Равномерно выпуклое пространство

В математике равномерно выпуклые пространства (или равномерно округлые пространства ) являются распространенными примерами рефлексивных банаховых пространств . Понятие равномерной выпуклости было впервые введено Джеймсом Кларксоном в 1936 году.

Определение

— Равномерно выпуклое пространство это нормированное векторное пространство такое, что для любого $0<\varepsilon \leq 2$ есть некоторые $\delta >0$ такая, что для любых двух векторов с $\|x\|=1$ и $\|y\|=1,$ состояние

$\|x-y\|\geq \varepsilon$

подразумевает, что:

$\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta .$

Интуитивно понятно, что центр отрезка внутри единичного шара должен лежать глубоко внутри единичного шара, если только сегмент не короткий.

Характеристики

• единичную сферу можно заменить замкнутым единичным шаром В определении . А именно, нормированное векторное пространство $X$ равномерно выпукла тогда и только тогда, когда для любого $0<\varepsilon \leq 2$ есть некоторые $\delta >0$ так что для любых двух векторов $x$ и $y$ в замкнутом единичном шаре (т.е. $\|x\|\leq 1$ и $\|y\|\leq 1$) с $\|x-y\|\geq \varepsilon$, у одного есть $\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta$ (обратите внимание, что, учитывая $\varepsilon$, соответствующее значение $\delta$ может быть меньше, чем то, которое предусмотрено исходным более слабым определением).

показывать Доказательство

The "if" part is trivial. Conversely, assume now that $X$ is uniformly convex and that $x,y$ are as in the statement, for some fixed $0<\varepsilon \leq 2$. Let $\delta _{1}\leq 1$ be the value of $\delta$ corresponding to ${\frac {\varepsilon }{3}}$ in the definition of uniform convexity. We will show that $\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta$, with $\delta =\min \left\{{\frac {\varepsilon }{6}},{\frac {\delta _{1}}{3}}\right\}$. If $\|x\|\leq 1-2\delta$ then $\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq {\frac {1}{2}}(1-2\delta )+{\frac {1}{2}}=1-\delta$ and the claim is proved. A similar argument applies for the case $\|y\|\leq 1-2\delta$, so we can assume that $1-2\delta <\|x\|,\|y\|\leq 1$. In this case, since $\delta \leq {\frac {1}{3}}$, both vectors are nonzero, so we can let $x'={\frac {x}{\|x\|}}$ and $y'={\frac {y}{\|y\|}}$. We have $\|x'-x\|=1-\|x\|\leq 2\delta$ and similarly $\|y'-y\|\leq 2\delta$, so $x'$ and $y'$ belong to the unit sphere and have distance $\|x'-y'\|\geq \|x-y\|-4\delta \geq \varepsilon -{\frac {4\varepsilon }{6}}={\frac {\varepsilon }{3}}$. Hence, by our choice of $\delta _{1}$, we have $\left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|\leq 1-\delta _{1}$. It follows that $\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq \left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|+{\frac {\|x'-x\|+\|y'-y\|}{2}}\leq 1-\delta _{1}+2\delta \leq 1-{\frac {\delta _{1}}{3}}\leq 1-\delta$ and the claim is proved.

• Теорема Милмана-Петтиса что каждое равномерно выпуклое банахово пространство рефлексивно утверждает , , а обратное неверно.
• Всякое равномерно выпуклое банахово пространство является пространством Радона–Рисса , т. е. если $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность в равномерно выпуклом банаховом пространстве, слабо сходящаяся к $f$ и удовлетворяет $\|f_{n}\|\to \|f\|,$ затем $f_{n}$ сильно сходится к $f$, то есть, $\|f_{n}-f\|\to 0$.
• Банахово пространство $X$ равномерно выпукла тогда и только тогда, когда она двойственна $X^{*}$ является равномерно гладким .
• Всякое равномерно выпуклое пространство строго выпукло . Интуитивно, строгая выпуклость означает более сильное неравенство треугольника $\|x+y\|<\|x\|+\|y\|$ в любое время $x,y$ линейно независимы, а равномерная выпуклость требует, чтобы это неравенство выполнялось равномерно.

Примеры

• Каждое пространство внутреннего произведения равномерно выпукло.
• Каждое замкнутое подпространство равномерно выпуклого банахова пространства равномерно выпукло.
• Из неравенств Кларксона следует, что L ^п пространства $(1<p<\infty )$ равномерно выпуклые.
• Наоборот, $L^{\infty }$ не является равномерно выпуклым.

См. также

• Модуль и характеристика выпуклости
• Равномерно выпуклая функция
• Равномерно гладкое пространство

Ссылки

Общие ссылки

• Кларксон, Дж. А. (1936). «Равномерно выпуклые пространства» . Пер. амер. Математика. Соц . 40 (3). Американское математическое общество: 396–414. дои : 10.2307/1989630 . JSTOR   1989630 . .
• Ханнер, О. (1956). «О равномерной выпуклости $L^{p}$ и $l^{p}$" . Ark. Mat . 3 : 239–244. doi : 10.1007/BF02589410 . .
• Бозами, Бернар (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN  0-444-86416-4 .
• Пер Энфло (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Израильский математический журнал . 13 (3–4): 281–288. дои : 10.1007/BF02762802 .
• Линденштраусс, Иорам и Беньямини, Йоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ . Публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.