Последовательные и параллельные цепи

Двухполюсные компоненты и электрические сети могут быть соединены последовательно или параллельно . Полученная электрическая сеть будет иметь два терминала и сама может участвовать в последовательной или параллельной топологии . Является ли «объект» с двумя выводами электрическим компонентом (например, резистором ) или электрической сетью (например, последовательно включенными резисторами) — это вопрос перспективы. В этой статье слово «компонент» будет использоваться для обозначения двухтерминального «объекта», который участвует в последовательных/параллельных сетях.

Компоненты, соединенные последовательно, соединяются по единому «электрическому пути», и через каждый компонент протекает одинаковый электрический ток, равный току в сети. Напряжение в сети равно сумме напряжений на каждом компоненте. ^[1]^[2]

Компоненты, соединенные параллельно, подключаются по нескольким путям, и каждый компонент имеет одинаковое напряжение , равное напряжению в сети. Ток через сеть равен сумме токов через каждый компонент.

Два предыдущих утверждения эквивалентны, за исключением того, что роли напряжения и тока меняются местами .

Цепь, состоящая исключительно из последовательно соединенных компонентов, называется последовательной цепью ; Аналогично, цепь, соединенная полностью параллельно, называется параллельной цепью . Многие схемы можно анализировать как комбинацию последовательных и параллельных цепей, а также других конфигураций .

В последовательной цепи ток, протекающий через каждый из компонентов, одинаков, а напряжение в цепи представляет собой сумму отдельных падений напряжения на каждом компоненте. ^[1] В параллельной цепи напряжение на каждом из компонентов одинаково, а общий ток представляет собой сумму токов, протекающих через каждый компонент. ^[1]

состоящую из четырех лампочек и автомобильного аккумулятора Рассмотрим очень простую схему , на 12 В. Если провод соединяет батарею с одной лампочкой, со следующей лампочкой, со следующей лампочкой, со следующей лампочкой, а затем обратно с батареей в одну непрерывную петлю, то лампочки называются последовательными. Если каждая лампочка подключена к аккумулятору отдельным контуром, говорят, что лампочки включены параллельно. Если четыре лампочки соединить последовательно, через все из них течет одинаковый ток, а падение напряжения на каждой лампочке составляет 3 В, чего может быть недостаточно для их свечения. Если лампочки соединить параллельно, то токи через лампочки объединяются, образуя ток в аккумуляторе, при этом падение напряжения на каждой лампочке составляет 12 Вольт и все они светятся.

В последовательной цепи каждое устройство должно функционировать, чтобы цепь была целостной. Если в последовательной цепи перегорает одна лампочка, то разрывается вся цепь. В параллельных цепях каждая лампочка имеет свою собственную цепь, поэтому все лампочки, кроме одной, могут перегореть, а последняя все равно будет работать.

Последовательные схемы

Последовательные цепи иногда называют токовыми или шлейфовыми . Ток в последовательной цепи проходит через каждый компонент цепи. Следовательно, все компоненты при последовательном соединении пропускают одинаковый ток.

Последовательная цепь имеет только один путь, по которому может течь ток. Размыкание или разрыв последовательной цепи в любой точке приводит к «размыканию» или прекращению работы всей цепи. Например, если хотя бы одна из лампочек в елочной гирлянде старого образца перегорит или будет удалена, вся цепочка станет неработоспособной до тех пор, пока неисправная лампочка не будет заменена.

Текущий

$I=I_{1}=I_{2}=\cdots =I_{n}$

В последовательной цепи ток одинаков для всех элементов.

Напряжение

В последовательной цепи напряжение представляет собой сумму падений напряжения отдельных компонентов (единиц сопротивления). $V=V_{1}+V_{2}+\dots +V_{n}=I\left(R_{1}+R_{2}+\dots +R_{n}\right)$

Единицы сопротивления

Суммарное сопротивление двух и более резисторов, соединенных последовательно, равно сумме их отдельных сопротивлений:

$R_{\text{total}}=R_{\text{s}}=R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n}.$ Здесь индекс s в $R s$ обозначает «серию», а $R s$ обозначает сопротивление в серии.

проводимость

Электрическая проводимость представляет собой величину, обратную сопротивлению. Таким образом, общую проводимость последовательной цепи чистых сопротивлений можно рассчитать по следующему выражению: ${\frac {1}{G_{\text{total}}}}={\frac {1}{G_{1}}}+{\frac {1}{G_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{G_{n}}}.$

В частном случае двух последовательных проводимостей общая проводимость равна: $G_{\text{total}}={\frac {G_{1}G_{2}}{G_{1}+G_{2}}}.$

Индукторы

Индуктивности подчиняются тому же закону: общая индуктивность несоединенных последовательно индукторов равна сумме их отдельных индуктивностей:

$L_{\mathrm {total} }=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}$

Однако в некоторых ситуациях трудно предотвратить влияние соседних индукторов друг на друга, поскольку магнитное поле одного устройства взаимодействует с обмотками его соседей. Это влияние определяется взаимной индуктивностью M. Например, если два индуктора включены последовательно, существуют две возможные эквивалентные индуктивности в зависимости от того, как магнитные поля обоих индукторов влияют друг на друга.

При наличии более двух индукторов взаимная индуктивность между каждым из них и влияние катушек друг на друга усложняют расчет. Для большего числа катушек общая объединенная индуктивность определяется как сумма всех взаимных индуктивностей между различными катушками, включая взаимную индуктивность каждой данной катушки с самой собой, которая называется самоиндукцией или просто индуктивностью. Для трех катушек имеется шесть взаимных индуктивностей. $M_{12}$ , $M_{13}$ , $M_{23}$ и $M_{21}$ , $M_{31}$ и $M_{32}$ . Есть также три самоиндукции трех катушек: $M_{11}$ , $M_{22}$ и $M_{33}$ .

Поэтому $L_{\text{total}}=\left(M_{11}+M_{22}+M_{33}\right)+\left(M_{12}+M_{13}+M_{23}\right)+\left(M_{21}+M_{31}+M_{32}\right)$

По взаимности, $M_{ij}$ = $M_{ji}$ так что последние две группы можно объединить. Первые три члена представляют собой сумму самоиндукций различных катушек. Формула легко распространяется на любое количество последовательных катушек со взаимной связью. Этот метод можно использовать для определения самоиндукции больших катушек с проводом любой формы поперечного сечения путем вычисления суммы взаимной индуктивности каждого витка провода в катушке с каждым другим витком, поскольку в такой катушке все витки замкнуты. в серии.

Конденсаторы

Конденсаторы подчиняются тому же закону, используя обратные величины. Общая емкость последовательно соединенных конденсаторов равна обратной сумме обратных величин их отдельных емкостей:

${\frac {1}{C_{\text{total}}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{C_{n}}}.$

Эквивалентно использованию упругости (обратной величины емкости), общая последовательная эластичность равна сумме упругости каждого конденсатора.

Переключатели

Два или более переключателя последовательно соединенных образуют логическое «И» ; по цепи течет ток только в том случае, если все переключатели замкнуты. См. вентиль AND .

Элементы и батареи

Батарея ячеек представляет собой совокупность электрохимических . Если элементы соединены последовательно, напряжение батареи будет суммой напряжений элементов. Например, автомобильный аккумулятор напряжением 12 В содержит шесть последовательно соединенных элементов напряжением 2 В. Некоторые транспортные средства, например грузовики, имеют две последовательно соединенные 12-вольтовые батареи для питания 24-вольтовой системы.

Параллельные схемы

Если два или более компонента соединены параллельно, они имеют одинаковую разность потенциалов (напряжений) на своих концах. Разности потенциалов между компонентами одинаковы по величине и имеют одинаковую полярность. Ко всем параллельно включенным компонентам схемы подается одинаковое напряжение. Общий ток представляет собой сумму токов через отдельные компоненты в соответствии с законом тока Кирхгофа .

Напряжение

В параллельной цепи напряжение одинаково для всех элементов. $V=V_{1}=V_{2}=\dots =V_{n}$

Текущий

Ток в каждом отдельном резисторе находится по закону Ома . Вычет напряжения дает $I_{\text{total}}=I_{1}+I_{2}+\cdots +I_{n}=V\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\right).$

Единицы сопротивления

Чтобы найти общее сопротивление всех компонентов, сложите обратные значения сопротивлений. $R_{i}$ каждого компонента и возьмите обратную сумму. Общее сопротивление всегда будет меньше значения наименьшего сопротивления:

${\frac {1}{R_{\text{total}}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}.$

Только для двух сопротивлений выражение без взаимности достаточно простое: $R_{\text{total}}={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}.$

Иногда это происходит с помощью мнемонического произведения на сумму .

Для N равных сопротивлений параллельно выражение обратной суммы упрощается до: ${\frac {1}{R_{\text{total}}}}=N{\frac {1}{R}}.$ и поэтому: $R_{\text{total}}={\frac {R}{N}}.$

Чтобы найти ток в компоненте с сопротивлением $R_{i}$ , снова воспользуемся законом Ома: $I_{i}={\frac {V}{R_{i}}}\,.$

Компоненты делят ток в соответствии со своими обратными сопротивлениями, поэтому в случае двух резисторов: ${\frac {I_{1}}{I_{2}}}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}.$

Старый термин для устройств, подключенных параллельно, — «множественное» , например, «множественное соединение для дуговых ламп» .

проводимость

Поскольку электропроводность $G$ обратно пропорционально сопротивлению, выражение для общей проводимости параллельной цепи резисторов выглядит просто: $G_{\text{total}}=G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}.$

Отношения для полной проводимости и сопротивления находятся в взаимодополняющем отношении: выражение для последовательного соединения сопротивлений такое же, как и для параллельного соединения проводимостей, и наоборот.

Индукторы

Индуктивности подчиняются тому же закону: общая индуктивность параллельно соединенных несвязанных катушек индуктивности равна обратной сумме обратных величин их отдельных индуктивностей:

${\frac {1}{L_{\text{total}}}}={\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{L_{n}}}.$

Если индукторы расположены в магнитных полях друг друга, этот подход недействителен из-за взаимной индуктивности. Если взаимная индуктивность между двумя параллельно включенными катушками равна $M$ , эквивалентная катушка индуктивности равна: ${\frac {1}{L_{\text{total}}}}={\frac {L_{1}+L_{2}-2M}{L_{1}L_{2}-M^{2}}}$

Если $L_{1}=L_{2}$ $L_{\text{total}}={\frac {L+M}{2}}$

Знак $M$ зависит от того, как магнитные поля влияют друг на друга. Для двух равных сильно связанных катушек общая индуктивность близка к индуктивности каждой отдельной катушки. Если полярность одной катушки поменять так, что $M$ станет отрицательным, то параллельная индуктивность будет близка к нулю или комбинация станет почти неиндуктивной. Предполагается, что в «сильно связанном» случае $M$ почти равно $L$ . Однако, если индуктивности не равны и катушки тесно связаны, могут возникнуть условия, близкие к короткому замыканию, и высокие циркулирующие токи как для положительных, так и для отрицательных значений $M$ , что может вызвать проблемы.

Более трех индукторов становятся более сложными, и необходимо учитывать взаимную индуктивность каждого индуктора друг на друга и их влияние друг на друга. Для трех катушек имеются три взаимные индуктивности. $M_{12}$ , $M_{13}$ и $M_{23}$ . Лучше всего это решается матричными методами и суммированием членов, обратных $L$ матрица (в данном случае 3×3).

Соответствующие уравнения имеют вид: $v_{i}=\sum _{j}L_{i,j}{\frac {di_{j}}{dt}}$

Конденсаторы

Суммарная емкость равна параллельно включенных конденсаторов сумме их отдельных емкостей:

$C_{\text{total}}=C_{1}+C_{2}+\cdots +C_{n}.$

Рабочее напряжение параллельной комбинации конденсаторов всегда ограничивается наименьшим рабочим напряжением отдельного конденсатора.

Переключатели

Два или более переключателя, включенных параллельно, образуют логическое ИЛИ ; в цепи течет ток, если хотя бы один переключатель замкнут. См. ворота ИЛИ .

Элементы и батареи

Если элементы батареи соединены параллельно, напряжение батареи будет таким же, как напряжение ячейки, но ток, подаваемый каждой ячейкой, будет составлять часть общего тока. Например, если батарея состоит из четырех одинаковых ячеек, соединенных параллельно, и выдает ток силой 1 ампер , ток, подаваемый каждой ячейкой, составит 0,25 ампера. Если элементы с разным напряжением, элементы с более высоким напряжением будут пытаться зарядить элементы с более низким напряжением, потенциально повреждая их.

Параллельно соединенные батареи широко использовались для питания ламповых нитей в портативных радиоприемниках . Литий-ионные аккумуляторные батареи (особенно аккумуляторы для ноутбуков) часто подключаются параллельно, чтобы увеличить номинальную мощность в ампер-часах. Некоторые солнечные электрические системы имеют параллельно включенные батареи для увеличения емкости аккумулятора; приблизительное общее количество ампер-часов представляет собой сумму всех ампер-часов параллельно включенных батарей.

Объединение проводимостей

Из законов цепи Кирхгофа можно вывести правила объединения проводимостей. Для двух проводимостей $G_{1}$ и $G_{2}$ параллельно равен напряжение на них одинаково и по закону тока Кирхгофа (KCL) общий ток $I_{\text{eq}}=I_{1}+I_{2}.$

Замена проводимостей законом Ома дает $G_{\text{eq}}V=G_{1}V+G_{2}V$ и эквивалентная проводимость будет равна $G_{\text{eq}}=G_{1}+G_{2}.$

Для двух проводимостей $G_{1}$ и $G_{2}$ при последовательном соединении ток через них будет одинаковым, а закон Кирхгофа по напряжению гласит, что напряжение на них представляет собой сумму напряжений на каждой проводимости, то есть $V_{\text{eq}}=V_{1}+V_{2}.$

Тогда замена проводимости законом Ома дает: ${\frac {I}{G_{\text{eq}}}}={\frac {I}{G_{1}}}+{\frac {I}{G_{2}}}$ что, в свою очередь, дает формулу эквивалентной проводимости: ${\frac {1}{G_{\text{eq}}}}={\frac {1}{G_{1}}}+{\frac {1}{G_{2}}}.$

Это уравнение можно немного перестроить, хотя это особый случай, когда такая перестановка возможна только для двух компонентов.

$G_{\text{eq}}={\frac {G_{1}G_{2}}{G_{1}+G_{2}}}.$ Для трех последовательно соединенных проводимостей $G_{\text{eq}}={\frac {G_{1}G_{2}G_{3}}{G_{1}G_{2}+G_{1}G_{3}+G_{2}G_{3}}}.$

Обозначения

Значение двух параллельных компонентов часто представляется в уравнениях параллельным оператором , двумя вертикальными линиями (∥), заимствовавшими обозначение параллельных линий из геометрии . $R_{\mathrm {eq} }\equiv R_{1}\parallel R_{2}\equiv \left(R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}\right)^{-1}\equiv {\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

Это упрощает выражения, которые в противном случае усложнились бы из-за расширения терминов. Например: $R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}\equiv {\frac {R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}}.$

Если $n$ компонентов расположены параллельно, то $R_{\text{eq}}=\left(\sum _{i}^{n}{R_{i}}^{-1}\right)^{-1}$

Приложения

Обычно последовательное соединение в бытовой электронике применяется в батареях, где несколько ячеек, соединенных последовательно, используются для получения удобного рабочего напряжения. Две одноразовые цинковые батарейки, соединенные последовательно, могут питать фонарик или пульт дистанционного управления напряжением 3 В; Аккумуляторная батарея для ручного электроинструмента может содержать дюжину литий-ионных элементов, соединенных последовательно и обеспечивающих напряжение 48 вольт.

Последовательные цепи раньше использовались для освещения в электропоездах . Например, если напряжение питания составляло 600 вольт, можно было бы последовательно подключить восемь 70-вольтовых лампочек (всего 560 вольт) плюс резистор, который понизит оставшиеся 40 вольт. Последовательные схемы освещения поездов были заменены сначала мотор-генераторами , затем полупроводниковыми устройствами.

Последовательное сопротивление также можно применить к расположению кровеносных сосудов внутри данного органа. Каждый орган кровоснабжается большой артерией, более мелкими артериями, артериолами, капиллярами и венами, расположенными последовательно. Общее сопротивление представляет собой сумму индивидуальных сопротивлений, выраженную следующим уравнением: $R общее = R артерии + R артериол + R капилляров$ . Наибольшую долю сопротивления в этом ряду обеспечивают артериолы. ^[3]

Параллельное сопротивление иллюстрируется системой кровообращения . Каждый орган кровоснабжается артерией, отходящей от аорты . Общее сопротивление такого параллельного соединения выражается следующим уравнением: $1/ R total = 1/ R a + 1/ R b + ... + 1/ R n$ . $Ra .$ , $Rb и$ — $Rn соответственно$ сопротивления почечной, печеночной и других артерий Общее сопротивление меньше сопротивления любой из отдельных артерий. ^[3]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Резник, Роберт; Холлидей, Дэвид (1966). «Глава 32». Физика . Том. I и II (Объединенное международное изд.). Уайли . LCCN 66-11527 . Пример 1.
^ Смит, Р.Дж. (1966). Схемы, устройства и системы (международное изд.). Нью-Йорк: Уайли . п. 21. LCCN 66-17612 .
^ Jump up to: ^а ^б Костанцо, Линда С. Физиология . Серия обзоров совета директоров. п. 74.

Дальнейшее чтение

Уильямс, Тим (2005). Помощник схемотехника . Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 0-7506-6370-7 .
«Комбинации резисторов: сколько номиналов при использовании резисторов сопротивлением 1 кОм?» . Журнал ЭДН .
Гротц, Бернхард (04 января 2018 г.). «Сопротивление потоку» . Механика жидкостей (на немецком языке).

[Resnick_1966-1] Jump up to: ^а ^б ^с Резник, Роберт; Холлидей, Дэвид (1966). «Глава 32». Физика . Том. I и II (Объединенное международное изд.). Уайли . LCCN 66-11527 . Пример 1.

[Smith_1966-2] Смит, Р.Дж. (1966). Схемы, устройства и системы (международное изд.). Нью-Йорк: Уайли . п. 21. LCCN 66-17612 .

[BRS-3] Jump up to: ^а ^б Костанцо, Линда С. Физиология . Серия обзоров совета директоров. п. 74.

[1]

[2]

[3]