Махавира (математик)

Махавира (или Махавирачарья , «Махавира Учитель») был индийским джайнским математиком 9-го века , возможно, родившимся в Майсуре , в Индии . Он написал «Ганита-сара-санграха» ( Ганита Сара Санграха ) или «Сборник сути математики» в 850 году нашей эры. Ему покровительствовал раштракутский император Амогхаварша . Он отделил астрологию от математики. Это самый ранний индийский текст, полностью посвященный математике. Он излагал те же темы, о которых спорили Арьябхата и Брахмагупта , но выражал их более ясно. Его работа представляет собой весьма синкопированный подход к алгебре, и в большей части его текстов упор делается на разработку методов, необходимых для решения алгебраических задач. Он пользуется большим уважением среди индийских математиков из-за того, что разработал терминологию для таких понятий, как равносторонний и равнобедренный треугольник; ромб; круг и полукруг. Слава Махавиры распространилась по всей южной Индии, и его книги оказались вдохновляющими для других математиков Южной Индии . Он был переведен на телугу Павулури Малланой как Саара Санграха Ганитаму .

Он открыл алгебраические тождества, такие как ³ знак равно а ( а + б ) ( а - б ) + б ² ( а - б ) + б ³ . Он также нашел формулу ^н C _р как
[ n ( n - 1) ( n - 2) ... ( n - r + 1)] / [ r ( r - 1) ( r - 2) ... 2 * 1]. Он разработал формулу, которая аппроксимировала площадь и периметры эллипсов, и нашел методы вычисления квадрата числа и кубических корней числа. Он утверждал, что квадратного корня из отрицательного числа не существует. Арифметические операции, используемые в его работах, таких как Ганита-сара-санграха (Ганита Сара Санграха), используют десятичную систему разрядов и включают использование нуля . Однако он ошибочно утверждает, что число, разделенное на ноль, остается неизменным.

Правила разложения дробей

Махавиры Ганита-сара-санграха дает систематические правила для выражения дроби как суммы единичных дробей . Это следует за использованием единичных дробей в индийской математике в ведический период, а также в Шулба-сутрах , дающих приближение √ 2, эквивалентное $1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3\cdot 4}}-{\tfrac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}$.

В « Ганита-сара-санграхе » (ГСС) второй раздел главы, посвященной арифметике, называется кала-саварна-вьявахара (букв. «операция сокращения дробей»). В этом разделе «Бхагаджати» (стихи 55–98) приводятся следующие правила:

• Чтобы выразить 1 как сумму n долей единицы (GSS kalāsavarna 75, примеры в 76):

рупамшакарашинам рупадьяс тригунита харах крамашах /
двидвитрйамшабхьястав адимачарамау пхале рупе //

Когда результат равен единице, знаменателями величин, имеющих единицу в числителе, являются [числа], начинающиеся с единицы и умноженные на три по порядку. Первое и последнее умножаются на две и две трети [соответственно].

$1={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{3^{n-2}}}+{\frac {1}{{\frac {2}{3}}\cdot 3^{n-1}}}$

• Чтобы выразить 1 как сумму нечетного числа долей единицы (GSS каласаварна 77):

$1={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 1/2}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 1/2}}+\dots +{\frac {1}{(2n-1)\cdot 2n\cdot 1/2}}+{\frac {1}{2n\cdot 1/2}}$

• Чтобы выразить дробь единицы $1/q$ как сумма n других дробей с заданными числителями $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ (GSS каласаварна 78, примеры в 79):

${\frac {1}{q}}={\frac {a_{1}}{q(q+a_{1})}}+{\frac {a_{2}}{(q+a_{1})(q+a_{1}+a_{2})}}+\dots +{\frac {a_{n-1}}{(q+a_{1}+\dots +a_{n-2})(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}+{\frac {a_{n}}{a_{n}(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}$

• Чтобы выразить любую дробь $p/q$ как сумма долей единицы (ГСС каласаварна 80, примеры в 81):

Выберите целое число i такое, что ${\tfrac {q+i}{p}}$ является целым числом r , то напишите

${\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{r\cdot q}}$

и повторите процесс для второго члена рекурсивно. (Обратите внимание: если i всегда выбирается как наименьшее такое целое число, это идентично жадному алгоритму для египетских дробей .)

• Чтобы выразить единичную дробь как сумму двух других единичных дробей (GSS kalāsavarna 85, пример в 86):

${\frac {1}{n}}={\frac {1}{p\cdot n}}+{\frac {1}{\frac {p\cdot n}{n-1}}}$ где $p$ следует выбирать так, чтобы ${\frac {p\cdot n}{n-1}}$ является целым числом (для которого $p$ должно быть кратно $n-1$).

${\frac {1}{a\cdot b}}={\frac {1}{a(a+b)}}+{\frac {1}{b(a+b)}}$

• Чтобы выразить дробь $p/q$ как сумма двух других дробей с заданными числителями $a$ и $b$ (GSS каласаварна 87, пример в 88):

${\frac {p}{q}}={\frac {a}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}}}+{\frac {b}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}\cdot {i}}}$ где $i$ следует выбирать так, чтобы $p$ делит $ai+b$

Некоторые дополнительные правила были даны в Ганита-каумуди в Нараяны 14 веке.

См. также

• Список индийских математиков

Ссылки

• Бибхутибхусан Датта и Авадхеш Нараян Сингх (1962). История индуистской математики: справочник .
• Пингри, Дэвид (1970). «Махавира». Словарь научной биографии . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. ISBN  978-0-684-10114-9 . (Доступно вместе со многими другими статьями из других энциклопедий для других Махавиров в Интернете .)
• Селин, Хелейн (2008), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , Springer, Bibcode : 2008ehst.book.....S , ISBN  978-1-4020-4559-2
• Хаяси, Такао (2013), «Махавира» , Британская энциклопедия
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (2000), «Махавира» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Табак, Джон (2009), Алгебра: множества, символы и язык мысли , Издательство информационной базы, ISBN  978-0-8160-6875-3
• Кребс, Роберт Э. (2004), Новаторские научные эксперименты, изобретения и открытия средневековья и эпохи Возрождения , Издательская группа Greenwood, ISBN  978-0-313-32433-8
• Путтасвами, Т.К. (2012), Математические достижения досовременных индийских математиков , Newnes, ISBN  978-0-12-397938-4
• Кусуба, Таканори (2004), «Индийские правила разложения фракций», у Чарльза Бернетта; Ян П. Хогендейк; Ким Плофкер ; и др. (ред.), Исследования по истории точных наук в честь Дэвида Пингри , Брилл , ISBN  9004132023 , ISSN   0169-8729