Интегрирующий фактор

В математике интегрирующий коэффициент — это функция , которая выбирается для облегчения решения данного уравнения, содержащего дифференциалы . Он обычно используется для решения обычных дифференциальных уравнений , но также используется в исчислении многих переменных , когда умножение на интегрирующий коэффициент позволяет неточный дифференциал превратить в точный дифференциал (который затем можно проинтегрировать для получения скалярного поля ). Это особенно полезно в термодинамике , где температура становится интегрирующим фактором, который превращает энтропию в точный дифференциал.

Использовать

Интегрирующим коэффициентом является любое выражение, на которое умножается дифференциальное уравнение для облегчения интегрирования. Например, нелинейное уравнение второго порядка

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}

признает ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ как интегрирующий фактор:

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.

Чтобы интегрировать, обратите внимание, что обе части уравнения могут быть выражены как производные, если вернуться назад с помощью цепного правила :

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).

Поэтому,

\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.

где $C_{0}$ является константой.

Эта форма может быть более полезной в зависимости от приложения. Выполнение разделения переменных даст

\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t

Это неявное решение, включающее неэлементарный интеграл . Этот же метод используется для определения периода простого маятника .

Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Интегрирующие коэффициенты полезны для решения обыкновенных дифференциальных уравнений , которые можно выразить в виде

y'+P(x)y=Q(x)

Основная идея состоит в том, чтобы найти некоторую функцию, скажем $M(x)$ , называемый «интегрирующим коэффициентом», который мы можем умножить на наше дифференциальное уравнение, чтобы привести левую часть к общей производной. Для канонического линейного дифференциального уравнения первого порядка , показанного выше, интегрирующий коэффициент равен $e^{\int P(x)\,dx}$ .

Обратите внимание, что нет необходимости включать в интеграл произвольную константу или абсолютные значения, если интеграл $P(x)$ включает в себя логарифм. Во-первых, для решения уравнения нам нужен только один интегрирующий множитель, а не все возможные; во-вторых, такие константы и абсолютные значения будут сокращаться, даже если они будут включены. Для абсолютных значений это можно увидеть, написав $|f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)$ , где $\operatorname {sgn}$ относится к знаковой функции , которая будет постоянной на интервале, если $f(x)$ является непрерывным. Как $\ln |f(x)|$ не определено, когда $f(x)=0$ , а логарифм в первообразной появляется только в том случае, если исходная функция включала логарифм или обратную величину (ни один из которых не определен для 0), такой интервал будет интервалом применимости нашего решения.

Чтобы получить это, пусть $M(x)$ — интегрирующий множитель линейного дифференциального уравнения первого порядка такого, что умножение на $M(x)$ преобразует неинтегрируемое выражение в интегрируемую производную, тогда:

$M(x){\underset {\text{non-integrable expression}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}$
$M(x)y'+M(x)P(x)y$
$\underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{integrable derivative}}$

Для перехода от шага 2 к шагу 3 необходимо, чтобы $M(x)P(x)=M'(x)$ , которое является разделимым дифференциальным уравнением , решение которого дает $M(x)$ с точки зрения $P(x)$ :

$M(x)P(x)=M'(x)$
$P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}$
$\int P(x)\,dx=\ln M(x)+c$
$M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}$

Для проверки умножаем на $M(x)$ дает

M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)

Применяя правило произведения в обратном порядке, мы видим, что левую часть можно выразить как одну производную в $x$

M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)

Мы используем этот факт, чтобы упростить наше выражение до

{\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)

Интеграция обеих сторон в отношении $x$

Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx

e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C

где $C$ является константой.

Переместив экспоненту в правую часть, общее решение обыкновенного дифференциального уравнения будет:

y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}

В случае однородного дифференциального уравнения $Q(x)=0$ а общее решение обыкновенного дифференциального уравнения:

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

.

например, рассмотрим дифференциальное уравнение

y'-{\frac {2y}{x}}=0.

Мы видим, что в этом случае $P(x)={\frac {-2}{x}}$

M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}

M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}

M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.

Умножив обе части на $M(x)$ мы получаем

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0

Приведенное выше уравнение можно переписать как

{\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0

Интегрируя обе части по x, получаем

x^{-2}y=C

или

y=Cx^{2}

Того же результата можно добиться, используя следующий подход

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0

{\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0

{\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0

{\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.

Обращение правила частного дает

\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0

или

{\frac {y}{x^{2}}}=C,

или

y=Cx^{2}.

где $C$ является константой.

Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Метод интегрирующих множителей для уравнений первого порядка естественно распространить и на уравнения второго порядка. Основной целью при решении уравнений первого порядка было нахождение интегрирующего множителя $M(x)$ такое, что умножение $y'+p(x)y=h(x)$ по этому это даст $(M(x)y)'=M(x)h(x)$ , после чего последующее интегрирование и деление на $M(x)$ даст $y$ . Для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, если мы хотим $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ действовать как интегрирующий фактор, тогда

(M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)

Это означает, что уравнение второго порядка должно иметь точно такой вид: $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ чтобы можно было использовать интегрирующий коэффициент.

Пример 1

Например, дифференциальное уравнение

y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0

можно решить именно с помощью интегрирующих факторов. Соответствующий $p(x)$ можно сделать вывод, исследуя $y'$ срок. В этом случае, $2p(x)=2x$ , так $p(x)=x$ . После изучения $y$ термин, мы видим, что у нас действительно есть $p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1$ , поэтому мы умножим все члены на интегрирующий коэффициент $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ . Это дает нам

e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0

который можно переставить, чтобы дать

\left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0

Двойное интегрирование дает

e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}

Деление на интегрирующий коэффициент дает:

y={\frac {c_{1}x+c_{2}}{e^{x^{2}/2}}}

Пример 2

Несколько менее очевидное применение интегрирующих коэффициентов второго порядка включает следующее дифференциальное уравнение:

y''+2\cot(x)y'-y=1

На первый взгляд, это явно не тот вид, который необходим для интегрирующих факторов второго порядка. У нас есть $2p(x)$ срок перед $y'$ но нет $p(x)^{2}+p'(x)$ перед $y$ . Однако,

p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)

и из пифагорейского тождества, касающегося котангенса и косеканса,

\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1

поэтому у нас действительно есть необходимый термин перед $y$ и может использовать интегрирующие факторы.

e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)

Умножив каждое слагаемое на $\sin(x)$ дает

\sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)

какая перестановка

(\sin(x)y)''=\sin(x)

Двойное интегрирование дает

\sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}

Наконец, деление на интегрирующий коэффициент дает

y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1

Решение линейных дифференциальных уравнений n-го порядка

Интегрирующие коэффициенты можно распространить на любой порядок, хотя форма уравнения, необходимая для их применения, становится все более конкретной по мере увеличения порядка, что делает их менее полезными для порядков 3 и выше. Общая идея состоит в том, чтобы дифференцировать функцию $M(x)y$ $n$ раз для $n$ дифференциальное уравнение го-го порядка и объединить подобные члены. Это даст уравнение в виде

M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)

Если $n$ уравнение го порядка соответствует виду $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ это получается после дифференцирования $n$ раз можно умножить все члены на интегрирующий коэффициент и проинтегрировать $h(x)M(x)$ $n$ раз, разделив на интегрирующий коэффициент с обеих сторон, чтобы получить окончательный результат.