Конформная карта

Чтобы узнать о других значениях, см. Конформный (значения) .

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой. $f$ (нижний). Видно, что $f$ отображает пары линий, пересекающихся под углом 90°, в пары кривых, все еще пересекающихся под углом 90°.

В математике конформное отображение — это функция , которая локально сохраняет углы , но не обязательно длины.

Более формально, пусть $U$ и $V$ быть открытыми подмножествами $\mathbb {R} ^{n}$. Функция $f:U\to V$ называется конформным (или сохраняющим угол ) в точке $u_{0}\in U$ если он сохраняет углы между направленными кривыми через $u_{0}$, а также сохранение ориентации. Конформные карты сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну .

Конформное свойство может быть описано в терминах Якобиана матрицы производных координатного преобразования . Преобразование является конформным, если якобиан в каждой точке является положительным скаляром, умноженным на матрицу вращения ( ортогональную определителю). Некоторые авторы определяют конформность как включающую в себя отображения, меняющие ориентацию, якобианы которых можно записать как любое скалярное произведение на любую ортогональную матрицу.

Для двумерных отображений конформные отображения (сохраняющие ориентацию) представляют собой в точности локально обратимые комплексные аналитические функции. В трехмерных и более высоких измерениях теорема Лиувилля резко ограничивает конформные отображения несколькими типами.

Понятие конформности естественным образом обобщается на отображения между римановыми или полуримановыми многообразиями .

В двух измерениях

Если $U$ является открытым подмножеством комплексной плоскости $\mathbb {C}$, то функция $f:U\to \mathbb {C}$ конформен тогда и только тогда, когда он голоморфен и его производная всюду отлична от нуля на $U$. Если $f$ антиголоморфен . ( сопряжен голоморфной функции), сохраняет углы, но меняет их ориентацию

В литературе существует другое определение конформности: отображение $f$ взаимно однозначный и голоморфный на открытом множестве на плоскости. Теорема об открытом отображении заставляет обратную функцию (определенную на образе $f$) быть голоморфным. Таким образом, согласно этому определению, отображение конформно тогда и только тогда, когда оно биголоморфно. Два определения конформных отображений не эквивалентны. Взаимность и голоморфность подразумевают наличие ненулевой производной. Фактически, мы имеем следующее соотношение, теорему об обратной функции :

$(f^{-1}(z_{0}))'={\frac {1}{f'(z_{0})}}$

где $z_{0}\in \mathbb {C}$. Однако показательная функция является голоморфной функцией с ненулевой производной, но не является взаимно однозначной, поскольку она периодична.

Теорема Римана об отображении , один из глубоких результатов комплексного анализа , утверждает, что любое непустое открытое односвязное собственное подмножество $\mathbb {C}$ допускает биективное конформное отображение в открытый единичный круг в $\mathbb {C}$. Неформально это означает, что любую каплю можно преобразовать в идеальный круг с помощью некоторого конформного отображения.

Глобальные конформные отображения на сфере Римана.

Отображение сферы Римана на себя конформно тогда и только тогда, когда оно является преобразованием Мёбиуса .

Комплексно-сопряженное преобразование Мёбиуса сохраняет углы, но меняет ориентацию. Например, инверсия круга .

Конформность по трем типам углов.

В плоской геометрии существует три типа углов, которые могут сохраняться на конформном отображении. Каждое из них содержит свою собственную действительную алгебру, обычные комплексные числа , расщепляемые комплексные числа и двойственные числа . В каждом случае конформные отображения описываются дробно-линейными преобразованиями .

В трёх и более измерениях

Риманова геометрия

Смотрите также: Конформная геометрия

В римановой геометрии две римановы метрики $g$ и $h$ на гладком многообразии $M$ называются конформно эквивалентными, если $g=uh$ для некоторой положительной функции $u$ на $M$. Функция $u$ называется конформным фактором .

Диффеоморфизм если между двумя римановыми многообразиями называется конформным отображением, восстановленная метрика конформно эквивалентна исходной. Например, стереографическая проекция сферы является на плоскость , дополненная бесконечной точкой, конформной картой.

Можно также определить конформную структуру на гладком многообразии как класс конформно эквивалентных римановых метрик .

Евклидово пространство

Жозефа Классическая теорема Лиувилля показывает , что в более высоких измерениях конформных отображений гораздо меньше, чем в двухмерных. Любое конформное отображение открытого подмножества евклидова пространства в то же евклидово пространство размерности три или больше может быть составлено из трех типов преобразований: гомотетии , изометрии и специального конформного преобразования . Для линейных преобразований конформное отображение может состоять только из гомотетии и изометрии и называется конформным линейным преобразованием .

Приложения

Существуют приложения конформного отображения.в аэрокосмической технике, в биомедицинских науках (включая картирование мозга и генетическое картирование ),по прикладной математике(для геодезии и по геометрии ),в науках о Земле(в том числе геофизика, география, и картография), в инженерном деле, и в электронике.

Картография

Основная статья: Конформная картографическая проекция

В картографии несколько названных картографических проекций , в том числе проекция Меркатора и стереографическая проекция конформными являются . Сохранение направлений компаса делает их полезными в морской навигации.

Физика и инженерия

Конформные отображения имеют неоценимое значение для решения задач в технике и физике, которые могут быть выражены через функции комплексной переменной, но имеют неудобную геометрию. Выбрав подходящее отображение, аналитик может превратить неудобную геометрию в гораздо более удобную. Например, можно пожелать вычислить электрическое поле, $E(z)$, возникающий из-за точечного заряда, расположенного вблизи угла двух проводящих плоскостей, разделенных некоторым углом (где $z$ — комплексная координата точки в 2-мерном пространстве). Эту задачу как таковую довольно сложно решить в закрытом виде. Однако, используя очень простое конформное отображение, неудобный угол отображается в один из точно $\pi$ радиан, что означает, что угол двух плоскостей преобразуется в прямую линию. В этой новой области задача (расчет электрического поля, создаваемого точечным зарядом, расположенным вблизи проводящей стенки) решается довольно легко. Решение получено в этой области, $E(w)$, а затем сопоставили обратно с исходным доменом, отметив, что $w$ как функция т.е. состав ( была получена $E$ и $w$) из $z$, откуда $E(w)$ можно рассматривать как $E(w(z))$, который является функцией $z$, исходный базис координат. Обратите внимание, что это приложение не противоречит тому факту, что конформные отображения сохраняют углы, они сохраняют углы только для точек внутри своей области, а не на границе. Другой пример — применение метода конформного отображения для решения краевой задачи о выплескивании жидкости в резервуарах.

Если функция гармоническая (т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа $\nabla ^{2}f=0$) в плоской области (которая является двумерной) и преобразуется посредством конформного отображения в другую плоскую область, преобразование также является гармоническим. По этой причине любая функция, определяемая потенциалом, может быть преобразована с помощью конформного отображения и при этом оставаться управляемой потенциалом. Примеры в физике уравнений, определяемых потенциалом, включают электромагнитное поле , гравитационное поле и, в гидродинамике , потенциальный поток , который является приближением к потоку жидкости, предполагая постоянную плотность , нулевую вязкость и безвихревой поток . Одним из примеров гидродинамического применения конформной карты является преобразование Жуковского , которое можно использовать для исследования поля обтекания профиля Жуковского.

Конформные отображения также полезны при решении нелинейных уравнений в частных производных в некоторых конкретных геометриях. Такие аналитические решения обеспечивают полезную проверку точности численного моделирования основного уравнения. Например, в случае очень вязкого обтекания свободной поверхности полубесконечной стенки область можно отобразить в полуплоскости, в которой решение является одномерным и его легко вычислить.

Для дискретных систем Нури и Янг представили способ преобразования корневого годографа дискретных систем в непрерывный корневой годограф с помощью хорошо известного конформного отображения в геометрии (так называемого инверсионного отображения ).

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла сохраняются преобразованиями Лоренца , которые образуют группу, включающую круговые и гиперболические вращения . Последние иногда называют повышением Лоренца, чтобы отличить их от круговых вращений. Все эти преобразования конформны, поскольку гиперболические вращения сохраняют гиперболический угол (называемый быстротой ), а другие вращения сохраняют круговой угол . Введение сдвигов в группе Пуанкаре снова сохраняет углы.

Большую группу конформных отображений для связи решений уравнений Максвелла определили Эбенезер Каннингем (1908) и Гарри Бейтман (1910). Обучение в Кембриджском университете дало им навыки метода заряда изображения и связанных с ним методов изображения сфер и инверсии. Как рассказывает Эндрю Уорвик (2003) «Мастера теории» :

Каждое четырехмерное решение можно инвертировать в четырехмерную гиперсферу псевдорадиуса. $K$ для того, чтобы создать новое решение.

Уорвик подчеркивает эту «новую теорему относительности» как кембриджский ответ Эйнштейну и как основанную на упражнениях с использованием метода инверсии, например, в Джеймса Хопвуда Джинса учебнике «Математическая теория электричества и магнетизма» .

Общая теория относительности

В общей теории относительности конформные отображения являются самым простым и, следовательно, наиболее распространенным типом причинных преобразований. Физически они описывают разные вселенные, в которых все те же события и взаимодействия все еще возможны (причинно), но чтобы повлиять на это, необходима новая дополнительная сила (то есть, воспроизведение всех тех же траекторий потребовало бы отклонения от геодезического движения, поскольку метрика тензор другой). Его часто используют, чтобы попытаться сделать модели допускающими расширение за пределы сингулярностей кривизны , например, чтобы позволить описать Вселенную еще до Большого взрыва .

См. также

• Биголоморфная карта
• Теорема Каратеодори . Конформное отображение непрерывно продолжается до границы.
• Диаграмма Пенроуза
• Отображение Шварца – Кристоффеля - конформное преобразование верхней полуплоскости во внутреннюю часть простого многоугольника.
• Специальная линейная группа - преобразования, сохраняющие объем (в отличие от углов) и ориентацию.

Дальнейшее чтение

• Альфорс, Ларс В. (1973), Конформные инварианты: темы геометрической теории функций , Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., MR   0357743
• Константин Каратеодори (1932) Конформное представление , Кембриджские трактаты по математике и физике
• Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости , CRC Press, Taylor & Francisco Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN  978-0-415-49271-3
• Черчилль, Руэл В. (1974), Комплексные переменные и приложения , Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN  978-0-07-010855-4
• Е. П. Долженко (2001) [1994], «Конформное отображение» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN  978-0-07-054234-1 , МР   0924157
• Вайсштейн, Эрик В. «Конформное отображение» . Математический мир .

Внешние ссылки

• Интерактивная визуализация множества конформных карт.
• Конформные карты Майкла Тротта, Демонстрационный проект Wolfram .
• Конформное картирование изображений течения тока в различной геометрии без магнитного поля и с ним, Герхард Брунталер.
• Конформное преобразование: от круга к квадрату .
• Онлайн-график конформных карт .
• Интерактивное веб-приложение Joukowski Transform