Законы формы

«Законы формы» (далее LoF ) — книга Дж. Спенсера-Брауна , опубликованная в 1969 году, которая преодолевает границу между математикой и философией . LoF описывает три различные логические системы :

• «Первичная арифметика» (описанная в главе 4 LoF ), модели которой включают булевую арифметику ;
• «Первичная алгебра » (глава 6 LoF ), модели которой включают двухэлементную булеву алгебру (далее сокращенно 2 ), булеву логику и классическое исчисление высказываний ;
• «Уравнения второй степени» (глава 11), интерпретации которых включают конечные автоматы и Алонсо Чёрча (RRA). ограниченно-рекурсивную арифметику

«Граничная алгебра» - Мегуайр (2011). термин, обозначающий объединение первичной алгебры и первичной арифметики. Законы формы иногда в широком смысле относятся к «первичной алгебре», а также к LoF .

Книга

В предисловии говорится, что эта работа была впервые исследована в 1959 году, и Спенсер Браун цитирует Бертрана Рассела , поддержавшего его начинания. Он также благодарит Дж. С. П. Миллера из Университетского колледжа Лондона за помощь в корректуре и другие рекомендации. В 1963 году Спенсер Браун был приглашен Гарри Фростом , штатным преподавателем физических наук на факультете заочного обучения Лондонского университета , для чтения курса по математике и логике.

LoF возник в результате работы автора в области электронной инженерии примерно в 1960 году и последующих лекций по математической логике, которые он читал под эгидой программы повышения квалификации Лондонского университета . LoF выходил в нескольких изданиях. Вторая серия изданий появилась в 1972 году с «Предисловием к Первому американскому изданию», в котором подчеркивалось использование самореферентных парадоксов. и самым последним из них является немецкий перевод 1997 года. LoF никогда не выходил из печати.

«Лофа» и Мистическая и декламационная проза его любовь к парадоксам делают его чтение интересным для всех. Спенсер-Браун находился под влиянием Витгенштейна и Р.Д. Лэнга . LoF также перекликается с рядом тем из работ Чарльза Сандерса Пирса , Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда .

Работа оказала любопытное влияние на некоторые классы читателей; например, на неясных основаниях утверждалось, что вся книга написана оперативным образом, давая читателю инструкции, а не рассказывая ему, что «есть», и что в соответствии с интересом Дж. Спенсера-Брауна к парадоксам, Единственное предложение, в котором утверждается, что что-то есть , — это утверждение, в котором говорится, что в этой книге подобные утверждения не используются. Более того, в иске утверждается, что, за исключением этого одного предложения, книгу можно рассматривать как пример E-Prime . Что послужило причиной такого заявления, неясно, либо с точки зрения стимула, логической значимости, либо с точки зрения факта, потому что в книге регулярно и естественно используется глагол « быть » повсюду и во всех его грамматических формах, как можно видеть и в том, и в другом случае. в оригинале и в кавычках, показанных ниже.

Прием

Являясь якобы произведением формальной математики и философии, LoF стал чем-то вроде культовой классики : его похвалил Хайнц фон Ферстер , когда он сделал рецензию для каталога Whole Earth . Те, кто согласен, указывают на LoF как на воплощение загадочной «математики сознания », ее алгебраический символизм улавливает (возможно, даже «the») неявный корень познания : способность «различать». ЛоФ утверждает, что первичная алгебра обнаруживает поразительные связи между логикой , булевой алгеброй и арифметикой, а также философией языка и разума .

Стаффорд Бир написал в обзоре для журнала Nature : «Когда думаешь обо всем, через что Рассел прошел шестьдесят лет назад, чтобы написать «Начала » , и обо всем, что мы, его читатели, пережили, борясь с этими тремя огромными томами, это почти грустно».

Банашевский (1977) утверждает, что первичная алгебра — это не что иное, как новое обозначение булевой алгебры. Действительно, двухэлементную булеву алгебру 2 можно рассматривать как предполагаемую интерпретацию первичной алгебры. Однако обозначения первичной алгебры:

• Полностью использует двойственность, характеризующую не только булевы алгебры , но и все решетки ;
• Подчеркивает, как синтаксически различные утверждения в логике и 2 могут иметь идентичную семантику ;
• Значительно упрощает вычисления булевой алгебры и доказательства в предложений и силлогистике логике .

Более того, синтаксис первичной алгебры может быть расширен до формальных систем, отличных от 2 и логики предложений, что приводит к граничной математике (см. § Соответствующую работу ниже).

LoF оказал влияние, среди прочих, на Хайнца фон Ферстера , Луи Кауфмана , Никласа Лумана , Умберто Матурану , Франсиско Варелу и Уильяма Брикена . Некоторые из этих авторов модифицировали первичную алгебру множеством интересных способов.

ЛоФ утверждал, что некоторые хорошо известные и давние математические гипотезы, такие как теорема о четырех цветах , Великая теорема Ферма и гипотеза Гольдбаха , доказуемы с использованием расширений первичной алгебры. В конце концов Спенсер-Браун распространил предполагаемое доказательство теоремы о четырех цветах, но оно было встречено скептицизмом.

Форма (глава 1)

Символ:

Также называемый «знак» или «крест» — это основная черта Законов Формы. В неподражаемой и загадочной манере Спенсера-Брауна Знак символизирует корень познания , т. е. дуалистический Знак указывает на способность отличать «это» от «всего остального, кроме этого».

В LoF крест обозначает рисунок «различия», и его можно рассматривать как обозначающий сразу следующее:

• Проведение границ вокруг чего-либо и, таким образом, отделение этого от всего остального;
• То, что становится отличным от всего, проводя границу;
• Переход с одной стороны границы на другую.

Все три способа подразумевают действие со стороны когнитивной сущности (например, человека), проводящей различие. Как ЛоФ говорит :

«Первая команда:

• Проведите различие

вполне может быть выражено такими способами, как:

• Пусть будет различие,
• Найдите различие,
• См. различие,
• Опишите различие,
• Определите различие,

Или:

• Пусть будет проведено различие». ( LoF , Примечания к главе 2)

Противоположностью Отмеченного состояния является Неотмеченное состояние, которое представляет собой просто ничто, пустоту или невыразимую бесконечность, представленную пустым пространством. Это просто отсутствие Креста. Никакого различия не было сделано и ничего не перечеркнуто. Отмеченное состояние и пустота — два первоначальных значения Законов Формы.

Крест можно рассматривать как обозначающий различие между двумя состояниями: одно «считается символом», а другое таковым не считается. Из этого факта возникает любопытный резонанс с некоторыми теориями сознания и языка . Парадоксально, но Форма одновременно является Наблюдателем и Наблюдаемым, а также творческим актом наблюдения. LoF (за исключением основной части) завершается словами:

...первое различие: Знак и наблюдатель не только взаимозаменяемы, но и по форме идентичны.

К.С. Пирс пришел к подобному выводу в 1890-х годах; см. § Сопутствующие работы .

Основная арифметика (глава 4)

Синтаксис . основной арифметики выглядит следующим образом Есть всего два атомарных выражения :

• Пустой Крест  ;
• Пустая страница целиком или ее часть («пустота»).

Существует два индуктивных правила:

• Через может быть записан поверх любого выражения;
• Любые два выражения могут быть объединены .

Семантика определение первичной арифметики, возможно, представляет собой не что иное, как единственное явное в LoF : «Различие — это совершенное воздержание».

Пусть «немаркированное состояние» будет синонимом пустоты. Пусть пустой крестик обозначает «отмеченное состояние». Пересечение означает переход от одного значения, неотмеченного или отмеченного состояния, к другому. Теперь мы можем сформулировать «арифметические» аксиомы А1 и А2, которые лежат в основе первичной арифметики (и, следовательно, всех законов формы):

«А1. Закон Призыва». Двойной вызов из штата неотличим от однократного вызова. Дважды провести различие имеет тот же эффект, что и провести его один раз. Например, сказать «Да будет свет», а затем еще раз сказать «Да будет свет» — это то же самое, что сказать это один раз. Формально:

$\ =$

«А2. Закон пересечения». После перехода из немаркированного состояния в маркированное повторное пересечение («повторное пересечение»), начиная с маркированного состояния, возвращает человека в немаркированное состояние. Следовательно, повторное пересечение аннулирует пересечение. Формально:

$\ =$

И в A1, и в A2 выражение справа от «=» содержит меньше символов, чем выражение слева от «=». Это предполагает, что каждое первичное арифметическое выражение можно путем многократного применения A1 и A2 упростить до одного из двух состояний: отмеченного или немаркированного состояния. Это действительно так, и результатом является «упрощение» выражения. Две фундаментальные метатеоремы первичной арифметики гласят, что:

• Каждое конечное выражение имеет уникальное упрощение. (Т3 в LoF );
• Начиная с начального отмеченного или немаркированного состояния, «усложнение» выражения конечным числом повторных применений А1 и А2 не может привести к выражению, упрощение которого отличается от исходного состояния. (Т4 в LoF ).

Таким образом, отношение логической эквивалентности делит все первичные арифметические выражения на два класса эквивалентности : те, которые упрощаются до Креста, и те, которые упрощаются до пустоты.

А1 и А2 имеют свободные аналоги в свойствах последовательных и параллельных электрических цепей, а также в других способах построения диаграмм процессов, включая блок-схемы. A1 соответствует параллельному соединению, а A2 — последовательному соединению, при том понимании, что проведение различия соответствует изменению способа соединения двух точек в цепи, а не просто добавлению проводки.

Первичная арифметика аналогична следующим формальным языкам математики и информатики :

• Язык Дейка с нулевым алфавитом;
• Самый простой контекстно-свободный язык в иерархии Хомского ;
• Система перезаписи , которая строго нормализует и сливается .

Словосочетание «исчисление показаний» в LoF является синонимом «первичной арифметики».

Понятие канона

Концепция, специфичная для LoF, - это концепция «канона». Хотя LoF формально не определяет канон, следующие два отрывка из примечаний к гл. 2 подходят:

Наиболее важные структуры командования иногда называют канонами . Это способы, с помощью которых руководящие предписания группируются в созвездия и, таким образом, ни в коем случае не являются независимыми друг от друга. Канон отличается тем, что находится вне (т. е. описывает) строящейся системы, но команда строить (например, «провести различие»), даже если она может иметь центральное значение, не является каноном. Канон — это приказ или набор приказов разрешать или разрешать, но не строить или творить.

... основной формой математической коммуникации является не описание, а предписание ... Музыка - аналогичный вид искусства, композитор даже не пытается описать набор звуков, которые он имеет в виду, не говоря уже о наборе чувств, вызываемых ими. , но записывает набор команд, которые, если им подчиняется исполнитель, могут привести к воспроизведению слушателем оригинального опыта композитора.

Эти отрывки относятся к различию в металогике между объектным языком, формальным языком обсуждаемой логической системы, и метаязыком , языком (часто естественным языком), отличным от объектного языка, используемым для демонстрации и обсуждения объектного языка. Первая цитата, кажется, утверждает, что каноны являются частью метаязыка. Вторая цитата, похоже, утверждает, что утверждения на объектном языке по сути являются командами, адресованными автором читателю. Ни одно из этих утверждений не справедливо для стандартной металогики.

Первичная алгебра (глава 6)

Синтаксис

Учитывая любое допустимое первичное арифметическое выражение, вставьте в одно или несколько мест любое количество латинских букв с необязательными цифровыми индексами; Результатом является формула первичной алгебры . Буквы, используемые в математике и логике, называются переменными . Первичная алгебраическая переменная указывает место, куда можно записать примитивное значение. или его дополнение . Несколько экземпляров одной и той же переменной обозначают несколько местоположений одного и того же примитивного значения.

Правила, регулирующие логическую эквивалентность

Знак «=» может связывать два логически эквивалентных выражения; результатом является уравнение . Под «логическим эквивалентом» подразумевается, что оба выражения имеют одинаковое упрощение. Логическая эквивалентность — это отношение эквивалентности над множеством формул первичной алгебры, подчиняющееся правилам R1 и R2. Пусть «C» и «D» — формулы, каждая из которых содержит хотя бы один экземпляр подформулы A :

• R1 , Замена равных . Замените один или несколько экземпляров A в C на B , в результате чего E. получится Если А = В , С = Е. то
• R2 , Равномерная замена . Замените все экземпляры A в C и D на B . C становится E а D становится F. , Если C = D , E = F. то Обратите внимание, что A = B не требуется.

R2 очень часто используется в демонстрациях первичной алгебры (см. ниже), почти всегда молча. Эти правила обычно используются в логике и большей части математики, почти всегда бессознательно.

Первичная алгебра состоит из уравнений , т. е. пар формул, связанных инфиксным оператором «=». R1 и R2 позволяют преобразовать одно уравнение в другое. Следовательно, первичная алгебра является эквациональной формальной системой, подобно многим алгебраическим структурам , включая булеву алгебру , которые являются многообразиями . Эквациональная логика была распространена до начала Principia Mathematica (например, Пирс, ^1,2,3 Johnson 1892) и имеет современных сторонников (Gries and Schneider 1993).

Обычная математическая логика состоит из тавтологических формул, обозначенных приставкой- турникетом . Чтобы обозначить, что первичной алгебры формула A является тавтологией , просто напишите « A = ". Если заменить '=' в R1 и R2 на двуусловие , полученные правила будут соблюдаться в традиционной логике. Однако традиционная логика полагается главным образом на правило modus ponens ; таким образом, традиционная логика является показательной . Эквационально-поненциальная дихотомия выводит большую часть из что отличает математическую логику от остальной математики.

Инициалы

Инициал уравнение , — это первичное алгебраическое проверяемое с помощью процедуры принятия решения , и как таковое не аксиомой является . ЛоФ устанавливает инициалы:

Дж1:

А А

= .

Отсутствие чего-либо справа от знака "=" выше намеренно.

Дж2:

А Б

С

=

переменного тока до нашей эры

.

J2 — это знакомый распределительный закон логики предложений и булевой алгебры .

Другой набор инициалов, более удобный для вычислений:

Дж0:

А

=

А.

Дж1а:

А А

=

.

С2:

А

АБ

=

А

Б

.

Именно благодаря С2 первичная алгебра является решеткой . В силу J1a это решетка с дополнениями , верхняя граница которой равна . По J0 , — соответствующая нижняя граница и единичный элемент . J0 также является алгебраической версией A2 и проясняет смысл, в котором псевдонимы с пустой страницей.

T13 в LoF обобщает C2 следующим образом. Любую первичной алгебры (или логики предложений) формулу B можно рассматривать как упорядоченное дерево с ветвями . Затем:

T13 : Подформула A может быть скопирована по желанию в любую глубину B, , чем глубина A , при условии, что A и ее копия находятся в одной и той же ветви B. большую Кроме того, учитывая несколько экземпляров A в одной и той же ветви B , все экземпляры, кроме самого мелкого, являются избыточными.

Хотя доказательство Т13 потребует индукции , лежащая в его основе интуиция должна быть ясна.

C2 или его эквивалент называется:

• «Генерация» в LoF ;
• «Исключение» у Джонсона (1892 г.);
• «Проникновение» в творчестве Уильяма Брикена.

Возможно, первым примером аксиомы или правила, обладающего силой C2, было «Правило (Де)Итерации», объединяющее T13 и AA=A , из К.С. Пирса экзистенциальных графов .

LoF утверждает, что конкатенацию по умолчанию можно рассматривать как коммутацию и связывание , и, следовательно, ее не нужно явно предполагать или демонстрировать. (Пирс сделал аналогичное утверждение о своих экзистенциальных графах .) Пусть период будет временным обозначением для установления группировки. Эту конкатенацию коммутирующих и ассоциированных объектов можно затем продемонстрировать на примере:

• Начальное AC.D = CD.A и следствие AA = A (Byrne 1946). Этот результат справедлив для всех решеток , поскольку AA = A является простым следствием закона поглощения , справедливого для всех решеток;
• Инициалы AC.D = AD.C и J0 . Поскольку J0 справедлив только для решеток с нижней границей, этот метод справедлив только для ограниченных решеток (включающих примарную алгебру и 2 ). Коммутативность тривиальна; просто установите A = . Ассоциативность: AC.D = CA.D = CD.A = A.CD .

Продемонстрировав ассоциативность, период можно отбросить.

Инициалы в Meguire (2011) — AC.D = CD.A , называемые B1 ; B2 , J0 выше; B3 , J1a выше; и В4 , С2. По конструкции эти инициалы очень похожи на аксиомы абелевой группы ниже G1-G3 .

Теория доказательств

Первичная алгебра содержит три вида доказанных утверждений:

• Следствие — уравнение первичной алгебры, проверенное демонстрацией . Демонстрация состоит из последовательности шагов , каждый из которых обоснован первоначальным или ранее продемонстрированным последствием.
• Теорема — это утверждение на метаязыке, подтвержденное доказательством , т. е. аргументом, сформулированным на метаязыке и принятым обученными математиками и логиками.
• Начальный , определенный выше. Демонстрации и доказательства ссылаются на инициал, как если бы это была аксиома.

Различие между следствием и теоремой справедливо для всех формальных систем, включая математику и логику, но обычно не выражается явно. Процедура демонстрации или принятия решения может быть проведена и проверена с помощью компьютера. Доказательства быть теоремы не может.

Пусть A и B — первичной алгебры формулы . Демонстрация A = B может осуществляться одним из двух способов:

• Модифицируйте A поэтапно, пока не получите B , или наоборот;
• Упростите оба и к . Это известно как «расчет».

Как только A = B было продемонстрировано, A = B можно использовать для обоснования шагов в последующих демонстрациях. демонстрации и расчеты первичной алгебры часто требуют не более J1a , J2 , C2 и вытекающих отсюда последствий. ( C3 в LoF ), ( C1 ) и AA = A ( C5 ).

Последствие , C7' в LoF , включает алгоритм , описанный в LoF доказательстве T14, который преобразует произвольную формулу первичной алгебры в эквивалентную формулу, глубина которой не превышает двух. Результатом является нормальная форма , первичный алгебраический аналог конъюнктивной нормальной формы . LoF (T14–15) доказывает аналог первичной алгебры известной теоремы булевой алгебры о том, что каждая формула имеет нормальную форму.

Пусть A подформула — некоторой формулы B. ​В сочетании с C3 A J1a можно рассматривать как условие замыкания вычислений: B является тавтологией тогда и только тогда, когда и ( A ) оба появляются на глубине 0 B . Сходное условие появляется в некоторых версиях естественной дедукции . Демонстрация путем расчета часто представляет собой нечто большее, чем:

• Повторный вызов T13 для устранения избыточных подформул;
• Удаление любых подформул, имеющих вид .

Последний шаг расчета всегда вызывает J1a .

LoF включает новые элегантные доказательства следующей стандартной метатеории :

• Полнота : все основные следствия алгебры доказываются из инициалов (T17).
• Независимость : J1 не может быть продемонстрирован из J2 и наоборот (T18).

Тот факт, что логика предложений является полной, преподается в каждом первом университетском курсе математической логики . Но университетские курсы по булевой алгебре редко упоминают полноту 2 .

Интерпретации

Если состояния «Отмечено» и «Неотмечено» читаются как логические значения 1 и 0 (или «Истина» и «Ложь» ), первичная алгебра интерпретирует 2 (или логику предложений ). LoF показывает, как первичная алгебра может интерпретировать силлогизм . Каждая из этих интерпретаций обсуждается в подразделе ниже. Расширение первичной алгебры так, чтобы она могла интерпретировать стандартную логику первого порядка, еще предстоит сделать, но предполагают Пирса бета -экзистенциальные графы , что это расширение осуществимо.

Двухэлементная булева алгебра 2

Первичная алгебра — это элегантное минималистское обозначение двухэлементной булевой алгебры 2 . Позволять:

• Одно из логических объединений (+) или встреч (×) интерпретирует конкатенацию ;
• Дополнение ​ интерпретации ​ ​
• 0 (1) интерпретировать пустую метку, если соединение (встреча) интерпретирует конкатенацию (поскольку бинарная операция, примененная к нулевым операндам, может рассматриваться как равная идентификационному элементу этой операции; или, другими словами, операнд, который отсутствующее может рассматриваться как действующее по умолчанию как элемент идентификации).

Если join (встреча) интерпретирует AC , то meet (объединение) интерпретирует ${\overline {{\overline {A|}}\ \ {\overline {C|}}{\Big |}}}$. Следовательно, первичная алгебра и 2 изоморфны, но есть одна деталь: дополнение первичной алгебры может быть нулевым, и в этом случае оно обозначает примитивное значение. По модулю этой детали 2 является моделью первичной алгебры. Основная арифметика предполагает следующую арифметическую аксиоматизацию 2 : 1+1=1+0=0+1=1=~0 и 0+0=0=~1.

Набор ​ $\ B=\{$ $,$ $\ \}$ — это логический домен или оператор связи . На языке универсальной алгебры первичная алгебра — это алгебраическая структура $\langle B,-\ -,{\overline {-\ |}},{\overline {\ \ |}}\rangle$ типа $\langle 2,1,0\rangle$. Выразительная адекватность указывает штриха Шеффера на то, что первичная алгебра также является $\langle B,{\overline {-\ -\ |}},{\overline {\ \ |}}\rangle$ алгебра типа $\langle 2,0\rangle$. В обоих случаях это тождества J1a, J0, C2 и ACD=CDA . Поскольку первичная алгебра и 2 изоморфны , 2 как можно рассматривать $\langle B,+,\lnot ,1\rangle$ алгебра типа $\langle 2,1,0\rangle$. Это описание 2 проще традиционного, а именно $\langle B,+,\times ,\lnot ,1,0\rangle$ алгебра типа $\langle 2,2,1,0,0\rangle$.

Две возможные интерпретации двойственны друг другу в булевом смысле. (В булевой алгебре замена И ↔ ИЛИ и 1 ↔ 0 во всем уравнении дает одинаково допустимое уравнение.) Тождества остаются инвариантными независимо от того, какая интерпретация выбрана, поэтому преобразования или способы расчета остаются прежними; только интерпретация каждой формы будет разной. Пример: J1a . Интерпретация сопоставления как ИЛИ и как 1, это означает $\neg A\lor A=1$ это правда. Интерпретация сопоставления как И и как 0, это означает $\neg A\land A=0$ что также верно (и двойственное к $\neg A\lor A=1$).

двойственность оператора-операнда

Отмеченное состояние, , является одновременно оператором (например, дополнением) и операндом (например, значением 1). Это можно аккуратно резюмировать, определив две функции $m(x)$ и $u(x)$ для отмеченного и немаркированного состояния соответственно: пусть $m(x)=1-\max(\{0\}\cup x)$ и $u(x)=\max(\{0\}\cup x)$, где $x$ представляет собой (возможно, пустой) набор логических значений.

Это показывает, что $u$ является либо значением 0, либо оператором ИЛИ, а $m$ является либо значением 1, либо оператором NOR, в зависимости от того, $x$ пустое множество или нет. Как отмечалось выше, существует двойственная форма этих функций, меняющая И ↔ ИЛИ и 1 ↔ 0.

Сентенциальная логика

Пусть пустая страница обозначает False , а крестик читается как Not . Тогда первичная арифметика имеет следующее смысловое прочтение:

= Ложь

= Истина = не Ложь

= Неправда = Ложь

Первичная алгебра интерпретирует логику предложений следующим образом. Буква представляет собой любое данное предложение. Таким образом:

интерпретирует Not A

интерпретирует A или B

интерпретирует Not A Or B или If A then B .

интерпретирует Not (Not A или Not B)

или нет (если А, то не Б)

или А и Б.

а б а б

,

а б а б

оба интерпретируют A тогда и только тогда, когда B или A эквивалентны B .

Таким образом, любое выражение в логике предложений имеет первичный алгебраический перевод. Эквивалентно, первичная алгебра интерпретирует логику предложений. Учитывая присвоение каждой переменной состояниям «Отмечено» или «Неотмечено», этот первичный алгебраический перевод сводится к первичному арифметическому выражению, которое можно упростить. Повторение этого упражнения для всех возможных присвоений двух примитивных значений каждой переменной показывает, является ли исходное выражение тавтологичным или выполнимым . Это пример процедуры принятия решения , более или менее напоминающей обычные таблицы истинности. Учитывая некоторую первичной алгебры формулу , содержащую N переменных, эта процедура принятия решения требует упрощения 2 ^Н первичные арифметические формулы. О менее утомительной процедуре принятия решений, более соответствующей духу «анализа истинностного значения» Куайна , см. Meguire (2003).

Шварц (1981) доказал, что первичная алгебра эквивалентна — синтаксически , семантически и теоретически — классическому исчислению высказываний . Аналогично можно показать, что первичная алгебра синтаксически эквивалентна выражениям, построенным обычным способом из классических значений истинности true и false , логических связок НЕ, ИЛИ и И, а также круглых скобок.

Интерпретация состояния «Немаркированное состояние» как ложного совершенно произвольна; это состояние с таким же успехом можно прочитать как True . Все, что требуется, это изменить интерпретацию конкатенации с ИЛИ на И. IF A THEN B теперь переводится как вместо . В более общем смысле первичная алгебра является «самодвойственной » , что означает, что любая формула первичной алгебры имеет два смысловых или логических чтения, каждое из которых двойственно другому. Другим следствием самодвойственности является неуместность законов Де Моргана ; встроены в синтаксис первичной алгебры эти законы с самого начала .

Теперь выявляется истинная природа различия между первичной алгеброй, с одной стороны, и логикой предложений и логикой предложений, с другой. В последних формализмах дополнение / отрицание, действующее на «ничто», не является корректным. Но пустой Крест — это правильно сформированное выражение первичной алгебры , обозначающее Отмеченное состояние, примитивное значение. Следовательно, непустой Cross является оператором , а пустой Cross является операндом , поскольку он обозначает примитивное значение. Таким образом, первичная алгебра показывает, что до сих пор различные математические понятия оператора и операнда на самом деле являются просто разными гранями одного фундаментального действия, проведения различия.

Силлогизмы

Приложение 2 LoF показывает, как переводить традиционные силлогизмы и сориты в первичную алгебру . Действительный силлогизм — это тот, чей первичный алгебраический перевод упрощается до пустого креста. Пусть A * обозначает литерал , т.е. либо A , либо ${\overline {A|}}$, равнодушно. Тогда каждый силлогизм, который не требует, чтобы один или несколько членов считались непустыми, является одной из 24 возможных перестановок обобщения Барбары , эквивалентом которой в первичной алгебре является ${\overline {A^{*}\ B|}}\ \ {\overline {{\overline {B|}}\ C^{*}{\Big |}}}\ A^{*}\ C^{*}$. Эти 24 возможных перестановки включают 19 силлогистических форм, которые считаются действительными в аристотелевской и средневековой логике . Этот первичный алгебраический перевод силлогистической логики также предполагает, что первичная алгебра может интерпретировать монадическую и терминальную логику и что первичная алгебра имеет сходство с булевыми терминальными схемами Куайна (1982: Часть II).

Пример расчета

Следующее вычисление Лейбница нетривиальной теоремы Praeclarum иллюстрирует демонстративную силу первичной алгебры . Пусть C1 будет ${\overline {{\overline {A|}}{\Big |}}}$ = A , C2 быть $A\ {\overline {A\ B|}}=A\ {\overline {B|}}$, C3 быть ${\overline {\ \ |}}\ A={\overline {\ \ |}}$, J1a быть ${\overline {A|}}\ A={\overline {\ \ |}}$и пусть OI означает, что переменные и подформулы были переупорядочены таким образом, чтобы это позволяли коммутативность и ассоциативность.

[( P → R )∧( Q → S )]→[( P ∧ Q )→( R ∧ S )].	Знаменитая теорема
П Р вопрос С П вопрос Р С .	первичный перевод алгебры
П Р вопрос С П вопрос Р С .	С1.
П Р вопрос С П вопрос Р С .	С1.
П П Р вопрос С вопрос Р С .	ПРИВЕТ.
П Р вопрос С вопрос Р С .	С2.
П Р вопрос вопрос С Р С .	ПРИВЕТ.
П Р вопрос С Р С .	С2.
П вопрос С Р Р С .	ПРИВЕТ.
П вопрос С Р С .	С2.
П вопрос С Р С .	С1.
П вопрос С С Р .	ПРИВЕТ.
П вопрос Б Р .	J1а.
Б П вопрос Р .	ПРИВЕТ.
Б	С3. $\square$

Отношение к магме

Первичная алгебра воплощает в себе точку, отмеченную Хантингтоном в 1933 году: булева алгебра требует, помимо одной унарной операции , еще одной, а не двух бинарных операций . Отсюда тот редко отмечаемый факт, что булевы алгебры являются магмами . (Магмы назывались группоидами до тех пор, пока последний термин не был присвоен теорией категорий .) Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что первичная алгебра является коммутативной :

• Полугруппа, потому что первичной алгебры сопоставление коммутирует и сопоставляет ;
• Моноид с элементом идентификации , в силу J0 .

Группы также требуют унарной операции , называемой обратной , группового аналога логического дополнения . Позволять обозначают обратную величину a . Позволять группы обозначают элемент идентификации . Тогда группы и первичная алгебра имеют одинаковые сигнатуры , а именно, они обе являются $\langle -\ -,{\overline {-\ |}},{\overline {\ \ |}}\rangle$ алгебры типа 〈2,1,0〉. Следовательно, первичная алгебра является граничной алгеброй . Аксиомы абелевой группы в граничных обозначениях таковы:

• Г1 . abc = acb (предполагается ассоциация слева);
• Г2 .
• Г3 . .

Из G1 и G2 можно вывести коммутативность и ассоциативность конкатенации, как указано выше. Обратите внимание, что G3 и J1a идентичны. G2 и J0 были бы идентичны, если бы  =  заменил А2 . Это определяющее арифметическое тождество теории групп в граничных обозначениях.

Первичная алгебра отличается от абелевой группы двумя способами:

• Из А2 следует, что ≠ . Если бы первичная алгебра была группой , = будет держаться, и один из  а = или ​   = a должно быть следствием первичной алгебры . Обратите внимание, что и являются взаимными дополнениями первичной алгебры , как того требует теория групп, так что ${\overline {\ {\overline {\ {\overline {\ \ |}}\ {\Big |}}}\ {\Bigg |}}}={\overline {\ \ |}}$ верно как для теории групп, так и для первичной алгебры ;
• C2 наиболее четко отделяет первичную алгебру от других магм, потому что C2 позволяет продемонстрировать закон поглощения , определяющий решетки , и центральный закон распределения в булевой алгебре .

И A2 , и C2 следуют из того, B что является упорядоченным множеством .

Уравнения второй степени (глава 11)

В главе 11 LoF представлены уравнения второй степени , состоящие из рекурсивных формул, которые можно рассматривать как имеющие «бесконечную» глубину. Некоторые рекурсивные формулы упрощаются до помеченного или немаркированного состояния. Другие «колеблются» бесконечно между двумя состояниями в зависимости от того, является ли данная глубина четной или нечетной. В частности, некоторые рекурсивные формулы можно интерпретировать как колеблющиеся между истинным и ложным в течение последовательных интервалов времени, и в этом случае считается, что формула имеет «мнимое» значение истинности. Таким образом, поток времени может быть введен в первичную алгебру .

Терни (1986) показывает, как эти рекурсивные формулы можно интерпретировать с помощью ограниченной рекурсивной арифметики (RRA) Алонзо Чёрча . Чёрч представил RRA в 1955 году как аксиоматическую формализацию конечных автоматов . Терни (1986) представляет общий метод перевода уравнений второй степени в RRA Чёрча, иллюстрируя свой метод с помощью формул E1 , E2 и E4 в главе 11 LoF . Этот перевод на RRA проливает свет на названия, которые Спенсер-Браун дал E1 и E4 , а именно «память» и «счетчик». RRA формализует и разъясняет понятие LoF Таким образом , о мнимом истинностном значении.

Связанная работа

Готфрид Лейбниц в меморандумах, не опубликованных ранее конца 19 — начала 20 веков, изобрел булеву логику . Его обозначения были изоморфны LoF : конкатенация читается как соединение , а «non-( X )» читается дополнение X как . Признание новаторской роли Лейбница в алгебраической логике было предвосхищено Льюисом (1918) и Решером (1954). Но для полной оценки достижений Лейбница пришлось дождаться работы Вольфганга Ленцена, опубликованной в 1980-х годах и рассмотренной в Lenzen (2004).

Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914) предвосхитил появление первичной алгебры в трех направлениях работы:

1. В двух статьях, которые он написал в 1886 году, была предложена логическая алгебра, использующая только один символ — стример , почти идентичный Кресту LoF . Семантика ленты идентична семантике Креста, за исключением того, что Пирс никогда не писал ленты, под которой ничего не было. Отрывок из одной из этих статей был опубликован в 1976 году. но они не были опубликованы полностью до 1993 года.
2. В энциклопедической статье 1902 года Пирс описал булеву алгебру и логику предложений так же, как в этой статье, за исключением того, что он использовал два типа скобок, переключаясь между «(», «)» и «[», «]» с каждым увеличением глубины формулы.
3. Синтаксис соединение его альфа- экзистенциальных графиков — это просто конкатенация , читаемая как , и заключение в овалы, читаемое как отрицание . Если конкатенацию первичной алгебры читать как конъюнкцию , то эти графы изоморфны первичной алгебре (Кауфман 2001).

По иронии судьбы, LoF цитирует т. 4 Сборника статей Пирса , источник формализмов в (2) и (3) выше.(1)-(3) были практически неизвестны в то время (1960-е годы) и в том месте, где (Великобритания) был написан LoF . Пирса Семиотика , о которой LoF умалчивает , еще может пролить свет на философские аспекты LoF .

Кауфман (2001) обсуждает еще одну нотацию, аналогичную LoF , в статье 1917 года Жана Никода , ученика Бертрана Рассела .

Вышеупомянутые формализмы, как и первичная алгебра , представляют собой все случаи граничной математики , т. е. математики, синтаксис которой ограничен буквами и скобками (охватывающими устройствами). Минималистский синтаксис такого типа представляет собой «граничное обозначение». В граничных обозначениях отсутствуют инфиксные операторы, префиксные или постфиксные операторные символы. Очень известные фигурные скобки ('{', '}') теории множеств можно рассматривать как граничное обозначение.

Работы Лейбница, Пирса и Никода лишены метатеории, поскольку они писали до Эмиля Поста знаменательной статьи 1920 года (которую цитирует ЛоФ ), доказывающей сентенциальной логики полноту , и до того, как Гильберт и Лукасевич показали, как доказать независимость аксиом, используя модели .

Крейг (1979) утверждал, что мир и то, как люди воспринимают его и взаимодействуют с ним, имеют богатую булевую структуру. Крейг был ортодоксальным логиком и знатоком алгебраической логики .

второго поколения Когнитивная наука возникла в 1970-х годах, после LoF написания . О когнитивной науке и ее значении для булевой алгебры, логики и теории множеств см. Lakoff (1987) (см. индексные записи в разделе «Примеры схем изображения: контейнер») и Lakoff and Núñez (2001). Ни в одной книге не упоминается LoF .

Биологи и когнитивисты Умберто Матурана и его ученик Франсиско Варела обсуждают LoF в своих работах, которые определяют «различение» как фундаментальный когнитивный акт. Психолог и когнитивист из Беркли Элеонора Рош много писала о близком понятии категоризации.

Другие формальные системы, имеющие возможное сходство с первичной алгеброй, включают:

• Мереология , которая обычно имеет решетчатую структуру, очень похожую на структуру булевой алгебры. Для некоторых авторов мереология — это просто модель булевой алгебры , а следовательно, и первичной алгебры.
• Мереотопология , которая по своей сути богаче булевой алгебры;
• Система Уайтхеда (1934), основным примитивом которой является «индикация».

Первичная арифметика и алгебра представляют собой минималистский формализм логики предложений и булевой алгебры. Другие минималистские формализмы, обладающие силой теории множеств, включают:

• Лямбда -исчисление ;
• Комбинаторная логика с двумя ( S и K ) или даже одним ( X ) примитивными комбинаторами;
• Математическая логика, основанная всего на трех примитивных понятиях: одной связке, И-НЕ ( первичный алгебраический перевод которой ${\overline {A\ \ B\ |}}$ или, вдвойне, ${\overline {A|}}\ \ {\overline {B|}}$), квантификация универсальности и одна двоичная атомная формула , обозначающая принадлежность к множеству . Это система Куайна (1951).
• Бета - экзистенциальные графы с одним двоичным предикатом, обозначающим членство в множестве. Это еще предстоит изучить. Упомянутые выше альфа - графики являются частным случаем бета- графиков.

Издания

• 1969. Лондон: Аллен и Анвин, твердый переплет.
• 1972. Издательство Crown Publishers, твердый переплет: ISBN   0-517-52776-6
• 1973. Bantam Books, мягкая обложка. ISBN   0-553-07782-1
• 1979. Э. П. Даттон, мягкая обложка. ISBN   0-525-47544-3
• 1994. Портленд, штат Орегон: Councer Company, мягкая обложка. ISBN   0-9639899-0-1
• Немецкий перевод 1997 года под названием «Законы формы» . Любек: Bohmeier Verlag. ISBN   3-89094-321-7
• 2008 Bohmeier Verlag, Лейпциг, 5-е международное издание. ISBN   978-3-89094-580-4

См. также

• Булева алгебра - алгебраическое манипулирование «истиной» и «ложью».
• Канонически определенные булевые алгебры - техническое рассмотрение булевых алгебр
• Объектный график — тип схематического или визуального обозначения логических выражений. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Экзистенциальный график - тип схематического или визуального обозначения логических выражений.
• Метка и пробел - состояния сигнала связи
• Программирование и метапрограммирование - научно-популярная книга Джона К. Лилли 1968 года.
• Исчисление высказываний - Раздел логики
• Двухэлементная булева алгебра – булева алгебра
• Список тем по булевой алгебре

Библиография

• Босток, Дэвид, 1997. Промежуточная логика . Оксфордский университет. Нажимать.
• Бирн, Ли, 1946, «Две формулировки булевой алгебры», Бюллетень Американского математического общества : 268–71.
• Крейг, Уильям (1979). «Булева логика и повседневный физический мир». Труды и обращения Американской философской ассоциации . 52 (6): 751–78. дои : 10.2307/3131383 . JSTOR   3131383 .
• Дэвид Грис и Шнайдер, ФБ, 1993. Логический подход к дискретной математике . Спрингер-Верлаг.
• Уильям Эрнест Джонсон , 1892, «Логическое исчисление», Mind 1 (ns): 3–30.
• Луи Х. Кауфман , 2001, « Математика К.С. Пирса », Кибернетика и человеческое познание 8: 79–110.
• ------, 2006, « Переформулировка теоремы о цвете карты » .
• ------, 2006а. « Законы формы – исследование математики и основ ». Черновик книги (следовательно, большой).
• Ленцен, Вольфганг, 2004, « Логика Лейбница » в книге Габбай Д. и Вудс Дж., ред., « Расцвет современной логики: от Лейбница до Фреге» (Справочник по истории логики - Том 3) . Амстердам: Эльзевир, 1–83.
• Лакофф, Джордж , 1987. Женщины, огонь и опасные вещи . Издательство Чикагского университета.
• -------- и Рафаэль Э. Нуньес , 2001. Откуда берется математика : как воплощенный разум порождает математику . Основные книги.
• Мегуайр, PG (2003). «Открытие граничной алгебры: упрощенное обозначение булевой алгебры и функторов истины». Международный журнал общих систем . 32 : 25–87. CiteSeerX   10.1.1.106.634 . дои : 10.1080/0308107031000075690 . S2CID   9460101 .
• --------, 2011. Граничная алгебра: более простой подход к базовой логике и булевой алгебре . ООО "ВДМ Паблишинг" ISBN   978-3639367492 . Источник большей части этой записи, включая обозначения, заключающие в круглые скобки то, что LoF помещает под крест. Избегает более спекулятивных аспектов LoF .
• Уиллард Куайн , 1951. Математическая логика , 2-е изд. Издательство Гарвардского университета.
• --------, 1982. Методы логики , 4-е изд. Издательство Гарвардского университета.
• Решер, Николас (1954). «Интерпретация Лейбницем его логических исчислений». Журнал символической логики . 18 (1): 1–13. дои : 10.2307/2267644 . JSTOR   2267644 . S2CID   689315 .
• Шварц, Дэниел Г. (1981). Г. Спенсера-Брауна «Изоморфизмы законов формы и исчисления самореференции Ф. Варелы». Международный журнал общих систем . 6 (4): 239–55. дои : 10.1080/03081078108934802 .
• Терни, П.Д. (1986). « Законы формы и конечные автоматы». Международный журнал общих систем . 12 (4): 307–18. дои : 10.1080/03081078608934939 .
• А. Н. Уайтхед , 1934, «Индикация, классы, количество, подтверждение», Mind 43 (ns): 281–97, 543. Исправления на стр. 543 многочисленны и важны, и более поздние переиздания этой статьи не включают их.
• Дирк Бекер (редактор) (1993), Исчисление формы. Зуркамп; Дирк Беккер (редактор), Проблемы формы . Зуркамп.
• Дирк Бекер (редактор) (1999), Проблемы формы , Издательство Стэнфордского университета.
• Дирк Бекер (редактор) (2013), Математика формы, Социология наблюдателей , Кибернетика и человеческое познание, том. 20, нет. 3-4 .
• Луи Х. Кауфман (редактор) (2019), Кибернетика и человеческое познание, том. 26, нет. 2-3 . Специальный выпуск « Законы формы: Спенсер-Браун в Эсалене», 1973 г.

Внешние ссылки

• Законы формы , архив сайта Ричарда Шупа.
• Выступления Спенсера-Брауна в Эсалене, 1973 год. Самореферентные формы представлены в разделе, озаглавленном «Степень уравнений и теория типов».
• Аудиозапись открытия конференции AUM 1973 года в Эсалене .
• Луи Х. Кауфман , « Боксовая алгебра, граничная математика, логика и законы формы » .
• Кисель, Матиас, « Несистематическое, но легкое для понимания введение в законы формы . »
• Форум « Законы формы» , где с 2002 года обсуждаются первичная алгебра и связанные с ней формализмы.
• Встреча с GSB Моше Кляйна
• Маркируемый Знак , поэтапное введение в идеи Законов Формы.
• Исчисление БФ и квадратный корень из отрицания Луи Кауфмана и Артура Коллингса; он расширяет Законы Формы, добавляя воображаемую логическую ценность. (Воображаемые логические значения представлены в главе 11 книги « Законы формы ».)
• Курс «Законы формы» - бесплатный онлайн-курс, который знакомит людей с основной частью текста «Законов формы» Леона Конрада, последнего ученика Спенсера-Брауна, который изучал работу вместе с автором.