Парадокс Крамера

В математике . парадокс Крамера или парадокс Крамера-Эйлера ^{[ 1 ]} Это утверждение о том, что количество точек пересечения двух кривых высшего порядка на плоскости может быть больше, чем количество произвольных точек, которые обычно необходимы для определения одной такой кривой. Он назван в честь женевского математика Габриэля Крамера .

Это явление кажется парадоксальным, поскольку точки пересечения не могут однозначно определить какую-либо кривую (они принадлежат как минимум двум различным кривым), несмотря на их большое количество. Это результат наивного понимания или неправильного применения двух теорем:

Теорема Безу утверждает, что число точек пересечения двух алгебраических кривых равно произведению их степеней при выполнении некоторых необходимых условий. В частности, две кривые степени $n$ обычно имеют $n^{2}$ точки пересечения.
Теорема Крамера утверждает, что кривая степени $n$ определяется $n(n+3)/2$ точки, опять же предполагая, что выполняются определенные условия.

Для всех $n\geq 3$ , $n^{2}\geq n(n+3)/2$ , поэтому наивно могло бы показаться, что для степени три или выше пересечение двух кривых будет иметь достаточно точек, чтобы однозначно определить любую из кривых. Однако, поскольку эти точки принадлежат обеим кривым, они не определяют единственную кривую этой степени. Разрешение парадокса состоит в том, что $n(n+3)/2$ Ограничение на количество точек, необходимых для определения кривой, применяется только к точкам в общем положении . В некоторых вырожденных случаях $n(n+3)/2$ точек недостаточно для однозначного определения кривой.

История

Парадокс был впервые опубликован Колином Маклореном в 1720 году. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Крамер и Леонард Эйлер переписывались по поводу парадокса в письмах 1744 и 1745 годов, и Эйлер объяснил проблему Крамеру. ^{[ 4 ]} Он стал известен как парадокс Крамера после того, как был описан в его книге 1750 года «Введение в анализ линий алгебры» , хотя Крамер цитировал Маклорена как источник этого утверждения. ^{[ 5 ]} Примерно в то же время Эйлер опубликовал примеры, показывающие кубическую кривую, которая не определялась однозначно 9 точками. ^{[ 4 ]}^{[ 6 ]} и обсудил проблему в своей книге «Introductio in analysin infinitorum» . Результат был обнародован Джеймсом Стирлингом и объяснен Юлиусом Плюкером . ^{[ 1 ]}

Нет парадокса для прямых и невырожденных коник.

Для кривых первого порядка (т. е. линий ) парадокс не возникает, поскольку $n=1$ , так $n^{2}=1<n(n+3)/2=2$ . Как правило, две различные линии пересекаются в одной точке, если только линии не имеют одинакового наклона, и в этом случае они вообще не пересекаются. Одной точки недостаточно для определения линии (необходимы две); через точку пересечения проходят не только две данные прямые, но и бесконечное число других прямых.

Две невырожденные коники пересекаются не более чем в четырех конечных точках вещественной плоскости, что и есть максимальное число, заданное теоремой Безу. Однако для определения невырожденной коники необходимы пять точек, так что и в этом случае парадокса нет.

Пример Крамера для кубических кривых

В письме Эйлеру Крамер указывал, что кубические кривые $x^{3}-x=0$ и $y^{3}-y=0$ пересекаются ровно в девяти точках. ^{[ нужна ссылка ]} Первое уравнение определяет три вертикальные линии $x=-1$ , $x=0$ , и $x=1$ , и аналогично второе уравнение определяет три горизонтальные линии; эти линии пересекаются в сетке из девяти точек. Следовательно, девяти точек недостаточно для однозначного определения кубической кривой в подобных вырожденных случаях.

резолюция Эйлера

Двумерное уравнение степени n имеет 1 + n ( n + 3)/2 коэффициентов, но набор точек, описываемых уравнением, сохраняется, если уравнение разделить на один из ненулевых коэффициентов, оставив один коэффициент, равный 1 и только n ( n + 3)/2 коэффициентов, характеризующих кривую. Учитывая n ( n + 3)/2 точки ( x _i , y _i ), каждую из этих точек можно использовать для создания отдельного уравнения, подставив его в общее полиномиальное уравнение степени n , что даст n ( n + 3) / 2 уравнения, линейные относительно n ( n +3)/2 неизвестных коэффициентов. Если эта система невырождена в смысле наличия ненулевого определителя , неизвестные коэффициенты определяются однозначно и, следовательно, полиномиальное уравнение и его кривая определяются однозначно. Но если этот определитель равен нулю, система вырождена и точки могут находиться более чем на одной кривой степени n .

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Парадокс Крамера-Эйлера». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cramer-EulerParadox.html
^ Маклорен, Колен (1720). Органическая геометрия . Лондон.
^ Твиди, Чарльз (январь 1891 г.). «V. — «Органическая геометрия» Колина Маклорена: исторический и критический обзор» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 36 (1–2): 87–150. дои : 10.1017/S0370164600018137 . Проверено 28 сентября 2012 г.
^ Jump up to: ^а ^б Струйк, диджей (1969). Справочник по математике, 1200–1800 гг . Издательство Гарвардского университета. п. 182. ИСБН 0674823559 .
^ Твиди, Чарльз (1915). «Исследование жизни и творчества Колина Маклорена» . Математический вестник . 8 (119): 133–151. дои : 10.2307/3604693 . JSTOR 3604693 . S2CID 188496571 .
^ Эйлер, Леонард (1750). «О кажущемся противоречии в учении о кривых линиях» . Мемуары Берлинской академии наук . 4 : 219–233.

Внешние ссылки

[Weisstein-1] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Парадокс Крамера-Эйлера». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cramer-EulerParadox.html

[2] Маклорен, Колен (1720). Органическая геометрия . Лондон.

[3] Твиди, Чарльз (январь 1891 г.). «V. — «Органическая геометрия» Колина Маклорена: исторический и критический обзор» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 36 (1–2): 87–150. дои : 10.1017/S0370164600018137 . Проверено 28 сентября 2012 г.

[struick-4] Jump up to: ^а ^б Струйк, диджей (1969). Справочник по математике, 1200–1800 гг . Издательство Гарвардского университета. п. 182. ИСБН 0674823559 .

[5] Твиди, Чарльз (1915). «Исследование жизни и творчества Колина Маклорена» . Математический вестник . 8 (119): 133–151. дои : 10.2307/3604693 . JSTOR 3604693 . S2CID 188496571 .

[6] Эйлер, Леонард (1750). «О кажущемся противоречии в учении о кривых линиях» . Мемуары Берлинской академии наук . 4 : 219–233.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]