собственное значение Дирихле

В математике — собственные значения Дирихле это фундаментальные формы вибрации . идеализированного барабана заданной формы Проблема в том, можно ли услышать форму барабана : учитывая собственные значения Дирихле, какие особенности формы барабана можно вывести. Здесь «барабан» понимается как упругая мембрана Ω, которая представляется как плоская область с фиксированной границей. Собственные значения Дирихле находятся путем решения следующей задачи для неизвестной функции u ≠ 0 и собственного значения λ

${\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0&{\rm {{in\ }\Omega }}\\u|_{\partial \Omega }=0.&\end{cases}}$ ( 1 )

Здесь Δ — лапласиан задается xy , который в координатах формулой

$\Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}.$

Краевая задача ( 1 ) — это задача Дирихле для уравнения Гельмгольца , поэтому λ известна как собственное значение Дирихле для Ω. Собственным значениям Дирихле противопоставляются собственные значения Неймана : собственные значения для соответствующей задачи Неймана . Оператор Лапласа Δ, фигурирующий в ( 1 ), часто называют лапласианом Дирихле , когда считается, что он принимает только функции u, удовлетворяющие граничному условию Дирихле. В более общем смысле, в спектральной геометрии рассматривается ( 1 ) на многообразии с краем Ω. Тогда в качестве ∆ берется оператор Лапласа–Бельтрами , также с граничными условиями Дирихле.

можно показать, Используя спектральную теорему для компактных самосопряженных операторов, что собственные пространства конечномерны и что собственные значения Дирихле λ вещественны, положительны и не имеют предельной точки . Таким образом, их можно расположить в порядке возрастания:

$0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty ,$

где каждое собственное значение считается в соответствии с его геометрической кратностью. Собственные пространства ортогональны в пространстве функций, суммируемых с квадратом , и состоят из гладких функций . Фактически лапласиан Дирихле имеет непрерывное продолжение до оператора из пространства Соболева $H_{0}^{2}(\Omega )$ в $L^{2}(\Omega )$. Этот оператор обратим, а его обратный компактен и самосопряжен, так что обычную спектральную теорему можно применить для получения собственных пространств ∆ и обратных 1/λ его собственных значений.

Одним из основных инструментов в изучении собственных значений Дирихле является принцип макс-мин : первое собственное значение λ ₁ минимизирует энергию Дирихле . А именно,

$\lambda _{1}=\inf _{u\not =0}{\frac {\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}}{\int _{\Omega }|u|^{2}}},$

нижняя грань берется по всем u компактным носителям , которые не обращаются в нуль тождественно в Ω. Согласно аргументу плотности , эта нижняя грань согласуется с взятой для ненулевого значения. $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$. Более того, используя результаты вариационного исчисления, аналогичные теореме Лакса–Милгрэма , можно показать, что минимизатор существует в $H_{0}^{1}(\Omega )$. В более общем смысле, у человека есть

$\lambda _{k}=\sup \inf {\frac {\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}}{\int _{\Omega }|u|^{2}}}$

где верхняя грань берется по всем ( k −1)-наборам $\phi _{1},\dots ,\phi _{k-1}\in H_{0}^{1}(\Omega )$ и нижняя грань по всем u, ортогональным $\phi _{i}$.

Приложения

Рис.1. Спиральная граница домена (синий), его фрагмент (красный) и 3 сегмента луча (зеленый).

Лапласиан Дирихле может возникнуть из различных проблем математической физики ; это может относиться к режимам идеализированного барабана, небольшим волнам на поверхности идеализированного бассейна, а также моде идеализированного световода в параксиальном приближении . Последнее применение наиболее практично при использовании волокон с двойной оболочкой ; в таких волокнах важно, чтобы большинство мод заполняли область равномерно, или большинство лучей пересекают ядро. Самой плохой формой кажется область с круговой симметрией. ,. Режимы накачки не должны исключать активный сердечник, используемый в волоконных усилителях с двойной оболочкой . Спиральный домен оказывается особенно эффективным для такого применения из-за граничное поведение мод лапласиана Дирихле .

Теорема о граничном поведении лапласиана Дирихле при аналогии свойства лучей в геометрической оптике (рис.1); угловой момент луча (зеленый) увеличивается при каждом отражении от спиральной части границы (синий), пока луч не достигнет куска (красный); все лучи (кроме тех, которые параллельны оптической оси) неизбежно посещают область, прилегающую к куску, чтобы ограничить избыток угловой момент. Точно так же все моды лапласиана Дирихле имеют ненулевые значения вблизи фрагмента. Нормальная составляющая производной моды на границе можно интерпретировать как давление ; давление, интегрированное по поверхности, дает силу . Так как режим установившийся При решении уравнения распространения (с тривиальной зависимостью продольной координаты) полная сила должна быть равна нулю. Аналогично, угловой момент силы давления также должен быть равен нулю. Однако существует формальное доказательство, которое не относится к аналогии с физической системой.

См. также

• Неравенство Рэлея – Фабера – Крана.

Ссылки

• Бенгурия, Рафаэль Д. «Собственное значение Дирихле» . Энциклопедия математики . Спрингер . Проверено 28 октября 2021 г.
• Чавел, Исаак (1984). Собственные значения в римановой геометрии . Чистое приложение. Математика. Том. 115. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-170640-1 . .
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962). Методы математической физики, том I. Уайли-Интерсайенс. .