Математическая модель

Чтобы узнать о других значениях, см. Математическая модель (значения) .

Математическая модель — это абстрактное описание конкретной системы с использованием математических понятий и языка . Процесс разработки математической модели называется математическим моделированием . Математические модели используются в прикладной математике и естественных науках (таких как физика , биология , науки о Земле , химия ) и инженерных дисциплинах (таких как информатика , электротехника ), а также в нефизических системах, таких как социальные науки. (например , экономика , психология , социология , политология ). Его также можно преподавать как отдельный предмет.

Использование математических моделей для решения задач в деловых или военных операциях составляет значительную часть области исследования операций . Математические модели используются и в музыке . лингвистика , и философии (например, интенсивно по аналитической философии ). Модель может помочь объяснить систему, изучить влияние различных компонентов и сделать прогнозы относительно поведения.

Элементы математической модели

Математические модели могут принимать различные формы, включая динамические системы , статистические модели , дифференциальные уравнения или модели теории игр . Эти и другие типы моделей могут перекрываться, при этом данная модель включает в себя множество абстрактных структур. В общем, математические модели могут включать в себя логические модели . Во многих случаях качество научной области зависит от того, насколько хорошо математические модели, разработанные с теоретической стороны, согласуются с результатами повторяемых экспериментов. Отсутствие согласия между теоретическими математическими моделями и экспериментальными измерениями часто приводит к важным достижениям по мере разработки более совершенных теорий. В физических науках традиционная математическая модель содержит большую часть следующих элементов:

1. Основные уравнения
2. Дополнительные подмодели
   1. Определение уравнений
   2. Определяющие уравнения
3. Предположения и ограничения
   1. Начальные и граничные условия
   2. Классические ограничения и кинематические уравнения

Классификации

Математические модели бывают разных типов:

• Линейное и нелинейное. Если все операторы в математической модели демонстрируют линейность , результирующая математическая модель определяется как линейная. В противном случае модель считается нелинейной. Определение линейности и нелинейности зависит от контекста, и линейные модели могут содержать нелинейные выражения. Например, в статистической линейной модели предполагается, что взаимосвязь линейна по параметрам, но может быть нелинейной по переменным-предикторам. Аналогично, дифференциальное уравнение называется линейным, если оно может быть записано с помощью линейных дифференциальных операторов , но при этом может содержать нелинейные выражения. В модели математического программирования , если целевые функции и ограничения полностью представлены линейными уравнениями , то модель считается линейной. Если одна или несколько целевых функций или ограничений представлены нелинейным уравнением, то модель называется нелинейной.
  Линейная структура подразумевает, что проблему можно разложить на более простые части, которые можно рассматривать независимо и/или анализировать в другом масштабе, а полученные результаты останутся действительными для исходной проблемы при перекомпоновке и изменении масштаба.
  Нелинейность даже в достаточно простых системах часто связана с такими явлениями, как хаос и необратимость . Хотя есть исключения, нелинейные системы и модели, как правило, труднее изучать, чем линейные. Распространенным подходом к нелинейным проблемам является линеаризация , но это может оказаться проблематичным, если кто-то пытается изучить такие аспекты, как необратимость, которые тесно связаны с нелинейностью.
• Статический или динамический. Динамическая . модель учитывает зависящие от времени изменения состояния системы, тогда как статическая (или стационарная) модель рассчитывает систему в равновесии и, таким образом, является неизменной во времени Динамические модели обычно представляются дифференциальными уравнениями или разностными уравнениями .
• Явное и неявное. Если все входные параметры общей модели известны, а выходные параметры могут быть рассчитаны с помощью конечной серии вычислений, модель называется явной . Но иногда известны выходные параметры, и соответствующие входные данные должны быть решены с помощью итеративной процедуры, такой как метод Ньютона или метод Бройдена . В таком случае модель называется неявной . Например, физические свойства реактивного двигателя , такие как площади горловины турбины и сопла, могут быть явно рассчитаны с учетом расчетного термодинамического цикла (расходы воздуха и топлива, давление и температура) при определенных условиях полета и настройке мощности, но двигатель рабочие циклы при других условиях полета и настройках мощности не могут быть явно рассчитаны из постоянных физических свойств.
• Дискретный или непрерывный. Дискретная модель рассматривает объекты как дискретные, например частицы в молекулярной модели или состояния в статистической модели ; в то время как непрерывная модель представляет объекты непрерывным образом, такие как поле скорости жидкости в потоках труб, температуры и напряжения в твердом теле, а также электрическое поле, которое непрерывно действует по всей модели из-за точечного заряда.
• Детерминистический или вероятностный (стохастический). модель Детерминированная — это модель, в которой каждый набор состояний переменных однозначно определяется параметрами модели и наборами предыдущих состояний этих переменных; следовательно, детерминированная модель всегда работает одинаково для данного набора начальных условий. И наоборот, в стохастической модели, обычно называемой « статистической моделью », присутствует случайность, и состояния переменных описываются не уникальными значениями, а скорее распределениями вероятностей .
• Дедуктивный, индуктивный или плавающий. А дедуктивная модель — это логическая структура, основанная на теории. Индуктивная модель возникает на основе эмпирических данных и их обобщений. Плавающая модель не опирается ни на теорию, ни на наблюдения, а является всего лишь вызовом ожидаемой структуры. Применение математики в социальных науках за пределами экономики подвергалось критике за необоснованность моделей. Применение теории катастроф в науке характеризуется как плавающая модель.
• Стратегические и нестратегические. Модели, используемые в теории игр, отличаются тем, что они моделируют агентов с несовместимыми стимулами, таких как конкурирующие виды или участники аукциона. Стратегические модели предполагают, что игроки являются автономными лицами, принимающими решения, которые рационально выбирают действия, которые максимизируют их целевую функцию. Ключевой проблемой использования стратегических моделей является определение и вычисление концепций решения, таких как равновесие Нэша . Интересным свойством стратегических моделей является то, что они отделяют рассуждения о правилах игры от рассуждений о поведении игроков.

Строительство

В бизнесе и технике математические модели могут использоваться для максимизации определенного результата. Рассматриваемая система потребует определенных входных данных. Система, связывающая входы с выходами, зависит и от других переменных: переменных решения , переменных состояния , экзогенных переменных и случайных величин . Переменные решения иногда называют независимыми переменными. Экзогенные переменные иногда называют параметрами или константами . Переменные не являются независимыми друг от друга, поскольку переменные состояния зависят от решения, входных, случайных и экзогенных переменных. Более того, выходные переменные зависят от состояния системы (представленного переменными состояния).

Цели и ограничения системы и ее пользователей могут быть представлены как функции выходных переменных или переменных состояния. Целевые функции будут зависеть от точки зрения пользователя модели. В зависимости от контекста целевую функцию также называют индексом производительности , поскольку она представляет собой некоторую меру, представляющую интерес для пользователя. Хотя количество целевых функций и ограничений, которые может иметь модель, не ограничено, использование или оптимизация модели становится более сложной (в вычислительном отношении) по мере увеличения числа. Например, экономисты часто применяют линейную алгебру при использовании моделей «затраты-выпуск» . Сложные математические модели со многими переменными можно объединить с помощью векторов , где один символ представляет несколько переменных.

Априорная информация

Чтобы проанализировать что-либо с помощью типичного подхода «черного ящика», будет учитываться только поведение стимула/реакции, чтобы сделать вывод о (неизвестном) ящике . Обычное представление этой системы «черного ящика» — это диаграмма потока данных , центрированная в ящике.

Задачи математического моделирования часто подразделяют на модели «черного ящика» или «белого ящика» в зависимости от того, сколько априорной информации о системе доступно. Модель черного ящика – это система, о которой нет априорной информации. Модель белого ящика (также называемая стеклянным ящиком или прозрачным ящиком) — это система, в которой доступна вся необходимая информация. Практически все системы находятся где-то между моделями «черного ящика» и «белого ящика», поэтому эта концепция полезна только как интуитивное руководство для принятия решения о том, какой подход выбрать.

Обычно предпочтительно использовать как можно больше априорной информации, чтобы сделать модель более точной. Поэтому модели белого ящика обычно считаются более простыми, поскольку если вы правильно использовали информацию, то и модель будет вести себя правильно. Часто априорная информация приходит в форме знания типа функций, связывающих различные переменные. Например, если мы создадим модель того, как лекарство действует в организме человека, мы знаем, что обычно количество лекарства в крови представляет собой экспоненциально убывающую функцию, но у нас все еще остается несколько неизвестных параметров; как быстро распадается количество лекарства и каково первоначальное количество лекарства в крови? Таким образом, этот пример не является полностью моделью «белого ящика». Прежде чем можно будет использовать модель, эти параметры необходимо оценить каким-либо образом.

В моделях черного ящика пытаются оценить как функциональную форму отношений между переменными, так и числовые параметры в этих функциях. Используя априорную информацию, мы могли бы, например, получить набор функций, которые, вероятно, могли бы адекватно описать систему. Если априорная информация отсутствует, мы попытаемся использовать как можно более общие функции, чтобы охватить все различные модели. Часто используемый подход для моделей черного ящика — это нейронные сети , которые обычно не делают предположений о входящих данных. В качестве альтернативы можно использовать алгоритмы NARMAX (нелинейная авторегрессионная модель скользящего среднего с экзогенными входными данными), которые были разработаны как часть идентификации нелинейной системы. может использоваться для выбора членов модели, определения структуры модели и оценки неизвестных параметров при наличии коррелированного и нелинейного шума. Преимущество моделей NARMAX по сравнению с нейронными сетями заключается в том, что NARMAX создает модели, которые можно записать и связать с основным процессом, тогда как нейронные сети создают непрозрачное приближение.

Субъективная информация

Иногда полезно включить субъективную информацию в математическую модель. Это можно сделать, основываясь на интуиции , опыте или экспертном мнении , либо исходя из удобства математической формы. Байесовская статистика обеспечивает теоретическую основу для включения такой субъективности в строгий анализ: мы указываем априорное распределение вероятностей (которое может быть субъективным), а затем обновляем это распределение на основе эмпирических данных.

Примером того, когда такой подход может быть необходим, является ситуация, в которой экспериментатор слегка сгибает монету и подбрасывает ее один раз, фиксируя, выпадет ли она орелом, а затем ему дается задача предсказать вероятность того, что при следующем подбрасывании выпадет орел. После сгибания монеты истинная вероятность того, что монета выпадет орлом, неизвестна; поэтому экспериментатору нужно будет принять решение (возможно, глядя на форму монеты) о том, какое предварительное распределение использовать. Включение такой субъективной информации может оказаться важным для получения точной оценки вероятности.

Сложность

В общем, сложность модели предполагает компромисс между простотой и точностью модели. Бритва Оккама — это принцип, особенно актуальный для моделирования, его основная идея заключается в том, что среди моделей с примерно одинаковой предсказательной силой самая простая является наиболее желательной. Хотя дополнительная сложность обычно повышает реалистичность модели, она может затруднить понимание и анализ модели, а также может создать вычислительные проблемы, включая числовую нестабильность . Томас Кун утверждает, что по мере развития науки объяснения становятся все более сложными, прежде чем смена парадигмы приведет к радикальному упрощению.

Например, при моделировании полета самолета мы могли бы встроить каждую механическую часть самолета в нашу модель и, таким образом, получить почти модель системы «белого ящика». Однако вычислительные затраты на добавление такого огромного количества деталей фактически препятствовали бы использованию такой модели. Кроме того, неопределенность увеличится из-за слишком сложной системы, поскольку каждая отдельная часть вносит в модель определенную дисперсию. Поэтому обычно уместно сделать некоторые приближения, чтобы уменьшить модель до разумного размера. Инженеры часто могут принять некоторые приближения, чтобы получить более надежную и простую модель. Например, Ньютона классическая механика представляет собой приближенную модель реального мира. Тем не менее, модели Ньютона вполне достаточно для большинства ситуаций обычной жизни, то есть до тех пор, пока скорости частиц значительно ниже скорости света и мы изучаем только макрочастицы. Обратите внимание, что более высокая точность не обязательно означает лучшую модель. Статистические модели склонны к переоснащению , что означает, что модель слишком сильно подстраивается под данные и теряет способность обобщать новые события, которые ранее не наблюдались.

Обучение, настройка и установка

Любая модель, не являющаяся чисто «белым ящиком», содержит некоторые параметры , которые можно использовать для соответствия модели системе, которую она призвана описывать. Если моделирование выполняется с помощью искусственной нейронной сети или другого машинного обучения , оптимизация параметров называется обучением , а оптимизация гиперпараметров модели называется настройкой и часто использует перекрестную проверку . При более традиционном моделировании с помощью явно заданных математических функций параметры часто определяются путем подбора кривой .

Оценка и оценка

Важнейшей частью процесса моделирования является оценка того, точно ли данная математическая модель описывает систему. На этот вопрос может быть сложно ответить, поскольку он включает в себя несколько различных типов оценки.

Прогнозирование эмпирических данных

Обычно самая простая часть оценки модели — это проверка того, предсказывает ли модель экспериментальные измерения или другие эмпирические данные, не используемые при разработке модели. В моделях с параметрами общий подход состоит в том, чтобы разделить данные на два непересекающихся подмножества: данные обучения и данные проверки. Данные обучения используются для оценки параметров модели. Точная модель будет точно соответствовать данным проверки, даже если эти данные не использовались для установки параметров модели. В статистике эта практика называется перекрестной проверкой .

Определение метрики для измерения расстояний между наблюдаемыми и прогнозируемыми данными является полезным инструментом для оценки соответствия модели. В статистике, теории принятия решений и некоторых экономических моделях функция потерь играет аналогичную роль. Хотя проверить соответствие параметров довольно просто, проверить достоверность общей математической формы модели может быть сложнее. В целом для проверки соответствия статистических моделей было разработано больше математических инструментов , чем моделей, включающих дифференциальные уравнения . Инструменты непараметрической статистики иногда можно использовать для оценки того, насколько хорошо данные соответствуют известному распределению, или для создания общей модели, которая делает лишь минимальные предположения о математической форме модели.

Область применения модели

Оценка области применения модели, то есть определение того, к каким ситуациям модель применима, может быть менее простой задачей. Если модель была построена на основе набора данных, необходимо определить, для каких систем или ситуаций известные данные являются «типичным» набором данных. Вопрос о том, хорошо ли модель описывает свойства системы между точками данных, называется интерполяцией , а тот же вопрос для событий или точек данных за пределами наблюдаемых данных называется экстраполяцией .

В качестве примера типичных ограничений объема модели при оценке классической механики Ньютона можно отметить, что Ньютон проводил свои измерения без современного оборудования, поэтому он не мог измерять свойства частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света. Точно так же он измерял не движения молекул и других мелких частиц, а только макрочастиц. Поэтому неудивительно, что его модель плохо экстраполируется в эти области, хотя его модели вполне достаточно для обычной физики жизни.

Философские соображения

Многие типы моделирования неявно включают утверждения о причинно-следственной связи . Обычно (но не всегда) это справедливо для моделей, включающих дифференциальные уравнения. Поскольку целью моделирования является улучшение нашего понимания мира, достоверность модели зависит не только от ее соответствия эмпирическим наблюдениям, но и от ее способности экстраполировать ситуации или данные, выходящие за рамки первоначально описанных в модели. Можно думать об этом как о различии между качественными и количественными предсказаниями. Можно также утверждать, что модель бесполезна, если она не дает некоторого понимания, выходящего за рамки того, что уже известно в результате прямого исследования изучаемого явления.

Примером такой критики является утверждение о том, что математические модели теории оптимального кормодобывания не дают понимания, выходящего за рамки здравых выводов эволюции и других основных принципов экологии. Следует также отметить, что, хотя математическое моделирование использует математические концепции и язык, оно само по себе не является отраслью математики и не обязательно соответствует какой-либо математической логике , а обычно является ветвью какой-либо науки или другого технического предмета с соответствующими концепциями и стандарты аргументации.

Значение в естественных науках

Математические модели имеют большое значение в естественных науках, особенно в физике . Физические теории почти всегда выражаются с использованием математических моделей. На протяжении всей истории разрабатывались все более точные математические модели. Законы Ньютона точно описывают многие повседневные явления, но в определенных пределах теорию относительности и квантовую механику приходится использовать .

В физике принято использовать идеализированные модели для упрощения вещей. Безмассовые веревки, точечные частицы, идеальные газы и частица в ящике — это одни из многих упрощенных моделей, используемых в физике. Законы физики представлены простыми уравнениями, такими как законы Ньютона, уравнения Максвелла и уравнение Шредингера . Эти законы являются основой для построения математических моделей реальных ситуаций. Многие реальные ситуации очень сложны и поэтому приблизительно моделируются на компьютере; модель, которую возможно вычислить с помощью вычислений, создается на основе основных законов или приближенных моделей, созданных на основе основных законов. Например, молекулы можно моделировать с помощью моделей молекулярных орбиталей , которые являются приближенными решениями уравнения Шредингера. В технике физические модели часто создаются с помощью математических методов, таких как анализ методом конечных элементов .

Различные математические модели используют разные геометрии, которые не обязательно точно описывают геометрию Вселенной. Евклидова геометрия широко используется в классической физике, а специальная теория относительности и общая теория относительности являются примерами теорий, использующих геометрию неевклидову .

Некоторые приложения

Часто, когда инженеры анализируют систему, которую нужно контролировать или оптимизировать, они используют математическую модель. В ходе анализа инженеры могут построить описательную модель системы как гипотезу о том, как система может работать, или попытаться оценить, как непредвиденное событие может повлиять на систему. Аналогичным образом, управляя системой, инженеры могут опробовать различные подходы к управлению в ходе моделирования .

Математическая модель обычно описывает систему с помощью набора переменных и набора уравнений, устанавливающих связи между переменными. Переменные могут быть разных типов; действительные или целые числа, логические значения или строки Например, . Переменные представляют некоторые свойства системы, например, измеряемые выходные данные системы, часто в форме сигналов , временных данных , счетчиков и возникновения событий. Фактическая модель представляет собой набор функций, которые описывают отношения между различными переменными.

Примеры

• Одним из популярных примеров в информатике являются математические модели различных машин, примером является детерминированный конечный автомат (DFA), который определяется как абстрактное математическое понятие, но из-за детерминистской природы DFA его можно реализовать аппаратно. и программное обеспечение для решения различных конкретных задач. Например, ниже представлен DFA M с двоичным алфавитом, для которого требуется, чтобы входные данные содержали четное количество нулей:

Диаграмма состояний для $M$

$M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F)$ где

• $Q=\{S_{1},S_{2}\},$
• $\Sigma =\{0,1\},$
• $q_{0}=S_{1},$
• $F=\{S_{1}\},$ и
• $\delta$ определяется следующей таблицей перехода состояний :

	0	1
SS1	$S_{2}$	$S_{1}$
SS2	$S_{1}$	$S_{2}$

Государство $S_{1}$ означает, что на данный момент во входных данных было четное количество нулей, а $S_{2}$ означает нечетное число. 1 на входе не меняет состояние автомата. Когда ввод закончится, состояние покажет, содержало ли вход четное количество нулей или нет. Если входные данные содержали четное количество нулей, $M$ закончится в штате $S_{1},$ состояние принятия, поэтому входная строка будет принята.

Язык, признанный $M$— регулярный язык , заданный регулярным выражением 1*( 0 (1*) 0 (1*))*, где «*» — звезда Клини , например, 1* обозначает любое неотрицательное число (возможно, ноль) символов «1».

• Многие повседневные действия, выполняемые без размышлений, основаны на использовании математических моделей. географической Проекция карты региона Земли на небольшую плоскую поверхность — это модель, которую можно использовать для многих целей, например для планирования путешествий.
• Еще одно простое занятие — прогнозирование положения транспортного средства по его исходному положению, направлению и скорости движения, используя уравнение, согласно которому пройденное расстояние является произведением времени и скорости. это называется точным расчетом В более формальном смысле . Математическое моделирование таким способом не обязательно требует формальной математики; Было показано, что животные используют мертвый расчет.
• населения Рост . Простая (хотя и приблизительная) модель роста населения — это мальтузианская модель роста . Несколько более реалистичной и широко используемой моделью роста населения является логистическая функция и ее расширения.
• Модель частицы в потенциальном поле . В этой модели мы рассматриваем частицу как точку массы, которая описывает траекторию в пространстве, которая моделируется функцией, задающей ее координаты в пространстве как функцию времени. Потенциальное поле задается функцией $V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\to \mathbb {R}$ и траектория, то есть функция $\mathbf {r} \!:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},$ является решением дифференциального уравнения: $$-{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,$$ это можно записать также как $$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (t)].$$

Обратите внимание, что эта модель предполагает, что частица представляет собой точечную массу, что, как известно, неверно во многих случаях, когда мы используем эту модель; например, как модель движения планет.

• Модель рационального поведения потребителя . В этой модели мы предполагаем, что потребитель стоит перед выбором $n$ товары с маркировкой $1,2,\dots ,n$ каждый имеет рыночную цену $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}.$ Предполагается, что потребитель имеет полезности . порядковую функцию $U$ (порядковый в том смысле, что имеет значение только знак различия между двумя полезностями, а не уровень каждой полезности), в зависимости от количества товаров $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ потребляется. Модель далее предполагает, что у потребителя есть бюджет. $M$ который используется для покупки вектора $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ таким образом, чтобы максимизировать $U(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$ Тогда проблема рационального поведения в этой модели становится проблемой математической оптимизации , то есть: $$\max \,U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$$ подлежит: $$\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M,$$$$x_{i}\geq 0\;\;\;{\text{ for all }}i=1,2,\dots ,n.$$ Эта модель использовалась в самых разных экономических контекстах, например, в теории общего равновесия, чтобы показать существование и эффективность по Парето экономического равновесия.
• Модель соседнего зондирования — это модель, которая объясняет образование грибов из изначально хаотичной грибковой сети.
• В информатике математические модели могут использоваться для моделирования компьютерных сетей.
• В механике математические модели могут использоваться для анализа движения модели ракеты.

См. также

• Агентская модель
• Все модели неправильные
• Клиодинамика
• Компьютерное моделирование
• Концептуальная модель
• Разработка решений
• Модель серого ящика
• Международный конкурс по математическому моделированию
• Математическая биология
• Математическая диаграмма
• Математическая экономика
• Математическое моделирование инфекционных заболеваний
• Математические финансы
• Математическая психология
• Математическая социология
• Микромасштабные и макромасштабные модели
• Инверсия модели
• Устойчивость (математика)
• Научная модель
• Анализ чувствительности
• Статистическая модель
• Суррогатная модель
• Идентификация системы

Дальнейшее чтение

Книги

• Арис, Резерфорд [1978] (1994). Методы математического моделирования , Нью-Йорк: Дувр. ISBN   0-486-68131-9
• Бендер, Э.А. [1978] (2000). Введение в математическое моделирование , Нью-Йорк: Дувр. ISBN   0-486-41180-X
• Гэри Чартранд (1977) Графы как математические модели , Приндл, Уэббер и Шмидт ISBN   0871502364
• Дюбуа, Г. (2018) «Моделирование и симуляция» , Тейлор и Фрэнсис, CRC Press.
• Гершенфельд, Н. (1998) Природа математического моделирования , издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-57095-6 .
• Лин, К.С. и Сигел, Луизиана (1988). Математика в применении к детерминистским задачам естественных наук , Филадельфия: SIAM. ISBN   0-89871-229-7

Конкретные приложения

• Пападимитриу, Фивос. (2010). Математическое моделирование пространственно-экологических сложных систем: оценка. География, окружающая среда, устойчивое развитие 1 (3), 67–80. дои : 10.24057/2071-9388-2010-3-1-67-80
• Пайерлс, Р. (1980). «Моделирование в физике». Современная физика . 21 :3–17. Бибкод : 1980ConPh..21....3P . дои : 10.1080/00107518008210938 .
• Введение в моделирование инфекционных заболеваний . Эмилия Винницки и Ричард Уайт.

Внешние ссылки

Общая ссылка

• Патрон, Ф. Введение в моделирование с помощью дифференциальных уравнений , с критическими замечаниями.
• Плюс пакет для учителей и учеников: Математическое моделирование. Объединяет все статьи по математическому моделированию из журнала Plus Magazine , онлайн-журнала по математике, выпускаемого в рамках проекта Millennium Mathematics Project в Кембриджском университете.

Философский

• Фригг, Р. и С. Хартманн, Модели в науке , в: Стэнфордская энциклопедия философии (издание весны 2006 г.)
• Гриффитс, ЕС (2010) Что такое модель?