Поверхность текучести

Поверхности, на которых инварианты $I_{1}$, $J_{2}$, $J_{3}$ постоянны. Построено в пространстве главных напряжений.

Поверхность текучести — это пятимерная поверхность в шестимерном пространстве напряжений . Поверхность текучести обычно выпуклая , а напряженное состояние внутри поверхности текучести является упругим. Когда напряженное состояние лежит на поверхности, говорят, что материал достиг предела текучести и стал пластичным . Дальнейшая деформация материала приводит к тому, что напряженное состояние сохраняется на поверхности текучести, хотя форма и размер поверхности могут меняться по мере развития пластической деформации. Это связано с тем, что напряженные состояния, лежащие за пределами поверхности текучести, недопустимы для пластичности, не зависящей от скорости , но не в некоторых моделях вязкопластичности .

Поверхность текучести обычно выражается (и визуализируется) в трехмерном пространстве главных напряжений ( $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$), двух- или трехмерное пространство, натянутое на инварианты напряжений ( $I_{1},J_{2},J_{3}$) или версию трехмерного пространства напряжений Хейга – Вестергора . Таким образом, мы можем записать уравнение поверхности текучести (то есть функции доходности) в виде:

• $f(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=0\,$ где $\sigma _{i}$ являются главными напряжениями.
• $f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,$ где $I_{1}$ является первым главным инвариантом напряжения Коши и $J_{2},J_{3}$ – второй и третий главные инварианты девиаторной части напряжения Коши.
• $f(p,q,r)=0\,$ где $p,q$ представляют собой масштабированные версии $I_{1}$ и $J_{2}$ и $r$ является функцией $J_{2},J_{3}$.
• $f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,$ где $\xi ,\rho$ представляют собой масштабированные версии $I_{1}$ и $J_{2}$, и $\theta$ это угол напряжения или угол Лоде

Инварианты, используемые для описания поверхностей текучести

Поверхности, на которых инварианты $\xi$, $\rho$, $\theta$ постоянны. Построено в пространстве главных напряжений.

Первый главный инвариант ( $I_{1}$) напряжения Коши ( ${\boldsymbol {\sigma }}$), а также второй и третий главные инварианты ( $J_{2},J_{3}$) девиаторной части ( ${\boldsymbol {s}}$) напряжения Коши определяются как:

${\begin{aligned}I_{1}&={\text{Tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\J_{2}&={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {s}}:{\boldsymbol {s}}={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\J_{3}&=\det({\boldsymbol {s}})={\tfrac {1}{3}}({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}):{\boldsymbol {s}}=s_{1}s_{2}s_{3}\end{aligned}}$

где ( $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$) являются основными значениями ${\boldsymbol {\sigma }}$, ( $s_{1},s_{2},s_{3}$) являются основными значениями ${\boldsymbol {s}}$, и

${\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {I_{1}}{3}}\,{\boldsymbol {I}}$

где ${\boldsymbol {I}}$ является единичной матрицей.

Связанный набор величин ( $p,q,r\,$), обычно используются для описания поверхностей текучести когезионных фрикционных материалов, таких как камни, почвы и керамика. Они определяются как

$p={\tfrac {1}{3}}~I_{1}~:~~q={\sqrt {3~J_{2}}}=\sigma _{\mathrm {eq} }~;~~r=3\left({\tfrac {1}{2}}\,J_{3}\right)^{1/3}$

где $\sigma _{\mathrm {eq} }$ эквивалентное напряжение . Однако возможность отрицательных значений $J_{3}$ и полученное воображаемое $r$ делает использование этих величин проблематичным на практике.

Другой родственный набор широко используемых инвариантов: ( $\xi ,\rho ,\theta \,$), описывающие цилиндрическую систему координат ( координаты Хейга–Вестергора ). Они определяются как:

$\xi ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~I_{1}={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {2J_{2}}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~q~;~~\cos(3\theta )=\left({\tfrac {r}{q}}\right)^{3}={\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}$

The $\xi -\rho \,$ плоскость также называют плоскостью Рендулика . Угол $\theta$ называется углом напряжения, величина $\cos(3\theta )$ иногда называют параметром Лоде и отношения между $\theta$ и $J_{2},J_{3}$ впервые дано Новожиловым В.В. в 1951 г., см. также

Главные напряжения и координаты Хейга – Вестергора связаны соотношением

${\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}-\theta \right)\\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}+\theta \right)\end{bmatrix}}\,.$

В литературе можно встретить и другое определение угла Лоде:

$\sin(3\theta )=~{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}$

в этом случае упорядоченные главные напряжения (где $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}$) связаны соотношением

${\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\tfrac {\rho }{\sqrt {2}}}~{\begin{bmatrix}\cos \theta -{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\{\tfrac {2\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\-{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}-\cos \theta \end{bmatrix}}\,.$

Примеры поверхностей текучести

В технике известно несколько различных поверхностей текучести, наиболее популярные перечислены ниже.

Поверхность текучести Tresca

Критерий доходности Треска считается работой Анри Треска . Она также известна как максимального напряжения сдвига теория (MSST) и теория Треска – Геста. (ТГ) критерий. В терминах главных напряжений критерий Треска выражается как

${\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!$

Где $S_{sy}$ - предел текучести при сдвиге, а $S_{y}$ - предел текучести при растяжении.

На рис. 1 показана поверхность текучести Трески–Геста в трехмерном пространстве главных напряжений. Это призма с шестью сторонами и бесконечной длиной. Это означает, что материал остается эластичным, когда все три главных напряжения примерно эквивалентны ( гидростатическое давление ), независимо от того, насколько сильно он сжимается или растягивается. Однако когда одно из главных напряжений становится меньше (или больше), чем другие, материал подвергается сдвигу. В таких ситуациях, если напряжение сдвига достигает предела текучести, материал переходит в пластическую область. На рис. 2 показана поверхность текучести Трески–Геста в двумерном пространстве напряжений, она представляет собой сечение призмы по $\sigma _{1},\sigma _{2}$ самолет.

Рисунок 1: Вид поверхности текучести Трески – Гостя в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 2: Поверхность текучести Трески – Гостя в 2D-пространстве ( $\sigma _{1},\sigma _{2}$)

поверхность текучести фон Мизеса

Основная статья: критерий текучести фон Мизеса

Критерий текучести фон Мизеса выражается в главных напряжениях как

${(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!$

где $S_{y}$ – предел текучести при одноосном растяжении.

На рис. 3 показана поверхность текучести фон Мизеса в трехмерном пространстве главных напряжений. Это круглый цилиндр бесконечной длины, ось которого наклонена под равными углами к трем главным напряжениям. На рис. 4 показана поверхность текучести фон Мизеса в двумерном пространстве в сравнении с критерием Трески-Геста. Сечение цилиндра Мизеса плоскостью $\sigma _{1},\sigma _{2}$ создает эллиптическую форму поверхности текучести.

Рисунок 3: Вид поверхности текучести Хубера – Мизеса – Хенки в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 4: Сравнение критериев Трески-Геста и Хубера-Мизеса-Хенки в 2D-пространстве ( $\sigma _{1},\sigma _{2}$)

Критерий Буржинского-Ягна

Этот критерий

$3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}$

представляет собой общее уравнение поверхности вращения второго порядка вокруг гидростатической оси. Некоторые особые случаи:

• цилиндр $\gamma _{1}=\gamma _{2}=0$ (Максвелл (1865 г.), Хубер (1904 г.), фон Мизес (1913 г.), Хенки (1924 г.)),
• конус $\gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[$ (Botkin (1940), Drucker-Prager (1952), Mirolyubov (1953)),
• параболоид $\gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0$ (Буржинский (1928), Баландин (1937), Торре (1947)),
• эллипсоид с центром в плоскости симметрии $I_{1}=0$, $\gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[$ (Бельтрами (1885)),
• эллипсоид с центром в плоскости симметрии $I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}$ с $\gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0$ (Шлейхер (1926)),
• гиперболоид из двух листов $\gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[$ (Буржинский (1928), Ягн (1931)),
• однолистный гиперболоид с центром в плоскости симметрии $I_{1}=0$, $\gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i$, $i={\sqrt {-1}}$ (Кун (1980))
• однолистный гиперболоид $\gamma _{1,2}=b\pm a\,i$, $i={\sqrt {-1}}$ (Филоненко-Бородич (1960), Гольденблат-Копнов (1968), Филин (1975)).

Отношения сжатия-растяжения и кручения-растяжения можно вычислить как

${\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}$

Коэффициенты Пуассона при растяжении и сжатии получают с помощью

$\nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}$

$\nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}$

Для пластичных материалов ограничение

$\nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}$

важно. Применение вращательно-симметричных критериев хрупкого разрушения с

$\nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]$

изучено недостаточно.

Критерий Буржинского-Ягна хорошо подходит для академических целей. Для практических приложений в уравнение следует ввести третий инвариант девиатора в нечетной и четной степени, например:

$3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}$

критерий Губера

Критерий Хубера состоит из эллипсоида Бельтрами и масштабированного цилиндра фон Мизеса в пространстве главных напряжений: см. также

$3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.$

с $\gamma _{1}\in [0,1[$. Переход между поверхностями в поперечном сечении $I_{1}=0$ непрерывно дифференцируема. Критерий представляет собой «классический взгляд» на поведение неупругого материала:

• поведение материала, чувствительного к давлению, для $I_{1}>0$ с $\nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]$ и
• нечувствительное к давлению поведение материала для $I_{1}<0$ с $\nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2$

Критерий Хубера можно использовать в качестве поверхности текучести с эмпирическим ограничением на коэффициент Пуассона при растяжении. $\nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]$, что приводит к $\gamma _{1}\in [0,0.1155]$.

Критерий Губера с $\gamma _{1}=1/{\sqrt {3}}$ и модифицированный критерий Хубера с $\gamma _{1}=(1+{\sqrt {5}})/6$ и $\gamma _{2}=(1-{\sqrt {5}})/6$ в плоскости Буржинского: настройка в соответствии с гипотезой нормального напряжения ( $\nu _{+}^{\mathrm {in} }=0$). Критерий фон Мизеса ( $\nu _{-}^{\mathrm {in} }=\nu _{+}^{\mathrm {in} }=1/2$) показано для сравнения.

Модифицированный критерий Хубера, см. также, ср.

$3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.$

состоит из эллипсоида Шлейхера с ограничением коэффициента Пуассона при сжатии

$\nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}$

и цилиндр с $C^{1}$-переход в сечении $I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }$. Вторая настройка параметров $\gamma _{1}\in [0,1[$ и $\gamma _{2}<0$ следует соотношение сжатия/растяжения

$d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1$

Модифицированный критерий Хубера может лучше соответствовать измеренным данным, чем критерий Хубера. Для настройки $\nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48$ следует $\gamma _{1}=0.0880$ и $\gamma _{2}=-0.0747$.

Критерий Хубера и модифицированный критерий Хубера следует отдать предпочтение критерию фон Мизеса, поскольку они позволяют получить более безопасные результаты в области $I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }$. Для практических приложений третий инвариант девиатора $I_{3}'$ следует учитывать в этих критериях.

Поверхность текучести Мора – Кулона

Основная статья: теория Мора – Кулона

Критерий текучести (разрушения) Мора -Кулона аналогичен критерию Треска с дополнительными положениями для материалов с различным пределом текучести при растяжении и сжатии. Эта модель часто используется для моделирования бетона , грунта или сыпучих материалов . Критерий текучести Мора – Кулона можно выразить как:

${\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}$

где

$m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}$

и параметры $S_{yc}$ и $S_{yt}$ – напряжения текучести (разрушения) материала при одноосном сжатии и растяжении соответственно. Формула сводится к критерию Треска, если $S_{yc}=S_{yt}$.

На рис. 5 показана поверхность текучести Мора–кулона в трехмерном пространстве главных напряжений. Это коническая призма и $K$ определяет угол наклона конической поверхности. На рисунке 6 показана поверхность текучести Мора – Кулона в двумерном пространстве напряжений. На рисунке 6 $R_{r}$ и $R_{c}$ используется для $S_{yt}$ и $S_{yc}$соответственно в формуле. Это сечение этой конической призмы в плоскости $\sigma _{1},\sigma _{2}$. На рисунке 6 Rr и Rc используются в формуле для Syc и Syt соответственно.

Рисунок 5: Вид поверхности текучести Мора – Кулона в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 6: Поверхность текучести Мора – Кулона в двумерном пространстве ( $\sigma _{1},\sigma _{2}$)

Поверхность текучести Друкера – Прагера

Основная статья: Критерий доходности Друкера Прагера

Критерий текучести Друкера -Прагера аналогичен критерию текучести фон Мизеса с возможностью работы с материалами с различным пределом текучести при растяжении и сжатии. Этот критерий чаще всего используется для бетона , где разрушение могут определять как нормальные, так и сдвиговые напряжения. Критерий доходности Друкера-Прагера можно выразить как

${\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}$

где

$m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}$

и $S_{yc}$, $S_{yt}$ – одноосные напряжения текучести при сжатии и растяжении соответственно. Формула сводится к уравнению фон Мизеса, если $S_{yc}=S_{yt}$.

На рис. 7 показана поверхность текучести Друкера–Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений. Это обычный конус . На рисунке 8 показана поверхность текучести Друкера-Прагера в двумерном пространстве. Эллиптическая упругая область представляет собой поперечное сечение конуса на плоскости $\sigma _{1},\sigma _{2}$; его можно выбрать так, чтобы оно пересекало поверхность текучести Мора – Кулона в разном количестве вершин. Одним из вариантов является пересечение поверхности текучести Мора – Кулона в трех вершинах по обе стороны от поверхности текучести Мора – Кулона. $\sigma _{1}=-\sigma _{2}$ линии, но обычно выбираются по соглашению как те, которые находятся в режиме сжатия. Другой вариант — пересечение поверхности текучести Мора – Кулона в четырех вершинах по обеим осям (одноосная посадка) или в двух вершинах по диагонали. $\sigma _{1}=\sigma _{2}$ (двухосная посадка). Критерий текучести Друкера-Прагера также обычно выражается через сцепление материала и угол трения .

Рисунок 7: Вид поверхности текучести Друкера-Прагера в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 8: Вид поверхности текучести Друкера – Прагера в двумерном пространстве главных напряжений.

Поверхность текучести Бреслера – Пистера

Основная статья: Критерий доходности Бреслера-Пистера

Критерий текучести Бреслера-Пистера является расширением критерия текучести Друкера Прагера , который использует три параметра и имеет дополнительные условия для материалов, которые текучесть при гидростатическом сжатии. В терминах главных напряжений этот критерий текучести можно выразить как

$S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}$

где $c_{0},c_{1},c_{2}$ являются материальными константами. Дополнительный параметр $c_{2}$ придает поверхности текучести эллипсоидное поперечное сечение, если смотреть с направления, перпендикулярного ее оси. Если $\sigma _{c}$ – предел текучести при одноосном сжатии, $\sigma _{t}$ - предел текучести при одноосном растяжении, а $\sigma _{b}$ – предел текучести при двухосном сжатии, параметры можно выразить как

${\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}$

Рисунок 9: Вид поверхности текучести Бреслера-Пистера в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 10: Поверхность текучести Бреслера-Пистера в 2D-пространстве ( $\sigma _{1},\sigma _{2}$)

Поверхность текучести Виллама – Варнке

Основная статья: Критерий доходности Уильяма Варнке

Критерий текучести Виллама-Варнке представляет собой трехпараметрическую сглаженную версию критерия текучести Мора-Кулона , которая по форме похожа на критерии текучести Друкера-Прагера и Бреслера-Пистера .

Критерий доходности имеет функциональный вид

$f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.$

Однако чаще всего это выражается в координатах Хейга – Вестергора как

$f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.$

Поперечное сечение поверхности, если смотреть вдоль ее оси, представляет собой сглаженный треугольник (в отличие от Мора–Кулона). Поверхность текучести Виллама – Варнке выпукла и имеет уникальные и четко определенные первую и вторую производные в каждой точке своей поверхности. Таким образом, модель Уиллама-Варнке является вычислительно надежной и использовалась для различных когезионно-фрикционных материалов.

Рисунок 11: Вид поверхности текучести Виллама – Варнке в трехмерном пространстве главных напряжений.

Рисунок 12: Поверхность текучести Виллама-Варнке в $\pi$-самолет

Тригонометрические поверхности текучести Подгурского и Розендаля

Нормированные по одноосному растягивающему напряжению $\sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}$, критерий Подгорского как функция угла напряжения $\theta$ читает

$\sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},$

с функцией формы тригональной симметрии в $\pi$-самолет

$\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].$

Он содержит критерии фон Мизеса (кружок в $\pi$-самолет, $\beta _{3}=[0,\,1]$, $\chi _{3}=0$), Треска (правильный шестиугольник, $\beta _{3}=1/2$, $\chi _{3}=\{1,-1\}$), Мариотта (правильный треугольник, $\beta _{3}=\{0,1\}$, $\chi _{3}=\{1,-1\}$), Ивлев (правильный треугольник, $\beta _{3}=\{1,0\}$, $\chi _{3}=\{1,-1\}$), а также кубический критерий Сайра (критерий Оттосена ) с $\beta _{3}=\{0,1\}$ и изотоксальные (равносторонние) шестиугольники критерия Капурсо с $\chi _{3}=\{1,-1\}$. Переход фон Мизес — Треска следует с $\beta _{3}=1/2$, $\chi _{3}=[0,1]$. Изогональные (равноугольные) шестиугольники критерия Хейторнтвейта содержащий критерий Шмидта-Ишлинского (правильный шестиугольник), не может быть описан критерием Подгорского.

Критерий Розендаля читает

$\sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},$

с функцией формы гексагональной симметрии в $\pi$-самолет

$\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].$

Он содержит критерии фон Мизеса (кружок, $\beta _{6}=[0,\,1]$, $\chi _{6}=0$), Треска (правильный шестиугольник, $\beta _{6}=\{1,0\}$, $\chi _{6}=\{1,-1\}$), Шмидта—Ишлинского (правильный шестиугольник, $\beta _{6}=\{0,1\}$, $\chi _{6}=\{1,-1\}$), Соколовский (правильный двенадцатиугольник, $\beta _{6}=1/2$, $\chi _{6}=\{1,-1\}$), а также бикубический критерий с $\beta _{6}=0$ или наравне с $\beta _{6}=1$ и изотоксальные додекагоны единого критерия текучести Ю. с $\chi _{6}=\{1,-1\}$. Изогональные додекагоны мультипликативного анзац-критерия гексагональной симметрии содержащая критерий Ишлинского-Ивлева (правильный двенадцатиугольник), не может быть описана критерием Розендаля.

Критерии Подгорского и Розендаля описывают одиночные поверхности в пространстве главных напряжений без каких-либо дополнительных внешних контуров и пересечений плоскостей. Обратите внимание, что во избежание числовых проблем функция реальной части $Re$ можно ввести в функцию формы: $Re(\Omega _{3})$ и $Re(\Omega _{6})$. Обобщение в форме $\Omega _{3n}$ актуальна для теоретических исследований.

Чувствительное к давлению расширение критериев можно получить с помощью линейного $I_{1}$-замена

$\sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,$

этого достаточно для многих применений, например, металлов, чугуна, сплавов, бетона, неармированных полимеров и т. д.

Основные сечения, описываемые окружностью и правильными многоугольниками тригональной или шестиугольной симметрии в $\pi$-самолет.

Поверхность текучести Бигони – Пикколороаза

Критерий текучести Бигони -Пикколоаза. представляет собой семипараметрическую поверхность, определяемую формулой

$f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,$

где $F(p)$ это функция «меридиана»

$F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.$

$\phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},$

описывающая чувствительность к давлению и $g(\theta )$ это «девиаторная» функция

$g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},$

описывающее зависимость текучести от Лоде. Семь неотрицательных материальных параметров:

$\underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},$

определяют форму меридианного и девиаторного участков.

Этот критерий представляет собой гладкую и выпуклую поверхность, замкнутую как при гидростатическом растяжении, так и при сжатии и имеющую каплевидная форма, особенно подходящая для описания фрикционных и зернистых материалов. Этот критерий был обобщен и на случай поверхностей с углами.

В трехмерном пространстве главных напряжений

В $\pi$-самолет

Поверхность текучести Бигони-Пикколороаза

Косинусный подход (Альтенбах-Болчоун-Колупаев)

Для формулировки критериев прочности угол напряжения

$\cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}$

можно использовать.

Следующий критерий изотропного поведения материала

$(3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}$

содержит ряд других известных, менее общих критериев при условии выбора подходящих значений параметров.

Параметры $c_{3}$ и $c_{6}$ описать геометрию поверхности $\pi$-самолет. Они подчиняются ограничениям

$c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},$

которые следуют из условия выпуклости. Более точная формулировка третьего ограничения предложена в .

Параметры $\gamma _{1}\in [0,\,1[$ и $\gamma _{2}$ описать положение точек пересечения поверхности текучести с гидростатической осью (диагональ пространства в пространстве главных напряжений). Эти точки пересечения называются гидростатическими узлами. В случае материалов, которые не разрушаются при гидростатическом давлении (сталь, латунь и т. д.), получают $\gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[$. В противном случае для материалов, которые разрушаются при гидростатическом давлении (твердые пенопласты, керамика, спеченные материалы и т. д.), следует $\gamma _{2}<0$.

Целые степени $l\geq 0$ и $m\geq 0$, $l+m<6$ описать кривизну меридиана. Меридиан с. $l=m=0$ представляет собой прямую линию и с $l=0$ – притча.

Поверхность текучести Барлата

Для анизотропных материалов в зависимости от направления применяемого процесса (например, прокатки) механические свойства изменяются, и поэтому использование анизотропной функции текучести имеет решающее значение. С 1989 года Фредерик Барла разработал семейство функций текучести для материального моделирования пластической анизотропии. Среди них критерии текучести Yld2000-2D применялись для широкого спектра листового металла (например, алюминиевых сплавов и современных высокопрочных сталей). Модель Yld2000-2D представляет собой функцию текучести неквадратичного типа, основанную на двух линейных преобразованиях тензора напряжений:

$\Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}$ :

Локусы урожайности Yld2000-2D для листа AA6022 T4.

где ${\bar {\sigma }}$ это эффективный стресс. и $X'$ и $X''$ — преобразованные матрицы (линейным преобразованием C или L):

${\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}$

где s – тензор девиаторных напряжений.

для главных значений X' и X», модель можно выразить следующим образом:

${\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\$

и:

$\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]$

где $\alpha _{1}...\alpha _{8}$ — это восемь параметров модели Барлата Yld2000-2D, которые необходимо определить с помощью серии экспериментов.

См. также

• Выход (инжиниринг)
• Пластичность (физика)
• Стресс
• Анри Треска
• стресс фон Мизеса
• Теория Мора – Кулона
• Критерий урожайности на холме
• Критерий доходности Хосфорда
• Напряжение
• Тензор деформации
• Тензор энергии-напряжения
• Концентрация стресса
• 3-D эластичность
• Фредерик Барла