Теория существования Пеано

В математике , особенно при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений , теорема существования Пеано , теорема Пеано или теорема Коши-Пеано , названная в честь Джузеппе Пеано и Огюстена-Луи Коши , является фундаментальной теоремой , которая гарантирует существование решений некоторых задач с начальными значениями. .

История

Пеано впервые опубликовал теорему в 1886 году с неверным доказательством. В 1890 году он опубликовал новое правильное доказательство с использованием последовательных приближений.

Теорема

Позволять $D$ быть открытым подмножеством $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ с $f\colon D\to \mathbb {R}$ непрерывная функция и $y'(x)=f\left(x,y(x)\right)$ непрерывное определенное явное , то дифференциальное уравнение первого порядка, на D каждая начальная задача $y\left(x_{0}\right)=y_{0}$ для f с $(x_{0},y_{0})\in D$ имеет локальное решение $z\colon I\to \mathbb {R}$ где $I$ это район ​ $x_{0}$ в $\mathbb {R}$, такой, что $z'(x)=f\left(x,z(x)\right)$ для всех $x\in I$.

Решение не обязательно должно быть уникальным: одно и то же начальное значение $(x_{0},y_{0})$ может привести к появлению множества различных решений $z$.

Доказательство

Заменив $y$ с $y-y_{0}$, $x$ с $x-x_{0}$, мы можем предположить $x_{0}=y_{0}=0$. Как $D$ открыт, есть прямоугольник $R=[-x_{1},x_{1}]\times [-y_{1},y_{1}]\subset D$.

Потому что $R$ компактен и $f$ непрерывно, мы имеем $\textstyle \sup _{R}|f|\leq C<\infty$ и по теореме Стоуна–Вейерштрасса существует последовательность липшицевых функций $f_{k}:R\to \mathbb {R}$ сходящуюся равномерно к $f$ в $R$. Не ограничивая общности, будем считать $\textstyle \sup _{R}|f_{k}|\leq 2C$ для всех $k$.

Мы определяем итерации Пикара $y_{k,n}:I=[-x_{2},x_{2}]\to \mathbb {R}$ следующим образом, где $x_{2}=\min\{x_{1},y_{1}/(2C)\}$. $y_{k,0}(x)\equiv 0$, и $\textstyle y_{k,n+1}(x)=\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k,n}(x'))\,\mathrm {d} x'$. Они хорошо определяются по индукции: как

${\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x)|&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',y_{k,n}(x'))|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq \textstyle |x|\sup _{R}|f_{k}|\\&\leq x_{2}\cdot 2C\leq y_{1},\end{aligned}}$

$(x',y_{k,n+1}(x'))$ находится в пределах домена $f_{k}$.

У нас есть

${\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x)-y_{k,n}(x)|&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',y_{k,n}(x'))-f_{k}(x',y_{k,n-1}(x'))|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq \textstyle L_{k}\left|\int _{0}^{x}|y_{k,n}(x')-y_{k,n-1}(x')|\,\mathrm {d} x'\right|,\end{aligned}}$

где $L_{k}$ константа Липшица $f_{k}$. Таким образом, для максимальной разницы $\textstyle M_{k,n}(x)=\sup _{x'\in [0,x]}|y_{k,n+1}(x')-y_{k,n}(x')|$, у нас есть граница $\textstyle M_{k,n}(x)\leq L_{k}\left|\int _{0}^{x}M_{k,n-1}(x')\,\mathrm {d} x'\right|$, и

${\begin{aligned}M_{k,0}(x)&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',0)|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq |x|\textstyle \sup _{R}|f_{k}|\leq 2C|x|.\end{aligned}}$

По индукции отсюда следует оценка $M_{k,n}(x)\leq 2CL_{k}^{n}|x|^{n+1}/(n+1)!$ который стремится к нулю, так как $n\to \infty$ для всех $x\in I$.

Функции $y_{k,n}$ равнонепрерывны , поскольку $-x_{2}\leq x<x'\leq x_{2}$ у нас есть

${\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x')-y_{k,n+1}(x)|&\leq \textstyle \int _{x}^{x'}|f_{k}(x'',y_{k,n}(x''))|\,\mathrm {d} x''\\&\textstyle \leq |x'-x|\sup _{R}|f_{k}|\leq 2C|x'-x|,\end{aligned}}$

поэтому по теореме Арсела-Асколи они относительно компактны . В частности, для каждого $k$ есть подпоследовательность $(y_{k,\varphi _{k}(n)})_{n\in \mathbb {N} }$ сходящуюся равномерно к непрерывной функции $y_{k}:I\to \mathbb {R}$. Принимая лимит $n\to \infty$ в

${\begin{aligned}\textstyle \left|y_{k,\varphi _{k}(n)}(x)-\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k,\varphi _{k}(n)}(x'))\,\mathrm {d} x'\right|&=|y_{k,\varphi _{k}(n)}(x)-y_{k,\varphi _{k}(n)+1}(x)|\\&\leq M_{k,\varphi _{k}(n)}(x_{2})\end{aligned}}$

мы заключаем, что $\textstyle y_{k}(x)=\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k}(x'))\,\mathrm {d} x'$. Функции $y_{k}$ находятся в замыкании относительно компактного множества, поэтому они сами относительно компактны. Таким образом, существует подпоследовательность $y_{\psi (k)}$ сходящуюся равномерно к непрерывной функции $z:I\to \mathbb {R}$. Принимая лимит $k\to \infty$ в $\textstyle y_{\psi (k)}(x)=\int _{0}^{x}f_{\psi (k)}(x',y_{\psi (k)}(x'))\,\mathrm {d} x'$ мы заключаем, что $\textstyle z(x)=\int _{0}^{x}f(x',z(x'))\,\mathrm {d} x'$, используя тот факт, что $f_{\psi (k)}$ равнонепрерывны по теореме Арсела–Асколи. По основной теореме исчисления , $z'(x)=f(x,z(x))$ в $I$.

Связанные теоремы

Теорему Пеано можно сравнить с другим результатом существования в том же контексте — теоремой Пикара–Линделёфа . Теорема Пикара–Линделёфа одновременно предполагает больше и делает больше выводов. Она требует липшицевой непрерывности , тогда как теорема Пеано требует только непрерывности; но он доказывает как существование, так и единственность, тогда как теорема Пеано доказывает только существование решений. Для иллюстрации рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

$y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}$ в домене $\left[0,1\right].$

Согласно теореме Пеано, это уравнение имеет решения, но теорема Пикара – Линделёфа неприменима, поскольку правая часть не является липшицевой в любой окрестности, содержащей 0. Таким образом, мы можем сделать вывод о существовании, но не единственности. Оказывается, что это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет два типа решений, начиная с $y(0)=0$, или $y(x)=0$ или $y(x)=x^{2}/4$. Переход между $y=0$ и $y=(x-C)^{2}/4$ может случиться в любой момент $C$.

представляет Теорема существования Каратеодори собой обобщение теоремы существования Пеано с более слабыми условиями, чем непрерывность.

Теорему существования Пеано нельзя напрямую распространить на общее гильбертово пространство. ${\mathcal {H}}$: для открытого подмножества $D$ из $\mathbb {R} \times {\mathcal {H}}$, непрерывность $f\colon D\to \mathbb {R}$ одного этого недостаточно, чтобы гарантировать существование решений соответствующей задачи начального значения.

Ссылки

• Осгуд, В. Ф. (1898). «Доказательство существования решения дифференциального уравнения dy/dx = f(x, y) без добавления условия Коши-Липшица» . Ежемесячные журналы по математике . 9 :331-345. дои : 10.1007/BF01707876 . S2CID   122312261 .
• Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл .
• Мюррей, Фрэнсис Дж.; Миллер, Кеннет С. (1976) [1954]. Теоремы существования обыкновенных дифференциальных уравнений (Переиздание). Нью-Йорк: Кригер.
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .