Проблема инвариантного подпространства

Вектор $x$ является собственным вектором матрицы $A$. Каждый оператор в нетривиальном комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственный вектор, решающий проблему инвариантного подпространства для этих пространств.

В области математики, известной как функциональный анализ , проблема инвариантного подпространства — это частично нерешенная проблема, заключающаяся в том, каждый ли ограниченный оператор в комплексном банаховом пространстве какое-то нетривиальное замкнутое отправляет в себя подпространство. Многие варианты проблемы были решены путем ограничения класса рассматриваемых ограниченных операторов или указания определенного класса банаховых пространств. Проблема все еще открыта для сепарабельных гильбертовых пространств (другими словами, каждый найденный до сих пор пример оператора без нетривиальных инвариантных подпространств является оператором, действующим в банаховом пространстве, не изоморфном сепарабельному гильбертовому пространству) .

История

Проблема, кажется, была сформулирована в середине 20-го века после работы Берлинга и фон Неймана . который нашел (но так и не опубликовал) положительное решение для случая компактных операторов . Затем он был сформулирован Полом Халмошем для случая операторов $T$ такой, что $T^{2}$ компактен. Это было решено положительно для более общего класса полиномиально компактных операторов (операторов $T$ такой, что $p(T)$ является компактным оператором для подходящим образом выбранного ненулевого многочлена $p$), Алленом Р. Бернштейном и Абрахамом Робинсоном в 1966 году ( см. в разделе «Нестандартный анализ § Проблема инвариантного подпространства краткое доказательство »).

Для банаховых пространств первый пример оператора без инвариантного подпространства был построен Пером Энфло . Он предложил контрпример к проблеме инвариантного подпространства в 1975 году, опубликовав его схему в 1976 году. Enflo представила полную статью в 1981 году, но сложность и объем статьи отложили ее публикацию до 1987 года. Длинная «рукопись Энфло имела всемирное распространение среди математиков». и некоторые из его идей были описаны в публикациях, помимо Enflo (1976). Работы Энфло вдохновили на создание аналогичной конструкции оператора без инвариантного подпространства, например, Бозами, который признал идеи Энфло.

В 1990-х годах Энфло разработал «конструктивный» подход к проблеме инвариантных подпространств в гильбертовых пространствах.

В мае 2023 года на arXiv появился препринт Enflo. что, если оно верно, решает проблему для гильбертовых пространств и дополняет картину.

В июле 2023 года на arXiv появился второй независимый препринт Невилла. требующее решения проблемы для сепарабельных гильбертовых пространств.

Точное утверждение

Формально проблема инвариантного подпространства комплексного банахова пространства $H$ размерности ограниченный > 1 — это вопрос, каждый ли линейный оператор $T:H\to H$ имеет нетривиальное замкнутое $T$-инвариантное подпространство : замкнутое линейное подпространство $W$ из $H$, который отличается от $\{0\}$ и из $H$, такой, что $T(W)\subset W$.

Отрицательный ответ на задачу тесно связан со свойствами орбит . $T$. Если $x$ является элементом банахова пространства $H$, орбита $x$ под действием $T$, обозначенный $[x]$, — подпространство, порожденное последовательностью $\{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}$. Это еще называют $T$-циклическое подпространство, порожденное $x$. Из определения следует, что $[x]$ это $T$-инвариантное подпространство. Более того, это минимальный $T$-инвариантное подпространство, содержащее $x$: если $W$ — еще одно инвариантное подпространство, содержащее $x$, то обязательно $T^{n}(x)\in W$ для всех $n\geq 0$ (с $W$ является $T$-инвариант), и поэтому $[x]\subset W$. Если $x$ не равно нулю, то $[x]$ не равен $\{0\}$, поэтому его замыканием является либо все пространство $H$ (в этом случае $x$ называется циклическим вектором для $T$) или это нетривиальное $T$-инвариантное подпространство. Следовательно, контрпримером к проблеме инвариантного подпространства может быть банахово пространство. $H$ и ограниченный оператор $T:H\to H$ для которого каждый ненулевой вектор $x\in H$ является циклическим вектором для $T$. (Где «циклический вектор» $x$ для оператора $T$ в банаховом пространстве $H$ означает тот, для которого орбита $[x]$ из $x$ плотный в $H$.)

Известные особые случаи

Хотя случай проблемы инвариантного подпространства для сепарабельных гильбертовых пространств все еще открыт, несколько других случаев были решены для топологических векторных пространств (над полем комплексных чисел):

• В конечномерных комплексных векторных пространствах каждый оператор имеет собственный вектор, поэтому он имеет одномерное инвариантное подпространство.
• Гипотеза верна, если гильбертово пространство $H$ не сепарабельна (т.е. если она имеет несчетный ортонормированный базис ). Фактически, если $x$ является ненулевым вектором в $H$, замыкание нормы линейной орбиты $[x]$ сепарабельно (по построению) и, следовательно, является собственным подпространством, а также инвариантно.
• фон Нейман показал что любой компактный оператор в гильбертовом пространстве размерности не менее 2 имеет нетривиальное инвариантное подпространство.
• Спектральная теорема показывает, что все нормальные операторы допускают инвариантные подпространства.
• Аронсайн и Смит (1954) доказали, что каждый компактный оператор в любом банаховом пространстве размерности не менее 2 имеет инвариантное подпространство.
• Бернштейн и Робинсон (1966) доказали с помощью нестандартного анализа , что если оператор $T$ в гильбертовом пространстве полиномиально компактен (другими словами $p(T)$ компактен для некоторого ненулевого многочлена $p$) затем $T$ имеет инвариантное подпространство. В их доказательстве используется оригинальная идея вложения бесконечномерного гильбертова пространства в гиперконечно -мерное гильбертово пространство (см. Нестандартный анализ#Проблема инвариантного подпространства ).
• Халмос (1966) , увидев препринт Робинсона, исключил из него нестандартный анализ и представил более короткое доказательство в том же номере того же журнала.
• Ломоносов (1973) дал очень краткое доказательство, используя теорему Шаудера о неподвижной точке , что если оператор $T$ в банаховом пространстве коммутирует с ненулевым компактным оператором, то $T$ имеет нетривиальное инвариантное подпространство. Сюда входит и случай полиномиально компактных операторов, поскольку оператор коммутирует с любым многочленом сам по себе. В более общем плане он показал, что если $S$ коммутирует с нескалярным оператором $T$ коммутирующий с ненулевым компактным оператором, то $S$ имеет инвариантное подпространство.
• Первый пример оператора в банаховом пространстве без нетривиальных инвариантных подпространств был найден Пером Энфло ( 1976 , 1987 ), а его пример был упрощен Бозами (1985) .
• Первый контрпример для «классического» банахова пространства был найден Чарльзом Ридом ( 1984 , 1985 ), который описал оператор в классическом банаховом пространстве. $l_{1}$ без инвариантных подпространств.
• Позже Чарльз Рид ( 1988 ) построил оператор на $l_{1}$ даже без нетривиального замкнутого инвариантного подмножества , то есть для каждого вектора $x$ набор ​ $\{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}$ плотен, и в этом случае вектор называется гиперциклическим (отличие от случая циклических векторов состоит в том, что мы не берем подпространство, порожденное точками $\{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}$ в этом случае).
• Ацмон (1983) привел пример оператора без инвариантных подпространств в ядерном пространстве Фреше .
• Слива (2008) доказал, что любое бесконечномерное банахово пространство счетного типа над неархимедовым полем допускает ограниченный линейный оператор без нетривиального замкнутого инвариантного подпространства. Это полностью решает неархимедову версию этой проблемы, поставленную ван Ройем и Шикхофом в 1992 году.
• Аргирос и Хейдон (2011) предложили конструкцию бесконечномерного банахова пространства, в котором каждый непрерывный оператор является суммой компактного оператора и скалярного оператора, поэтому, в частности, каждый оператор имеет инвариантное подпространство.

Ссылки

• Абрамович Юрий А.; Алипрантис, Хараламбос Д. (2002), Приглашение к теории операторов , Аспирантура по математике , том. 50, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/gsm/050 , ISBN.  978-0-8218-2146-6 , г-н   1921782
• Аргирос, Спирос А.; Хейдон, Ричард Г. (2011), «Наследственно неразложимое L _∞ -пространство, которое решает задачу скаляр-плюс-компакт», Acta Math. , 206 (1): 1–54, arXiv : 0903.3921 , doi : 10.1007/s11511-011-0058-y , MR   2784662 , S2CID   119532059
• Ароншайн, Н. ; Смит, К.Т. (1954), «Инвариантные подпространства вполне непрерывных операторов», Annals of Mathematics , Second Series, 60 (2): 345–350, doi : 10.2307/1969637 , JSTOR   1969637 , MR   0065807
• Ацмон, Аарон (1983), «Оператор без инвариантных подпространств в ядерном пространстве Фреше», Annals of Mathematics , Second Series, 117 (3): 669–694, doi : 10.2307/2007039 , JSTOR   2007039 , MR   0701260
• Бозами, Бернар (1985), «Un opérateur sans sous-espace invariant: упрощение примера П. Энфло» [Оператор без инвариантного подпространства: упрощение примера П. Энфло], Интегральные уравнения и теория операторов ( на французском языке), 8 (3): 314–384, doi : 10.1007/BF01202903 , MR   0792905 , S2CID   121418247.
• Бозами, Бернар (1988), Введение в теорию операторов и инвариантные подпространства , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 42, Амстердам: Северная Голландия, ISBN  978-0-444-70521-1 , МР   0967989
• Бернштейн, Аллен Р.; Робинсон, Абрахам (1966), «Решение инвариантной проблемы подпространства К. Т. Смита и П. Р. Халмоша» , Pacific Journal of Mathematics , 16 (3): 421–431, doi : 10.2140/pjm.1966.16.421 , MR   0193504
• Энфло, Пер (1976), «О проблеме инвариантных подпространств в банаховых пространствах», Семинар Мори-Шварца (1975–1976) Espaces L ^п , радонифицирующие приложения и геометрия банаховых пространств, Эксп. Нет. 14–15 , Центр математики, Политехническая школа, Палезо, с. 7, МР   0473871
• Энфло, Пер (1987), «О проблеме инвариантных подпространств для банаховых пространств», Acta Mathematica , 158 (3): 213–313, doi : 10.1007/BF02392260 , MR   0892591
• Энфло, Пер; Ломоносов, Виктор (2001), «Некоторые аспекты проблемы инвариантных подпространств», Справочник по геометрии банаховых пространств , вып. Я, Амстердам: Северная Голландия, стр. 533–559, номер doi : 10.1016/S1874-5849(01)80015-2 , ISBN.  9780444828422 , МР   1863701
• Халмос, Пол Р. (1966), «Инвариантные подпространства полиномиально компактных операторов» , Pacific Journal of Mathematics , 16 (3): 433–437, doi : 10.2140/pjm.1966.16.433 , MR   0193505
• Ломоносов В.И. (1973), "Инвариантные подпространства семейства операторов, коммутирующих с вполне непрерывным оператором", Академия наук СССР. Функциональный анализ и его приложения , 7 (3): 55–56, doi : 10.1007/BF01080698 , MR   0420305 , S2CID   121421267
• Пирси, Карл; Шилдс, Аллен Л. (1974), «Обзор метода Ломоносова в теории инвариантных подпространств», в книге К. Пирси (редактор), « Темы теории операторов» , «Математические обзоры», Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 219–229, МР   0355639
• Рид, CJ (1984), «Решение проблемы инвариантного подпространства», Бюллетень Лондонского математического общества , 16 (4): 337–401, doi : 10.1112/blms/16.4.337 , MR   0749447
• Рид, CJ (1985), «Решение проблемы инвариантных подпространств в пространстве l ₁ », Бюллетень Лондонского математического общества , 17 (4): 305–317, doi : 10.1112/blms/17.4.305 , MR   0806634
• Рид, CJ (1988), «Проблема инвариантного подпространства для класса банаховых пространств, 2: гиперциклические операторы», Israel Journal of Mathematics , 63 (1): 1–40, doi : 10.1007/BF02765019 , MR   0959046 , S2CID   123651876
• Раджави, Гейдар; Розенталь, Питер (1982), «Проблема инвариантного подпространства» , The Mathematical Intelligencer , 4 (1): 33–37, doi : 10.1007/BF03022994 , MR   0678734 , S2CID   122811130
• Раджави, Гейдар; Розенталь, Питер (2003), Инвариантные подпространства (второе изд.), Минеола, Нью-Йорк: Дувр, ISBN  978-0-486-42822-2 , МР   2003221
• Раджави, Гейдар; Розенталь, Питер (2000), Одновременная триангуляризация , Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xii+318, doi : 10.1007/978-1-4612-1200-3 , ISBN  978-0-387-98467-4 , МР   1736065
• Слива, Веслав (2008), «Проблема инвариантного подпространства для неархимедовых банаховых пространств» (PDF) , Canadian Mathematical Bulletin , 51 (4): 604–617, doi : 10.4153/CMB-2008-060-9 , hdl : 10593/798 , МР   2462465 , С2КИД   40430187
• Ядав, BS (2005), «Современное состояние и наследие проблемы инвариантного подпространства», Milan Journal of Mathematics , 73 (1): 289–316, doi : 10.1007/s00032-005-0048-7 , MR   2175046 , S2CID   121068326