5-ячеечный сот

4-симплексные соты
(Нет изображения)
Тип	Униформа 4-сотовая
Семья	Симплектические соты
Символ Шлефли	{3 ^[5]}
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	{3,3,3} т ₁ {3,3,3}
Типы ячеек	{3,3} т ₁ {3,3}
Типы лица	{3}
Вершинная фигура	т _0,3 {3,3,3}
Симметрия	${\tilde {A}}_{4}$ ×2, {3 ^[5]}
Характеристики	вершинно-транзитивный

В четырехмерной евклидовой геометрии 4 -симплексные соты , 5-ячеечные соты или пентахорно-диспентахорные соты представляют собой заполняющие пространство мозаичные соты . Он состоит из 5-клеточных и выпрямленных 5-клеточных граней в соотношении 1:1.

Структура

Ячейками вершинной фигуры являются десять тетраэдров и 20 треугольных призм , соответствующих десяти 5-клеткам и 20 выпрямленным 5-клеткам , встречающимся в каждой вершине. Все вершины лежат в параллельных областях, в которых они образуют чередующиеся кубические соты , причем тетраэдры являются либо вершинами выпрямленной 5-клетки, либо основаниями 5-клетки, а октаэдры являются основаниями выпрямленной 5-клетки. ^[1]

Альтернативные названия

Циклопентахорный тетрагребень
Пентахорно-диспентахорный тетрагребень

Проекция путем складывания

Соту из 5 ячеек можно спроецировать на двумерную квадратную мозаику с помощью операции геометрического сгиба , которая отображает две пары зеркал друг на друга, имеющих одинаковое расположение вершин :

${\tilde {A}}_{3}$
${\tilde {C}}_{2}$

две разные апериодические мозаики Путем проектирования двумерных срезов сот можно получить с 5-кратной симметрией: мозаику Пенроуза, состоящую из ромбов, и мозаику Тюбингенского треугольника, состоящую из равнобедренных треугольников. ^[2]

Решетка А4

Расположение вершин называется 5-ячеистой соты решеткой А4 , или 4-симплексной решеткой . 20 вершин его вершинной фигуры , прорезанной 5-клетки, представляют 20 корней ${\tilde {A}}_{4}$ Группа Кокстера. ^[3]^[4] Это четырехмерный случай симплектических сот .

А ^*
₄ решетка ^[5] является объединением пяти решеток A ₄ и двойственна всеусеченной 5-симплексной соте , поэтому ячейка Вороного этой решетки представляет собой всеусеченную 5-ячейку

∪

= двойственное

Связанные многогранники и соты

Вершины основаниям 5-ячеек в этом соте примыкают к 5 -ячеек, и наоборот, в соседних пластинках (или слоях); но чередующиеся пластинки могут быть перевернуты так, что вершины выпрямленных 5-ячеек примыкают к вершинам выпрямленных 5-ячеек, а основания 5-ячеек примыкают к основаниям других 5-ячеек. Эта инверсия приводит к получению еще одной не витоффовой однородной выпуклой соты. Октаэдрические призмы и тетраэдрические призмы также могут быть вставлены между чередующимися пластинками, в результате чего образуются еще две невитоффовские удлиненные однородные соты. ^[6]

Эта сота — одна из семи уникальных однородных сот. ^[7] построенный ${\tilde {A}}_{4}$ Группа Кокстера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина :

Соты А4
Pentagon symmetry	Extended symmetry	Extended diagram	Extended group	Honeycomb diagrams
a1	[3^[5]]		${\tilde {A}}_{4}$	(None)
i2	[[3^[5]]]		${\tilde {A}}_{4}$ ×2	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
r10	[5[3^[5]]]		${\tilde {A}}_{4}$ ×10	₇

Ректифицированные 5-ячеистые соты

Ректифицированные 5-ячеистые соты
(Нет изображения)
Тип	Униформа 4-сотовая
Символ Шлефли	т _0,2 {3 ^[5]} или г{3 ^[5]}
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	т ₁ {3 ³} т _0,2 {3 ³} т _0,3 {3 ³}
Типы ячеек	Тетраэдр Октаэдр Кубооктаэдр Треугольная призма
Вершинная фигура	треугольная удлиненно-антипризматическая призма
Симметрия	${\tilde {A}}_{4}$ ×2, {3 ^[5]}
Характеристики	вершинно-транзитивный

Выпрямленные 4-симплексные соты или выпрямленные 5-ячеистые соты , заполняющие пространство представляют собой мозаичные соты .

Альтернативные названия

небольшой циклоромбированный пентахорный тетрагребень
малый призматодиспентахорный тетрагребень

Циклоусеченные 5-ячеистые соты

Циклоусеченные 5-ячеистые соты
(Нет изображения)
Тип	Униформа 4-сотовая
Семья	Усеченные симплексные соты
Символ Шлефли	т _0,1 {3 ^[5]}
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	{3,3,3} т{3,3,3} 2т{3,3,3}
Типы ячеек	{3,3} т{3,3}
Типы лица	Треугольник {3} Шестигранник {6}
Вершинная фигура	Тетраэдрическая антипризма [3,4,2 ⁺], порядок 48
Симметрия	${\tilde {A}}_{4}$ ×2, {3 ^[5]}
Характеристики	вершинно-транзитивный

Циклически усеченные 4-симплексные соты или циклически усеченные 5-ячеистые соты , заполняющие пространство представляют собой мозаичные соты . Его также можно рассматривать как биректифицированные соты из 5 ячеек .

Он состоит из 5-ячеечных , усеченных 5-ячеечных и усеченных побитно 5-ячеечных граней в соотношении 2:2:1. Его вершинная фигура представляет собой тетраэдрическую антипризму с 2 правильными тетраэдрами , 8 треугольными пирамидами и 6 тетрагональными дисфеноидными ячейками, определяющими 2 5-клеточные , 8 усеченных 5-ячеечных и 6 усеченных 5-ячеечных граней вокруг вершины.

Его можно построить как пять наборов параллельных гиперплоскостей , делящих пространство на два полупространства. Трехмерные гиперплоскости содержат четвертькубические соты в качестве граней коллекции. ^[8]

Альтернативные названия

Циклоусеченный пентахорный тетрагребень
Небольшой усеченно-пентахорный тетрагребень.

Усеченные 5-ячеистые соты

Усеченные 4-симплексные соты
(Нет изображения)
Тип	Униформа 4-сотовая
Символ Шлефли	т _0,1,2 {3 ^[5]} или т{3 ^[5]}
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	т _0,1 {3 ³} т _0,1,2 {3 ³} т _0,3 {3 ³}
Типы ячеек	Тетраэдр Усеченный тетраэдр Усеченный октаэдр Треугольная призма
Вершинная фигура	треугольная вытянуто-антипризматическая пирамида
Симметрия	${\tilde {A}}_{4}$ ×2, {3 ^[5]}
Характеристики	вершинно-транзитивный

Усеченные 4-симплексные соты или усеченные 5-ячеистые соты , заполняющие пространство представляют собой мозаичные соты . Его также можно назвать циклокантиусеченными 5-ячеистыми сотами .

Альтернативные имена

Большой циклоромбированный пентахорный тетрагребень
Большой усеченно-пентахорный тетрагребень

Кантелеллированные 5-ячеистые соты

Кантелеллированные 5-ячеистые соты
(Нет изображения)
Тип	Униформа 4-сотовая
Символ Шлефли	т _0,1,3 {3 ^[5]} или рр{3 ^[5]}
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	т _0,2 {3 ³} т _1,2 {3 ³} т _0,1,3 {3 ³}
Типы ячеек	Усеченный тетраэдр Октаэдр Кубооктаэдр Треугольная призма Шестиугольная призма
Вершинная фигура	Двузначный выпрямленный пентахорон
Симметрия	${\tilde {A}}_{4}$ ×2, {3 ^[5]}
Характеристики	вершинно-транзитивный

Зубчатые 4-симплексные соты или зубчатые 5-ячеистые соты , заполняющие пространство представляют собой мозаичные соты . Его также можно назвать циклорунцитусеченными 5-ячеистыми сотами .

Альтернативные названия

Циклопризматор ромбовидный пентахорный тетрагребень
Большой призматодиспентахорный тетрагребень

Разрезанные 5-ячеистые соты

Разрезанные 5-ячеистые соты
(Нет изображения)
Тип	Униформа 4-сотовая
Символ Шлефли	т _0,1,2,3 {3 ^[5]} или 2t{3 ^[5]}
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	т _0,1,3 {3 ³} т _0,1,2 {3 ³} т _0,1,2,3 {3 ³}
Типы ячеек	Кубооктаэдр Усеченный октаэдр Усеченный тетраэдр Шестиугольная призма Треугольная призма
Вершинная фигура	наклонная прямоугольная дуопирамида
Симметрия	${\tilde {A}}_{4}$ ×2, {3 ^[5]}
Характеристики	вершинно-транзитивный

Усеченные 4-симплексные соты или усеченные 5-ячеистые соты , заполняющие пространство тесселяции представляют собой соты . Его также можно назвать циклорунцикантиусеченными 5-ячеистыми сотами .

Альтернативные названия

Большой циклопризатный пентахорный тетрагребень
Большой призматодиспентахорный тетрагребень

Всеусеченные 5-ячеистые соты

Всеусеченные 4-симплексные соты
(Нет изображения)
Тип	Униформа 4-сотовая
Семья	Всеусеченные симплексные соты
Символ Шлефли	т _0,1,2,3,4 {3 ^[5]} или tr{3 ^[5]}
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	т _0,1,2,3 {3,3,3}
Типы ячеек	т _0,1,2 {3,3} {6}х{}
Типы лица	{4} {6}
Вершинная фигура	Ирр. 5-клеточный
Симметрия	${\tilde {A}}_{4}$ ×10, [5[3 ^[5]]]
Характеристики	вершинно-транзитивный , клеточно-транзитивный

Всеусеченные 4-симплексные соты или всеусеченные 5-ячеистые соты , заполняющие пространство представляют собой мозаичные соты . Его также можно рассматривать как циклостерирунно-усеченные 5-ячеистые соты ..

Он полностью состоит из омнитусеченных 5-клеточных (омниусеченных 4-симплексных) граней.

Коксетер называет эти соты Хинтона в честь Ч. Х. Хинтона , который описал их в своей книге «Четвертое измерение» в 1906 году. ^[9]

Грани всех всеусеченных симплектических сот называются пермутоэдрами и могут быть расположены в пространстве n+1 с целыми координатами, перестановками целых чисел (0,1,..,n).

Альтернативные названия

Всеусеченный циклопентахорный тетрагребень
Великопризматодекахорный тетрагребень

A ₄^* решетка

А ^*
_{Решетка 4} представляет собой объединение пяти решеток A ₄ и является двойственной всеусеченной 5-ячеечной соте, поэтому ячейка Вороного этой решетки представляет собой всеусеченную 5-ячеистую решетку . ^[10]

∪

= двойственное

Альтернативная форма

Эти соты можно чередовать , создавая омниснуб из 5 ячеек с нерегулярными 5 ячейками, созданными в удаленных вершинах. Хотя это и не однородно, 5-клетки имеют симметрию порядка 10.

См. также

Правильные и однородные соты в 4-мерном пространстве:

Примечания

^ Ольшевский (2006), Модель 134.
^ Бааке, М.; Крамер, П.; Шлоттманн, М.; Зейдлер, Д. (декабрь 1990 г.). «ПЛАНАРНЫЕ УЗОРЫ С ПЯТИКРАТНОЙ СИММЕТРИИ КАК СЕЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР В 4-ПРОСТРАНСТВЕ». Международный журнал современной физики Б. 04 (15н16): 2217–2268. дои : 10.1142/S0217979290001054 .
^ «Решетка А4» .
^ «Корневая решетка А4 - Wolfram|Alpha» .
^ «Решетка А4» .
^ Ольшевский (2006), Клитцинг, elong( x3o3o3o3o3*a ) - ecypit - O141, schmo( x3o3o3o3o3*a ) - zucypit - O142, elongschmo( x3o3o3o3o3*a ) - ezucypit - O143
^ mathworld: Ожерелье , OEIS последовательность A000029 8-1 случаев, пропуск одного с нулевыми отметками
^ Ольшевский, (2006) Модель 135.
^ Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 . (Классификация зонохедр, стр. 73)
^ Решетка А4*

Ссылки

Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10] (1.9 Равномерные заполнения пробелов)
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Георгий Ольшевский, Равномерные паноплоидные тетракомбы , Рукопись (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомб) Модель 134
Клитцинг, Ричард. «4D евклидовы мозаики» . , х3о3о3о3о3*а - ципит - О134, х3х3х3х3х3*а - отципит - 135, х3х3х3о3о3*а - гоциропит - О137, х3х3о3х3о3*а - ципропит - О138, х3х3х3х3о3*а - гоципапит - О139, х3х3х3х 3х3*а - откипит - 140
Аффинная группа Кокстера Wa(A4), кватернионы и декагональные квазикристаллы, Мехмет Коча, Назифе О. Коча, Рамазан Коч (2013) arXiv : 1209.1878

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] Ольшевский (2006), Модель 134.

[2] Бааке, М.; Крамер, П.; Шлоттманн, М.; Зейдлер, Д. (декабрь 1990 г.). «ПЛАНАРНЫЕ УЗОРЫ С ПЯТИКРАТНОЙ СИММЕТРИИ КАК СЕЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР В 4-ПРОСТРАНСТВЕ». Международный журнал современной физики Б. 04 (15н16): 2217–2268. дои : 10.1142/S0217979290001054 .

[3] «Решетка А4» .

[4] «Корневая решетка А4 - Wolfram|Alpha» .

[5] «Решетка А4» .

[6] Ольшевский (2006), Клитцинг, elong( x3o3o3o3o3*a ) - ecypit - O141, schmo( x3o3o3o3o3*a ) - zucypit - O142, elongschmo( x3o3o3o3o3*a ) - ezucypit - O143

[7] thworld: Ожерелье , OEIS последовательность A000029 8-1 случаев, пропуск одного с нулевыми отметками

[8] Ольшевский, (2006) Модель 135.

[cox-9] Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 . (Классификация зонохедр, стр. 73)

[10] Решетка А4*

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Структура

Альтернативные названия

Проекция путем складывания

Решетка А4

Связанные многогранники и соты

Ректифицированные 5-ячеистые соты

Альтернативные названия

Циклоусеченные 5-ячеистые соты

Альтернативные названия

Усеченные 5-ячеистые соты

Альтернативные имена

Кантелеллированные 5-ячеистые соты

Альтернативные названия

Разрезанные 5-ячеистые соты

Альтернативные названия

Всеусеченные 5-ячеистые соты

Альтернативные названия

A 4 * решетка

Альтернативная форма

См. также

Примечания

Ссылки

A ₄^* решетка