5-ячеечный сот
4-симплексные соты | |
---|---|
(Нет изображения) | |
Тип | Униформа 4-сотовая |
Семья | Симплектические соты |
Символ Шлефли | {3 [5] } |
Диаграмма Кокстера | |
4-гранные типы | {3,3,3} т 1 {3,3,3} |
Типы ячеек | {3,3} т 1 {3,3} |
Типы лица | {3} |
Вершинная фигура | т 0,3 {3,3,3} |
Симметрия | ×2, {3 [5] } |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
В четырехмерной евклидовой геометрии 4 -симплексные соты , 5-ячеечные соты или пентахорно-диспентахорные соты представляют собой заполняющие пространство мозаичные соты . Он состоит из 5-клеточных и выпрямленных 5-клеточных граней в соотношении 1:1.
Структура
[ редактировать ]Ячейками вершинной фигуры являются десять тетраэдров и 20 треугольных призм , соответствующих десяти 5-клеткам и 20 выпрямленным 5-клеткам , встречающимся в каждой вершине. Все вершины лежат в параллельных областях, в которых они образуют чередующиеся кубические соты , причем тетраэдры являются либо вершинами выпрямленной 5-клетки, либо основаниями 5-клетки, а октаэдры являются основаниями выпрямленной 5-клетки. [1]
Альтернативные названия
[ редактировать ]- Циклопентахорный тетрагребень
- Пентахорно-диспентахорный тетрагребень
Проекция путем складывания
[ редактировать ]Соту из 5 ячеек можно спроецировать на двумерную квадратную мозаику с помощью операции геометрического сгиба , которая отображает две пары зеркал друг на друга, имеющих одинаковое расположение вершин :
две разные апериодические мозаики Путем проектирования двумерных срезов сот можно получить с 5-кратной симметрией: мозаику Пенроуза, состоящую из ромбов, и мозаику Тюбингенского треугольника, состоящую из равнобедренных треугольников. [2]
Решетка А4
[ редактировать ]Расположение вершин называется 5-ячеистой соты решеткой А4 , или 4-симплексной решеткой . 20 вершин его вершинной фигуры , прорезанной 5-клетки, представляют 20 корней Группа Кокстера. [3] [4] Это 4-мерный случай симплектических сот .
А *
4 решетка [5] является объединением пяти решеток A 4 и двойственна всеусеченной 5-симплексной соте , поэтому ячейка Вороного этой решетки представляет собой всеусеченную 5-ячейку
- ∪ ∪ ∪ ∪ = двойственное
Связанные многогранники и соты
[ редактировать ]Верхушки ; 5-клеток в этих сотах примыкают к основаниям 5-клеток, и наоборот, в соседних пластинках (или слоях) но чередующиеся пластинки могут быть перевернуты так, что вершины выпрямленных 5-ячеек примыкают к вершинам выпрямленных 5-ячеек, а основания 5-ячеек примыкают к основаниям других 5-ячеек. Эта инверсия приводит к получению еще одной не витоффовой однородной выпуклой соты. Октаэдрические и тетраэдрические призмы также могут быть вставлены между чередующимися пластинками, в результате чего образуются еще две невитоффовские удлиненные однородные соты. [6]
Эта сота — одна из семи уникальных однородных сот. [7] построенный Группа Кокстера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина :
Соты А4 |
---|
Ректифицированные 5-ячеистые соты
[ редактировать ]Ректифицированные 5-ячеистые соты | |
---|---|
(Нет изображения) | |
Тип | Униформа 4-сотовая |
Символ Шлефли | т 0,2 {3 [5] } или г{3 [5] } |
Диаграмма Кокстера | |
4-гранные типы | т 1 {3 3 } т 0,2 {3 3 } т 0,3 {3 3 } |
Типы ячеек | Тетраэдр Октаэдр Кубооктаэдр Треугольная призма |
Вершинная фигура | треугольная удлиненно-антипризматическая призма |
Симметрия | ×2, {3 [5] } |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Выпрямленные 4-симплексные соты или выпрямленные 5-ячеистые соты , заполняющие пространство представляют собой мозаичные соты .
Альтернативные названия
[ редактировать ]- небольшой циклоромбированный пентахорный тетрагребень
- малый призматодиспентахорный тетрагребень
Циклоусеченные 5-ячеистые соты
[ редактировать ]Циклоусеченные 5-ячеистые соты | |
---|---|
(Нет изображения) | |
Тип | Униформа 4-сотовая |
Семья | Усеченные симплексные соты |
Символ Шлефли | т 0,1 {3 [5] } |
Диаграмма Кокстера | |
4-гранные типы | {3,3,3} т{3,3,3} 2т{3,3,3} |
Типы ячеек | {3,3} т{3,3} |
Типы лица | Треугольник {3} Шестигранник {6} |
Вершинная фигура | Тетраэдрическая антипризма [3,4,2 + ], порядок 48 |
Симметрия | ×2, {3 [5] } |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Циклически усеченные 4-симплексные соты или циклически усеченные 5-ячеистые соты , заполняющие пространство представляют собой мозаичные соты . Его также можно рассматривать как биректифицированные 5-ячеистые соты .
Он состоит из 5-ячеечных , усеченных 5-ячеечных и усеченных побитно 5-ячеечных граней в соотношении 2:2:1. Его вершинная фигура представляет собой тетраэдрическую антипризму с 2 правильными тетраэдрами , 8 треугольными пирамидами и 6 тетрагональными дисфеноидными ячейками, определяющими 2 5-клеточные , 8 усеченных 5-ячеечных и 6 усеченных 5-ячеечных граней вокруг вершины.
Его можно построить как пять наборов параллельных гиперплоскостей , делящих пространство на два полупространства. Трехмерные гиперплоскости содержат четвертькубические соты в качестве граней коллекции. [8]
Альтернативные названия
[ редактировать ]- Циклоусеченный пентахорный тетрагребень
- Небольшой усеченно-пентахорный тетрагребень.
Усеченные 5-ячеистые соты
[ редактировать ]Усеченные 4-симплексные соты | |
---|---|
(Нет изображения) | |
Тип | Униформа 4-сотовая |
Символ Шлефли | т 0,1,2 {3 [5] } или т{3 [5] } |
Диаграмма Кокстера | |
4-гранные типы | т 0,1 {3 3 } т 0,1,2 {3 3 } т 0,3 {3 3 } |
Типы ячеек | Тетраэдр Усеченный тетраэдр Усеченный октаэдр Треугольная призма |
Вершинная фигура | треугольная вытянуто-антипризматическая пирамида |
Симметрия | ×2, {3 [5] } |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Усеченные 4-симплексные соты или усеченные 5-ячеистые соты , заполняющие пространство представляют собой мозаичные соты . Его также можно назвать циклокантиусеченными 5-ячеистыми сотами .
Альтернативные имена
[ редактировать ]- Большой циклоромбированный пентахорный тетрагребень
- Большой усеченно-пентахорный тетрагребень
Кантелеллированные 5-ячеистые соты
[ редактировать ]Кантелеллированные 5-ячеистые соты | |
---|---|
(Нет изображения) | |
Тип | Униформа 4-сотовая |
Символ Шлефли | т 0,1,3 {3 [5] } или рр{3 [5] } |
Диаграмма Кокстера | |
4-гранные типы | т 0,2 {3 3 } т 1,2 {3 3 } т 0,1,3 {3 3 } |
Типы ячеек | Усеченный тетраэдр Октаэдр Кубооктаэдр Треугольная призма Шестиугольная призма |
Вершинная фигура | Двузначный выпрямленный пентахорон |
Симметрия | ×2, {3 [5] } |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Зубчатые 4-симплексные соты или зубчатые 5-ячеистые соты , заполняющие пространство представляют собой мозаичные соты . Его также можно назвать циклическиусеченными 5-ячеистыми сотами .
Альтернативные названия
[ редактировать ]- Циклопризматор ромбовидный пентахорный тетрагребень
- Большой призматодиспентахорный тетрагребень
Разрезанные 5-ячеистые соты
[ редактировать ]Разрезанные 5-ячеистые соты | |
---|---|
(Нет изображения) | |
Тип | Униформа 4-сотовая |
Символ Шлефли | т 0,1,2,3 {3 [5] } или 2t{3 [5] } |
Диаграмма Кокстера | |
4-гранные типы | т 0,1,3 {3 3 } т 0,1,2 {3 3 } т 0,1,2,3 {3 3 } |
Типы ячеек | Кубооктаэдр Усеченный октаэдр |
Вершинная фигура | наклонная прямоугольная дуопирамида |
Симметрия | ×2, {3 [5] } |
Характеристики | вершинно-транзитивный |
Усеченные 4-симплексные соты или усеченные 5-ячеистые соты , заполняющие пространство тесселяции представляют собой соты . Его также можно назвать циклорунцикантиусеченными 5-ячеистыми сотами .
Альтернативные названия
[ редактировать ]- Большой циклопризатный пентахорный тетрагребень
- Большой призматодиспентахорный тетрагребень
Всеусеченные 5-ячеистые соты
[ редактировать ]Всеусеченные 4-симплексные соты | |
---|---|
(Нет изображения) | |
Тип | Униформа 4-сотовая |
Семья | Всеусеченные симплексные соты |
Символ Шлефли | т 0,1,2,3,4 {3 [5] } или tr{3 [5] } |
Диаграмма Кокстера | |
4-гранные типы | т 0,1,2,3 {3,3,3} |
Типы ячеек | т 0,1,2 {3,3} {6}х{} |
Типы лица | {4} {6} |
Вершинная фигура | Ирр. 5-клеточный |
Симметрия | ×10, [5[3 [5] ]] |
Характеристики | вершинно-транзитивный , клеточно-транзитивный |
Всеусеченные 4-симплексные соты или всеусеченные 5-ячеистые соты , заполняющие пространство представляют собой мозаичные соты . Его также можно рассматривать как циклостерирующую усеченную пятиячеистую соту ..
Он полностью состоит из омнитусеченных 5-клеточных (омниусеченных 4-симплексных) граней.
Коксетер называет эти соты Хинтона в честь Ч. Х. Хинтона , который описал их в своей книге «Четвертое измерение» в 1906 году. [9]
Грани всех всеусеченных симплектических сот называются пермутоэдрами и могут быть расположены в пространстве n+1 с целыми координатами, перестановками целых чисел (0,1,..,n).
Альтернативные названия
[ редактировать ]- Всеусеченный циклопентахорный тетрагребень
- Великопризматодекахорный тетрагребень
A 4 * решетка
[ редактировать ]А *
Решетка 4 представляет собой объединение пяти решеток A 4 и является двойственной всеусеченной 5-ячеечной соте, поэтому ячейка Вороного этой решетки представляет собой всеусеченную 5-ячеистую решетку . [10]
- ∪ ∪ ∪ ∪ = двойственное
Альтернативная форма
[ редактировать ]Эти соты можно чередовать , создавая омниснуб из 5 ячеек с нерегулярными 5 ячейками, созданными в удаленных вершинах. Хотя это и не однородно, 5-клетки имеют симметрию порядка 10.
См. также
[ редактировать ]Правильные и однородные соты в 4-мерном пространстве:
- Тессерактические соты
- 16-ячеечная сотовая связь
- 24-ячеистые соты
- Усеченные соты из 24 ячеек
- Курносые 24-ячеистые соты
Примечания
[ редактировать ]- ^ Ольшевский (2006), Модель 134.
- ^ Бааке, М.; Крамер, П.; Шлоттманн, М.; Зейдлер, Д. (декабрь 1990 г.). «ПЛАНАРНЫЕ УЗОРЫ С ПЯТИКРАТНОЙ СИММЕТРИИ КАК СЕЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР В 4-ПРОСТРАНСТВЕ». Международный журнал современной физики Б. 04 (15н16): 2217–2268. дои : 10.1142/S0217979290001054 .
- ^ «Решетка А4» .
- ^ «Корневая решетка А4 - Wolfram|Alpha» .
- ^ «Решетка А4» .
- ^ Ольшевский (2006), Клитцинг, elong(x3o3o3o3o3*a) - ecypit - O141, schmo(x3o3o3o3o3*a) - зуципит - O142, elongschmo(x3o3o3o3o3*a) - эзуципит - O143
- ^ mathworld: Ожерелье , OEIS последовательность A000029 8-1 случаев, пропуск одного с нулевыми отметками
- ^ Ольшевский, (2006) Модель 135.
- ^ Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 . (Классификация зонохедр, стр. 73)
- ^ Решетка А4*
Ссылки
[ редактировать ]- Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10] (1.9 Равномерные заполнения пробелов)
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
- Георгий Ольшевский, Равномерные паноплоидные тетракомбы , Рукопись (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомб) Модель 134
- Клитцинг, Ричард. «4D евклидовы мозаики» . , х3о3о3о3о3*а - ципит - О134, х3х3х3х3х3*а - отципит - 135, х3х3х3о3о3*а - гоциропит - О137, х3х3о3х3о3*а - ципропит - О138, х3х3х3х3о3*а - гоципапит - О139, х3х3х3х 3х3*а - откипит - 140
- Аффинная группа Кокстера Wa(A4), кватернионы и декагональные квазикристаллы, Мехмет Коча, Назифе О. Коча, Рамазан Коч (2013) arXiv : 1209.1878
Космос | Семья | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
И 2 | Равномерная укладка плитки | {3 [3] } | д 3 | HD 3 | квартал 3 | Шестиугольный |
И 3 | Равномерные выпуклые соты | {3 [4] } | д 4 | HD 4 | 4 квартала | |
И 4 | Униформа 4-сотовая | {3 [5] } | д 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24-ячеистые соты |
И 5 | Униформа 5-сотовая | {3 [6] } | д 6 | HD 6 | qδ 6 | |
И 6 | Униформа 6-сотовая | {3 [7] } | д 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
И 7 | Униформа 7-сотовая | {3 [8] } | д 8 | hδ 8 | 8 кварталов | 1 33 • 3 31 |
И 8 | Униформа 8-сотовая | {3 [9] } | д 9 | HD 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
И 9 | Униформа 9-сотовая | {3 [10] } | д 10 | HD 10 | 10 кварталов | |
И 10 | Униформа 10-сотовая | {3 [11] } | д 11 | HD 11 | qδ 11 | |
И п -1 | Равномерный ( n -1)- сотовый | {3 [н] } | δ н | hδ н | qδ н | 1 лиц 2 • 2 лиц 1 • лиц 21 |