Гауссова кривизна

Слева направо: поверхность отрицательной гауссовой кривизны ( гиперболоид ), поверхность нулевой гауссовой кривизны ( цилиндр ) и поверхность положительной гауссовой кривизны ( сфера ).

Некоторые точки тора имеют положительную, некоторые отрицательную, а некоторые имеют нулевую гауссову кривизну.

В дифференциальной геометрии гауссова кривизна или кривизна Гаусса Κ гладкой поверхности в трехмерном пространстве в точке является произведением главных кривизн κ : ₁ и κ ₂ в данной точке $$K=\kappa _{1}\kappa _{2}.$$ Например, сфера радиуса r имеет гауссову кривизну. ⁠ 1 / р ² ⁠ везде, а плоская плоскость и цилиндр всюду имеют нулевую гауссову кривизну. Гауссова кривизна также может быть отрицательной, как в случае гиперболоида или внутренней части тора .

Гауссова кривизна — это внутренняя мера кривизны , зависящая только от расстояний, измеряемых «внутри» или вдоль поверхности, а не от того, как она изометрически встроена в евклидово пространство. Таково содержание « Теоремы эгрегиум» .

Гауссова кривизна названа в честь Карла Фридриха Гаусса , опубликовавшего « Теорему эгрегиум» в 1827 году.

Неформальное определение

Седловая поверхность с нормальными плоскостями в направлениях главных кривизн.

В любой точке поверхности мы можем найти вектор нормали , расположенный под прямым углом к ​​поверхности; плоскости, содержащие вектор нормали, называются нормальными плоскостями . Пересечение нормальной плоскости и поверхности образует кривую, называемую нормальным сечением , а кривизна этой кривой является нормальной кривизной . Для большинства точек на большинстве «гладких» поверхностей разные нормальные сечения будут иметь разную кривизну; их максимальное и минимальное значения называются главными кривизнами , назовем их κ ₁ , κ ₂ . Гауссова кривизна является произведением двух главных кривизн Κ = κ ₁ κ ₂ .

Знак гауссовой кривизны можно использовать для характеристики поверхности.

• Если обе главные кривизны имеют один и тот же знак: κ ₁ κ ₂ > 0 , то гауссова кривизна положительна и говорят, что поверхность имеет эллиптическую точку. В таких точках поверхность будет куполообразной, локально лежащей по одну сторону касательной плоскости. Все кривизны сечения будут иметь один и тот же знак.
• Если главные кривизны имеют разные знаки: κ ₁ κ ₂ < 0 , то гауссова кривизна отрицательна и говорят, что поверхность имеет гиперболическую или седловую точку . В таких точках поверхность будет иметь седловидную форму. Поскольку одна главная кривизна отрицательна, другая положительна, а нормальная кривизна постоянно меняется, если вы вращаете плоскость, ортогональную поверхности, вокруг нормали к поверхности в двух направлениях, нормальные кривизны будут равны нулю, что дает асимптотические кривые для этой точки.
• Если одна из главных кривизн равна нулю: κ ₁ κ ₂ = 0 , гауссова кривизна равна нулю и говорят, что поверхность имеет параболическую точку.

Большинство поверхностей будут содержать области положительной гауссовской кривизны (эллиптические точки) и области отрицательной гауссовой кривизны, разделенные кривой точек с нулевой гауссовой кривизной, называемой параболической линией .

Связь с геометрией

Когда поверхность имеет постоянную нулевую гауссову кривизну, то это развертывающаяся поверхность , а геометрия поверхности является евклидовой геометрией .

Когда поверхность имеет постоянную положительную гауссову кривизну, геометрия поверхности является сферической геометрией . Эту геометрию имеют сферы и участки сфер, но существуют и другие примеры, например, лимон/американский футбол .

Когда поверхность имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну, то это псевдосферическая поверхность , а геометрия поверхности — гиперболическая геометрия .

Связь с главными кривизнами

Две главные кривизны в данной точке поверхности являются собственными значениями оператора формы в этой точке. Они измеряют, как поверхность изгибается на разную величину в разных направлениях от этой точки. Мы представляем поверхность согласно теореме о неявной функции как график функции f двух переменных таким образом, что точка p является критической точкой, то есть градиент f обращается в нуль (этого всегда можно достичь с помощью подходящее жесткое движение). Тогда гауссова кривизна поверхности в точке p является определителем матрицы Гессе функции f (будучи произведением собственных значений гессиана). (Напомним, что гессиан — это матрица вторых производных размером 2×2.) Это определение позволяет сразу уловить разницу между чашкой/шапкой и седловой точкой.

Альтернативные определения

Это также дается $$K={\frac {{\bigl \langle }(\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}{\bigr \rangle }}{\det g}},$$ где ∇ _i = ∇ _{e i} — ковариантная производная , а g — метрический тензор .

В точке p на регулярной поверхности в R ³ , гауссова кривизна также определяется выражением $$K(\mathbf {p} )=\det S(\mathbf {p} ),$$ где S — оператор формы .

Полезной формулой для гауссовой кривизны является уравнение Лиувилля в терминах лапласиана в изотермических координатах .

Полная кривизна

Сумма углов треугольника на поверхности отрицательной кривизны меньше, чем у плоского треугольника.

Поверхностный интеграл гауссовой кривизны по некоторой области поверхности называется полной кривизной . Полная кривизна геодезического треугольника равна отклонению суммы его углов от π . Сумма углов треугольника на поверхности положительной кривизны будет превышать π , а сумма углов треугольника на поверхности отрицательной кривизны будет меньше π . На поверхности нулевой кривизны, такой как евклидова плоскость , сумма углов составит ровно π радиан. $$\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.$$ Более общим результатом является теорема Гаусса–Бонне .

Важные теоремы

Отличная теорема

Основная статья: Отличная теорема

Гаусса Теорема egregium (лат. «замечательная теорема») утверждает, что гауссова кривизна поверхности может быть определена на основе измерений длины самой поверхности. Фактически, ее можно найти при полном знании первой фундаментальной формы и выразить через первую фундаментальную форму и ее частные производные первого и второго порядка. Эквивалентно, определитель второй фундаментальной формы поверхности в R ³ можно так выразиться. «Замечательная» и удивительная особенность этой теоремы состоит в том, что, хотя определение гауссовой кривизны поверхности S в R ³ конечно, зависит от того, как поверхность расположена в пространстве, конечный результат, сама гауссова кривизна, определяется внутренней метрикой поверхности без какой-либо дальнейшей ссылки на окружающее пространство: это внутренний инвариант . В частности, гауссова кривизна инвариантна относительно изометрических деформаций поверхности.

В современной дифференциальной геометрии «поверхность», рассматриваемая абстрактно, представляет собой двумерное дифференцируемое многообразие . Чтобы связать эту точку зрения с классической теорией поверхностей , такую ​​абстрактную поверхность вкладывают в R ³ и наделен римановой метрикой, заданной первой фундаментальной формой. Предположим, что образ вложения — это поверхность S в R ³ . Локальная изометрия — это диффеоморфизм f : U → V между открытыми областями R ³ ограничение которого на S ∩ U является изометрией на его образ. Тогда теорема эгрегиум формулируется следующим образом:

Гауссова кривизна вложенной гладкой поверхности в R ³ инвариантен относительно локальных изометрий.

Например, гауссова кривизна цилиндрической трубы равна нулю, как и для «развернутой» трубы (которая плоская). С другой стороны, поскольку сфера радиуса R имеет постоянную положительную кривизну R ⁻² а плоская плоскость имеет постоянную кривизну 0, эти две поверхности не изометричны, даже локально. Таким образом, любое плоское представление даже небольшой части сферы должно искажать расстояния. Поэтому ни одна картографическая проекция не является идеальной.

Теорема Гаусса – Бонне

Основная статья: теорема Гаусса – Бонне

Теорема Гаусса-Бонне связывает полную кривизну поверхности с ее эйлеровой характеристикой и обеспечивает важную связь между локальными геометрическими свойствами и глобальными топологическими свойствами.

$\int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,$

Поверхности постоянной кривизны

Две поверхности, обе из которых имеют постоянную положительную гауссову кривизну, но либо с открытой границей, либо с особыми точками.

• ( Теорема Миндинга 1839 г.) утверждает, что все поверхности с одинаковой постоянной кривизной K локально изометричны. Следствием теоремы Миндинга является то, что любая поверхность, кривизна которой тождественно равна нулю, может быть построена путем изгиба некоторой плоской области. Такие поверхности называются развертывающимися поверхностями . Миндинг также поставил вопрос о том, обязательно ли является жесткой замкнутая поверхность с постоянной положительной кривизной.
• ( Теорема Либмана 1900 г.) ответила на вопрос Миндинга. Единственный регулярный (класса С) ² ) замкнутые поверхности в R ³ с постоянной положительной гауссовой кривизной являются сферами . Если сфера деформируется, она не остается сферой, что доказывает, что сфера жесткая. Стандартное доказательство использует лемму Гильберта о том, что непупочные точки крайней главной кривизны имеют неположительную гауссову кривизну.
• Теорема Гильберта (1901 г.) утверждает, что не существует полной аналитики (класс C ^ой ) регулярная поверхность в R ³ постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Фактически этот вывод справедлив и для поверхностей класса C ² погружен в R ³ , но ломается для C ¹ -поверхности. Псевдосфера имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну , за исключением граничной окружности, где гауссова кривизна не определена.

Существуют и другие поверхности, имеющие постоянную положительную гауссову кривизну. Манфреду ду Карму рассматривает поверхности революции $(\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))$ где $\phi (v)=C\cos v$, и ${\textstyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v'}}\ dv'}$ ( неполный эллиптический интеграл второго рода ). Все эти поверхности имеют постоянную гауссову кривизну, равную 1, но для $C\neq 1$ либо иметь границу, либо особую точку. Ду Карму также приводит три различных примера поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной, один из которых — псевдосфера .

Существует много других возможных ограниченных поверхностей с постоянной гауссовой кривизной. Хотя сфера жесткая и ее нельзя согнуть с помощью изометрии, если удалить небольшую область или даже разрезать ее по небольшому сегменту, то полученную поверхность можно согнуть. Такой изгиб сохраняет гауссову кривизну, поэтому любой такой изгиб сферы с удаленной областью также будет иметь постоянную гауссову кривизну.

Альтернативные формулы

• Гауссова кривизна поверхности в R ³ может быть выражено как соотношение определителей второй первой и основных форм II и I : $$K={\frac {\det(\mathrm {I\!I} )}{\det(\mathrm {I} )}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.$$
• The Формула Бриоши (по Франческо Бриоски ) дает гауссову кривизну исключительно с точки зрения первой фундаментальной формы: $$K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}$$
• Для ортогональной параметризации ( F = 0 ) гауссова кривизна равна: $$K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).$$
• Для поверхности, описываемой как график функции z = F ( x , y ) , гауссова кривизна равна: $$K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}$$
• Для неявно определенной поверхности F ( x , y , z ) = 0 гауссова кривизна может быть выражена через градиент ∇ F и матрицу Гессе H ( F ) : $$K=-{\frac {\begin{vmatrix}H(F)&\nabla F^{\mathsf {T}}\\\nabla F&0\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}$$
• Для поверхности с метрикой, конформной евклидовой, поэтому F = 0 и E = G = e ^п , кривизна Гаусса определяется выражением ( Δ — обычный оператор Лапласа ): $$K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma .$$
• Гауссова кривизна — это предельная разница между длиной окружности геодезического круга и окружностью на плоскости: $$K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}$$
• Гауссова кривизна — это предельная разница между площадью и геодезического диска диска на плоскости: $$K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}$$
• Гауссову кривизну можно выразить с помощью символов Кристоффеля : $$K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)$$

См. также

• Гауссов радиус кривизны Земли
• Секционная кривизна
• Средняя кривизна
• Карта Гаусса
• Тензор кривизны Римана
• Основная кривизна

Книги

• Гринфельд, П. (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Спрингер. ISBN  978-1-4614-7866-9 .
• Ровелли, Карло (2021). Общая теория относительности: основы . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-009-01369-7 .

Внешние ссылки

• «Гауссова кривизна» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]