Усеченный икосаэдр

Усеченный икосаэдр
Усеченный икосаэдр
Тип	Архимедический твердый ; Единый многогранник ; Гольдберг Полигранрон
Лица	32
Края	90
Вершины	60
Группа симметрии	Икосаэдрическая симметрия
Двойной многогранник	Пентакис Додекаэдрон
Вершина фигура
Сеть

В геометрии представляет усеченный икосаэдр собой многогранник, который может быть построен, усекнув все вершины обычного икосаэдрона . Интуитивно это можно рассматривать как футбольные мячи (или футбольные шарики), которые, как правило, узорены белыми шестиугольниками и черными пентагонами. Его можно найти в применении геодезических купольных структур, таких как те, чья архитектура Buckminster Fuller, пионеры, часто основаны на этой структуре. Это пример архимедического твердого вещества , а также многогранника Гольдберга .

Строительство

Усеченный икосаэдр может быть построен из обычного икосаэдрона, отрезая все его вершины, известные как усечение . Каждая из 12 вершин на одной трети от каждого края создает 12 пятиугольных лиц и превращает исходные 20 треугольных лиц в регулярные гексагоны. ^{[ 1 ]} Следовательно, полученный многогранник имеет 32 лица, 90 краев и 60 вершин. ^{[ 2 ]} Гольдбергский многогранник - это тот, чьи лица составляют 12 пентагонов и некоторые из 10 гексагонов. Есть три класса Голдберга Полигранна, один из них построен путем неоднократного усечения всех вершин, а усеченный икосаэдр - один из них, обозначенный как $\operatorname {GP} (1,1)$ . ^{[ 3 ]}

Характеристики

Площадь поверхности $A$ и объем $V$ усеченного икосаэдрона длины края $a$ являются: ^{[ 2 ]} ${\begin{aligned}A&=\left(20\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}+12\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\right)a^{2}\approx 72.607a^{2}\\V&={\frac {125+43{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}\approx 55.288a^{3}.\end{aligned}}$ Сферичность многогранника $\Psi$ описывает, насколько близко многогранник напоминает сферу . Он может быть определен как отношение площади поверхности сферы с тем же объемом к площади поверхности полиэгрона, из которой значение составляет от 0 до 1. В случае усеченного икосаэдрона это:: ^{[ 2 ]} $\Psi ={\frac {6\pi ^{1/2}V}{A^{3/2}}}\approx 0.9504.$

Двуидрельный угол усеченного икосаэдра между соседними гексагональными гранями составляет приблизительно 138,18 °, а между Пентагоном-до искаго-приблизительно 142,6 °. ^{[ 4 ]}

Усеченный икосаэдр-это архимедское твердое вещество , что означает, что он очень симметричный и полурегулярный многогранник, и два или более разные регулярные полигональные лица встречаются в вершине. ^{[ 5 ]} Он имеет ту же симметрию, что и обычный икосаэдр, икосаэдрическая симметрия , а также обладает свойством транзитивности вершины . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} Полигональные лица, которые встречаются для каждой вершины, представляют собой один Пентагон и два гексагона, а фигура вершины усеченного икосаэдрона - это $5\cdot 6^{2}$ Полем Усеченным двойным икосаэдром является Пентакис Додекаэдр , каталонский твердое вещество , ^{[ 8 ]} разделяет ту же симметрию, что и усеченный икосаэдр. ^{[ 9 ]}

Усеченный икосаэдрный график

Согласно теореме Штейница , скелет усеченного икосаэдрона, как и любой выпуклый многогранник , может быть представлен как многогранный график , что означает плоский график (один из которых можно нарисовать без пересечения краев) и 3-вертекс, связанный подключены всякий раз, когда две его вершины удаляются). ^{[ 10 ]} График известен как усеченный икосаэдрный график , и он имеет 60 вершин и 90 ребра. Это архимедический график , потому что он напоминает один из твердых веществ Архимедии. Это кубический график , а это означает, что каждая вершина связана с ровно тремя краями. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

Появление

Шарики, используемые в ассоциации футбола и командного гандбола, являются, пожалуй, самым известным примером сферического многогранника аналога усеченного икосаэдрона, найденного в повседневной жизни. ^{[ 14 ]} Мяч состоит из одинакового рисунка с обычными пентагонами и обычными гексагонами, каждый из которых окрашен в черный и белый соответственно; Тем не менее, его форма более сферическая. Он был разработан Adidas Telstar во время чемпионата мира в 1970 году . ^{[ 15 ]} Тем не менее, это было заменено в 2006 году . ^{[ 16 ]}

Геодезические купола , как правило, основаны на треугольных аспектах этой геометрии с примерами структур, найденных во всем мире, популяризируемых Бакминстером Фуллером . Пример можно найти в модели Buckminsterfullenerene , усеченного геодезического куполового куполового аллотропа в форме икосаэдрона элементарного углерода, обнаруженного в 1985 году. ^{[ 17 ]} В других инженерных и научных приложениях его формой также была конфигурация линз, используемых для фокусировки взрывных ударных волн детонаторов как на атомных бомбах гаджета , так и в бомбах атомных . ^{[ 18 ]} структура также можно найти в белке клатрина Его . ^{[ 13 ]}

Усеченный икосаэдр был известен Архимеде , который классифицировал 13 архимедских твердых веществ в потерянной работе. Все, что в настоящее время известно о его работе над этими формами, исходит от Паппуса Александрии , который просто перечисляет количество лиц для каждого: 12 пентагонов и 20 гексагонов, в случае усеченного икосаэдрона. Первое известное изображение и полное описание усеченного икосаэдрона взяты из переосмысления Пьеро Делла Франческа в его книге 15-го века De Quinque Corporibus recordibus , в которую входили пять из твердых веществ Арчимеда (пять уточнений обычных полихедрров). ^{[ 19 ]} Та же самая форма была изображена Леонардо да Винчи , в своих иллюстрациях для плагиата Луки Пачиоли книги Делла Франчески в 1509 году. Хотя Альбрехт Дюрер опущены этой формы из других архимедов, перечисленных в его книге 1525 года о Полиэдре, поддержал Дер Дер , Описание этого было найдено в его посмертных документах, опубликованных в 1538 году. Йоханнес Кеплер позже заново открыл полный список 13 архимедских твердых веществ, в том числе усеченного икосаэдрона, и включил их в свою книгу 1609 года « Гармоники Мунди» . ^{[ 20 ]}

Смотрите также

Главный додекаэдр

Ссылки

^ Sceancy, CC; О'Брайен, МакМ (1997). Эффект Jahn-Teller в C ₆₀ и других икосаэдрических комплексах . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА . п. 13. ISBN 978-0-691-22534-0 .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Берман, Мартин (1971). «Регулярный выпуклый полих». Журнал Франклинского института . 291 (5): 329–352. doi : 10.1016/0016-0032 (71) 90071-8 . MR 0290245 .
^ Харт, Джордж (2012). «Голдберг Полигранра». В Сенехале, Марджори (ред.). Комплексное пространство (2 -е изд.). Спрингер. С. 125–138. doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_9 . ISBN 978-0-387-92713-8 .
^ Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с обычными лицами» . Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507 . S2CID 122006114 . ZBL 0132.14603 .
^ Diudea, MV (2018). Многоболковые многогранные кластеры . Спрингер . п. 39. doi : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2 .
^ Koca, M.; Кока, нет (2013). «Коксетерные группы, кватернионы, симметрия многогранников и 4D политопа» . Математическая физика: Материалы 13 -й региональной конференции, Анталя, Турция, 27–31 октября 2010 года . Мировой научный. п. 48
^ Кромвель, Питер Р. (1997). Полигранра . Издательство Кембриджского университета . п. 386. ISBN 978-0-521-55432-9 .
^ Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: исходная книга дизайна . Dover Publications, Inc. с. 90. ISBN 978-0-486-23729-9 .
^ Холден, Алан (1991). Формы, пространство и симметрия . Дувры книги по математике. Курьерская корпорация. п. 52. ISBN 9780486268514 .
^ Негами С. (2016). «Верные встраивания плоских графиков на ориентируемых закрытых поверхностях» . В Шираň, Йозеф; Jajcay, Robert (Eds.). Симметрии в графиках, картах и политопах: 5 -й семинар Sigmap, Западный Малверн, Великобритания, июль 2014 года . Спрингер. п. 250. doi : 10.1007/978-3-319-30451-9 . ISBN 978-3-319-30451-9 .
^ Читать, rc; Уилсон, RJ (1998). Атлас графиков . Издательство Оксфордского университета . п. 268.
^ Godsil, C.; Ройл, Г. (2001). Теория алгебраического графика . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 211.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Костант Б. (1995). «График усеченного икосаэдрона и последняя буква Галуа» (PDF) . Замечает американское математическое общество . 42 (9): 959–968.
^ Kotschick, Dieter (июль -август 2006). «Топология и комбинаторика футбольных шаров» . Американский ученый . 94 (4): 350. DOI : 10.1511/2006.60.350 .
^ Харленд, Энди; Хансон, Генри (2016). «Динамика футбола» . В Струдвике, Тони (ред.). Футбольная наука . Человеческая кинетика. п. 205. ISBN 978-1-4504-9679-7 .
^ Posamier, Alfred S.; Maresch, Guenter; Таллер, Бернд; Spreitzer, христианин; Грецлаг, Роберт; Пастор -стул, Дэвид; Дорнер, Кристиан (2022). Геометрия в нашем трехмерном мире . Мировой научный. п. 182. ISBN 9789811237126 .
^ Кац, EA (2006). «Тонкие пленки фуллерена как фотоэлектрический материал» . В Sōga, Tetsuo (ed.). Наноструктурированные материалы для преобразования солнечной энергии . Elsevier. п. 361. ISBN 978-0-444-52844-5 .
^ Роудс, Ричард (1996). Темное солнце: изготовление водородной бомбы . Книги Touchstone. п. 195. ISBN 0-684-82414-0 .
^ Кац, Юджин А. (2011). «Мосты между математикой, естественными науками, архитектурой и искусством: случай фуллерена». Искусство, наука и технологии: взаимодействие между тремя культурами, процессы первой международной конференции . С. 60–71.
^ Field, JV (1997). «Повторное открытие архимедического полихедры: Пьеро Делла Франческа, Лука Пачиоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Йоханнес Кеплер». Архив для истории точных наук . 50 (3–4): 241–289. doi : 10.1007/bf00374595 . JSTOR 41134110 . MR 1457069 . S2CID 118516740 .

Внешние ссылки

Вейсштейн, Эрик У. , « Усеченный икосаэдр » (« Архимедический твердый ») в Mathworld .
- Вейсштейн, Эрик У. "усеченный икосаэдрный график" . MathWorld .
Клицинг, Ричард. "3D выпуклый равномерный Polyhedra x3x5o - ti" .
Редактируемая печатная сеть усеченного икосаэдра с интерактивным 3D -видом
Единая многогранника
«Виртуальная реальность Полигранра» - Энциклопедия Полигранры
3D -бумажный визуализационный мяч Кубка мира Кубка мира

[co-1] Sceancy, CC; О'Брайен, МакМ (1997). Эффект Jahn-Teller в C ₆₀ и других икосаэдрических комплексах . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА . п. 13. ISBN 978-0-691-22534-0 .

[berman-2] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Берман, Мартин (1971). «Регулярный выпуклый полих». Журнал Франклинского института . 291 (5): 329–352. doi : 10.1016/0016-0032 (71) 90071-8 . MR 0290245 .

[hart-3] Харт, Джордж (2012). «Голдберг Полигранра». В Сенехале, Марджори (ред.). Комплексное пространство (2 -е изд.). Спрингер. С. 125–138. doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_9 . ISBN 978-0-387-92713-8 .

[johnson-4] Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с обычными лицами» . Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507 . S2CID 122006114 . ZBL 0132.14603 .

[diudea-5] Diudea, MV (2018). Многоболковые многогранные кластеры . Спрингер . п. 39. doi : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2 .

[kocakoca-6] Koca, M.; Кока, нет (2013). «Коксетерные группы, кватернионы, симметрия многогранников и 4D политопа» . Математическая физика: Материалы 13 -й региональной конференции, Анталя, Турция, 27–31 октября 2010 года . Мировой научный. п. 48

[cromwell-7] Кромвель, Питер Р. (1997). Полигранра . Издательство Кембриджского университета . п. 386. ISBN 978-0-521-55432-9 .

[williams-8] Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: исходная книга дизайна . Dover Publications, Inc. с. 90. ISBN 978-0-486-23729-9 .

[holden-9] Холден, Алан (1991). Формы, пространство и симметрия . Дувры книги по математике. Курьерская корпорация. п. 52. ISBN 9780486268514 .

[negami-10] Негами С. (2016). «Верные встраивания плоских графиков на ориентируемых закрытых поверхностях» . В Шираň, Йозеф; Jajcay, Robert (Eds.). Симметрии в графиках, картах и политопах: 5 -й семинар Sigmap, Западный Малверн, Великобритания, июль 2014 года . Спрингер. п. 250. doi : 10.1007/978-3-319-30451-9 . ISBN 978-3-319-30451-9 .

[rw-11] Читать, rc; Уилсон, RJ (1998). Атлас графиков . Издательство Оксфордского университета . п. 268.

[gr-12] Godsil, C.; Ройл, Г. (2001). Теория алгебраического графика . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 211.

[kostant-13] Jump up to: ^а ^{беременный} Костант Б. (1995). «График усеченного икосаэдрона и последняя буква Галуа» (PDF) . Замечает американское математическое общество . 42 (9): 959–968.

[kotschick-14] Kotschick, Dieter (июль -август 2006). «Топология и комбинаторика футбольных шаров» . Американский ученый . 94 (4): 350. DOI : 10.1511/2006.60.350 .

[hh-15] Харленд, Энди; Хансон, Генри (2016). «Динамика футбола» . В Струдвике, Тони (ред.). Футбольная наука . Человеческая кинетика. п. 205. ISBN 978-1-4504-9679-7 .

[pmtsgsd-16] Posamier, Alfred S.; Maresch, Guenter; Таллер, Бернд; Spreitzer, христианин; Грецлаг, Роберт; Пастор -стул, Дэвид; Дорнер, Кристиан (2022). Геометрия в нашем трехмерном мире . Мировой научный. п. 182. ISBN 9789811237126 .

[katz-2006-17] Кац, EA (2006). «Тонкие пленки фуллерена как фотоэлектрический материал» . В Sōga, Tetsuo (ed.). Наноструктурированные материалы для преобразования солнечной энергии . Elsevier. п. 361. ISBN 978-0-444-52844-5 .

[rhodes-18] Роудс, Ричард (1996). Темное солнце: изготовление водородной бомбы . Книги Touchstone. п. 195. ISBN 0-684-82414-0 .

[katz-2011-19] Кац, Юджин А. (2011). «Мосты между математикой, естественными науками, архитектурой и искусством: случай фуллерена». Искусство, наука и технологии: взаимодействие между тремя культурами, процессы первой международной конференции . С. 60–71.

[field-20] Field, JV (1997). «Повторное открытие архимедического полихедры: Пьеро Делла Франческа, Лука Пачиоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Йоханнес Кеплер». Архив для истории точных наук . 50 (3–4): 241–289. doi : 10.1007/bf00374595 . JSTOR 41134110 . MR 1457069 . S2CID 118516740 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]