Усеченный икосаэдр

Усеченный икосаэдр
Усеченный икосаэдр
Тип	Архимедово тело ; Однородный многогранник ; Многогранник Гольдберга
Лица	32
Края	90
Вершины	60
Группа симметрии	Икосаэдрическая симметрия
Двойной многогранник	Додекаэдр Пентакиса
Вершинная фигура
Сеть

В геометрии — усечённый икосаэдр это многогранник, который можно построить путём усечения всех вершин правильного икосаэдра . Интуитивно его можно рассматривать как футбольные мячи (или футбольные мячи), которые обычно имеют узор из белых шестиугольников и черных пятиугольников. Его можно найти в применении структур геодезических куполов, например, тех, чья архитектура была пионером Бакминстера Фуллера, часто основана на этой структуре. Это пример архимедова тела , а также многогранника Гольдберга .

Строительство

Усеченный икосаэдр можно построить из правильного икосаэдра , отсекая все его вершины (так называемое усечение) . Каждая из 12 вершин на отметке одной трети каждого ребра создает 12 пятиугольных граней и преобразует исходные 20 треугольных граней в правильные шестиугольники. ^{[ 1 ]} Следовательно, полученный многогранник имеет 32 грани, 90 ребер и 60 вершин. ^{[ 2 ]} Многогранник Гольдберга — это многогранник, грани которого состоят из 12 пятиугольников и некоторых кратных 10 шестиугольников. Существует три класса многогранников Гольдберга, один из них построен путем многократного усечения всех вершин, а усеченный икосаэдр — один из них, обозначаемый как $\operatorname {GP} (1,1)$ . ^{[ 3 ]}

Характеристики

Площадь поверхности $A$ и объем $V$ усеченного икосаэдра с длиной ребра $a$ являются: ^{[ 2 ]} ${\begin{aligned}A&=\left(20\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}+12\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\right)a^{2}\approx 72.607a^{2}\\V&={\frac {125+43{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}\approx 55.288a^{3}.\end{aligned}}$ Сферичность многогранника $\Psi$ описывает, насколько многогранник похож на сферу . Его можно определить как отношение площади поверхности сферы того же объема к площади поверхности многогранника, значение которого находится в диапазоне от 0 до 1. В случае усеченного икосаэдра это: ^{[ 2 ]} $\Psi ={\frac {6\pi ^{1/2}V}{A^{3/2}}}\approx 0.9504.$

Двугранный угол усеченного икосаэдра между соседними шестиугольными гранями составляет примерно 138,18 °, а между пятиугольниками и шестиугольниками - примерно 142,6 °. ^{[ 4 ]}

Усеченный икосаэдр — это архимедово тело , то есть это очень симметричный и полуправильный многогранник, в вершине которого встречаются две или более различных правильных многоугольных граней. ^{[ 5 ]} Он имеет ту же симметрию, что и правильный икосаэдр, икосаэдрическую симметрию , а также обладает свойством вершинно-транзитивности . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} Многоугольные грани, соответствующие каждой вершине, представляют собой один пятиугольник и два шестиугольника, а фигура вершины усеченного икосаэдра равна $5\cdot 6^{2}$ . Двойником усеченного икосаэдра является пентакис додекаэдр , каталонское тело . ^{[ 8 ]} имеет ту же симметрию, что и усеченный икосаэдр. ^{[ 9 ]}

Усеченный икосаэдрический граф

Согласно теореме Стейница , остов усеченного икосаэдра, как и скелет любого выпуклого многогранника , можно представить в виде многогранного графа , то есть плоского графа (того, который можно нарисовать без пересекающихся ребер) и 3-вершинно-связного графа (оставшихся связен всякий раз, когда удалены две его вершины). ^{[ 10 ]} Граф известен как усеченный икосаэдр и имеет 60 вершин и 90 ребер. Это архимедов график , поскольку он напоминает одно из архимедовых тел. Это кубический граф , то есть каждая вершина инцидентна ровно трем ребрам. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

Появление

Мячи, используемые в футбольном и командном гандболе, являются, пожалуй, самым известным примером сферического многогранника, аналога усеченного икосаэдра, встречающегося в повседневной жизни. ^{[ 14 ]} Шар состоит из одинаковых правильных пятиугольников и правильных шестиугольников, каждый из которых окрашен в черный и белый цвета соответственно; тем не менее, его форма более сферическая. Он был разработан Adidas Telstar во время чемпионата мира по футболу 1970 года . ^{[ 15 ]} Однако в 2006 году он был заменен . ^{[ 16 ]}

Геодезические купола обычно основаны на треугольных гранях этой геометрии с примерами структур, найденных по всему миру и популяризированных Бакминстером Фуллером . Примером может служить модель бакминстерфуллерена — геодезического купола в форме усеченного икосаэдра, аллотропа состоящего из элементарного углерода, открытого в 1985 году. ^{[ 17 ]} В других инженерных и научных приложениях его форма также была конфигурацией линз, используемых для фокусировки взрывных ударных волн детонаторов как в гаджете, так и «Толстяк» в атомных бомбах . ^{[ 18 ]} найти в белке клатрина . Его структуру можно также ^{[ 13 ]}

Усеченный икосаэдр был известен Архимеду , который классифицировал 13 архимедовых тел в утерянном труде. Все, что теперь известно о его работе над этими формами, исходит от Паппа Александрийского , который просто перечисляет количество граней каждой: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, в случае усеченного икосаэдра. Первое известное изображение и полное описание усеченного икосаэдра взято из повторного открытия Пьеро делла Франчески в его книге XV века De quinque corporibus Regularibus , которая включала пять архимедовых тел (пять усечений правильных многогранников). ^{[ 19 ]} Ту же форму изобразил Леонардо да Винчи в своих иллюстрациях к плагиату Луки Пачоли книги делла Франчески в 1509 году. Хотя Альбрехт Дюрер исключил эту форму из других архимедовых тел, перечисленных в его книге 1525 года о многогранниках Underweysung der Messung , описание его было найдено в его посмертных записках, опубликованных в 1538 году. Позже Иоганн Кеплер заново открыл полный список 13 архимедовых тел, включая усеченный икосаэдр, и включил их в свою книгу 1609 года «Harmonices Mundi» . ^{[ 20 ]}

См. также

Додекаэдр со скошенной кромкой

Ссылки

^ Ченси, CC; О'Брайен, MCM (1997). Эффект Яна-Теллера в C ₆₀ и других икосаэдрических комплексах . Издательство Принстонского университета . п. 13. ISBN 978-0-691-22534-0 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .
^ Харт, Джордж (2012). «Многогранники Гольдберга». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства (2-е изд.). Спрингер. стр. 125–138. дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_9 . ISBN 978-0-387-92713-8 .
^ Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР 0185507 . S2CID 122006114 . Збл 0132.14603 .
^ Дюдя, МВ (2018). Многооболочечные многогранные кластеры . Спрингер . п. 39. дои : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2 .
^ Коджа, М.; Коджа, НЕТ (2013). «Группы Кокстера, кватернионы, симметрии многогранников и 4D-многогранники» . Математическая физика: материалы 13-й региональной конференции, Анталья, Турция, 27–31 октября 2010 г. Всемирная научная. п. 48.
^ Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . п. 386. ИСБН 978-0-521-55432-9 .
^ Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. с. 90. ИСБН 978-0-486-23729-9 .
^ Холден, Алан (1991). Формы, пространство и симметрия . Дуврские книги по математике. Курьерская корпорация. п. 52. ИСБН 9780486268514 .
^ Негами, С. (2016). «Точные вложения плоских графов на ориентируемые замкнутые поверхности» . В Ширани, Йозеф; Джайкай, Роберт (ред.). Симметрии в графах, картах и многогранниках: 5-й семинар SIGMAP, Вест-Малверн, Великобритания, июль 2014 г. Спрингер. п. 250. дои : 10.1007/978-3-319-30451-9 . ISBN 978-3-319-30451-9 .
^ Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998). Атлас графов . Издательство Оксфордского университета . п. 268.
^ Годсил, К.; Ройл, Г. (2001). Алгебраическая теория графов . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 211.
^ Перейти обратно: ^а ^б Костант, Б. (1995). «Граф усеченного икосаэдра и последнее письмо Галуа» (PDF) . Замечания Американского математического общества . 42 (9): 959–968.
^ Кочик, Дитер (июль – август 2006 г.). «Топология и комбинаторика футбольных мячей» . Американский учёный . 94 (4): 350. дои : 10.1511/2006.60.350 .
^ Харланд, Энди; Хэнсон, Генри (2016). «Динамика футбольного мяча» . В Струдвике, Тони (ред.). Футбольная наука . Кинетика человека. п. 205. ИСБН 978-1-4504-9679-7 .
^ Посаментье, Альфред С.; Мареш, Гюнтер; Таллер, Бернд; Спрейцер, Кристиан; Геретшлагер, Роберт; Председатель-пастор Дэвид; Дорнер, Кристиан (2022). Геометрия в нашем трехмерном мире . Всемирная научная. п. 182. ИСБН 9789811237126 .
^ Кац, Э.А. (2006). «Тонкие пленки фуллерена как фотоэлектрический материал» . В Соге, Тецуо (ред.). Наноструктурированные материалы для преобразования солнечной энергии . Эльзевир. п. 361. ИСБН 978-0-444-52844-5 .
^ Роудс, Ричард (1996). Тёмное солнце: создание водородной бомбы . Книги пробного камня. п. 195. ИСБН 0-684-82414-0 .
^ Кац, Юджин А. (2011). «Мосты между математикой, естественными науками, архитектурой и искусством: случай фуллеренов». Искусство, наука и технологии: взаимодействие трех культур: материалы первой международной конференции . стр. 60–71.
^ Филд, СП (1997). «Заново открывая архимедовы многогранники: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер». Архив истории точных наук . 50 (3–4): 241–289. дои : 10.1007/BF00374595 . JSTOR 41134110 . МР 1457069 . S2CID 118516740 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , « Усеченный икосаэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный граф икосаэдра» . Математический мир .
Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3x5o - ti» .
Редактируемая для печати сетка усеченного икосаэдра с интерактивным 3D-просмотром
Однородные многогранники
«Многогранники виртуальной реальности» — Энциклопедия многогранников
3D-визуализация бумажных данных Мяч чемпионата мира по футболу

[co-1] Ченси, CC; О'Брайен, MCM (1997). Эффект Яна-Теллера в C ₆₀ и других икосаэдрических комплексах . Издательство Принстонского университета . п. 13. ISBN 978-0-691-22534-0 .

[berman-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .

[hart-3] Харт, Джордж (2012). «Многогранники Гольдберга». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства (2-е изд.). Спрингер. стр. 125–138. дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_9 . ISBN 978-0-387-92713-8 .

[johnson-4] Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР 0185507 . S2CID 122006114 . Збл 0132.14603 .

[diudea-5] Дюдя, МВ (2018). Многооболочечные многогранные кластеры . Спрингер . п. 39. дои : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2 .

[kocakoca-6] Коджа, М.; Коджа, НЕТ (2013). «Группы Кокстера, кватернионы, симметрии многогранников и 4D-многогранники» . Математическая физика: материалы 13-й региональной конференции, Анталья, Турция, 27–31 октября 2010 г. Всемирная научная. п. 48.

[cromwell-7] Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . п. 386. ИСБН 978-0-521-55432-9 .

[williams-8] Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. с. 90. ИСБН 978-0-486-23729-9 .

[holden-9] Холден, Алан (1991). Формы, пространство и симметрия . Дуврские книги по математике. Курьерская корпорация. п. 52. ИСБН 9780486268514 .

[negami-10] Негами, С. (2016). «Точные вложения плоских графов на ориентируемые замкнутые поверхности» . В Ширани, Йозеф; Джайкай, Роберт (ред.). Симметрии в графах, картах и многогранниках: 5-й семинар SIGMAP, Вест-Малверн, Великобритания, июль 2014 г. Спрингер. п. 250. дои : 10.1007/978-3-319-30451-9 . ISBN 978-3-319-30451-9 .

[rw-11] Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998). Атлас графов . Издательство Оксфордского университета . п. 268.

[gr-12] Годсил, К.; Ройл, Г. (2001). Алгебраическая теория графов . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 211.

[kostant-13] Перейти обратно: ^а ^б Костант, Б. (1995). «Граф усеченного икосаэдра и последнее письмо Галуа» (PDF) . Замечания Американского математического общества . 42 (9): 959–968.

[kotschick-14] Кочик, Дитер (июль – август 2006 г.). «Топология и комбинаторика футбольных мячей» . Американский учёный . 94 (4): 350. дои : 10.1511/2006.60.350 .

[hh-15] Харланд, Энди; Хэнсон, Генри (2016). «Динамика футбольного мяча» . В Струдвике, Тони (ред.). Футбольная наука . Кинетика человека. п. 205. ИСБН 978-1-4504-9679-7 .

[pmtsgsd-16] Посаментье, Альфред С.; Мареш, Гюнтер; Таллер, Бернд; Спрейцер, Кристиан; Геретшлагер, Роберт; Председатель-пастор Дэвид; Дорнер, Кристиан (2022). Геометрия в нашем трехмерном мире . Всемирная научная. п. 182. ИСБН 9789811237126 .

[katz-2006-17] Кац, Э.А. (2006). «Тонкие пленки фуллерена как фотоэлектрический материал» . В Соге, Тецуо (ред.). Наноструктурированные материалы для преобразования солнечной энергии . Эльзевир. п. 361. ИСБН 978-0-444-52844-5 .

[rhodes-18] Роудс, Ричард (1996). Тёмное солнце: создание водородной бомбы . Книги пробного камня. п. 195. ИСБН 0-684-82414-0 .

[katz-2011-19] Кац, Юджин А. (2011). «Мосты между математикой, естественными науками, архитектурой и искусством: случай фуллеренов». Искусство, наука и технологии: взаимодействие трех культур: материалы первой международной конференции . стр. 60–71.

[field-20] Филд, СП (1997). «Заново открывая архимедовы многогранники: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер». Архив истории точных наук . 50 (3–4): 241–289. дои : 10.1007/BF00374595 . JSTOR 41134110 . МР 1457069 . S2CID 118516740 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]