обоих случаях поле расширяется как набор мод собственных функций (либо волна Блоха в 3D, либо дискретная плоская волна - она ​​же мода Флоке - спектр в 2D), а на поверхности рассеивателей в каждом случае применяется интегральное уравнение. единичная ячейка. В случае FSS элементарная ячейка является двумерной, а в случае фотонного кристалла элементарная ячейка является трехмерной.

Уравнения поля для 3D фотонно-кристаллических структур PEC

Подход «волна Блоха – МоМ» будет проиллюстрирован здесь для случая идеально электропроводящих (PEC) структур, допускающих только источники электрического тока J . Однако его также можно легко распространить на диэлектрические структуры, используя хорошо известные внутренние и внешние эквивалентные задачи, обычно используемые в формулировках обычного метода моментов в пространственной области. В задачах с диэлектриками в два раза больше неизвестных ( J и M ), а также в два раза больше уравнений, которые необходимо обеспечить (непрерывность тангенциальных E и H ) на границах раздела диэлектриков.

Для структур ФЭП электрическое поле E связано с векторным магнитным потенциалом A известным соотношением:

$$\mathbf {E} ~=~-jk\eta \left[\mathbf {A} +{\frac {1}{k^{2}}}\nabla (\nabla \bullet \mathbf {A} )\right]$$ ( 1.1.1 )

а векторный магнитный потенциал, в свою очередь, связан с токами источника через:

$$\nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} ~=~-\mathbf {J}$$ ( 1.1.2 )

где

$$k^{2}~=~\omega ^{2}(\mu \varepsilon )$$ ( 1.1.3 )

Блоховское волновое разложение полей

Чтобы решить уравнения ( 1.1.1 ) и ( 1.1.2 ) в бесконечном периодическом объеме, мы можем предположить волновое разложение Блоха для всех токов, полей и потенциалов:

$$\mathbf {J} (x,y,z)~=~\sum _{mnp}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y+\gamma _{p}z)}$$ ( 1.2.1а )

$$\mathbf {E} (x,y,z)~=~\sum _{mnp}~\mathbf {E} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y+\gamma _{p}z)}$$ ( 1.2.1б )

$$\mathbf {A} (x,y,z)~=~\sum _{mnp}~\mathbf {A} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y+\gamma _{p}z)}$$ ( 1.2.1в )

где для простоты мы предполагаем ортогональную решетку, в которой α зависит только от m , β зависит только от n и γ зависит только от p . При этом предположении,

$$\alpha _{m}~=~k_{0}~\sin \theta _{0}~\cos \phi _{0}~+~{\frac {2m\pi }{l_{x}}}$$ ( 1.2.2а )

$$\beta _{n}~=~k_{0}~\sin \theta _{0}~\sin \phi _{0}~+~{\frac {2n\pi }{l_{y}}}$$ ( 1.2.2б )

$$\gamma _{p}~=~k_{0}~\cos \theta _{0}~+~{\frac {2p\pi }{l_{z}}}$$ ( 1.2.2в )

и,

$$k_{0}~=~2\pi /\lambda$$ ( 1.2.3 )

где l _x , l _y , l _z — размеры элементарной ячейки в направлениях x , y , z соответственно, λ — эффективная длина волны в кристалле и θ ₀ , φ ₀ — направления распространения в сферических координатах .

Величина k в уравнениях ( 1.1.1 ) и ( 1.1.2 ) исходит из производной по времени в уравнениях Максвелла и представляет собой константу распространения в свободном пространстве (фактически, константу распространения любой диэлектрической среды, в которую встроены металлические рассеиватели), пропорциональна частоте, как в уравнении ( 1.1.3 ). С другой стороны, k ₀ в приведенных выше уравнениях получается из предполагаемого волнового решения Блоха, заданного уравнениями ( 1.2.1 ) и ( 1.2.2 ). В результате она представляет собой постоянную распространения внутри периодической среды, обратно пропорциональную длине волны. Эти два k , т.е. постоянная распространения в свободном пространстве (пропорциональная частоте) и постоянная распространения волны Блоха (обратно пропорциональная длине волны), в целом различны, что допускает дисперсию в растворе. Зонная диаграмма по существу представляет собой график k зависимости от k ₀ .

Волновые разложения Блоха в уравнениях ( 1.2.1 ) представляют собой не что иное, как экспоненциальный ряд Фурье , умноженный на коэффициент распространения от ячейки к ячейке: $e^{j(\alpha _{0}x+\beta _{0}y+\gamma _{0}z)}.$ Волновые разложения Блоха выбраны потому, что любое решение поля в бесконечном периодическом объеме должно иметь ту же периодичность, что и сама среда, или, другими словами, поля в соседних ячейках должны быть идентичны с точностью до (действительного или комплексного) коэффициента распространения. В полосах пропускания коэффициент распространения представляет собой экспоненциальную функцию с чисто мнимым аргументом, а в полосах заграждения (или запрещенных зонах) это затухающая экспоненциальная функция, аргумент которой имеет действительную составляющую.

Волновые числа α ₀ , β ₀ и γ ₀ удовлетворяют соотношениям: $|\alpha _{0}|~\leq ~{\frac {\pi }{l_{x}}}~,~~~~|\beta _{0}|~\leq ~{\frac {\pi }{l_{y}}}~,~~~~|\gamma _{0}|~\leq ~{\frac {\pi }{l_{z}}}~~~~$ а за пределами этих диапазонов полосы являются периодическими.

Волны Блоха являются периодическими функциями пространства с периодами l _x , l _y , l _z , а полосы являются периодическими функциями волнового числа с периодами: ${\frac {2\pi }{l_{x}}}$, ${\frac {2\pi }{l_{y}}}$ и ${\frac {2\pi }{l_{z}}}$

Интегральное уравнение для среды ПЭК

Подстановка уравнений ( 1.2.1 ) в ( 1.1.1 ) и ( 1.1.2 ) дает функцию Гринса в спектральной области, связывающую излучаемое электрическое поле с токами его источника:

$$\mathbf {E} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})~=~{\frac {jk\eta }{k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}-\gamma _{p}^{2}}}~\mathbf {G} _{mnp}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})$$ ( 1.3.1 )

где,

$$\mathbf {G} _{mnp}~=~{\begin{pmatrix}1-{\frac {\alpha _{m}^{2}}{k^{2}}}&-{\frac {\alpha _{m}\beta _{n}}{k^{2}}}&-{\frac {\alpha _{m}\gamma _{p}}{k^{2}}}\\-{\frac {\alpha _{m}\beta _{n}}{k^{2}}}&1-{\frac {\beta _{n}^{2}}{k^{2}}}&-{\frac {\beta _{n}\gamma _{p}}{k^{2}}}\\-{\frac {\alpha _{m}\gamma _{p}}{k^{2}}}&-{\frac {\beta _{n}\gamma _{p}}{k^{2}}}&1-{\frac {\gamma _{p}^{2}}{k^{2}}}\end{pmatrix}}$$ ( 1.3.2 )

– тензорная функция Грина в спектральной области. Обратите внимание, что свертка пространственной области была преобразована в простое умножение в спектральной области, что соответствует теореме о свертке для преобразований Фурье.

С помощью этого уравнения для электрического поля граничное условие электрического поля (требующее, чтобы общее тангенциальное электрическое поле было равно нулю на поверхности рассеивателя PEC) становится:

$$\sum _{mnp}~{\frac {1}{k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}-\gamma _{p}^{2}}}~\mathbf {G} _{mnp}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y+\gamma _{p}z)}~=~\mathbf {0}$$ ( 1.3.3 )

Поскольку мы ищем характерные моды (собственные моды) структуры, на правой части этого интегрального уравнения электрического поля (EFIE) нет приложенного электронного поля. Однако уравнение ( 1.3.3 ) не является строго корректным, поскольку на поверхности рассеивателя ФЭП фактически равны нулю только тангенциальные компоненты электрического поля. Эта неточность будет устранена сейчас, когда мы проверим это уравнение с базисными функциями электрического тока, определяемыми как находящиеся на поверхности рассеивателя.

Решение методом моментов (МоМ)

Как обычно в методе моментов, токи источников теперь разлагаются в виде суммы по некоторому известному набору базисных функций с неизвестными весовыми коэффициентами J _j :

$$\mathbf {J} (x,y,z)~=~\sum _{j}~J_{j}~\mathbf {J} _{j}(x,y,z)$$ ( 1.4.1 )

Различные структуры будут иметь разные наборы базисных функций для представления токов на элементах, и, как и в обычном методе моментов в пространственной области, решение (в данном случае зонная диаграмма) является функцией набора используемых базисных функций .

Подставив ( 1.4.1 ) в ( 1.3.3 ), а затем проверив полученное уравнение с i -й текущей базисной функцией (т.е. расставив точки слева и проинтегрировав по области определения i -й текущей базисной функции, тем самым завершив квадратичная форма) дает i -ю строку матричного уравнения собственных значений для трехмерного массива рассеивателей PEC как:

$$\sum _{j}~J_{j}~\left[~\sum _{mnp}~{\frac {\mathbf {J} _{i}(-\alpha _{m},-\beta _{n},-\gamma _{p})~\mathbf {G} _{mnp}~\mathbf {J} _{j}(\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})}{k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}-\gamma _{p}^{2}}}\right]~=~\mathbf {0}$$ ( 1.4.2 )

Как и во всех формулировках МоМ, концепция реакции в электромагнетике был использован при получении этого уравнения. Граничные условия/условия непрерывности электрического поля «проверяются» (или обеспечиваются) путем интегрирования с базисными функциями электрического тока (для диэлектрических структур условия непрерывности магнитного поля дополнительно проверяются путем интегрирования с базисными функциями магнитного тока), и вот как граничные условия электрического (и магнитного) поля преобразуются в матричное уравнение методом моментов. Этот процесс полностью аналогичен тому, который используется для разложения периодической функции на ее компоненты синуса и косинуса Фурье, с той лишь разницей, что в этом случае базисные функции не обязательно ортогональны, а просто линейно независимы.

Это матричное уравнение легко реализовать, и для него требуется только вычисление трехмерного преобразования Фурье (ПФ) базисных функций, желательно в замкнутой форме. Фактически, вычисление полос 3D-фотонного кристалла с помощью этого метода не сложнее, чем вычисление отражения и пропускания от 2D- периодической поверхности с использованием метода спектральной области . Это связано с тем, что уравнение ( 1.4.2 ) идентично базовому EFIE для отдельно стоящей PEC FSS (см. частотно-селективной поверхности уравнение 1.4.2 ), единственная разница заключается в более сильной сингулярности в 3D, которая значительно ускоряет сходимость тройных сумм, и, конечно же, в том факте, что векторы теперь трехмерны. В результате обычного ПК достаточно для расчета зон многих типов фотонных кристаллов.

) очевидно Из ( 1.4.2 , что EFIE может стать сингулярным, когда волновое число в свободном пространстве точно равно одному из волновых чисел в любом из трех периодических координатных направлений. Это может произойти, например, когда длина волны в свободном пространстве точно равна шагу решетки. Это статистически редкое явление в вычислительной практике и соответствует аномалии распространения, подобной аномалии отражения Вуда для решеток.

Вычислительные группы

Для расчета полос кристалла (т.е. диаграмм k - k ₀ последовательные значения частоты ( k ) пробуются ) - в сочетании с заранее выбранными значениями постоянной распространения ( k ₀ ) и направления распространения ( θ ₀ и φ ₀ ) - до тех пор, пока не будет найдена комбинация, которая приведет определитель матрицы к нулю. Уравнение ( 1.4.2 ) использовалось для расчета зон в различных типах легированных и нелегированных фотонных кристаллов . Неудивительно, что легирование фотонных кристаллов дефектами обеспечивает средства для создания фотонных полос пропускания точно так же, как легирование полупроводников химическими примесями дает средства для создания электронных полос пропускания.

Для многих субсекционных базисных функций, например, имеющих полусинусоидальную или треугольную форму вдоль круглого провода, FT базисной функции для отрицательных волновых чисел -α, -β, -γ представляет собой комплексно-сопряженную базисную функцию FT для положительные волновые числа. В результате матрица в уравнении. ( 1.4.2 ) является эрмитовым . В результате необходимо вычислить только половину матрицы. Второй результат состоит в том, что определитель является чисто вещественной функцией действительного волнового числа k . Нули обычно возникают в местах пересечения нуля (точки перегиба, где кривизна равна нулю), поэтому простого алгоритма поиска корней, такого как метод Ньютона , обычно достаточно, чтобы найти корни с очень высокой степенью точности. Однако, если все еще может быть полезно построить график определителя как функции k , чтобы наблюдать его поведение вблизи нулей.

С точки зрения удобства вычислений, если матрица больше 2×2, гораздо эффективнее вычислить определитель либо путем приведения матрицы к верхнетреугольной форме с использованием QR-разложения , либо вычислить определитель путем приведения к ступенчатой ​​форме с использованием исключения Гаусса . вместо того, чтобы пытаться напрямую вычислить определитель матрицы.

Анализ – подходы, основанные на первых принципах

Спектральный метод моментов (обзор и математическое введение)

Фон

История

Исторически первым подходом к определению полей, отражаемых и передаваемых FSS, был метод спектральной области (SDM), и он до сих пор остается ценным инструментом [Скотт (1989)]. Метод спектральной области известен в Университете штата Огайо как периодический метод моментов (ПММ). SDM начинается с предполагаемого решения ряда Флоке/Фурье для всех полей, токов и потенциалов, тогда как PMM начинается с одного рассеивателя, затем добавляет все рассеиватели в бесконечной плоскости (в пространственной области), а затем использует преобразование для получения представления полей в спектральной области. Оба подхода по сути являются одним и тем же подходом в том смысле, что оба предполагают бесконечную плоскую структуру, которая приводит к представлению полей в виде дискретного ряда Фурье.

Преимущества и недостатки

Метод спектральной области имеет одно очень важное преимущество перед другими – строго численными – решениями уравнений Максвелла для ФСС. И дело в том, что оно дает матричное уравнение очень малой размерности, поэтому его можно решить практически на любом типе компьютера. Размер матрицы определяется количеством текущих базисных функций на каждом отдельном рассеивателе и может составлять всего 1 × 1 для диполя, находящегося в резонансе или ниже. Однако вычисление элементов матрицы занимает больше времени, чем при использовании объемных подходов, таких как FEM. Объемные подходы требуют, чтобы объем, окружающий элементарную ячейку, был точно разбит на сетку, и для точного решения могут потребоваться многие тысячи элементов, хотя матрицы обычно разрежены.

Принцип Флоке

Метод спектральной области основан на принципе Флоке, который подразумевает, что когда бесконечная плоская периодическая структура освещается бесконечной плоской волной, то каждая элементарная ячейка в периодической плоскости должна содержать точно такие же токи и поля, за исключением фазового. сдвиг, соответствующий фазе падающего поля. Этот принцип позволяет записать все токи, поля и потенциалы в виде модифицированного ряда Фурье, который состоит из обычного ряда Фурье, умноженного на фазу падающего поля. Если периодическая плоскость занимает плоскость x — y , то ряд Фурье — это двумерный ряд Фурье по x , y .

Спектр плоских волн

Как и в оптике Фурье , разложение полей и токов в ряд Флоке – Фурье в плоскости ЧСС немедленно приводит к дискретному представлению спектра плоских волн полей по обе стороны от ЧСС.

Уравнения поля для частотно-селективных поверхностей 2D PEC

Периодические поверхности с идеальной электропроводностью (ПЭП) являются не только наиболее распространенными, но и наиболее простыми для понимания математически, поскольку они допускают только источники электрического тока J . В этом разделе представлен метод спектральной области для анализа отдельно стоящего (без подложки) PEC FSS. Электрическое поле E связано с векторным магнитным потенциалом A известным соотношением (Харрингтон [2001], Скотт [1989], Скотт [1997]):

$$\mathbf {E} ~=~-jk\eta \left[\mathbf {A} +{\frac {1}{k^{2}}}\nabla (\nabla \bullet \mathbf {A} )\right]$$ ( 2.1.1 )

а векторный магнитный потенциал, в свою очередь, связан с токами источника посредством (Харрингтон [2001], Скотт [1997]):

$$\nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} ~=~-\mathbf {J}$$ ( 2.1.2 )

где

$$k^{2}~=~\omega ^{2}(\mu \varepsilon )=(2\pi /\lambda )^{2}$$ ( 2.1.3 )

Плосковолновое разложение полей в безисточниковых средах

Частотно-селективные поверхности часто расслаиваются в направлении, нормальном к плоскости поверхности. То есть все диэлектрики расслаиваются, и все металлические проводники тоже считаются стратифицированными и будут считаться совершенно плоскими. В результате мы исключаем металлические переходные отверстия (провода, перпендикулярные плоскости ФСС), которые потенциально могли бы соединять токи из разных слоев структуры ФСС. Имея в виду этот тип стратифицированной структуры, мы можем затем использовать разложение плоских волн для полей внутри и вокруг FSS, поскольку плоские волны являются решением собственных функций векторных волновых уравнений в средах без источников .

Чтобы решить уравнения ( 2.1.1 ) и ( 2.1.2 ) для отдельно стоящей двоякопериодической поверхности, мы рассматриваем бесконечную двумерную периодическую поверхность, занимающую всю плоскость xy, и предполагаем дискретное плосковолновое расширение для всех токов, полей и потенциалы (Цао [1982], Скотт [1989], Фурье-оптика ):

$$\mathbf {J} (x,y,z)~=~\sum _{mn}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y\pm \gamma _{mn}z)}$$ ( 2.2.1а )

$$\mathbf {E} (x,y,z)~=~\sum _{mn}~\mathbf {E} (\alpha _{m},\beta _{n})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y\pm \gamma _{mn}z)}$$ ( 2.2.1б )

$$\mathbf {A} (x,y,z)~=~\sum _{mn}~\mathbf {A} (\alpha _{m},\beta _{n})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y\pm \gamma _{mn}z)}$$ ( 2.2.1в )

где для математической простоты мы предполагаем прямоугольную решетку, в которой α зависит только от m , а β зависит только от n . В приведенных выше уравнениях

$$\alpha _{m}~=~k~\sin \theta _{0}~\cos \phi _{0}~+~{\frac {2m\pi }{l_{x}}}$$ ( 2.2.2а )

$$\beta _{n}~=~k~\sin \theta _{0}~\sin \phi _{0}~+~{\frac {2n\pi }{l_{y}}}$$ ( 2.2.2б )

$$\gamma _{mn}~=~{\sqrt {~k^{2}~-~\alpha _{m}^{2}~-~\beta _{n}^{2}}}$$ ( 2.2.2в )

и,

$$k~=~2\pi /\lambda$$ ( 2.2.3 )

где l _x , l _y — размеры элементарной ячейки в направлениях x , y соответственно, λ — длина волны в свободном пространстве, а θ ₀ , φ ₀ — направления предполагаемой падающей плоской волны, при этом ЧСС рассматривается как лежащая в плоскость х - у . В ( 2.2.2c ) берется корень, имеющий положительную действительную часть и неположительную (т.е. либо отрицательную, либо нулевую) мнимую часть).

Интегральное уравнение для отдельно стоящей ПЭК ФСС

Подстановка уравнений ( 2.2.1 ) в ( 2.1.1 ) и ( 2.1.2 ) дает функцию Гринса в спектральной области, связывающую излучаемое электрическое поле с токами его источника (Скотт [1989]), где мы теперь рассматриваем только те компоненты векторы поля, лежащие в плоскости ФСС, плоскости xy:

$$\mathbf {E} (\alpha _{m},\beta _{n})~=~{\frac {jk\eta }{\sqrt {k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}}}}~\mathbf {G} _{mn}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n})$$ ( 2.3.1 )

где,

$$\mathbf {G} _{mn}~=~{\begin{pmatrix}1-{\frac {\alpha _{m}^{2}}{k^{2}}}&-{\frac {\alpha _{m}\beta _{n}}{k^{2}}}\\-{\frac {\alpha _{m}\beta _{n}}{k^{2}}}&1-{\frac {\beta _{n}^{2}}{k^{2}}}\end{pmatrix}}$$ ( 2.3.2 )

В приведенном выше уравнении можно заметить сингулярность точки ветвления (сингулярность обратного квадратного корня), которая не является проблемой благодаря дискретному спектру, пока длина волны никогда не равна расстоянию между ячейками. При этом граничное условие электрического поля на поверхности материала ФЭП внутри элементарной ячейки становится (Скотт [1989]):

$$\sum _{mn}~{\frac {1}{\sqrt {k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}}}}~\mathbf {G} _{mnp}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y)}~=~-\mathbf {E} ^{inc}(x,y)$$ ( 2.3.3 )

где мы опять же ограничиваем внимание x,y-компонентами токов и полей, лежащими в плоскости рассеивателя.

Уравнение ( 2.3.3 ) не является строго корректным, поскольку на поверхности рассеивателей ФЭП фактически равны нулю только тангенциальные компоненты электрического поля. Эта неточность будет устранена сейчас, когда ( 2.3.3 ) будет проверено с текущими базисными функциями, определяемыми как находящиеся на поверхности рассеивателя.

В задачах такого типа падающее поле рассматривается как плоская волна, выражаемая как

$$\mathbf {E} ^{inc}(x,y)=~\mathbf {E} ^{inc}(\alpha _{0},\beta _{0})~e^{j(\alpha _{0}x+\beta _{0}y)}$$ ( 2.3.4 )

в плоскости ху.

Решение методом моментов (МоМ)

Как обычно в методе моментов, мы предполагаем разложение токов источника по некоторому известному набору базисных функций с неизвестными весовыми коэффициентами J _j (Скотт [1989]):

$$\mathbf {J} (x,y,z)~=~\sum _{j}~J_{j}~\mathbf {J} _{j}(x,y,z)$$ ( 2.4.1 )

Подставив ( 2.4.1 ) в ( 2.3.3 ), а затем проверив полученное уравнение с i -й текущей базисной функцией (т.е. расставив точки слева и проинтегрировав по области определения i -й текущей базисной функции, тем самым завершив квадратичная форма) дает i -ю строку матричного уравнения как (Скотт [1989]):

$$\sum _{j}~J_{j}~\left[~\sum _{mn}~{\frac {\mathbf {J} _{i}(-\alpha _{m},-\beta _{n})~\mathbf {G} _{mn}~\mathbf {J} _{j}(\alpha _{m},\beta _{n})}{\sqrt {k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}}}}\right]~=~-\mathbf {J} _{i}(-\alpha _{0},-\beta _{0})~\bullet ~\mathbf {E} ^{inc}(\alpha _{0},\beta _{0})$$ ( 2.4.2 )

Это i -я строка интегрального уравнения электрического поля (EFIE) для отдельно стоящего металлического ФСС. Уравнение ( 2.4.2 ) можно легко модифицировать для анализа FSS с окружающими диэлектрическими листами (подложками и/или суперстратами) и даже сложными многослойными структурами FSS (Скотт [1989]). Все эти матричные уравнения очень просты в реализации и требуют только вычисления двумерного преобразования Фурье (ПФ) базисных функций, желательно в замкнутой форме. Существует поразительное сходство между уравнением. ( 2.4.2 ) выше, и уравнение волны Блоха - метода МоМ . ( 2.4.2 ) для расчета диаграмм ω–β для трехпериодических электромагнитных сред, таких как фотонные кристаллы (Скотт [1998], Скотт [2002], доступно на сайте Researchgate.net). Учитывая это сходство, уравнение. ( 2.4.2 ) и его многочисленные варианты в структурах FSS с диэлектрическими слоями (Скотт [1989]) также могут быть использованы (с RHS, установленным равным нулю) для поиска поверхностных волн в сложных структурах FSS.

Базисные функции RWG (Рао-Уилтон-Глиссон) (Рао, Уилтон и Глиссон [1982]) являются очень универсальным выбором для многих целей и имеют преобразование, которое легко вычисляется с использованием координат площади .

Вычисление коэффициентов отражения и передачи

Уравнения ( 2.4.2 ) и ( 2.3.1 ) использовались для расчета электрического тока J , а затем рассеянных полей E для расчета отражения и передачи от различных типов FSS (Скотт [1989]). Отраженное поле обусловлено токами на ЧСС (поле, излучаемое ФСС), а прошедшее поле равно излучаемому полю плюс падающее поле и отличается от отраженного поля только для m = 0 , n = 0. порядок (нулевой порядок).

Или же численный метод с периодическими граничными условиями может служить мощным инструментом для расчета коэффициентов ФСС.

Эквивалентные схемы – введение

Фон

Обзор

Для длин волн, превышающих размеры решетки FSS, реально распространяется только одна – из бесконечного числа мод Флоке. Все остальные (экспоненциально затухающие в направлении z, нормальном к плоскости ЧСС, поскольку величина под корнем в ( 2.2c ) отрицательна. А для расстояний ФСС, превышающих примерно десятую часть длины волны или около того Эти затухающие волновые поля оказывают незначительное влияние на производительность стека FSS. Таким образом, для практических целей в диапазонах частот, для которых мы, вероятно, будем использовать FSS, одной распространяющейся волны будет достаточно, чтобы уловить важные свойства мультисигнала. Двухуровневый пакет FSS. Эту одиночную распространяющуюся волну можно смоделировать в терминах эквивалентной линии передачи.

Лист FSS может быть представлен в виде сетей RLC с сосредоточенными параметрами, размещенных параллельно линии передачи. Модель FSS с шунтирующим адмиттансом точна только для бесконечно тонкого FSS, для которого тангенциальное электрическое поле непрерывно поперек FSS; для FSS конечной толщины в качестве лучшего приближения можно использовать тройник или пи-сеть.

Свободное пространство как линия электропередачи

Как свободное пространство, так и линии передачи допускают решения бегущей волны TEM, и даже плоские волны TE/TM в свободном пространстве можно смоделировать с использованием эквивалентных моделей линий передачи. Главное, что как свободное пространство, так и линии передачи допускают решения бегущей волны с z-зависимостью вида: $$e^{\pm jkz}$$

Эквивалентные линии передачи можно построить следующим образом:

Для ТЕМ-волн $$Z_{0}~=~{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}$$ $$k_{0}~=~\omega {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}$$

Для волн TE $$Z_{0}~=~{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}~/~\cos \theta$$ $$k_{0}~=~\cos \theta ~\omega {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}$$

Для волн ТМ $$Z_{0}~=~{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}~\cos \theta$$ $$k_{0}~=~\cos \theta ~\omega {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}$$ где θ — угол отклонения от нормали, который образует падающая волна по отношению к ЧСС. Z ₀ для свободного места составляет 377 Ом.

Шунтирующие резонаторы и ФСС

Элементы схемы, включенные параллельно эквивалентной линии передачи, имеют некоторые общие черты с тонкими FSS. Условие непрерывности тангенциального электрического поля для тонких ЧСС отражает условие непрерывности напряжения по обе стороны от элементов шунтирующей цепи. Условие скачка магнитного поля для ЧСС отражает закон разделения тока Кирхгофа для эквивалентной схемы. Для достаточно толстых листов FSS, вероятно, потребуется более общая модель pi или тройника для хорошего приближения к реальному FSS.

Резонансные схемы могут приближенно моделировать резонансные рассеиватели.

Для всех, кроме наиболее плотно упакованных дипольных решеток (фильтры нижних частот, похожие на кирпичную кладку), понимание первого порядка работы FSS может быть достигнуто путем простого рассмотрения свойств рассеяния одного периодического элемента в свободном пространстве. Диполь или участок в свободном пространстве будет сильно отражать энергию на длинах волн, сравнимых по размеру с самим объектом, например, когда диполь имеет длину 1/2 длины волны. Для частот ниже этого первого резонанса (и для частот между первым и вторым резонансами) объект будет отражать мало энергии. Таким образом, это явление резонанса, наблюдаемое с диполями и патчами, естественным образом приводит к идее моделирования их как резонансного контура, подключенного параллельно линии передачи - в этом случае элемент представляет собой последовательное соединение конденсатора и катушки индуктивности, что создает отражающее короткое замыкание. контур в резонансе. Этот тип структуры будет известен как полосовой или полосовой заграждающий фильтр. Полосовые фильтры могут быть построены с использованием апертур в проводящих плоскостях, которые моделируются как шунтирующий элемент, состоящий из параллельного соединения катушки индуктивности и конденсатора.

Одномерные линейные решетки можно моделировать как шунтирующие индукторы (для поляризации, параллельной линиям) или шунтирующие конденсаторы (для поляризации, перпендикулярной линиям). Плотно упакованные дипольные массивы представляют собой структуры нижних частот, которые можно моделировать с помощью шунтирующих конденсаторов.

Значения R,L,C резонансного контура должны определяться на основе анализа основных принципов.

Точная топология схемы и значения элементов эквивалентной схемы для листа FSS должны определяться с использованием кодов первых принципов. Лист FSS с полосовой сеткой представляет собой параллельное соединение L,C, а лист FSS с полосовой полосой представляет собой последовательное соединение L,C, и в обоих случаях значения L,C определяются на основе центральной частоты и полосы пропускания фильтр.

Свойства отражения и передачи полосовых и заграждающих ЧСС и эквивалентных схем – введение

Эквивалентные модели схем линии передачи для FSS возникли в результате наблюдения, что FSS обеспечивает свойства отражения и передачи, которые очень похожи на свойства отражения и передачи катушек индуктивности и конденсаторов, размещенных параллельно поперек линии передачи.

Эквивалентная схема полосового фильтра FSS и характеристика отражения

Рис. 2.4.1-1. Полоса пропускания FSS (слева) и полосовая полоса FSS (справа)

Рис. 2.4.1-2. Эквивалентная схема для полосовой заградительной системы FSS патч-типа

Два основных типа ФСС показаны на рис. 2.4.1-1 справа — полосовая ФСС сетчатого типа и полосовая ФСС патч-типа ( оптические фильтры с металлической сеткой ). Эквивалентная схема полосовой заградительной ФСС показана на рис. 2.4.1-2. Импеданс последовательного соединения катушки индуктивности и конденсатора составляет (Desoer, Kuh [1984]): $$Z_{\text{shunt}}~=~j\omega L~+~{\frac {1}{j\omega C}}$$ или, $$Z_{\text{shunt}}~=~{\frac {1-\omega ^{2}LC}{j\omega C}}$$ и это последовательное соединение катушки индуктивности и конденсатора создает состояние нулевого импеданса (короткое замыкание), когда $$\omega _{0}^{2}~=~{\frac {1}{LC}}$$

В условиях короткого замыкания вся падающая энергия отражается, и это эквивалентная схема резонансного патч-полосового фильтра.

Величина коэффициента отражения равна: $$|R|={\frac {\omega CZ_{0}}{\sqrt {\omega ^{2}C^{2}Z_{0}^{2}~+~4~(1~-~\omega ^{2}LC)^{2}}}}$$ где Z ₀ – характеристическое сопротивление линии передачи.

Частоты для верхней и нижней точек 3 дБ даны как решение уравнения: $$\omega _{1,2}^{2}~=~{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}~-~4ac}}}{2a}}$$ где, $$a~=~(LC)^{2}$$ $$b~=~-(C^{2}Z_{0}^{2}~/~4~+~2LC)$$ $$c~=~1$$

Таким образом, если центральная частота и ширина резонанса определяются из кодов первых принципов, L, C эквивалентной схемы можно легко получить путем подгонки отклика на отражение эквивалентного резонансного контура к отклику на отражение фактического FSS: и таким образом легко извлекаются параметры схемы L,C. Как только это будет сделано, мы сможем использовать эквивалентную модель схемы для проектирования многоуровневой FSS. Любые близлежащие диэлектрики должны быть включены в эквивалентную схему.

Для малых значений ω импеданс катушки индуктивности jωL меньше, чем импеданс конденсатора 1/jωC, поэтому конденсатор доминирует над шунтирующим импедансом, и поэтому полосовая заграждающая полоса FSS патч-типа является емкостной ниже резонанса. Мы воспользуемся этим фактом в разделе 2.3.1 для разработки фильтра нижних частот FSS с использованием эквивалентных схем.

Эквивалентная схема полосового фильтра ФСС и характеристика передачи

Рис. 2.4.2-1. Эквивалентная схема для полосовой ФСС сетчатого типа

Эквивалентная схема для полосовой ЧСС сетчатого типа показана на фиг. 2.4.2-1. Допуск параллельного соединения катушки индуктивности и конденсатора составляет (Desoer, Kuh [1984]): $$Y_{\text{shunt}}~=~{\frac {1-\omega ^{2}LC}{j\omega L}}$$ и эта проводимость равна нулю (состояние разомкнутой цепи), когда $$\omega _{0}^{2}~=~{\frac {1}{LC}}$$

Когда параллельная комбинация индуктора и конденсатора создает разомкнутую цепь, вся энергия передается.

Аналогично, величина коэффициента пропускания полосового фильтра равна: $$|T|={\frac {2\omega L/Z_{0}}{\sqrt {4\omega ^{2}L^{2}/Z_{0}^{2}~+~(1~-~\omega ^{2}LC)^{2}}}}$$

Ниже резонанса проводимость дросселя 1/jωL больше, чем проводимость конденсатора jωC, поэтому полосовая полоса пропускания FSS сетчатого типа является индуктивной ниже резонанса.

Сравнение отклика эквивалентной схемы и фактического отклика FSS

Рис. 2.4.3-1. Приближение эквивалентной схемы для заграждения FSS скрещенного диполя

На рис. 2.4.3-1 показано сравнение отражения однослойного скрещенного диполя FSS и его эквивалентной схемы. Эквивалентная схема представляет собой последовательное соединение конденсатора и катушки индуктивности, расположенных параллельно поперек линии передачи, как показано на рис. 2.4.1-2. Этот резонатор создает состояние короткого замыкания при резонансе. Подгонка очень хорошая ниже резонанса, но не такая хорошая выше.

Реальная ЧСС имеет нулевое отражение на частоте 18,7 ГГц (частота, на которой длина волны равна размеру элементарной ячейки 0,630 дюйма), что не учитывается в модели эквивалентной схемы. Ноль известен как аномалия Вуда и вызван сингулярностью обратного квадратного корня в функции Грина в спектральной области ( 3.1 ), стремящейся к бесконечности. Физически это представляет собой однородную плоскую волну, распространяющуюся в плоскости ФСС. В пространственной области когерентное суммирование всех функций Грина в пространственной области. функция становится бесконечной, так что любой конечный ток создает бесконечное поле на поверхности ФСС. В результате все токи должны быть равны нулю при этом условии.

Этот пример иллюстрирует полезность и недостатки простой модели эквивалентной схемы. Эквивалентная схема включает только функции, относящиеся к отдельному рассеивающему элементу, а не функции, связанные с периодической решеткой, такие как взаимодействие между рассеивателями.

Двойственность ФСС против двойственности схемы

Двойственность ФСС

Если FSS сетчатого типа создается из FSS патч-типа таким образом, что металлические части первого заменены апертурными частями последнего, то два FSS называются двойственными друг другу. Дуальность строго применяется только тогда, когда диэлектрические подложки отсутствуют, поэтому на практике она соблюдается лишь приблизительно, хотя даже при наличии диэлектрических подложек двойственность может быть полезна при проектировании FSS. В качестве примечания, патологические шаблоны FSS, такие как FSS в виде шахматной доски, можно рассматривать как предел участка и сетки, поскольку размер участка (и апертуры) приближается к размеру элементарной ячейки, при этом электрические связи сетки сохраняются в пределе. Для двойной FSS коэффициент отражения патча будет равен коэффициенту передачи сетки.

Двойственность схемы

Двойную схему полосового фильтра можно получить, просто приравняв коэффициент отражения полосовой заграждающей системы FSS к коэффициенту передачи полосовой FSS, чтобы получить (если мы используем L ₁ , C ₁ для полосовой заградительной полосы FSS и L ₂ , C ₂ для полосовая сетка FSS): $$L_{2}~=~C_{1}~{\frac {Z_{0}^{2}}{4}}$$ $$C_{2}~=~L_{1}~{\frac {4}{Z_{0}^{2}}}$$

Это создает полосовую схему (с параметрами L ₂ , C ₂ ), которая является двойственной полосовой схеме (с параметрами L ₁ , C ₁ ).

Эквивалентные схемы ФСС – приложения к проектированию ФСС

После определения эквивалентной схемы линии передачи проектирование многоуровневой ФСС становится намного проще и интуитивно понятнее, как анализ и проектирование обычного фильтра. Теперь, хотя проектирование многослойных структур FSS, безусловно, возможно с использованием кодов основных принципов и обобщенных матриц рассеяния (GSM), гораздо проще, быстрее и интуитивно понятнее использовать модели эквивалентных схем для проектирования FSS, поскольку можно использовать десятилетия ' стоит провести исследования по анализу и проектированию электрических фильтров и применить их к конструкциям FSS. А фильтры FSS спроектировать даже проще, чем волноводные фильтры, поскольку угол падения не меняется в зависимости от частоты.

Конструкция фильтра нижних частот Баттерворта с использованием эквивалентных схем FSS

Рис. 3.1.1-1. Фильтр Баттерворта: прототип лестничной сети нижних частот

Отправная точка: прототип сосредоточенного L , C. фильтра Баттерворта

В качестве примера использования эквивалентных схем FSS для быстрого и эффективного проектирования практического фильтра мы можем набросать процесс, которому следует следовать при разработке 5-ступенчатого фильтра Баттерворта (Хантер [2001], Маттеи [1964]), используя пакет из 5 частотно-селективных поверхностей с 4 воздушными прокладками между листами FSS.

Прототип лестничной схемы L,C нижних частот показан на рис. 3.1.1-1 (Hunter [2001]). Частота среза будет масштабирована до 7 ГГц, а сопротивление фильтра будет согласовано с сопротивлением 377 Ом (импеданс свободного пространства) на входной и выходной сторонах. Идея, которой мы будем следовать, заключается в том, что шунтирующие конденсаторы в конечном итоге будут заменены субрезонансными (емкостными) листами FSS патч-типа, а последовательные индукторы будут заменены воздушными прокладками между пятью слоями FSS. Короткие линии передачи примерно эквивалентны последовательным индукторам.

Рис. 3.1.2-1. Отклик передачи масштабированного фильтра Баттерворта.

Отклик передачи прототипа сосредоточенного L , C фильтра

Амплитуда передачи и фазовая характеристика масштабированного L,C-фильтра Баттерворта показаны на рис. 3.1.2-1. Величина передачи плоская в полосе пропускания (ниже частоты среза 7 ГГц) и имеет монотонно уменьшающуюся юбку на высокочастотной стороне полосы пропускания. Фаза фильтра является линейной во всей полосе пропускания 7 ГГц, что делает этот фильтр идеальным выбором для применения в качестве фильтра с линейной фазой, например, при разработке сверхширокополосного фильтра, который аппроксимирует линию передачи с истинной временной задержкой. Это базовый L,C-фильтр с сосредоточенными параметрами, который станет отправной точкой для разработки нашего 5-слойного фильтра FSS Баттерворта.

Теперь мы начинаем процесс преобразования прототипа сосредоточенного L,C-фильтра Баттерворта в эквивалентный фильтр Баттерворта FSS. Для получения соответствующего фильтра FSS потребуются две модификации базового L,C-фильтра с сосредоточенными параметрами. Сначала последовательные индукторы будут заменены эквивалентными им участками линии передачи, а затем шунтирующие конденсаторы будут заменены емкостными частотно-селективными поверхностями.

Рис. 3.1.3-1. Прокладки между конденсаторами (слои FSS).

Первая трансформация: замена последовательных индукторов прокладками для линий электропередачи.

На этом этапе разработки последовательные индукторы в прототипе лестничной сети L,C теперь будут заменены субполуволновыми воздушными прокладками (которые мы будем моделировать как линии передачи) между слоями FSS. Толщину воздушных прокладок можно определить, как показано на рис. 3.1.3-1, на котором мы сравниваем матрицу ABCD последовательного индуктора с матрицей ABCD короткой линии передачи (Рамо [1994]), чтобы получить правильную длину линии передачи между шунтирующими конденсаторами (субрезонансными слоями FSS), чтобы получить отклик фильтра Баттерворта. Хорошо известно, что последовательный индуктор представляет собой приблизительную модель короткой линии электропередачи с сосредоточенными параметрами, и мы воспользуемся этой эквивалентностью для определения необходимой толщины воздушных прокладок.

Теперь, когда толщина воздушных прокладок между листами определена, эквивалентная схема принимает вид, показанный на рис. 3.1.4-1:

Рис. 3.1.4-1. Линейный фильтр Баттерворта.

Второе преобразование: заменить шунтирующие конденсаторы на емкостные патчи FSS ниже резонанса.

Теперь единственное, что осталось сделать, это найти FSS нижних частот, который дает значения шунтирующей емкости, показанные на рис. 2.3.1-4. Обычно это делается методом проб и ошибок. Установка шунтирующего конденсатора на реальный FSS осуществляется путем повторного запуска кода основных принципов для согласования отклика на отражение шунтирующего конденсатора с отражением от емкостного FSS. FSS патч-типа ниже резонанса создаст эквивалентную схему емкостного шунта с более плотной упаковкой элементов в листе FSS, что приведет к более высоким значениям шунтирующей емкости в эквивалентной схеме.

Изготовление

Обычно FSS изготавливаются путем химического травления медного диэлектрического листа, который может состоять из тефлона (ε = 2,1), каптона (ε = 3,1), стекловолокна (ε-4,5) или различных форм дуроида (ε = 6,0, 10,2). ). Толщина листа может варьироваться от нескольких тысячных долей дюйма до 20–40 тысяч.

Приложения

Область применения FSS варьируется от обыденных (микроволновые печи) до передовых технологий, включающих активные и реконфигурируемые структуры, такие как «умные скины».

Антенны

Мы нашли это

ЭМ поглотители

Камуфляж

Для мультиспектрального камуфляжа , такого как Saab Barracuda , можно использовать FSS, чтобы обеспечить проникновение определенных частот, поэтому связь и GPS не блокируются.

См. также

• Фурье-оптика
• Фотонный кристалл
• Метаматериал
• Брэгговская дифракция
• Дифракционная решетка
• Волна Блоха

Ссылки

• Харрингтон, Роджер (2001), Электромагнитные поля, гармонические во времени , Джон Уайли, ISBN  978-0-471-20806-8
• Хантер, Ян, Теория и конструкция микроволновых фильтров (IEE: 2001).
• Маттеи, Джордж Л.; Янг, Лео и Джонс, ЕМТ, микроволновые фильтры, сети согласования импедансов и структуры связи , McGraw-Hill, 1964}.
• Мунк, Бенедикт (2000), Частотно-селективные поверхности: теория и проектирование , Джон Уайли, ISBN  978-0-471-37047-5
• Рамо, С.; Уиннери Дж. Р. и Ван Дузер Т., Поля и волны в коммуникационной электронике , Wiley, 1994, 978-0471585510}.
• Рао, С.М.; Уилтон, Дональд; Глиссон, Аллен (1982), Электромагнитное рассеяние на поверхностях произвольной формы , IEEE Trans. Антенны Пропагат.
• В. Май и др ., DGTD на основе призмы с упрощенным периодическим граничным условием для анализа FSS с симметрией D2n в прямоугольной решетке при нормальном падении , в IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters . дои: 10.1109/LAWP.2019.2902340
• Скотт, Крейг (1989), Метод спектральной области в электромагнетике , Artech House, ISBN  0-89006-349-4
• Скотт, Крейг (1997), Введение в оптику и оптическое изображение , IEEE Press, Bibcode : 1998iooi.book.....S , ISBN  978-0780334403
• Скотт, Крейг (1998), Анализ, проектирование и тестирование интегрированных структурных обтекателей, построенных с использованием структур с фотонной запрещенной зоной.
• Скотт, Крейг (2002), Анализ спектральных доменов легированных электромагнитных кристаллических обтекателей с использованием метода моментов
• Цао, Чич-Синг; Миттра, Радж (1982), «Спектральный итерационный подход для анализа рассеяния на частотно-селективных поверхностях», IEEE Transactions on Antennas and Progation , 30 (2), IEEE Trans. Антенны Пропагат. Том. АП-30, № 2, март 1982 г.: 303–308, Бибкод : 1982ITAP...30..303T , doi : 10.1109/TAP.1982.1142779
• Харрингтон, Роджер Ф. (1961), Электромагнитные поля, гармонические во времени , серия McGraw-Hill по электротехнике и электронике, McGraw-Hill, стр. 106–118, hdl : 2027/mdp.39015002091489
• Кастнер, Рафаэль (1987), «О сингулярности полноспектральной диады Грина», IEEE Transactions on Antennas and Propagation , 35 (11), IEEE Trans. по антеннам и распространению, вып. АП-35, № 11, стр. 1303–1305: 1303, Bibcode : 1987ITAP...35.1303K , doi : 10.1109/TAP.1987.1144016
• Рамси, В.Х. (1954), Концепция реакции в электромагнитной теории