16-ячел

16-ячел
(4-orthoplex)
16-ячел ; (4-orthoplex)
	Схема Шлегеля ; (вершины и края)
Тип	Выпуклый регулярный 4-политоп ; 4- Ортоплекс ; 4- Демикуб
Символ Släfli	{3,3,4}
Кокситерная диаграмма
Ячейки	16 {3,3}
Лица	32 {3}
Края	24
Вершины	8
Вершина фигура	; Октаэдр
Петри Полигон	восьмиугольник
Коксетерская группа	B 4 , [3,3,4], приказ 384 ; D 4 , заказ 192
Двойной	Tesseract
Характеристики	Выпуклый , изогональный , изотоксальный , изогедрал , обычный , политоп Ханнер
Единый индекс	12

В геометрии - 16-клеточная это обычный выпуклый 4-политоп (четырехмерный аналог платонического твердого вещества) с Schläfli Symbol {3,3,4}. Это один из шести обычных выпуклых 4-политопов, впервые описанных швейцарским математиком Людвигом Шлафли в середине 19-го века. ^{[ 1 ]} Это также называется C ₁₆ , Hexadecachoron , ^{[ 2 ]} или hexdecahedroid [ sic ? ] ^{[ 3 ]}

Это 4-дюймовый член бесконечного семейства политопов, называемых кросс-политопами , ортоплексами или гипероктаэдронами , которые аналогичны октаэдру в трех измерениях. Это коксетер $\beta _{4}$ Политоп. ^{[ 4 ]} Двойной политоп- это Tesseract (4-й куб ), с которым он может быть объединен с образованием составной фигуры . Клетки 16-клеток являются двойными до 16 вершин Тессеракта.

Геометрия

16-ячел является вторым в последовательности 6 выпуклых регулярных 4-политопов (в порядке размера и сложности). ^{[ А ]}

Каждый из 4 его преемников выпуклых 4-политопов может быть построен в качестве выпуклого корпуса политопного соединения с несколькими 16-клетками: 16-вертекс- телсеракт в качестве соединения из двух 16-клеточных, 24-вертекс 24-ячейки как Соединение из трех 16-ячел, 120-вертекс 600-ячейки в качестве соединения из пятнадцати 16-клеток и 600-вершина 120-ячейки в качестве соединения из семидесяти пяти 16-ячейков. ^{[ B ]}

Регулярные выпуклые 4-политопы
Symmetry group	A₄	B₄		F₄	H₄
Name	5-cell Hyper-tetrahedron 5-point	16-cell Hyper-octahedron 8-point	8-cell Hyper-cube 16-point	24-cell 24-point	600-cell Hyper-icosahedron 120-point	120-cell Hyper-dodecahedron 600-point
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Graph
Vertices	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cubical	120 icosahedral	600 tetrahedral
Edges	10 triangular	24 square	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Faces	10 triangles	32 triangles	24 squares	96 triangles	1200 triangles	720 pentagons
Cells	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubes	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetrahedron	2 8-tetrahedron	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetrahedron	12 10-dodecahedron
Inscribed	120 in 120-cell	675 in 120-cell	2 16-cells	3 8-cells	25 24-cells	10 600-cells
Great polygons		2 squares x 3	4 rectangles x 4	4 hexagons x 4	12 decagons x 6	100 irregular hexagons x 4
Petrie polygons	1 pentagon x 2	1 octagon x 3	2 octagons x 4	2 dodecagons x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
Long radius	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Edge length	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
Short radius	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
Area	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
Volume	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-Content	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

Координаты

Неоценка квадратов

xy Плана
( 0, 1, 0, 0)	( 0, 0,-1, 0)
( 0, 0, 1, 0)	( 0,-1, 0, 0)

WZ Плана
( 1, 0, 0, 0)	( 0, 0, 0,-1)
( 0, 0, 0, 1)	(-1, 0, 0, 0)

16-ячел-это 4-мерный кросс-политоп (4-ортоплекс) , что означает, что его вершины лежат в противоположных парах на 4 осях системы картезийской координат A (W, x, y, z).

Восемь вершин (± 1, 0, 0, 0), (0, ± 1, 0, 0), (0, 0, ± 1, 0), (0, 0, 0, ± 1). Все вершины соединены краями, кроме противоположных пар. Длина края √ 2 .

Координаты вершины 6 ортогональных центральных квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях. Квадраты в противоположных плоскостях, которые не имеют оси (например, в плоскостях XY и WZ ) совершенно не смешаны (они не пересекаются ни на каких вершин). ^{[ C ]}

16-ячейка представляет собой ортонормальную основу для выбора 4-мерной эталонной рамки, поскольку его вершины точно определяют четыре ортогональные оси.

Структура

Символ Schläfli 16-клеток составляет {3,3,4}, что указывает на то, что его ячейки являются регулярными тетраэдрами {3,3}, а его вершина - обычный октаэдрон {3,4}. В каждой вершине встречаются 8 тетраэдров, 12 треугольников и 6 краев. Его края фигура - квадрат. На каждом краю встречаются 4 тетраэдры и 4 треугольника.

16-ячел ограничен 16 клетками , все из которых являются обычными тетраэдрами . ^{[ E ]} Он имеет 32 треугольных лица , 24 края и 8 вершин . 24 края, связанные 6 ортогональных центральных квадратов, лежащих на великих кругах в 6 координатных плоскостях (3 пары полностью ортогональных ^{[ f ]} Отличные квадраты). В каждой вершине 3 великих квадрата пересекаются перпендикулярно. 6 краев встречаются в вершине, как 6 ребра встречаются на вершине канонической октаэдрической пирамиды . ^{[ D ]} 6-ортогональные центральные плоскости 16-ячейки можно разделить на 4 ортогональные центральные гиперплозы (3 пространства), каждый из которых образует октаэдр с 3 ортогональными великими квадратами.

Ротации

3D-проекция 16-элементной простых вращений	3D-проекция 16-клеточной, выполняющей двойное вращение

Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве можно рассматривать как состав двух двухмерных вращений в совершенно ортогональных плоскостях. ^{[ 6 ]} 16-ячел-это простая рама, в которой можно наблюдать 4-мерные вращения, потому что у каждого из 6 великих квадратов 16-клеток есть еще один совершенно ортогональный великий квадрат (есть 3 пары полностью ортогональных квадратов). ^{[ C ]} Многие повороты 16-клеток можно охарактеризовать углом вращения в одном из его великих квадратных плоскостей (например, плоскость XY ) и еще один угол вращения в полностью ортогональной большой квадратной плоскости ( плоскость WZ ). ^{[ J ]} Полностью ортогональные великие квадраты имеют непересекающиеся вершины: 4 из 8-клеточных 8 вершин вращаются в одной плоскости, а остальные 4 вращаются независимо в полностью ортогональной плоскости. ^{[ G ]}

В 2 или 3 измерениях вращение характеризуется одной плоскостью вращения; Этот вид вращения, происходящего в 4-й пространстве, называется простым вращением , при котором только один из двух полностью ортогональных плоскостей вращается (угол вращения в другой плоскости равен 0). В 16-клевете простое вращение в одном из 6 ортогональных плоскостей перемещает только 4 из 8 вершин; остальные 4 остаются фиксированными. (В простой анимации вращения выше все 8 вершин движутся, потому что плоскость вращения не является одной из 6 ортогональных базисных плоскостей.)

В двойном вращении оба набора из 4 вершин движутся, но независимо: углы вращения могут быть разными в 2 полностью ортогональных плоскостях. Если два угла оказываются одинаковыми, максимально симметричное изоклинальное вращение . происходит ^{[ Q ]} В 16-клетоте изоклинное вращение на 90 градусов любой пары полностью ортогональных квадратных плоскостей доставляет каждую квадратную плоскость в свою полностью ортогональную квадратную плоскость. ^{[ r ]}

Конструкции

Октаэдрический дипирамид

Октаэдр $\beta _{3}$	16-ячел $\beta _{4}$

Ортогональные прогнозы к гиперплоскости с шестиугольником

Самая простая конструкция 16-клеточной промышленности находится на трехмерном поперечном политике, октаэдре . Октаэдр имеет 3 перпендикулярных оси и 6 вершин в 3 противоположных парах (его полигон Петри - шестиугольник ). Добавьте еще одну пару вершин, на четвертой оси, перпендикулярной всем 3 из других осей. Подключите каждую новую вершину ко всем 6 исходным вершинам, добавив 12 новых краев. Это поднимает две октаэдрические пирамиды на общей базе октаэдра, которая лежит в центральной гиперплане. ^{[ 10 ]}

Октаэдр, с которого начинается конструкция, имеет три перпендикулярных пересекающихся квадратов (которые выглядят как прямоугольники в гексагональных проекциях). Каждый квадрат пересекается с каждым из других квадратов в двух противоположных вершинах, с двумя квадратами, пересекающимися в каждой вершине. Затем в четвертом измерении добавляются еще две точки (выше и ниже 3-мерной гиперплоскости). Эти новые вершины связаны со всеми вершинами октаэдрона, создавая 12 новых краев и еще три квадрата (которые кажутся попризовыми в качестве 3 диаметров шестиугольника в проекции) и еще три октаэдры. ^{[ H ]}

Что -то беспрецедентное также было создано. Обратите внимание, что каждый квадрат больше не пересекается со всеми другими квадратами: он пересекается с четырьмя из них (с тремя квадратами, пересекающимися в каждой вершине), но каждый квадрат имеет еще один квадрат, с которым он не разделяет вершины: это это совсем не подключен к этому квадрату. Эти две отдельные перпендикулярные квадраты (их три пары) похожи на противоположные края тетраэдра : перпендикулярно, но не внедряющий. Они лежат напротив друг друга (в некотором смысле параллельно), и они не касаются, но они также проходят через друг друга, как две перпендикулярные связи в цепи (но в отличие от звеньев в цепи у них общий центр). Они являются примером параллельных плоскостей Клиффорда , а 16-клеточный-самый простой обычный политоп, в котором они встречаются. Клиффорд параллелизм ^{[ L ]} объектов более чем одного измерения (больше, чем просто изогнутые линии ) появляется здесь и встречается во всех последующих 4-мерных обычных политопах, где это можно рассматривать как определяющее отношение между непересекающимися концентрическими регулярными 4-политопами и соответствующими их частями. Это может происходить между конгруэнтными (аналогичными) политопами из 2 или более измерений. ^{[ 11 ]} Например, как отмечено, прежде всего, все последующие выпуклые регулярные 4-политопы представляют собой соединения нескольких 16-ячел; Эти 16-клетоты являются параллельными политопами Клиффорда .

Тетраэдрические конструкции

16-ячел имеет две конструкции Wythoff от обычных тетраэдров, обычной формы и чередующейся формы, показанной здесь как Nets , вторая, представленная тетраэдрическими клетками двух переменных цветов. Чередственная форма представляет собой более низкую конструкцию симметрии 16-ячел, называемую DemitesserAct .

в 16-клетках Строительство Wythoff повторяет характерный 5-ячел в калейдоскопе зеркал. Каждый обычный 4-политоп имеет свою характерную 4-ортопему, нерегулярную 5-клеточную . ^{[ s ]} Существует три регулярных 4-политопа с тетраэдрическими клетками: 5-клеточная , 16-клеточная и 600-клеточная . Хотя все они ограничены регулярными клетками тетраэдров, их характерными 5-клетками (4-ортологи) являются разными тетраэдрическими пирамидами , которые основаны на одном и том же характерном нерегулярном тетраэдре. Они имеют одинаковую характерную тетраэдр (3-ортопема) и характерный правый треугольник (2-ортологи), потому что они имеют одинаковую клетку. ^{[ T ]}

Характеристики 16-клеточного ^{[ 13 ]}
	край ^{[ 14 ]}	дуговой		двугранный ^{[ 15 ]}
𝒍	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$	120°	${\tfrac {2\pi }{3}}$

𝟀	${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0.816$	60″	${\tfrac {\pi }{3}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝝉 ^{[ u ]}	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	45″	${\tfrac {\pi }{4}}$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408$	30″	${\tfrac {\pi }{6}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$

$_{0}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\approx 0.866$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{1}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{2}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}\approx 0.289$	30°	${\tfrac {\pi }{6}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$

$_{0}R^{4}/l$	$1$
$_{1}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$
$_{2}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577$
$_{3}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5$

Характерная 5-ячейка обычной 16-клеточки представлена диаграммой коксетер-динкин , который можно прочитать как список двугральных углов между его зеркальными границами. Это нерегулярная тетраэдрическая пирамида, основанная на характерном тетраэдре регулярного тетраэдра . Регулярная 16-ячея подразделяется своими симметрическими гиперплозами на 384 экземпляра его характерной 5-клеточки, которые все встречаются в его центре.

Характерный 5-клеточный (4-ортологи) имеет четыре ребра, чем его базовый характерный тетраэдр (3-ортопема), соединяя четыре вершины основания к его вершине (пятая вершина 4-Orthoscheme, в центре обычный 16-ячел). ^{[ v ]} Если обычная 16-ячея имеет крайний край радиуса и длина края 𝒍 = ${\sqrt {2}}$ , его характерные 5-клеточные десять краев имеют длину ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ Вокруг его внешнего правого лицевого лица (края противоположны характерным углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^{[ u ]} плюс ${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$ (Другие три края внешней 3-ортологии грани характерного тетраэдра, которые являются характерными радиусами обычного тетраэдра), плюс $1$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ (края, которые являются характерными радиусами обычного 16-клеточного). 4-кратный путь вдоль ортогональных краев ортосимы ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ Сначала от 16-клеточной вершины до 16-клеточного края центра, а затем превращает 90 ° в 16-клеточный центр, а затем превращает 90 ° в 16-клеточный центр тетраэдрических клеток, а затем повернув 90 ° к 16-клеточным центр.

Спиральная конструкция

16-ячел может быть построена (три разных способа) из двух спиралей Boerdijk-коксетер восьми цепей тетраэдры, каждая из которых согнулась в четвертом измерении в кольцо. ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} Две круглые спирали спирали вокруг друг друга, гнездясь друг на друга и проходят через друг друга, образуя связь хопфа . 16 -треугольные лица можно увидеть в 2D сетке в треугольной пливе , с 6 треугольниками вокруг каждой вершины. Фиолетовые края представляют собой многоугольник Петри 16-ячел. Восьмиклеточное кольцо тетраэдры содержит три октаграммы разных цветов, круговые пути с восемью краями, которые дважды падают вокруг 16-клеточки на каждой третьей вершине октаграммы. Оранжевые и желтые края представляют собой две половинки с четырьмя краями одной октаграммы, которые присоединяются к их концам, чтобы сформировать полоску Мёбиуса .

Таким образом, 16-клеточные могут быть разложены на две циркулярные цепь с ячейки по восьми тетраэдрам каждый, четыре ребра, один, один спиральный вправо (по часовой стрелке), а другой-влево (против часа часа). Кольца левой и правой клеточки сочетаются друг с другом, гнездясь друг на друга и полностью заполняя 16-ячел, даже если они имеют противоположную хиральность. Это разложение можно увидеть в 4-4 дуоантипризмом строительства 16-клеток: или , Schläfli Symbol {2} {2} или S {2} s {2}, симметрия [4,2 ⁺, 4], заказ 64.

Три восьминожных пути (разных цветов) спирали вдоль каждого восьмиэтажного кольца, создавая углы на 90 ° в каждой вершине. (В спираль Boerdijk - Коксетер перед тем, как она согнута в кольцо, углы в разных путях различаются, но не на 90 °.) Три пути (с тремя разными цветами и кажущимися углами) проходят через каждую вершину. Когда спираль согнута в кольцо, сегменты каждого восьминожного пути (разных длин) соединяются с их концами, образуя полоску Метбиуса восемь краев длиной вдоль односторонней окружности 4 𝝅 и шириной один край. ^{[ P ]} Шесть четырехнежных половинок трех восьминожных путей, каждый из которых составляет четыре углы на 90 °, но они не являются шестью ортогональными великими квадратами: они представляют собой открытые квадраты, четырехкварные спирали 360 °, открытые концы которых являются антиподальными вершинами. Четыре края поступают из четырех разных великих квадратов и являются взаимно ортогональными. Комбинированные сквозные пары той же хиральности , шесть четырехнежных путей делают три восьминожных петли Möbius, спиральные восьмиугольника. Каждая восьмиугольника представляет собой как Petrie Polygon 16-ячел, и спиральная трасса, вдоль которой все восемь вершин вращаются вместе, в одном из различных изоклинных вращений 16-клеток . ^{[ В ]}

Пять способов взглянуть на ту же аспектную октаграмму ^{[ x ]}
Крайный путь	Петри Полигон ^{[ 18 ]}	16-ячел	Дискретная фибрация	Диаметр аккорды
Octagram _{8/3}^{[ 19 ]}	Octagram _{8/1}	Плона коксетра B ₄	Octagram _{{8/2} = 2 {4}}	Octagram _{{8/4} = 4 {2}}

Восемь √ 2 аккорда края-пути изоклина. ^{[ и ]}	перекосится Октагон восьми √ 2 края. 16-ячел имеет 3 из этих 8-вертексных цепей.	Все 24 √ 2 края и четыре √ 4 ортогональных оси.	Два полностью ортогональных (непересекающих) великих квадратов из 2 краев . ^{[ G ]}	Четыре √ 4 аккорда изоклина. Каждая четвертая вершина изоклина соединяется с антиподальной вершиной по 16-клеточной оси. ^{[ и ]}

Каждая восьминогарная спираль-это с перекосом восьмиугольника _{8/3} , которая трижды падает вокруг 16-клеточки и посещает каждую вершину, прежде чем закрываться в петлю. Его восемь √ 2 края являются аккордами изоклина , спиральной дуги, на которой кружит 8 вершин во время изоклинного вращения. ^{[ P ]} Все восемь 16-клеточных вершин имеют √ 2 отдельно, за исключением противоположных (антиподальных) вершин, которые имеют √ 4 отдельно. В вершине, перемещающемся по изокулированию, посещает три другие вершины, которые находятся на расстоянии √ 2, прежде чем добраться до четвертой вершины, которая √ 4 в гостях. ^{[ O ]}

Кольцо из восьмиклеточного чирала : есть правая форма, которая спираль по часовой стрелке, и левша, которая спирала против часовой стрелки. 16-ячейка содержит по одному из каждого, поэтому он также содержит левый и правый изоклин; Изоклин-это круговая ось, вокруг которой поворачивается восьмиклеточная кольцо. Каждый изоклин посещает все восемь вершин 16-ячеистого. ^{[ ab ]} Каждое восьмиклеточное кольцо содержит половину из 16 ячеек, но все 8 вершин; Два кольца разделяют вершины, когда они гнездятся друг в друге и соединяются друг с другом. Они также разделяют 24 края, хотя левые и правые восьмирамные спирали-это разные восьмиджевые пути. ^{[ и ]}

Потому что есть три пары полностью ортогональных великих квадратов, ^{[ C ]} Есть три конгруэнтных способа составления 16-клеточных из двух восьмиэлементных колец. 16-клеточный содержит три лево-правых пары из восьми клеточных колец в разных ориентациях, причем каждое ячейческое кольцо, содержащее его осевой изоклин. ^{[ В ]} Каждая пара изоклинал влево правой-это трек левой пары различных изоклинальных вращений: вращения в одной паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей вращения. ^{[ G ]} В каждой вершине есть три великих квадрата и шесть восьмипроиграммы, которые пересекают вершину и имеют 16-клеточный аккорд оси. ^{[ AD ]}

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет 16-ячел. Ряды и столбцы соответствуют вершинам, краям, лицам и ячечкам. Диагональные числа говорят, сколько из каждого элемента происходит во всем 16-клетках. Недиагональные числа говорят, сколько элемента столбца происходит в элементе или в элементе строки.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Тесселяции

Можно Tessellate 4 измерного евклидового пространства обычными 16-клетками. Это называется 16-клеточным сотомком и имеет символ Schläfli {3,3,4,3}. Следовательно, 16-клеточный имеет двугранный угол 120 °. ^{[ 21 ]} Каждый 16-ядовитый имеет 16 соседей, с которыми он разделяет тетраэдр, 24 соседи, с которыми он разделяет только преимущество, и 72 соседей, с которыми он разделяет только одну точку. Двадцать четыре 16-ячел, встречающихся в любой данной вершине в этой тесселяции.

Двойная тесселяция, 24-клеточная сота , {3,4,3,3}, изготовлен из 24-элементных . Вместе с Tesseractic Honeycomb Это единственные три обычных тесселяции R {4,3,3,4 } ⁴.

Прогнозы

орфографические проекции
Плона коксера	B ₄	B ₃ / D ₄ / A ₂	B ₂ / D ₃
График
Двуидральная симметрия	[8]	[6]	[4]
Плона коксера	F ₄	3
График
Двуидральная симметрия	[12/3]	[4]

Параллельная проекция 16-клеточной на 3-й пространство в 3-й пространстве имеет кубическую оболочку. Предполагается, что самые близкие и дальние клетки будут вписаны тетраэдры в кубе, что соответствует двум возможным способам вставить обычный тетраэдр в куб. Каждое из этих тетраэдров представляет собой 4 других (нерегулярных) тетраэдрических объема, которые являются изображениями 4 окружающих тетраэдрических клеток, заполняя пространство между надписанным тетраэдром и кубом. Оставшиеся 6 ячейки проецируются на квадратные лица куба. В этой проекции 16-ячел все его края лежат на лицах кубического оболочки.

Перспективная проекция перспективной клетки 16-клеточки в 3-й пространство имеет тетраэдрическую конверт триакиса. Расположение ячеек в этой оболочке аналогична параллельной проекции первой клеток.

первая вершина, Параллельная проекция 16-ядовита в 3-пространстве, имеет октаэдрический конверт . Этот октаэдр можно разделить на 8 тетраэдрических объемов, разрезая координатные плоскости. Каждое из этих томов является изображением пары ячеек в 16-клевете. Самая близкая вершина 16-яковой для зрителя проецирует в центр октаэдрона.

Наконец, параллельная проекция, первая края, имеет сокращенную октаэдрическую конверт, а параллельная проекция лица имеет шестиугольную бипирамидальную оболочку.

4 Сфера диаграмма Венна

3-мерная проекция 16-клеточных и 4 пересекающихся сфер ( диаграмма Венна из 4 комплектов) является топологически эквивалентной.

16 ячеек, упорядоченных по количеству пересекающихся сфер (от 0 до 4) (см. Все ячейки и k -факсы )

4 Сфера диаграмма Венна и 16-клеточная проекция в той же ориентации

Симметрия конструкции

16-клеток Группа симметрии обозначена B ₄ .

Существует более низкая симметрическая форма 16-ячел , называемая Demitesseract или 4-Demicube , член семейства Demihypercube , и представлена H {4,3,3} и кокситеров или Полем Его можно нарисовать двукратным тетраэдрическим клетками.

Его также можно увидеть в форме нижней симметрии в виде тетраэдрической антипризма , построенной 2 параллельными тетраэдрами в двойных конфигурациях, соединенных 8 (возможно удлиненными) тетраэдрами. Он представлен S {2,4,3} и диаграммой коксетов: .

Его также можно рассматривать как ортотоп Snub 4- , представленный s {2 ^1,1,1}, и диаграмма коксера: или .

При построении TessEract как 4-4 дуопризма , 16-ячейка можно рассматривать как двойной, 4-4 дуопирамида .

Имя	Кокситерная диаграмма	Символ Släfli	ЗАМЕНАТАЦИИ ПОХЕТЕРА	Заказ
Регулярные 16-ячел		{3,3,4}	[3,3,4]	384
Demitesseract Квазирегулярные 16-ячеистые	= =	h {4,3,3} {3,3 ^1,1}	[3 ^1,1,1] = [1 ⁺,4,3,3]	192
Чередование 4-4 дуопизма		2s {4,2,4}	[[4,2 ⁺,4]]	64
Тетраэдрический антипризм		s {2,4,3}	[2 ⁺,4,3]	48
Чередовая квадратная призма		Sr {2,2,4}	[(2,2) ⁺,4]	16
Snub 4- ортотоп	=	S {2 ^1,1,1}	[2,2,2] ⁺ = [2 ^1,1,1] ⁺	8
4- винтовка
		{3,3,4}	[3,3,4]	384
		{4}+{4} или 2 {4}	[[4,2,4]] = [8,2 ⁺,8]	128
		{3,4}+{ }	[4,3,2]	96
		{4}+2{ }	[4,2,2]	32
		{}+{}+{}+{} или 4 {}	[2,2,2]	16

Связанные сложные многоугольники

Мёбий -Кантор Полигон является обычным сложным многоугольником ₃ {3} ₃ , , в $\mathbb {C} ^{2}$ делится теми же вершинами, что и 16-ячел. Он имеет 8 вершин и 8 3-кратных. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}

Обычный сложный многоугольник, ₂ {4} ₄ , , в $\mathbb {C} ^{2}$ Имеет реальное представление в качестве 16-клеточного в 4-мерном пространстве с 8 вершинами, 16 2-кратными, только половина краев 16-клеточных. Его симметрия ₄ [4] ₂ , порядок 32. ^{[ 24 ]}

Орфографические многоугольника ₂ {4} ₄ проекции
В _{B 4} плоскости коксера 2 ₄ {4} _{имеет 8 вершин и 16 2-кратных, показанных здесь с} 4 наборами цветов.	8 вершин сгруппированы в 2 набора (показаны красными и синими), каждая из которых связана только с краями к вершинам в другом наборе, что делает этот полигон полным двусторонним графом , K _4,4 . ^{[ 25 ]}

Связанные однородные политопы и соты

Регулярные 16-клеточные и телчакта являются постоянными членами набора из 15 однородных 4-политопов с той же _{B 4} симметрией . 16-ячел также является одним из D ₄ равномерных политопов симметрии .

16-ячел также связан с кубическим сотомком , додекаэдрическим сотомком Order-4 и гексагональными плитками , которые все имеют фигуры с октаэдрическим вершиной .

Он принадлежит к последовательности {3,3, P} 4-политопах, которые имеют тетраэдрические клетки. Последовательность включает три регулярных 4-политопа евклидова 4-пространства, 5-клеточного {3,3,3}, 16-клеточного {3,3,4} и 600-клеточных {3,3,5}), и Ордена-6 тетраэдрических сот {3,3,6} гиперболического пространства.

Это сначала в последовательности квазирегулярных политопов и сотовых компаний H {4, P, Q} и половины симметрии , для обычных форм {P, 3,4}.

Смотрите также

v Т и Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные политопы в измерениях 2–10
Семья	A _n	B _n	I ₂ (p) / d _n	E ₆ / E ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
Обычный многоугольник	Треугольник	Квадрат	P-GGR	Шестигранник	Пентагон
Единый многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдрон • Икосаэдрон
Единый полихорон	Пентахорон	16-ячел • Тессеракт	Demitesseract	24-ячея	120-клеточный • 600-клеточный
Униформа 5-политопа	5-SIMPLEX	5-Orthoplex • 5-Cube	5-Demicube
Униформа 6-политопа	6-SIMPLEX	6-Orthoplex • 6-Cube	6-Demicube	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Униформа 7-политопа	7-SIMPLEX	7-Orthoplex • 7-Cube	7-Demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Униформа 8-политопа	8-SIMPLEX	8-Orthoplex • 8-Cube	8-Demicube	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Униформа 9-политопа	9-SIMPLEX	9-Orthoplex • 9-Cube	9-Demicube
Униформа 10-политопа	10-SIMPLEX	10-Orthoplex • 10-куб	10-Demicube
Равномерный n - политоп	n - Simplex	n - Orthoplex • n - куб	n - demicube	1 _K2 • 2 _K1 • K ₂₁	n - пентагональный политоп
Темы: Семейства политопа • Обычный политоп • Список обычных политопов и соединений

Примечания

^ Выпуклые регулярные 4-политопы могут быть упорядочены по размеру в качестве показателя 4-мерного содержания (гиперволам) для того же радиуса. Каждый больший политоп в последовательности кругнее его предшественника, прилагая больше контента ^{[ 5 ]} в том же радиусе. 4-simplex (5-клеточный) является наименьшим лимитом, а 120-клеточный-самый большой. Сложность (как измеряется путем сравнения матриц конфигурации или просто количество вершин) следует за тем же упорядочением. Это обеспечивает альтернативную численную схему именования для регулярных политопов, в которых 16-клеточный 4-точечный 4-политоп: второй в восходящей последовательности, которая работает от 5-точечного 4-политопа до 600-точечного 4-политопа.
^ Есть 2 и только 2 16-клеточные вписаны в 8-клеточный (Tesseract), 3 и только 3 16-клеточные, вписанные в 24-клеточные, 75 различных 16-ячел (но только 15 не соответствуют 16-клеткам), вписанными в. 600-клеточные и 675 различных 16-клеточных (но только 75 разъединенных 16-клеточных) вписаны в 120-ячел.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин В 4 размере пространства мы можем построить 4 перпендикулярных оси и 6 перпендикулярных плоскостей через точку. Без потери общности мы можем воспринимать их как оси и ортогональные центральные плоскости (w, x, y, z) системы координат. В 4 измерениях у нас есть те же 3 ортогональные плоскости (XY, XZ, YZ), которые мы имеем в 3 измерениях, а также 3 других (WX, WY, WZ). Каждый из 6 ортогональных плоскостей разделяет ось с 4 другими и противоположна или полностью ортогональна только одним из других: единственной, с которой он не разделяет ось. Таким образом, есть 3 пары полностью ортогональных плоскостей: XY и WZ пересекаются только на начале координат; XZ и WY пересекаются только на начале координат; YZ и WX пересекаются только на начале.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Каждая вершина в 16-ячелке является вершиной октаэдрической пирамиды , основание которой является октаэдр, образованный 6 другими вершинами, с которыми вершина соединена краями. 16-ячел может быть деконструирована (четыре разных способа) в две октаэдрические пирамиды, прорезав его пополам через одну из четырех октаэдрических центральных гиперплозов. Посмотрел изнутри изогнутого 3-размерного объема его пограничной поверхности из 16 тетраэдров с лицом лицевой связи, фигура вершины 16-клеток-октаэдр. В 4 измерениях октаэдр вершины на самом деле является октаэдрической пирамидой. Вершина октаэдрической пирамиды (вершина, где встречаются 6 краев) на самом деле не находится в центре октаэдрона: она смещена радиально наружу в четвертом измерении, из гиперплоскости, определенной 6 вершинами октаэдрона. 6 краев вокруг вершины делают ортогональный 3-осевой крест в 3 измерениях (и в трехмерной проекции 4-пирамиды ), но 3 линии фактически согнуты на 90 градусов в четвертом измерении, где они встречаются в вершине Полем
^ Пограничная поверхность 16-клеточного представляет собой конечное 3-мерное пространство, состоящее из 16 тетраэдров, расположенных лицом к лицу (четыре около одного). Это закрытое, плотно изогнутое (неклидовое) 3-пространство, в котором мы можем перемещаться прямо через 4 тетраэдры в любом направлении и вернуться обратно в тетраэдр, где мы начали. Мы можем визуализировать перемещение внутри этого тетраэдрического тренажерного зала джунглей , поднимаясь из одного тетраэдра в другую на его 24 стойки (его края) и никогда не сможем выйти (или увидеть) 16 тетраэдров, независимо смотреть). Мы всегда находимся на (или в) поверхности 16-клеточной, никогда не внутри самой 16-клеточки (и снаружи). Мы видим, что 6 ребра вокруг каждой вершины симметрично излучают в 3 измерениях и образуют ортогональный 3-осевой крест, так же, как и радиусы октаэдрона (поэтому мы говорим, что вершина 16-ячел-октаэдр). ^{[ D ]}
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Две плоские плоскости A и B эвклидового пространства четырех измерений называются полностью ортогональными, если и только если каждая линия в A является ортогональной для каждой линии в B. В этом случае плоскости A и B пересекаются в одной точке o, так что это, так Если линия в пересечении с линией в B, они пересекаются в O. A и B, перпендикулярные и параллельны Клиффорду . ^{[ C ]}
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Полностью ортогональные великие квадраты не включаются и вращаются независимо, потому что великие круги, на которых лежат их вершины, параллельны Клиффорду . ^{[ L ]} Они √ 2 отдельно в каждой паре ближайших вершин (и в 16-клевете все пары, кроме антиподальных пар, ближайшие). Два квадрата вообще не могут пересечь, потому что они лежат в плоскостях, которые пересекаются только в одной точке: центр 16-клеточной. ^{[ C ]} Поскольку они перпендикулярны и имеют общий центр, два квадрата явно не параллельны и не разделены в обычном способе параллельных квадратов в 3 измерениях; Скорее они подключены, как соседние квадратные связи в цепи, каждый из которых проходит через другой, не пересекая в любых точках, образуя ссылку HOPF .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Три великих квадрата встречаются в каждой вершине (и на противоположной вершине) в 16-ячелке. У каждого из них есть разные полностью ортогональные квадраты. ^{[ f ]} Таким образом, есть три великих квадрата, полностью ортогональные по отношению к каждой вершине и ее противоположную вершину (каждая ось). Они образуют октаэдр (центральная гиперплоскость). Каждая линия оси в 16-клетках полностью ортогональна к центральному октаэдровому гиперплоскому, так как каждая великая квадратная плоскость полностью ортогональна другой великой квадратной плоскости. ^{[ C ]} Ось и октаэдрон пересекаются только в одной точке (центр 16-ячел), поскольку каждая пара полностью ортогональных великих квадратов пересекается только в одну точку (центр 16-ячел). Каждый центральный октаэдр также является октаэдрической вершиной -фигурой двух из восьми вершин: два на его полностью ортогональной оси.
^ Три не полностью ортогональные великие квадраты, которые пересекаются в каждой вершине 16-клеточной, образуют октаэдрическую вершину-фигуры вершины . ^{[ D ]} Любые два из них, вместе с полностью ортогональной площадью третьего, также образуют октаэдр: центральная октаэдрическая гиперплостная. ^{[ H ]} В 16-клевете каждая октаэдрическая вершина также является центральной октаэдрической гиперплоскостью.
^ Каждая великая квадратная вершина √ 2 отдален от двух других вершин квадрата и √ 4 отдаленных от ее противоположной вершины. Остальные четыре вершины 16-клеточного (также √ 2 далеких) являются вершинами полностью ортогонального квадрата площади. ^{[ G ]} Каждая 16-клеточная вершина представляет собой вершину из трех ортогональных великих квадратов, которые пересекаются там. У каждого из них есть разные полностью ортогональные квадраты. Таким образом, есть три великих квадрата, полностью ортогональные по отношению к каждой вершине: квадраты, частью которых не является вершина. ^{[ я ]}
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Каждый великий квадратный самолет является изоклинным (Clifford Parallel) для пяти других квадратных плоскостей, но полностью ортогонально ^{[ f ]} только одному из них. У каждой пары полностью ортогональных самолетов есть параллельные круги Клиффорда, но не все параллельные круги Клиффорда являются ортогональными. Существует также другой способ, которым полностью ортогональные плоскости находятся в выдающейся категории параллельных плоскостей Клиффорда: они не хиральны . Пара изоклинальных (параллельных) плоскостей (Clifford Parallel) является либо левой парой , либо правой парой , если они не разделены двумя углами 90 ° (полностью ортогональные плоскости) или 0 ° (совпадающие плоскости). ^{[ 20 ]} Большинство изоклинных плоскостей объединяются только левым изоклинным вращением или правым изоклинным вращением соответственно. Полностью ортогональные плоскости являются особенными: пара плоскостей - это как левая, так и правая пара, поэтому левое или правое изоклинальное вращение объединит их. Поскольку самолеты, разделенные изоклинным вращением на 90 °, находятся на 180 ° друг от друга, плоскость влево и плоскость справа - та же плоскость. ^{[ r ]}
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Параллели Clifford -это неинтересные изогнутые линии, которые параллельны в том смысле, что перпендикулярное (самое короткое) расстояние между ними одинаково в каждой точке. ^{[ 7 ]} Двойная спираль является примером параллелизма Клиффорда в обычном трехмерном евклидовом пространстве. В 4-местном Clifford параллели встречаются в виде геодезических великих кругов на 3-х сфере . ^{[ 8 ]} В 16-клевете соответствующие вершины полностью ортогональных квадратов великого круга представлены все друг от друга , поэтому эти квадраты являются параллельными полигонами Клиффорда. ^{[ k ]} Обратите внимание, что только вершины великих квадратов (точки на великом круге) находятся отдельности в ; Точки на краях квадратов (на аккордах круга) ближе друг к другу.
^ Противоположные вершины в 4-политопе единичного радиуса соответствуют противоположным вершинам 8-клеточного гиперкуба (Tesseract). Длинный диагональ этого радиально равностороннего 4-куба составляет √ 4 . При изоклинном вращении на 90 ° каждая вершина 16-клеточности смещена в его антиподальную вершину, перемещаясь вдоль спиральной геодезической дуги длины 𝝅 (180 °), к вершине √ 4 вдоль длинного диаметра единичного радиуса 4 -Политоп (16-клеточный или телсестракт), то же полное смещение, что и если он был вытеснен √ 1 четыре раза, пройдя путь по четырем последовательным ортогональным краям тела.
^ Существует шесть разных двухэдажных путей, соединяющих пару антиподальных вершин вдоль краев великого квадрата. Левое изоклинное вращение работает по диагонали между тремя из них, и правое изоклинальное вращение работает по диагонали между другими тремя. Эти диагонали представляют собой прямые линии (геодезика), соединяющие противоположные вершины тетраэдрических клеток с лицевой связью в левом восьмиэлементном кольце и правом восьмиэлементном кольце соответственно.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в В 16-клетках две антиподальные вершины представляют собой противоположные вершины двух тетраэдрических клеток, связанных с лицом. Две антиподальные вершины соединены (тремя разными) двухквозь большими кружкими путями вдоль краев тетраэдрических клеток, различными трехожестными путями и по четырем красам на изоклинах и полигонах Петри. ^{[ P ]}
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Isocline - это круг особого рода, соответствующий паре кругов Villarceau, связанных в петле Möbius . Он изгибается через четыре измерения вместо двух. Все обычные круги имеют 2𝝅 окружность, но Isocline 16-клеток представляет собой круг с окружностью 4𝝅 (более восьми 90 ° аккордов). Изоклин - это круг, который не лежит в плоскости, но чтобы избежать путаницы, мы всегда называем его изокулизом и оставляем термин круг для обычного круга в плоскости.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} При изоклинном вращении все 6 ортогональных плоскостей смещены в двух ортогональных направлениях одновременно: они вращаются под тем же углом, и в то же время они наклонены в сторону под тем же углом. Изоклинное смещение (также известное как смещение Клиффорда ) имеет 4-мерное диагональ. Точки смещены на равное расстояние в четырех ортогональных направлениях одновременно, и вытесняют полное пифагорское расстояние, равное квадратному корню в четыре раза превышающего квадрата этого расстояния. Все вершины обычного 4-политопа смещены в вершину, по крайней мере, в двух краях. Например, когда 16-клеточный элемент-радий вращается изоклинически на 90 ° в большой квадратной инвариантной плоскости, он также вращает 90 ° в полностью ортогональной большой квадратной инвариантной плоскости. ^{[ C ]} Великая квадратная плоскость также наклоняется в сторону на 90 °, чтобы занять полностью ортогональную плоскость. (По изоклинной симметрии каждый великий квадрат вращается на 90 ° и наклоняется в сторону на 90 ° в свою полностью ортогональную плоскость.) Каждая вершина (в каждом великом квадрате) вытесняется в антиподальную вершину, на расстоянии √ 1 в каждом из четырех ортогонов. , общее расстояние √ 4 . ^{[ м ]} Оригинальная и смещенная вершина - это две длина края друг от друга на три ^{[ n ]} Разные пути по двум краям великого квадрата. Но изоклин (спиральная дуга, которой следует вершина во время изоклинного вращения) не работает по краям: она проходит между этими различными трассами по диагонали, на геодез (кратчайшая дуга) между исходными и смещенными вершинами. ^{[ O ]} Эта изоклинная геодезическая дуга не является сегментом обычного великого круга; Он не лежит в плоскости какого -либо великого квадрата. Это спиральная дуга 180 °, которая сразу же изгибается в круге в двух полностью ортогональных плоскостях. Этот кружок Мёбиуса не лежит ни в какой плоскости и не пересекает какие -либо вершины между исходной и перемещенной вершиной. ^{[ P ]}
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в 90 -градусное изоклинное вращение двух полностью ортогональных плоскостей приводит их друг к другу. В таком вращении жесткого 16-элементного, все 6 ортогональных плоскостей вращаются на 90 градусов, а также наклоняются в сторону на 90 градусов к их полностью ортогональному (параллель Клиффорда) ^{[ L ]} самолет. ^{[ 9 ]} Соответствующие вершины двух полностью ортогональных великих квадратов имеют √ 4 (180 °) друг от друга; Великие квадраты (параллельные политопы Клиффорда) находятся друг от друга (180 °); Но две полностью ортогональные плоскости находятся на расстоянии 90 ° друг от друга, в двух ортогональных углах, которые их разделяют. Если изоклинное вращение продолжается через еще 90 °, каждая вершина завершает вращение на 360 °, и каждый великий квадрат возвращается в свою исходную плоскость, но в другой ориентации (поменены оси): оно было повернуто «вверх дном» на поверхности 16-клеточный (который сейчас «внутри»). Продолжаясь через второе изоклинальное вращение на 360 ° (через четыре 90 ° на 90 ° изоклинальных шагов, вращение 720 °) возвращает все в свое исходное место и ориентацию.
^ Ортосли , который характерен для какого -то - это хиральный нерегулярная простой простой с правым треугольником политопа, если он точно заполнит этот политоп с отражениями себя в своих собственных границах (его зеркальные стены ). Каждое обычное политоп может быть рассечен радиально в экземпляры его характерной ортологии, окружающей его центр. Характерная ортосемя имеет форму, описанную той же коксетер-динкинской диаграммой, что и обычный политоп без генерирующего точечного кольца.
^ Обычный политоп измерения K имеет характерную k -ортошем, а также характерную ( k -1) -ортошем. Регулярный 4-политоп имеет характерный 5-клеточный (4-ортопема), в который он подразделяется по его (3-мерным) гиперплозам симметрии, а также характерным тетраэдром (3-ортологи), в которую подразделяется ее поверхность. Клетки (2-мерные) плоскости симметрии. После подразделения своей (трехмерной) поверхности в характерные тетраэдры, окружающие каждый клеточный центр, его (4-мерный) внутренний интерьер может быть разделен на характерные 5-ячеек, добавив радиусы, соединяющие вершины поверхностного тетраэдры к центру 4-политопа. ^{[ 12 ]} Внутренние тетраэдры и треугольники, сформированные таким образом, также будут ортохийцы.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ( Coxeter 1973 ) использует греческую букву 𝝓 (PHI) для представления одного из трех характерных углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 обычного политопа. Поскольку 𝝓 обычно используется для представления константы золотого соотношения ≈ 1,618, для которого Кокситер использует 𝝉 (тау), мы обращаем конвенции Коксетера и используем 𝝉 для представления характерного угла.
^ Четыре края каждой 4-ортологии, которые встречаются в центре обычного 4-политопа, имеют неравную длину, потому что они являются четырьмя характерными радиусами обычного 4-политопа: радиус вершины, края центрального радиуса, лицо Центральный радиус и радиус клеточного центра. Пять вершин 4-ортологи всегда включают в себя одну обычную 4-политопную вершину, один обычный центр 4-политопа, один обычный 4-политопский центр лица, один обычный 4-политоп-центр и обычный 4-политоп-центр. Эти пять вершин (в этом порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных краев (которые делают три оборота под прямыми углами), характерную особенность 4-Orthoscheme. 4-Orthoscheme имеет пять разнородных 3-ортологических аспектов.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} 16-ячел может быть построена из двух клеточных восьми клеточных колец тремя различными способами; Он имеет три ориентации его пары колец. Каждая ориентация «содержит» отдельную пару изоклинных вращений в левом правом, а также пару полностью ортогональных великих квадратов (параллельные волокна Клиффорда), поэтому каждая ориентация представляет собой дискретную фибрацию 16-клеточной. Каждое восьмиклеточное кольцо содержит три осевых восьмиугольника, которые имеют разные ориентации (они обмениваются ролями) в трех дискретных фибрациях и шесть различных изоклинальных вращений (три слева и три справа) через кольца ячейки. Три октаграммы (разных цветов) можно увидеть на иллюстрации одного кольца с одним клеточным кольцом, одной в роли Petrie Polygon, одна в качестве правого изоклина, и одна в качестве левого изоклина. Поскольку каждая восьмиугольника играет три роли, в 16-ячелке состоит ровно шесть различных изоклиней, а не 18.
^ Все пять видов являются одной и той же ортогональной проекцией 16-клеточки в одну и ту же плоскость (круглый поперечный сечение восьмиклеточного кольцевого цилиндра), глядя вдоль центральной оси цилиндра вырезанного кольца, изображенного выше, с одного конца цилиндр. Единственное отличие состоит в том, что √ 2 края и √ 4 аккордов опущены для фокуса. Различные цвета √ 2 краев, по -видимому, имеют разные длины, потому что они наклонны для зрителя под разными углами. Вершины пронумерованы с 1 (вверху) по 8 в порядке против часовой стрелки.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Каждый изоклин имеет восемь √ 2 аккорда своего края-пата, а также четыре аккорда диаметром 4 , которые соединяют каждую четвертую вершину на гексаграмме _{8/3} . Антиподальные вершины также имеют скрученный путь четырех взаимно ортогональных √ 2, соединяющих их. Между антиподальными вершинами, изоклинальный кривые плавно в спирали над √ 2 аккорда его края, попадая в три промежуточные вершины. Каждое √ 2 края - это край великого квадрата, который полностью ортогонален другой великой квадрате, в котором √ 4 аккорд - диагональ.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Еще один пример левого и правого изоклинов вращения, посещающего один и тот же набор вершин, см. Характерное изоклинальное вращение 5-ячел . Хотя в этих двух особых случаях левая и правая изоклинары одного и того же вращения посещают один и тот же набор вершин, они по -прежнему проходят очень разные пути вращения, потому что они посещают одни и те же вершины в разных последовательностях.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} За исключением 5-ячеистого и 16-клеточного, ^{[ С ]} Пара левых и правых кругов изоклинала имеет непересекающиеся вершины: левые и правые спирали-изоклин не включают параллели, но противостоящие, образуя специальный вид двойной спирали, которая не может происходить в трех измерениях (где вращающиеся спирали с такими радиус должен пересечь).
^ Jump up to: ^а ^{беременный} В 16-ячелке каждый единственный изоклинальный ветер через все 8 вершин: целая фибранство двух полностью ортогональных великих квадратов. ^{[ k ]} 5-клеточная и 16-клеточная-единственные обычные 4-политопы, где каждая дискретная фибрация имеет только одно изоклинное волокно. ^{[ AA ]}
^ Левые и правые изоклинары пересекают друг друга в каждой вершине. Это разные последовательности одного и того же набора из 8 вершин. С точки зрения только набора из 4 пар вершин, которые находятся в отдельности , их можно считать параллельными Клиффордом. С точки зрения только набора из 4 пар вершин, которые находятся друг от друга , их можно считать полностью ортогональными. ^{[ k ]}
^ Это нетипично для изоклинных вращений в целом; Обычно как левые, так и правые изоклинары не встречаются в одной и той же вершине: существуют два непересеченных набора вершин, достижимых только левым или правым вращением соответственно. ^{[ AA ]} Левая и правая изоклина линии 16-элементной формы. Особая двойная спираль: необычно не только потому, что она круглая, но и потому, что его разные левые и правые спирали крутятся друг с другом через один и тот же набор антиподальных вершин, ^{[ ab ]} не через два непересекающихся подмножествах антиподальных вершин, как и изоклинные пары в большинстве изоклинных вращений, обнаруженных в природе. ^{[ С ]} Изоклинные ротации в совершенно ортогональных инвариантных плоскостях являются особенными. ^{[ k ]} Чтобы увидеть, как и почему они являются особенными, визуализируйте две совершенно ортогональные инвариантные плоскости вращения, каждая из которых вращается под каким -то углом вращения и наклоняясь в сторону под одним и тем же углом вращения в другую плоскость. ^{[ Q ]} Только когда угол вращения составляет 90 °, эта другая плоскость, в которой приземляются инвариантная плоскость, будет самой ортогональной инвариантной плоскостью. Плана назначения вращения - это полностью ортогональная инвариантная плоскость. Изоклинное вращение на 90 ° является единственным вращением, которое приводит друг к другу полностью ортогональные инвариантные плоскости. ^{[ r ]} Эта взаимность является причиной как левой, так и правой вращения, идут в одно и то же место.

Цитаты

^ Coxeter 1973 , p. 141, § 7-х. Исторические замечания.
^ Nw Джонсон : Геометрия и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11,5 Сферические коксетрические группы , с.249
^ Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), с.68
^ Coxeter 1973 , pp. 120 = 121, § 7.2. См. Иллюстрация Рис. 7.2 б .
^ Coxeter 1973 , pp. 292–293, таблица I (II): шестнадцать обычных политопов { p, Q, r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-политопа в единицах длины края. Они должны быть алгебраически преобразованы для сравнения политопов радиуса единицы.
^ Kim & Rote 2016 , с. 6, § 5. Четырехмерные вращения.
^ Tyrrell & Semple 1971 , с. 5–6, § 3. Первоначальное определение параллелизма Клиффорда.
^ Kim & Rote 2016 , стр. 7–10, § 6. Углы между двумя плоскостями в 4-й пространстве.
^ Kim & Rote 2016 , с. 8–10, отношения с параллелизмом Клиффорда.
^ Coxeter 1973 , p. 121, § 7.21. См. Иллюстрация Рис. 7.2 B : " $\beta _{4}$ четырехмерная дипирамида на основе $\beta _{3}$ (с двумя его вершинами в противоположных направлениях вдоль четвертого измерения) ».
^ Tyrrell & Semple 1971 .
^ Coxeter 1973 , p. 130, § 7.6; «Упрощенное подразделение».
^ Coxeter 1973 , с. 292–293, таблица I (II); "16-ячел, 𝛽 ₄ ".
^ Coxeter 1973 , p. 139, § 7.9 Характерный простой.
^ Coxeter 1973 , p. 290, таблица I (II); «Двухеденные углы».
^ Coxeter 1970 , p. 45, Таблица 2: Рефлекционные соты и их группы; Honeycomb [3,3,4] ₄ -это плитка 3-х сферы 2 кольца из 8 тетраэдрических клеток.
^ Banchoff 2013 .
^ Coxeter 1973 , с. 292–293, таблица I (II); 24-клеточный H ₁ .
^ Coxeter 1973 , с. 292–293, таблица I (II); 24-клеточный H ₂ .
^ Kim & Rote 2016 , стр. 7–8, § 6 углов между двумя плоскостями в 4-й пространстве; Левая и правая пары изоклинных плоскостей.
^ Coxeter 1973 , p. 293.
^ Coxeter 1991 , pp. 30, 47.
^ Coxeter & Shephard 1992 .
^ Coxeter 1991 , p. 108
^ Coxeter 1991 , p. 114

Ссылки

Т. Госсет : На обычных и полурегулярных фигурах в пространстве N размеров , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
HSM Коксетер :
- Coxeter, HSM (1973). Регулярные политопы (3 -е изд.). Нью -Йорк: Дувер.
- Coxeter, HSM (1991). Регулярные сложные политопы (2 -е изд.). Кембридж: издательство Кембриджского университета.
- Калейдоскопы: отобранные сочинения HSM Coxeter , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Азии Ивик Вайс, издания Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 Kaleidoscopes: Выбранные сочинения HSM Coxeter | Уайли
  - (Бумага 22) HSM Coxeter, обычные и полу регулярные политопы I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Бумага 23) HSM Coxeter, обычные и полурегулярные политопы II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Бумага 24) Кокситер HSM, обычные и полурегулярные политопы III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Коксетер, HSM ; Shephard, GC (1992). «Портреты семейства сложных политопов». Леонардо . 25 (3/4): 239–244. doi : 10.2307/1575843 . JSTOR 1575843 . S2CID 124245340 .
- Coxeter, HSM (1970), «Извращенные соты», конференц -совет серии региональной конференции по математическим наукам в математике , 4 , Провиденс, Род -Айленд: Американское математическое общество
Джон Х. Конвей , Хайди Бургиэль, Хаим Гудман-Страусс, Симметрия вещей 2008 г. ISBN 978-1-568881-220-5 (Глава 26. С. 409: Гемикубы: 1 _N1 )
Норман Джонсон унифицированные политопы , рукопись (1991)
- NW Johnson: Теория единообразных политопов и сотов , доктор философии. (1966)
Ким, Хауна; Rote, Günter (2016). «Конгруэнтное тестирование наборов точек в 4 измерениях». arxiv : 1603.07269 [ Cs.cg ].
Тиррелл, JA; Semple, JG (1971). Обобщенное параллелизм Клиффорда . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-08042-8 .
Banchoff, Thomas F. (2013). «Декомпозиции тора регулярных политопов в 4 пространстве». В Сенехале, Марджори (ред.). Формирование пространства . Спрингер Нью -Йорк. С. 257 –266. doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_20 . ISBN 978-0-387-92713-8 .

Внешние ссылки

Вейсштейн, Эрик У. "16-якол" . MathWorld .
16-клеточные (16-элементные) обычные политопы Марко Мёллера в R ⁴ (Немецкий)
Описание и диаграммы 16-клеточных проекций
Клицинг, Ричард. «4D однородные политопы (Polychora) x3o3o4o - Hex» .

[polytopes_ordered_by_size_and_complexity-6] Выпуклые регулярные 4-политопы могут быть упорядочены по размеру в качестве показателя 4-мерного содержания (гиперволам) для того же радиуса. Каждый больший политоп в последовательности кругнее его предшественника, прилагая больше контента ^{[ 5 ]} в том же радиусе. 4-simplex (5-клеточный) является наименьшим лимитом, а 120-клеточный-самый большой. Сложность (как измеряется путем сравнения матриц конфигурации или просто количество вершин) следует за тем же упорядочением. Это обеспечивает альтернативную численную схему именования для регулярных политопов, в которых 16-клеточный 4-точечный 4-политоп: второй в восходящей последовательности, которая работает от 5-точечного 4-политопа до 600-точечного 4-политопа.

[7] Есть 2 и только 2 16-клеточные вписаны в 8-клеточный (Tesseract), 3 и только 3 16-клеточные, вписанные в 24-клеточные, 75 различных 16-ячел (но только 15 не соответствуют 16-клеткам), вписанными в. 600-клеточные и 675 различных 16-клеточных (но только 75 разъединенных 16-клеточных) вписаны в 120-ячел.

[six_orthogonal_planes_of_the_Cartesian_basis-8] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин В 4 размере пространства мы можем построить 4 перпендикулярных оси и 6 перпендикулярных плоскостей через точку. Без потери общности мы можем воспринимать их как оси и ортогональные центральные плоскости (w, x, y, z) системы координат. В 4 измерениях у нас есть те же 3 ортогональные плоскости (XY, XZ, YZ), которые мы имеем в 3 измерениях, а также 3 других (WX, WY, WZ). Каждый из 6 ортогональных плоскостей разделяет ось с 4 другими и противоположна или полностью ортогональна только одним из других: единственной, с которой он не разделяет ось. Таким образом, есть 3 пары полностью ортогональных плоскостей: XY и WZ пересекаются только на начале координат; XZ и WY пересекаются только на начале координат; YZ и WX пересекаются только на начале.

[octahedral_pyramid-9] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Каждая вершина в 16-ячелке является вершиной октаэдрической пирамиды , основание которой является октаэдр, образованный 6 другими вершинами, с которыми вершина соединена краями. 16-ячел может быть деконструирована (четыре разных способа) в две октаэдрические пирамиды, прорезав его пополам через одну из четырех октаэдрических центральных гиперплозов. Посмотрел изнутри изогнутого 3-размерного объема его пограничной поверхности из 16 тетраэдров с лицом лицевой связи, фигура вершины 16-клеток-октаэдр. В 4 измерениях октаэдр вершины на самом деле является октаэдрической пирамидой. Вершина октаэдрической пирамиды (вершина, где встречаются 6 краев) на самом деле не находится в центре октаэдрона: она смещена радиально наружу в четвертом измерении, из гиперплоскости, определенной 6 вершинами октаэдрона. 6 краев вокруг вершины делают ортогональный 3-осевой крест в 3 измерениях (и в трехмерной проекции 4-пирамиды ), но 3 линии фактически согнуты на 90 градусов в четвертом измерении, где они встречаются в вершине Полем

[10] Пограничная поверхность 16-клеточного представляет собой конечное 3-мерное пространство, состоящее из 16 тетраэдров, расположенных лицом к лицу (четыре около одного). Это закрытое, плотно изогнутое (неклидовое) 3-пространство, в котором мы можем перемещаться прямо через 4 тетраэдры в любом направлении и вернуться обратно в тетраэдр, где мы начали. Мы можем визуализировать перемещение внутри этого тетраэдрического тренажерного зала джунглей , поднимаясь из одного тетраэдра в другую на его 24 стойки (его края) и никогда не сможем выйти (или увидеть) 16 тетраэдров, независимо смотреть). Мы всегда находимся на (или в) поверхности 16-клеточной, никогда не внутри самой 16-клеточки (и снаружи). Мы видим, что 6 ребра вокруг каждой вершины симметрично излучают в 3 измерениях и образуют ортогональный 3-осевой крест, так же, как и радиусы октаэдрона (поэтому мы говорим, что вершина 16-ячел-октаэдр). ^{[ D ]}

[completely_orthogonal_planes-11] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Две плоские плоскости A и B эвклидового пространства четырех измерений называются полностью ортогональными, если и только если каждая линия в A является ортогональной для каждой линии в B. В этом случае плоскости A и B пересекаются в одной точке o, так что это, так Если линия в пересечении с линией в B, они пересекаются в O. A и B, перпендикулярные и параллельны Клиффорду . ^{[ C ]}

[Clifford_parallel_great_squares-13] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Полностью ортогональные великие квадраты не включаются и вращаются независимо, потому что великие круги, на которых лежат их вершины, параллельны Клиффорду . ^{[ L ]} Они √ 2 отдельно в каждой паре ближайших вершин (и в 16-клевете все пары, кроме антиподальных пар, ближайшие). Два квадрата вообще не могут пересечь, потому что они лежат в плоскостях, которые пересекаются только в одной точке: центр 16-клеточной. ^{[ C ]} Поскольку они перпендикулярны и имеют общий центр, два квадрата явно не параллельны и не разделены в обычном способе параллельных квадратов в 3 измерениях; Скорее они подключены, как соседние квадратные связи в цепи, каждый из которых проходит через другой, не пересекая в любых точках, образуя ссылку HOPF .

[octahedral_hyperplanes-14] Jump up to: ^а ^{беременный} Три великих квадрата встречаются в каждой вершине (и на противоположной вершине) в 16-ячелке. У каждого из них есть разные полностью ортогональные квадраты. ^{[ f ]} Таким образом, есть три великих квадрата, полностью ортогональные по отношению к каждой вершине и ее противоположную вершину (каждая ось). Они образуют октаэдр (центральная гиперплоскость). Каждая линия оси в 16-клетках полностью ортогональна к центральному октаэдровому гиперплоскому, так как каждая великая квадратная плоскость полностью ортогональна другой великой квадратной плоскости. ^{[ C ]} Ось и октаэдрон пересекаются только в одной точке (центр 16-ячел), поскольку каждая пара полностью ортогональных великих квадратов пересекается только в одну точку (центр 16-ячел). Каждый центральный октаэдр также является октаэдрической вершиной -фигурой двух из восьми вершин: два на его полностью ортогональной оси.

[completely_orthogonal_great_squares-15] Три не полностью ортогональные великие квадраты, которые пересекаются в каждой вершине 16-клеточной, образуют октаэдрическую вершину-фигуры вершины . ^{[ D ]} Любые два из них, вместе с полностью ортогональной площадью третьего, также образуют октаэдр: центральная октаэдрическая гиперплостная. ^{[ H ]} В 16-клевете каждая октаэдрическая вершина также является центральной октаэдрической гиперплоскостью.

[vertex_and_central_octahedra-16] Каждая великая квадратная вершина √ 2 отдален от двух других вершин квадрата и √ 4 отдаленных от ее противоположной вершины. Остальные четыре вершины 16-клеточного (также √ 2 далеких) являются вершинами полностью ортогонального квадрата площади. ^{[ G ]} Каждая 16-клеточная вершина представляет собой вершину из трех ортогональных великих квадратов, которые пересекаются там. У каждого из них есть разные полностью ортогональные квадраты. Таким образом, есть три великих квадрата, полностью ортогональные по отношению к каждой вершине: квадраты, частью которых не является вершина. ^{[ я ]}

[completely_orthogonal_Clifford_parallels_are_special-19] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Каждый великий квадратный самолет является изоклинным (Clifford Parallel) для пяти других квадратных плоскостей, но полностью ортогонально ^{[ f ]} только одному из них. У каждой пары полностью ортогональных самолетов есть параллельные круги Клиффорда, но не все параллельные круги Клиффорда являются ортогональными. Существует также другой способ, которым полностью ортогональные плоскости находятся в выдающейся категории параллельных плоскостей Клиффорда: они не хиральны . Пара изоклинальных (параллельных) плоскостей (Clifford Parallel) является либо левой парой , либо правой парой , если они не разделены двумя углами 90 ° (полностью ортогональные плоскости) или 0 ° (совпадающие плоскости). ^{[ 20 ]} Большинство изоклинных плоскостей объединяются только левым изоклинным вращением или правым изоклинным вращением соответственно. Полностью ортогональные плоскости являются особенными: пара плоскостей - это как левая, так и правая пара, поэтому левое или правое изоклинальное вращение объединит их. Поскольку самолеты, разделенные изоклинным вращением на 90 °, находятся на 180 ° друг от друга, плоскость влево и плоскость справа - та же плоскость. ^{[ r ]}

[Clifford_parallels-20] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Параллели Clifford -это неинтересные изогнутые линии, которые параллельны в том смысле, что перпендикулярное (самое короткое) расстояние между ними одинаково в каждой точке. ^{[ 7 ]} Двойная спираль является примером параллелизма Клиффорда в обычном трехмерном евклидовом пространстве. В 4-местном Clifford параллели встречаются в виде геодезических великих кругов на 3-х сфере . ^{[ 8 ]} В 16-клевете соответствующие вершины полностью ортогональных квадратов великого круга представлены все друг от друга , поэтому эти квадраты являются параллельными полигонами Клиффорда. ^{[ k ]} Обратите внимание, что только вершины великих квадратов (точки на великом круге) находятся отдельности в ; Точки на краях квадратов (на аккордах круга) ближе друг к другу.

[long_diagonal_of_the_4-cube-21] Противоположные вершины в 4-политопе единичного радиуса соответствуют противоположным вершинам 8-клеточного гиперкуба (Tesseract). Длинный диагональ этого радиально равностороннего 4-куба составляет √ 4 . При изоклинном вращении на 90 ° каждая вершина 16-клеточности смещена в его антиподальную вершину, перемещаясь вдоль спиральной геодезической дуги длины 𝝅 (180 °), к вершине √ 4 вдоль длинного диаметра единичного радиуса 4 -Политоп (16-клеточный или телсестракт), то же полное смещение, что и если он был вытеснен √ 1 четыре раза, пройдя путь по четырем последовательным ортогональным краям тела.

[22] Существует шесть разных двухэдажных путей, соединяющих пару антиподальных вершин вдоль краев великого квадрата. Левое изоклинное вращение работает по диагонали между тремя из них, и правое изоклинальное вращение работает по диагонали между другими тремя. Эти диагонали представляют собой прямые линии (геодезика), соединяющие противоположные вершины тетраэдрических клеток с лицевой связью в левом восьмиэлементном кольце и правом восьмиэлементном кольце соответственно.

[isocline-23] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в В 16-клетках две антиподальные вершины представляют собой противоположные вершины двух тетраэдрических клеток, связанных с лицом. Две антиподальные вершины соединены (тремя разными) двухквозь большими кружкими путями вдоль краев тетраэдрических клеток, различными трехожестными путями и по четырем красам на изоклинах и полигонах Петри. ^{[ P ]}

[Möbius_circle-24] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Isocline - это круг особого рода, соответствующий паре кругов Villarceau, связанных в петле Möbius . Он изгибается через четыре измерения вместо двух. Все обычные круги имеют 2𝝅 окружность, но Isocline 16-клеток представляет собой круг с окружностью 4𝝅 (более восьми 90 ° аккордов). Изоклин - это круг, который не лежит в плоскости, но чтобы избежать путаницы, мы всегда называем его изокулизом и оставляем термин круг для обычного круга в плоскости.

[isoclinic_rotation-25] Jump up to: ^а ^{беременный} При изоклинном вращении все 6 ортогональных плоскостей смещены в двух ортогональных направлениях одновременно: они вращаются под тем же углом, и в то же время они наклонены в сторону под тем же углом. Изоклинное смещение (также известное как смещение Клиффорда ) имеет 4-мерное диагональ. Точки смещены на равное расстояние в четырех ортогональных направлениях одновременно, и вытесняют полное пифагорское расстояние, равное квадратному корню в четыре раза превышающего квадрата этого расстояния. Все вершины обычного 4-политопа смещены в вершину, по крайней мере, в двух краях. Например, когда 16-клеточный элемент-радий вращается изоклинически на 90 ° в большой квадратной инвариантной плоскости, он также вращает 90 ° в полностью ортогональной большой квадратной инвариантной плоскости. ^{[ C ]} Великая квадратная плоскость также наклоняется в сторону на 90 °, чтобы занять полностью ортогональную плоскость. (По изоклинной симметрии каждый великий квадрат вращается на 90 ° и наклоняется в сторону на 90 ° в свою полностью ортогональную плоскость.) Каждая вершина (в каждом великом квадрате) вытесняется в антиподальную вершину, на расстоянии √ 1 в каждом из четырех ортогонов. , общее расстояние √ 4 . ^{[ м ]} Оригинальная и смещенная вершина - это две длина края друг от друга на три ^{[ n ]} Разные пути по двум краям великого квадрата. Но изоклин (спиральная дуга, которой следует вершина во время изоклинного вращения) не работает по краям: она проходит между этими различными трассами по диагонали, на геодез (кратчайшая дуга) между исходными и смещенными вершинами. ^{[ O ]} Эта изоклинная геодезическая дуга не является сегментом обычного великого круга; Он не лежит в плоскости какого -либо великого квадрата. Это спиральная дуга 180 °, которая сразу же изгибается в круге в двух полностью ортогональных плоскостях. Этот кружок Мёбиуса не лежит ни в какой плоскости и не пересекает какие -либо вершины между исходной и перемещенной вершиной. ^{[ P ]}

[exchange_of_completely_orthogonal_planes-27] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в 90 -градусное изоклинное вращение двух полностью ортогональных плоскостей приводит их друг к другу. В таком вращении жесткого 16-элементного, все 6 ортогональных плоскостей вращаются на 90 градусов, а также наклоняются в сторону на 90 градусов к их полностью ортогональному (параллель Клиффорда) ^{[ L ]} самолет. ^{[ 9 ]} Соответствующие вершины двух полностью ортогональных великих квадратов имеют √ 4 (180 °) друг от друга; Великие квадраты (параллельные политопы Клиффорда) находятся друг от друга (180 °); Но две полностью ортогональные плоскости находятся на расстоянии 90 ° друг от друга, в двух ортогональных углах, которые их разделяют. Если изоклинное вращение продолжается через еще 90 °, каждая вершина завершает вращение на 360 °, и каждый великий квадрат возвращается в свою исходную плоскость, но в другой ориентации (поменены оси): оно было повернуто «вверх дном» на поверхности 16-клеточный (который сейчас «внутри»). Продолжаясь через второе изоклинальное вращение на 360 ° (через четыре 90 ° на 90 ° изоклинальных шагов, вращение 720 °) возвращает все в свое исходное место и ориентацию.

[characteristic_orthoscheme-30] Ортосли , который характерен для какого -то - это хиральный нерегулярная простой простой с правым треугольником политопа, если он точно заполнит этот политоп с отражениями себя в своих собственных границах (его зеркальные стены ). Каждое обычное политоп может быть рассечен радиально в экземпляры его характерной ортологии, окружающей его центр. Характерная ортосемя имеет форму, описанную той же коксетер-динкинской диаграммой, что и обычный политоп без генерирующего точечного кольца.

[32] Обычный политоп измерения K имеет характерную k -ортошем, а также характерную ( k -1) -ортошем. Регулярный 4-политоп имеет характерный 5-клеточный (4-ортопема), в который он подразделяется по его (3-мерным) гиперплозам симметрии, а также характерным тетраэдром (3-ортологи), в которую подразделяется ее поверхность. Клетки (2-мерные) плоскости симметрии. После подразделения своей (трехмерной) поверхности в характерные тетраэдры, окружающие каждый клеточный центр, его (4-мерный) внутренний интерьер может быть разделен на характерные 5-ячеек, добавив радиусы, соединяющие вершины поверхностного тетраэдры к центру 4-политопа. ^{[ 12 ]} Внутренние тетраэдры и треугольники, сформированные таким образом, также будут ортохийцы.

[reversed_greek_symbols-36] Jump up to: ^а ^{беременный} ( Coxeter 1973 ) использует греческую букву 𝝓 (PHI) для представления одного из трех характерных углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 обычного политопа. Поскольку 𝝓 обычно используется для представления константы золотого соотношения ≈ 1,618, для которого Кокситер использует 𝝉 (тау), мы обращаем конвенции Коксетера и используем 𝝉 для представления характерного угла.

[characteristic_radii-37] Четыре края каждой 4-ортологии, которые встречаются в центре обычного 4-политопа, имеют неравную длину, потому что они являются четырьмя характерными радиусами обычного 4-политопа: радиус вершины, края центрального радиуса, лицо Центральный радиус и радиус клеточного центра. Пять вершин 4-ортологи всегда включают в себя одну обычную 4-политопную вершину, один обычный центр 4-политопа, один обычный 4-политопский центр лица, один обычный 4-политоп-центр и обычный 4-политоп-центр. Эти пять вершин (в этом порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных краев (которые делают три оборота под прямыми углами), характерную особенность 4-Orthoscheme. 4-Orthoscheme имеет пять разнородных 3-ортологических аспектов.

[only_one_disjoint_pair_of_eight-cell_rings-40] Jump up to: ^а ^{беременный} 16-ячел может быть построена из двух клеточных восьми клеточных колец тремя различными способами; Он имеет три ориентации его пары колец. Каждая ориентация «содержит» отдельную пару изоклинных вращений в левом правом, а также пару полностью ортогональных великих квадратов (параллельные волокна Клиффорда), поэтому каждая ориентация представляет собой дискретную фибрацию 16-клеточной. Каждое восьмиклеточное кольцо содержит три осевых восьмиугольника, которые имеют разные ориентации (они обмениваются ролями) в трех дискретных фибрациях и шесть различных изоклинальных вращений (три слева и три справа) через кольца ячейки. Три октаграммы (разных цветов) можно увидеть на иллюстрации одного кольца с одним клеточным кольцом, одной в роли Petrie Polygon, одна в качестве правого изоклина, и одна в качестве левого изоклина. Поскольку каждая восьмиугольника играет три роли, в 16-ячелке состоит ровно шесть различных изоклиней, а не 18.

[41] Все пять видов являются одной и той же ортогональной проекцией 16-клеточки в одну и ту же плоскость (круглый поперечный сечение восьмиклеточного кольцевого цилиндра), глядя вдоль центральной оси цилиндра вырезанного кольца, изображенного выше, с одного конца цилиндр. Единственное отличие состоит в том, что √ 2 края и √ 4 аккордов опущены для фокуса. Различные цвета √ 2 краев, по -видимому, имеют разные длины, потому что они наклонны для зрителя под разными углами. Вершины пронумерованы с 1 (вверху) по 8 в порядке против часовой стрелки.

[isocline_curve-44] Jump up to: ^а ^{беременный} Каждый изоклин имеет восемь √ 2 аккорда своего края-пата, а также четыре аккорда диаметром 4 , которые соединяют каждую четвертую вершину на гексаграмме _{8/3} . Антиподальные вершины также имеют скрученный путь четырех взаимно ортогональных √ 2, соединяющих их. Между антиподальными вершинами, изоклинальный кривые плавно в спирали над √ 2 аккорда его края, попадая в три промежуточные вершины. Каждое √ 2 края - это край великого квадрата, который полностью ортогонален другой великой квадрате, в котором √ 4 аккорд - диагональ.

[two_special_cases-45] Jump up to: ^а ^{беременный} Еще один пример левого и правого изоклинов вращения, посещающего один и тот же набор вершин, см. Характерное изоклинальное вращение 5-ячел . Хотя в этих двух особых случаях левая и правая изоклинары одного и того же вращения посещают один и тот же набор вершин, они по -прежнему проходят очень разные пути вращения, потому что они посещают одни и те же вершины в разных последовательностях.

[counter-rotating_double_helix-46] Jump up to: ^а ^{беременный} За исключением 5-ячеистого и 16-клеточного, ^{[ С ]} Пара левых и правых кругов изоклинала имеет непересекающиеся вершины: левые и правые спирали-изоклин не включают параллели, но противостоящие, образуя специальный вид двойной спирали, которая не может происходить в трех измерениях (где вращающиеся спирали с такими радиус должен пересечь).

[each_16-cell_isocline_reaches_all_8_vertices-47] Jump up to: ^а ^{беременный} В 16-ячелке каждый единственный изоклинальный ветер через все 8 вершин: целая фибранство двух полностью ортогональных великих квадратов. ^{[ k ]} 5-клеточная и 16-клеточная-единственные обычные 4-политопы, где каждая дискретная фибрация имеет только одно изоклинное волокно. ^{[ AA ]}

[48] Левые и правые изоклинары пересекают друг друга в каждой вершине. Это разные последовательности одного и того же набора из 8 вершин. С точки зрения только набора из 4 пар вершин, которые находятся в отдельности , их можно считать параллельными Клиффордом. С точки зрения только набора из 4 пар вершин, которые находятся друг от друга , их можно считать полностью ортогональными. ^{[ k ]}

[50] Это нетипично для изоклинных вращений в целом; Обычно как левые, так и правые изоклинары не встречаются в одной и той же вершине: существуют два непересеченных набора вершин, достижимых только левым или правым вращением соответственно. ^{[ AA ]} Левая и правая изоклина линии 16-элементной формы. Особая двойная спираль: необычно не только потому, что она круглая, но и потому, что его разные левые и правые спирали крутятся друг с другом через один и тот же набор антиподальных вершин, ^{[ ab ]} не через два непересекающихся подмножествах антиподальных вершин, как и изоклинные пары в большинстве изоклинных вращений, обнаруженных в природе. ^{[ С ]} Изоклинные ротации в совершенно ортогональных инвариантных плоскостях являются особенными. ^{[ k ]} Чтобы увидеть, как и почему они являются особенными, визуализируйте две совершенно ортогональные инвариантные плоскости вращения, каждая из которых вращается под каким -то углом вращения и наклоняясь в сторону под одним и тем же углом вращения в другую плоскость. ^{[ Q ]} Только когда угол вращения составляет 90 °, эта другая плоскость, в которой приземляются инвариантная плоскость, будет самой ортогональной инвариантной плоскостью. Плана назначения вращения - это полностью ортогональная инвариантная плоскость. Изоклинное вращение на 90 ° является единственным вращением, которое приводит друг к другу полностью ортогональные инвариантные плоскости. ^{[ r ]} Эта взаимность является причиной как левой, так и правой вращения, идут в одно и то же место.

[FOOTNOTECoxeter1973141§&nbsp;7-x._Historical_remarks-1] Coxeter 1973 , p. 141, § 7-х. Исторические замечания.

[2] Nw Джонсон : Геометрия и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11,5 Сферические коксетрические группы , с.249

[3] Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), с.68

[FOOTNOTECoxeter1973120=121§&nbsp;7.2._See_illustration_Fig_7.2<small>B</small>-4] Coxeter 1973 , pp. 120 = 121, § 7.2. См. Иллюстрация Рис. 7.2 б .

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii):_The_sixteen_regular_polytopes_{''p,q,r''}_in_four_dimensions-5] Coxeter 1973 , pp. 292–293, таблица I (II): шестнадцать обычных политопов { p, Q, r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-политопа в единицах длины края. Они должны быть алгебраически преобразованы для сравнения политопов радиуса единицы.

[FOOTNOTEKimRote20166§&nbsp;5._Four-Dimensional_Rotations-12] Kim & Rote 2016 , с. 6, § 5. Четырехмерные вращения.

[FOOTNOTETyrrellSemple19715–6§&nbsp;3._Clifford's_original_definition_of_parallelism-17] Tyrrell & Semple 1971 , с. 5–6, § 3. Первоначальное определение параллелизма Клиффорда.

[FOOTNOTEKimRote20167–10§&nbsp;6._Angles_between_two_Planes_in_4-Space-18] Kim & Rote 2016 , стр. 7–10, § 6. Углы между двумя плоскостями в 4-й пространстве.

[FOOTNOTEKimRote20168–10Relations_to_Clifford_Parallelism-26] Kim & Rote 2016 , с. 8–10, отношения с параллелизмом Клиффорда.

[FOOTNOTECoxeter1973121§&nbsp;7.21._See_illustration_Fig_7.2<small>B</small>-28] Coxeter 1973 , p. 121, § 7.21. См. Иллюстрация Рис. 7.2 B : " $\beta _{4}$ четырехмерная дипирамида на основе $\beta _{3}$ (с двумя его вершинами в противоположных направлениях вдоль четвертого измерения) ».

[FOOTNOTETyrrellSemple1971-29] Tyrrell & Semple 1971 .

[FOOTNOTECoxeter1973130§&nbsp;7.6-31] Coxeter 1973 , p. 130, § 7.6; «Упрощенное подразделение».

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_"16-cell,_𝛽<sub>4</sub>"-33] Coxeter 1973 , с. 292–293, таблица I (II); "16-ячел, 𝛽 ₄ ".

[FOOTNOTECoxeter1973139§&nbsp;7.9_The_characteristic_simplex-34] Coxeter 1973 , p. 139, § 7.9 Характерный простой.

[FOOTNOTECoxeter1973290Table_I(ii);_"dihedral_angles"-35] Coxeter 1973 , p. 290, таблица I (II); «Двухеденные углы».

[FOOTNOTECoxeter197045Table_2:_Reflexible_honeycombs_and_their_groups-38] Coxeter 1970 , p. 45, Таблица 2: Рефлекционные соты и их группы; Honeycomb [3,3,4] ₄ -это плитка 3-х сферы 2 кольца из 8 тетраэдрических клеток.

[FOOTNOTEBanchoff2013-39] Banchoff 2013 .

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_24-cell_''h<sub>1</sub>''-42] Coxeter 1973 , с. 292–293, таблица I (II); 24-клеточный H ₁ .

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_24-cell_''h<sub>2</sub>''-43] Coxeter 1973 , с. 292–293, таблица I (II); 24-клеточный H ₂ .

[FOOTNOTEKimRote20167–8§&nbsp;6_Angles_between_two_Planes_in_4-Space-49] Kim & Rote 2016 , стр. 7–8, § 6 углов между двумя плоскостями в 4-й пространстве; Левая и правая пары изоклинных плоскостей.

[FOOTNOTECoxeter1973293-51] Coxeter 1973 , p. 293.

[FOOTNOTECoxeter199130,_47-52] Coxeter 1991 , pp. 30, 47.

[FOOTNOTECoxeterShephard1992-53] Coxeter & Shephard 1992 .

[FOOTNOTECoxeter1991108-54] Coxeter 1991 , p. 108

[FOOTNOTECoxeter1991114-55] Coxeter 1991 , p. 114

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ А ]

[ B ]

[ C ]

[ E ]

[ f ]

[ D ]

[ 6 ]

[ J ]

[ G ]

[ Q ]

[ r ]

[ 10 ]

[ H ]

[ L ]

[ 11 ]

[ s ]

[ T ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ u ]

[ v ]

[ O ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ P ]

[ В ]

[ x ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ и ]

[ ab ]

[ и ]

[ AD ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 5 ]

[ я ]

[ 20 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ k ]

[ м ]

[ n ]

[ 9 ]

[ 12 ]

[ С ]

[ AA ]