Обыкновенное дифференциальное уравнение

Траектория выпущенного снаряда, следует из пушки, кривой, определяемой обыкновенным дифференциальным уравнением, полученным из второго закона Ньютона.

В математике обыкновенное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) — это дифференциальное уравнение (ДУ), зависящее только от одной независимой переменной . Как и в других DE, его неизвестное(я) состоит из одной (или нескольких) функций и включает в себя производные этих функций. Термин «обычный» используется в отличие от частных уравнений в производных (ЧДУ), которые могут относиться к более чем одной независимой переменной. и, реже, в отличие от стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), где прогрессия случайна.

Дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, которое определяется линейным многочленом от неизвестной функции и ее производных, то есть уравнение вида

$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,$

где ⁠ $a_{0}(x)$⁠ , ..., ⁠ $a_{n}(x)$⁠ и ⁠ $b(x)$⁠ — произвольные дифференцируемые функции , которые не обязательно должны быть линейными, а ⁠ $y',\ldots ,y^{(n)}$⁠ — последовательные производные неизвестной функции y переменной x .

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений линейные дифференциальные уравнения играют заметную роль по нескольким причинам. Большинство элементарных и специальных функций, встречающихся в физике и прикладной математике, являются решениями линейных дифференциальных уравнений (см. Голономная функция ). Когда физические явления моделируются с помощью нелинейных уравнений, для упрощения решения они обычно аппроксимируются линейными дифференциальными уравнениями. Несколько нелинейных ОДУ, которые можно решить явно, обычно решаются путем преобразования уравнения в эквивалентное линейное ОДУ (см., например, уравнение Риккати ).

Некоторые ОДУ могут быть решены явно с использованием известных функций и интегралов . Когда это невозможно, может оказаться полезным уравнение для вычисления ряда Тейлора решений. Для прикладных задач численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений могут обеспечить приближение решения.

Фон

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) возникают во многих контекстах математики , социальных и естественных наук . Математические описания изменений используют дифференциалы и производные. Различные дифференциалы, производные и функции связываются посредством уравнений, так что дифференциальное уравнение является результатом, описывающим динамически изменяющиеся явления, эволюцию и вариации. Часто величины определяются как скорость изменения других величин (например, производных перемещения по времени) или как градиенты величин, и именно так они входят в дифференциальные уравнения.

Конкретные математические области включают геометрию и аналитическую механику . Научные области включают большую часть физики и астрономии (небесная механика), метеорологии (моделирование погоды), химии (скорость реакций), биология (инфекционные заболевания, генетическая изменчивость), экология и популяционное моделирование (популяционная конкуренция), экономика (ценовые тенденции, процентные ставки и изменения рыночных равновесных цен).

Многие математики изучали дифференциальные уравнения и внесли свой вклад в эту область, в том числе Ньютон , Лейбниц , семья Бернулли , Риккати , Клеро , Даламбер и Эйлер .

Простым примером является второй закон движения Ньютона : связь между смещением x и временем t объекта под действием силы F определяется дифференциальным уравнением

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,$

которое ограничивает движение частицы постоянной массы m . В общем, F является функцией положения x ( t ) частицы в момент времени t . Неизвестная функция x ( t ) появляется в обеих частях дифференциального уравнения и обозначается обозначением F ( x ( t )).

Определения

Далее y — зависимая переменная, представляющая неизвестную функцию y = f ( x ) независимой переменной x . Обозначения для дифференцирования различаются в зависимости от автора и от того, какое обозначение наиболее полезно для поставленной задачи. В этом контексте обозначения Лейбница ( ⁠ dy / dx ⁠ , ⁠ d ² г / дх ² ⁠ , …, ⁠ d ^н г / дх ^н ⁠ ) ​​более полезна для дифференцирования и интегрирования , тогда как обозначение Лагранжа ( y ′, y ”, …, y ^{( н )} ) более полезен для компактного представления производных более высокого порядка , а обозначения Ньютона $({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})$ часто используется в физике для представления производных низкого порядка по времени.

Общее определение

Смотрите также: Порядок дифференциального уравнения

Учитывая F , функцию x , y и производных y . Тогда уравнение вида

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

называется явным обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n .

В более общем смысле неявное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n принимает форму:

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0$

Существуют и другие классификации:

Автономный

Дифференциальное уравнение автономно , если оно не зависит от переменной x .

Линейный

Дифференциальное уравнение является линейным , если $F$ можно записать как линейную комбинацию производных y ; то есть его можно переписать как

$y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)$

где a   _i   ( x ) и r ( x ) являются непрерывными функциями x . Функция r ( x ) называется исходным термином , что приводит к дальнейшей классификации.

Однородный

Линейное дифференциальное уравнение является однородным , если r ( x ) = 0 . В этом случае всегда существует « тривиальное решение » y = 0 .

Неоднородный (или неоднородный)

Линейное дифференциальное уравнение неоднородно , если р ( Икс ) ≠ 0 .

Нелинейный

Дифференциальное уравнение, которое не является линейным.

Система ОДУ

Основная статья: Система дифференциальных уравнений

Ряд связанных дифференциальных уравнений образуют систему уравнений. Если y — вектор, элементы которого являются функциями; y ( x ) = [ y ₁ ( x ), y ₂ ( x ),..., y _m ( x )], а F — вектор-функция от y и ее производных, тогда

$\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)$

является явной системой обыкновенных дифференциальных порядка n уравнений и размерности m . В форме вектора-столбца :

${\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}$

Они не обязательно линейны. Неявный аналог :

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}$

где 0 = (0, 0, ..., 0) — нулевой вектор . В матричной форме

${\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

Для системы вида $\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}$, некоторые источники также требуют, чтобы матрица Якобиана ${\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}$ быть неособым , чтобы называть это неявной ОДУ [системой]; неявная система ОДУ, удовлетворяющая этому условию несингулярности Якобиана, может быть преобразована в явную систему ОДУ. В тех же источниках неявные системы ОДУ с сингулярным якобианом называются дифференциальными алгебраическими уравнениями (ДАУ). Это различие не просто терминологическое; ДАУ имеют принципиально разные характеристики и, как правило, требуют больше усилий для решения, чем (несингулярные) системы ОДУ. По этой схеме, по-видимому, для дополнительных производных матрица Гессе и т.п. также считается неособой: хотя обратите внимание, что любое ОДУ порядка больше единицы может быть (и обычно так и происходит) переписано как система ОДУ первого порядка , что делает критерий сингулярности Якобиана достаточным для того, чтобы эта таксономия была всеобъемлющей во всех порядках.

Поведение системы ОДУ можно визуализировать с помощью фазового портрета .

Решения

Учитывая дифференциальное уравнение

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0$

функция u : I ⊂ R → R , где I — интервал, называется решением или интегральной кривой для F , если n u - раз дифференцируема на I , и

$F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.$

Учитывая два решения u : J ⊂ R → R и v : I ⊂ R → R , u называется расширением v , если I ⊂ J и

$u(x)=v(x)\quad x\in I.\,$

Решение, не имеющее расширения, называется максимальным решением . Решение, определенное на всем R, называется глобальным решением .

Общим решением уравнения n- го порядка является решение, содержащее n произвольных независимых констант интегрирования . Частное решение получается из общего решения путем присвоения константам определенных значений, часто выбираемых для выполнения набора « начальных или граничных условий ». Сингулярное решение — это решение, которое невозможно получить, присваивая произвольным константам общего решения определенные значения.

В контексте линейного ОДУ терминологическое частное решение может также относиться к любому решению ОДУ (не обязательно удовлетворяющему начальным условиям), которое затем добавляется к однородному решению (общему решению однородного ОДУ), которое затем образует общее решение исходного ОДУ. Эта терминология используется в разделе метода угадывания в этой статье и часто используется при обсуждении метода неопределенных коэффициентов и вариации параметров .

Решения конечной длительности

Для нелинейных автономных ОДУ при некоторых условиях возможно разработать решения конечной длительности: Здесь это означает, что в силу своей собственной динамики система достигнет нулевого значения в конечный момент времени и после этого останется в этом нулевом значении навсегда. Эти решения конечной длительности не могут быть аналитическими функциями на всей действительной прямой, и поскольку они будут нелипшицевыми функциями в момент окончания, они не включены в теорему единственности решений липшицевых дифференциальных уравнений.

Например, уравнение:

$y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1$

Допускает решение конечной длительности:

$y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}$

Теории

Сингулярные решения

Теория сингулярных решений обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных была предметом исследований еще со времен Лейбница, но только с середины XIX века ей стало уделяться особое внимание. Ценной, но малоизвестной работой по этой теме является работа Хаутэна (1854 г.). Дарбу (с 1873 г.) был лидером в теории, и в геометрической интерпретации этих решений он открыл область, над которой работали различные авторы, особенно Казорати и Кэли . Последнему обязана (1872 г.) теория сингулярных решений дифференциальных уравнений первого порядка, принятая около 1900 г.

Приведение к квадратурам

Примитивная попытка обращения с дифференциальными уравнениями имела в виду сведение к квадратурам . Как алгебраисты восемнадцатого века надеялись найти метод решения общего уравнения n -й степени, так и аналитики надеялись найти общий метод интегрирования любого дифференциального уравнения. Гаусс (1799) показал, однако, что для сложных дифференциальных уравнений требуются комплексные числа . Следовательно, аналитики начали заменять изучение функций, открывая тем самым новое и плодородное поле. Коши был первым, кто оценил важность этой точки зрения. После этого реальный вопрос заключался уже не в том, возможно ли решение с помощью известных функций или их интегралов, а в том, достаточно ли данного дифференциального уравнения для определения функции независимой переменной или переменных, и если да, то каковы характерные свойства.

Фуксова теория

Основная статья: метод Фробениуса

Два мемуара Фукса вдохновил новый подход, впоследствии разработанный Томе и Фробениусом . Колле внес выдающийся вклад, начиная с 1869 года. Его метод интегрирования нелинейной системы был передан Бертрану в 1868 году. Клебш (1873) атаковал теорию в направлении, параллельном тем, которые были в его теории абелевых интегралов . Поскольку последние можно классифицировать по свойствам фундаментальной кривой, остающейся неизменной при рациональном преобразовании, Клебш предложил классифицировать трансцендентные функции, определяемые дифференциальными уравнениями, по инвариантным свойствам соответствующих поверхностей f = 0 при рациональном одно-к -одно преобразование.

Теория лжи

Начиная с 1870 года, работы Софуса Ли положили теорию дифференциальных уравнений на лучшую основу. Он показал, что теории интеграции старых математиков можно, используя группы Ли , отнести к общему источнику и что обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие одни и те же бесконечно малые преобразования, представляют сопоставимые трудности интеграции. Он также остановился на теме трансформаций контакта .

Групповая теория дифференциальных уравнений Ли была сертифицирована, а именно: (1) она объединяет многие специальные методы, известные для решения дифференциальных уравнений, и (2) что она обеспечивает новые мощные способы поиска решений. Теория имеет приложения как к обыкновенным уравнениям, так и к уравнениям в частных производных.

Общий подход к решению использует свойство симметрии дифференциальных уравнений, непрерывные бесконечно малые преобразования решений в решения ( теория Ли ). Непрерывная теория групп , алгебры Ли и дифференциальная геометрия используются для понимания структуры линейных и нелинейных (частных) дифференциальных уравнений, для генерации интегрируемых уравнений, для нахождения их пар Лакса , операторов рекурсии, преобразования Беклунда и, наконец, для нахождения точных аналитических решений. в ДЭ.

Методы симметрии применялись к дифференциальным уравнениям, возникающим в математике, физике, технике и других дисциплинах.

Теория Штурма – Лиувилля

Основная статья: теория Штурма – Лиувилля

Теория Штурма–Лиувилля — это теория особого типа линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Их решения основаны на собственных значениях и соответствующих собственных функциях второго порядка линейных операторов, определенных с помощью однородных линейных уравнений . Проблемы идентифицируются как проблемы Штурма – Лиувилля (SLP) и названы в честь Дж. К. Ф. Штурма и Дж. Лиувилля , которые изучали их в середине 1800-х годов. SLP имеют бесконечное количество собственных значений, а соответствующие собственные функции образуют полный ортогональный набор, что делает возможным ортогональные разложения. Это ключевая идея в прикладной математике, физике и технике. SLP также полезны при анализе некоторых уравнений в частных производных.

Существование и единственность решений

Существует несколько теорем, которые устанавливают существование и единственность решений начальных задач с участием ОДУ как локально, так и глобально. Две основные теоремы:

Теорема	Предположение	Заключение
Теорема существования Пеано	F непрерывный	только локальное существование
Теорема Пикара – Линделёфа	F Липшиц непрерывный	локальное существование и уникальность

условия неравенства Грёнвалля В своей базовой форме обе эти теоремы гарантируют только локальные результаты, хотя последняя может быть расширена для получения глобального результата, например, если выполняются .

Кроме того, теоремы единственности, подобные теореме Липшица, приведенной выше, не применимы к системам ДАУ , которые могут иметь несколько решений, вытекающих только из их (нелинейной) алгебраической части.

Упрощенная теорема локального существования и единственности

Теорему можно сформулировать просто следующим образом. Для уравнения и задачи начального значения: $$y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})$$если F и ∂ F /∂ y непрерывны в замкнутом прямоугольнике $$R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]$$в плоскости xy , где a и b вещественные ∈ (символически: a , b , R ) и × обозначает декартово произведение квадратные скобки обозначают замкнутые интервалы , то существует интервал $$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]$$для некоторого h ∈ R , где . можно найти решение приведенного выше уравнения и начальной задачи То есть решение есть и оно единственное. Поскольку не существует ограничений на линейность F , это применимо к нелинейным уравнениям, которые принимают форму F ( x , y ), а также может быть применено к системам уравнений.

Глобальная уникальность и максимальная область решения

Когда условия теоремы Пикара – Линделёфа удовлетворены, локальное существование и уникальность могут быть расширены до глобального результата. Точнее:

Для каждого начального условия ( x ₀ , y ₀ ) существует уникальный максимальный (возможно, бесконечный) открытый интервал.

$I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }$

такое, что любое решение, удовлетворяющее этому начальному условию, является ограничением решения, удовлетворяющего этому начальному условию, областью определения $I_{\max }$.

В случае, если $x_{\pm }\neq \pm \infty$, есть ровно две возможности

• взрыв за конечное время: $\limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty$
• покидает область определения: $\lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}$

где Ω — открытое множество, в котором F , и определено $\partial {\bar {\Omega }}$ является его границей.

Обратите внимание, что максимальная область определения решения

• всегда является интервалом (чтобы иметь уникальность)
• может быть меньше, чем $\mathbb {R}$
• может зависеть от конкретного выбора ( x ₀ , y ₀ ).

Пример.

$y'=y^{2}$

Это означает, что F ( x, y ) = y ² , то есть С ¹ и, следовательно, локально липшицева непрерывна, удовлетворяя теореме Пикара–Линделёфа.

Даже в такой простой ситуации максимальная область решения не может охватывать все $\mathbb {R}$ поскольку решение

$y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}$

который имеет максимальный домен:

${\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}$

Это ясно показывает, что максимальный интервал может зависеть от начальных условий. Область определения y можно рассматривать как $\mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),$ но это привело бы к области, которая не является интервалом, так что сторона, противоположная начальному условию, была бы отключена от начального условия и, следовательно, не определялась бы им однозначно.

Максимальный домен не $\mathbb {R}$ потому что

$\lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,$

что является одним из двух возможных случаев согласно приведенной выше теореме.

Сокращение порядка

Дифференциальные уравнения обычно легче решать, если порядок уравнения можно уменьшить.

Приведение к системе первого порядка

Любое явное дифференциальное уравнение порядка n ,

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

можно записать как систему n дифференциальных уравнений первого порядка, определив новое семейство неизвестных функций

$y_{i}=y^{(i-1)}.\!$

для i = 1, 2, ..., n . -мерная система Тогда n связанных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид

${\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}$

более компактно в векторной записи:

$\mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )$

где

$\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).$

Сводка точных решений

Некоторые дифференциальные уравнения имеют решения, которые можно записать в точной и замкнутой форме. Здесь приведены несколько важных классов.

В таблице ниже P ( x ) , Q ( x ) , P ( y ) , Q ( y ) и M ( x , y ) , N ( x , y ) — любые интегрируемые функции от x , y ; b и c — действительные заданные константы; C ₁ , C ₂ , ... — произвольные константы ( комплексные вообще говоря, ). Дифференциальные уравнения находятся в их эквивалентных и альтернативных формах, которые приводят к решению путем интегрирования.

В интегральных решениях λ и ε — фиктивные переменные интегрирования (континуальные аналоги индексов при суммировании ), а обозначение ∫ ^х F ( λ ) dλ просто означает интегрирование F ( λ ) по λ , затем после интегрирования замените λ = x , без добавления констант (явно указано).

Разделимые уравнения

Дифференциальное уравнение	Метод решения	Общее решение
Первый порядок, разделимый по x и y (общий случай, частные случаи см. ниже) ${\begin{aligned}P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy&=0\end{aligned}}$	Разделение переменных (деление на P 2 Q 1 ).	$\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C$
первого порядка, сепарабельный по x ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(x)\\dy&=F(x)\,dx\end{aligned}}$	Прямая интеграция.	$y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C$
Первого порядка, автономный, сепарабельный по y ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(y)\\dy&=F(y)\,dx\end{aligned}}$	Разделение переменных (деление на F ).	$x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C$
Первого порядка, разделимые по x и y ${\begin{aligned}P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)&=0\\P(y)\,dy+Q(x)\,dx&=0\end{aligned}}$	Интегрируйте во всем.	$\int ^{y}P(\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C$

Общие уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение	Метод решения	Общее решение
Первый порядок, однородный ${\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)$	Установите y = ux , затем решите путем разделения переменных u и x .	$\ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}$
Сепарабельный первого порядка ${\begin{aligned}yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy&=0\end{aligned}}$	Разделение переменных (деление на xy ).	$\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}$ Если N = M , решение xy = C. —
Точный дифференциал первого порядка ${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}$ где ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$	Интегрируйте во всем.	${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\&=\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}$ где $$Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda$$ и $$X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda$$
Неточный дифференциал первого порядка ${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}$ где ${\frac {\partial M}{\partial y}}\neq {\frac {\partial N}{\partial x}}$	Коэффициент интегрирования µ ( x , y ), удовлетворяющий ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial y}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial x}}$	Если µ ( x , y ) можно найти подходящим способом, то ${\begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\=&\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}$ где $$Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda$$и $$X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda$$

Общие уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение	Метод решения	Общее решение
второго порядка, автономный ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)$	Умножьте обе части уравнения на 2 dy / dx и подставьте $2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$, затем проинтегрируем дважды.	$x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}}}+C_{2}$

Линейные n -го порядка уравнениям

Дифференциальное уравнение	Метод решения	Общее решение
Линейные неоднородные функциональные коэффициенты первого порядка ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$	Интегрирующий фактор: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }.$	Формула брони: $y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda +C\right]$
Линейные неоднородные функциональные коэффициенты второго порядка ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2p(x){\frac {dy}{dx}}+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=q(x)$	Интегрирующий фактор: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$	$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}\left(\int ^{\xi }e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda \right)d\xi +C_{1}x+C_{2}\right]$
Второй порядок, линейные, неоднородные, постоянные коэффициенты ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)$	Дополнительная функция y c : предположим, что y c = e α х , подставьте и решите полином от α, чтобы найти линейно независимые функции $e^{\alpha _{j}x}$. Частный интеграл y p : в общем метод изменения параметров , хотя для очень простого r ( x ) проверка может сработать.	$y=y_{c}+y_{p}$ Если б 2 > 4 с , тогда $y_{c}=C_{1}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}+C_{2}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b-{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}$ Если б 2 = 4 с , тогда $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}$ Если б 2 < 4 с , тогда $y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)\right]$
n -го порядка, линейные, неоднородные, постоянные коэффициенты $\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)$	Дополнительная функция y c : предположим, что y c = e α х , подставьте и решите полином от α, чтобы найти линейно независимые функции $e^{\alpha _{j}x}$. Частный интеграл y p : в общем метод изменения параметров , хотя для очень простого r ( x ) проверка может сработать.	$y=y_{c}+y_{p}$ Поскольку α j решениями многочлена степени n являются : ${\textstyle \prod _{j=1}^{n}(\alpha -\alpha _{j})=0}$, затем:для α j все разные, $$y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}$$для каждого корня α j, повторенного k j раз, $$y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{j,\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}$$для некоторого комплекса α j , затем полагая α = χ j ​​+ iγ j и используя формулу Эйлера , можно записать некоторые члены в предыдущих результатах в виде $$C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\varphi _{j})$$где φj . — произвольная константа (фазовый сдвиг)

Метод угадывания

Основная статья: Метод неопределенных коэффициентов

Когда все другие методы решения ОДУ терпят неудачу или в тех случаях, когда у нас есть некоторая интуиция относительно того, как может выглядеть решение ДУ, иногда можно решить ДУ, просто угадав решение и проверив его правильность. Чтобы использовать этот метод, мы просто угадываем решение дифференциального уравнения, а затем подставляем это решение в дифференциальное уравнение, чтобы проверить, удовлетворяет ли оно уравнению. Если да, то у нас есть конкретное решение DE, в противном случае мы начинаем заново и пробуем еще одно предположение. Например, мы могли бы догадаться, что решение ДУ имеет вид: $y=Ae^{\alpha t}$ поскольку это очень распространенное решение, которое физически ведет себя синусоидально.

В случае неоднородного ОДУ первого порядка нам нужно сначала найти решение однородной части ДУ, иначе известное как связанное однородное уравнение, а затем найти решение всего неоднородного уравнения, угадывая . Наконец, мы сложим оба этих решения вместе, чтобы получить общее решение ОДУ, а именно:

${\text{general solution}}={\text{general solution of the associated homogeneous equation}}+{\text{particular solution}}$

Программное обеспечение для решения ОДУ

• Maxima с открытым исходным кодом — система компьютерной алгебры .
• COPASI , бесплатный ( Artistic License 2.0 ) пакет программного обеспечения для интеграции и анализа ODE.
• MATLAB , приложение для технических вычислений (MATrix LABoratory)
• GNU Octave — язык высокого уровня, в первую очередь предназначенный для числовых вычислений.
• Scilab — приложение с открытым исходным кодом для численных вычислений.
• Maple — фирменное приложение для символьных вычислений.
• Mathematica — проприетарное приложение, предназначенное в первую очередь для символьных вычислений.
• SymPy , пакет Python, который может символически решать ОДУ.
• Julia (язык программирования) — язык высокого уровня, в первую очередь предназначенный для числовых вычислений.
• SageMath — приложение с открытым исходным кодом, использующее синтаксис, подобный Python, с широким спектром возможностей, охватывающим несколько областей математики.
• SciPy — пакет Python, включающий модуль интеграции ODE.
• Chebfun — пакет с открытым исходным кодом, написанный на MATLAB , для вычислений с функциями с точностью до 15 разрядов.
• GNU R , вычислительная среда с открытым исходным кодом, в первую очередь предназначенная для статистики, которая включает пакеты для решения ОДУ.

См. также

• Краевая задача
• Примеры дифференциальных уравнений
• Преобразование Лапласа, примененное к дифференциальным уравнениям
• Список тем динамических систем и дифференциальных уравнений
• Матричное дифференциальное уравнение
• Метод неопределенных коэффициентов
• Рекуррентное отношение

Ссылки

• Холлидей, Дэвид ; Резник, Роберт (1977), Физика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-71716-9
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN  0-13-487538-9
• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-50728-8 .
• Полянин А.Д. и В.Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание), Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN   1-58488-297-2
• Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями , Нью-Йорк: McGraw-Hill , LCCN   75173716
• Типлер, Пол А. (1991), Физика для ученых и инженеров: расширенная версия (3-е изд.), Нью-Йорк: Worth Publishers , ISBN  0-87901-432-6
• Боскейн, Уго; Читур, Ясин (2011), Введение в автоматизацию (PDF) (на французском языке)
• Дреснер, Лоуренс (1999), Приложения теории Ли для обыкновенных и дифференциальных уравнений в частных производных , Бристоль и Филадельфия: Издательство Института физики , ISBN  978-0750305303
• Ашер, Ури; Петцольд, Линда (1998), Компьютерные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений , SIAM, ISBN  978-1-61197-139-2

Библиография

• Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл .
• Хартман, Филип (2002) [1964], Обыкновенные дифференциальные уравнения , Классика прикладной математики, том. 38, Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики , номер номера : 10.1137/1.9780898719222 , ISBN.  978-0-89871-510-1 , г-н   1929104
• У. Джонсон, Трактат об обыкновенных дифференциальных уравнениях и уравнениях в частных производных , Джон Уайли и сыновья, 1913, в коллекции исторической математики Мичиганского университета.
• Инс, Эдвард Л. (1944) [1926], Обыкновенные дифференциальные уравнения , Dover Publications, Нью-Йорк, ISBN  978-0-486-60349-0 , МР   0010757
• Витольд Гуревич , Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям , Dover Publications, ISBN   0-486-49510-8
• Ибрагимов, Наиль Х. (1993). Справочник CRC по групповому анализу дифференциальных уравнений Vol. 1-3 . Провиденс: ЦРК-Пресс. ISBN  0-8493-4488-3 . .
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .
• А.Д. Полянин , В.Ф. Зайцев, А. Муссио, Справочник по уравнениям в частных производных первого порядка , Taylor & Francisco, Лондон, 2002. ISBN   0-415-27267-X
• Д. Цвиллингер, Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е издание) , Academic Press, Бостон, 1997.

Внешние ссылки

• «Дифференциальное уравнение, обыкновенное» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• EqWorld: Мир математических уравнений , содержащий список обыкновенных дифференциальных уравнений с их решениями.
• Интернет-заметки/Дифференциальные уравнения Пола Докинза, Университет Ламара .
• Дифференциальные уравнения , SOS-математика.
• Учебник по аналитическому решению дифференциальных уравнений от Института целостных численных методов Университета Южной Флориды.
• «Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы» Конспект лекций Джеральда Тешля .
• Заметки о Diffy Qs: Дифференциальные уравнения для инженеров Вводный учебник по дифференциальным уравнениям Иржи Лебла из UIUC .
• Моделирование с помощью ODE с использованием Scilab Учебное пособие по моделированию физической системы, описываемой ODE, с использованием стандартного языка программирования Scilab от команды Openeering.
• Решение обыкновенного дифференциального уравнения в Wolfram|Alpha