Схема алгебраических структур

В математике многие виды алгебраических структур изучаются . Абстрактная алгебра — это прежде всего изучение конкретных алгебраических структур и их свойств. Алгебраические структуры можно рассматривать по-разному, однако общей отправной точкой текстов по алгебре является то, что алгебраический объект включает в себя одно или несколько множеств с одной или несколькими бинарными или унарными операциями , удовлетворяющими набору аксиом .

Другая отрасль математики, известная как универсальная алгебра, изучает алгебраические структуры в целом. С точки зрения универсальной алгебры большинство структур можно разделить на разновидности и квазимногообразия в зависимости от используемых аксиом. Некоторые аксиоматические формальные системы, не являющиеся ни многообразиями, ни квазимногообразиями, называемые нонмногообразиями , иногда по традиции включаются в число алгебраических структур.

Конкретные примеры каждой структуры можно найти в перечисленных статьях.

Алгебраические структуры сегодня настолько многочисленны, что эта статья неизбежно будет неполной. В дополнение к этому иногда существует несколько названий одной и той же структуры, а иногда одно имя определяется несовпадающими аксиомами разных авторов. Большинство структур, представленных на этой странице, являются общими, с чем согласны большинство авторов. Другие веб-списки алгебраических структур, организованные более или менее в алфавитном порядке, включают Jipsen и PlanetMath. В этих списках упоминаются многие структуры, не включенные ниже, и о некоторых структурах может быть представлено больше информации, чем представлено здесь.

Изучение алгебраических структур [ править ]

Алгебраические структуры встречаются в большинстве разделов математики, и с ними можно столкнуться по-разному.

Начало обучения: В американских университетах группы , векторные пространства и поля обычно являются первыми структурами, встречающимися в таких предметах, как линейная алгебра . Обычно их представляют как множества с определенными аксиомами.
Расширенное исследование:
- Абстрактная алгебра изучает свойства конкретных алгебраических структур.
- Универсальная алгебра изучает алгебраические структуры абстрактно, а не конкретные типы структур.
  - Разновидности
- Теория категорий изучает взаимосвязи между различными структурами, алгебраическими и неалгебраическими. Чтобы изучить неалгебраический объект, часто бывает полезно использовать теорию категорий, чтобы связать объект с алгебраической структурой.
  - Пример: Фундаментальная группа топологического пространства дает информацию о топологическом пространстве.

Виды алгебраических структур [ править ]

В полной общности алгебраическая структура может использовать в своем определении любое количество множеств и любое количество аксиом. Однако наиболее часто изучаемые структуры обычно включают только одно или два множества и одну или две бинарные операции . Приведенные ниже структуры организованы по количеству задействованных наборов и количеству бинарных операций. Увеличенный отступ предназначен для обозначения более экзотической структуры, а уровни с наименьшим отступом являются самыми базовыми.

Один набор без бинарных операций [ править ]

Set : вырожденная алгебраическая структура S , не имеющая операций.
Остроконечный набор : S имеет один или несколько выдающихся элементов, часто 0, 1 или оба.
Унарная система: S и одна операция над S. унарная
Заостренная унарная система : унарная система с S - заостренным множеством.

Одна бинарная операция над одним набором [ править ]

Групповые структуры
	Закрытие	Ассоциативный	Личность	Отмена	коммутативный
Частичная магма	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Полугруппоид	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативная квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативно-ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Единая магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативная унитарная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный цикл	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый

Следующие групповые структуры состоят из набора с бинарной операцией. Бинарная операция может обозначаться любым символом или не указываться (сопоставление). Наиболее распространенной структурой является групповая . Другие структуры включают ослабление или усиление аксиом групп и могут дополнительно использовать унарные операции.

Магма или группоид : S одна бинарная операция над S. и
Полугруппа : ассоциативная магма.
Моноид : полугруппа с единичным элементом .
Группа : моноид с унарной операцией (обратной), порождающей обратные элементы .
- Абелева группа : группа, бинарная операция которой коммутативна .
Квазигруппа : магма, подчиняющаяся свойству латинского квадрата. Квазигруппу также можно представить с помощью трех бинарных операций. ^[1]
Петля : квазигруппа с единицей .
Полурешетка : полугруппа, операция которой идемпотентна и коммутативна. Бинарную операцию можно назвать либо meet , либо join . По сути, это «половина» решетчатой структуры (см. ниже).

Две бинарные операции на одном наборе [ править ]

Основными типами структур с одним множеством, имеющим две бинарные операции, являются кольцеобразные или рингоиды и решетчатые или просто решетки . Рингоиды и решетки можно четко различить, несмотря на то, что оба имеют две определяющие бинарные операции. В случае рингоидов две операции связаны распределительным законом ; в случае решеток они связаны законом поглощения . Рингоиды также имеют тенденцию иметь численные модели , а решетки — теоретико-множественные модели.

В кольцевых структурах или рингоидах две бинарные операции часто называются сложением и умножением , причем умножение связано со сложением законом распределения .

Полукольцо : кольцо, такое, что S является моноидом при каждой операции. Обычно предполагается, что сложение является коммутативным и ассоциативным, и предполагается, что моноидное произведение распределяется по сложению с обеих сторон, а аддитивное тождество 0 является поглощающим элементом в том смысле, что 0 x = 0 для всех x .
Почти кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является (не обязательно абелевой) группой.
Кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является абелевой группой.
- Коммутативное кольцо : кольцо, в котором операция умножения коммутативна.
- Тело : нетривиальное кольцо, в котором деление на ненулевые элементы. определено
- Область целостности : нетривиальное коммутативное кольцо, в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю.
- Поле : коммутативное тело (т.е. коммутативное кольцо, которое содержит мультипликативный обратный элемент для каждого ненулевого элемента).
Неассоциативные кольца : они похожи на кольца, но операция умножения не обязательно должна быть ассоциативной.
- Кольцо Ли : рингоид, аддитивный моноид которого является абелевой группой, но мультипликативная операция которого удовлетворяет тождеству Якоби , а не ассоциативности.
- Жорданово кольцо : коммутативное неассоциативное кольцо, которое соблюдает тождество Джордана.
Булево кольцо : коммутативное кольцо с идемпотентной операцией умножения.
Алгебры Клини : полукольцо с идемпотентным сложением и унарной операцией, звездой Клини , удовлетворяющей дополнительным свойствам.
*-алгебра или *-кольцо : кольцо с дополнительной унарной операцией (*), известной как инволюция , удовлетворяющей дополнительным свойствам.
Арифметика: сложение и умножение на бесконечном множестве с дополнительной заостренной унарной структурой. Унарная операция является инъективной преемницей и различает элемент 0.
- Арифметика Робинсона . Сложение и умножение рекурсивно определяются с помощью преемника. 0 является единичным элементом для сложения и аннулирует умножение. Здесь указана арифметика Робинсона, хотя она является разновидностью из-за ее близости к арифметике Пеано.
- Арифметика Пеано . Арифметика Робинсона со аксиом индукции . схемой Большинство аксиом колец и полей, касающихся свойств сложения и умножения, представляют собой теоремы арифметики Пеано или ее собственных расширений.

Решетчатые структуры имеют две бинарные операции, называемые «встреча» и «соединение» , связанные законом поглощения .

Латтикоид : знакомьтесь и присоединяйтесь к работе, но не обязательно общайтесь .
Наклонная решетка : встречайтесь и присоединяйтесь к партнеру, но не обязательно добираться до работы.
Решетка : встречайтесь, присоединяйтесь к друзьям и ездите на работу.
- Полная решетка : решетка, в которой существуют произвольные пересечения и соединения .
- Ограниченная решетка : решетка с наибольшим и наименьшим элементом.
- Решетка с дополнениями : ограниченная решетка с унарной операцией, дополнением, обозначаемым постфиксом. ^⊥. Соединение элемента с его дополнением — это наибольший элемент, а соединение двух элементов — наименьший элемент.
- Модульная решетка : решетка, элементы которой удовлетворяют дополнительному модульному тождеству .
- Распределительная решетка : решетка, в которой каждое соединение распределяется по другому. Дистрибутивные решетки модулярны, но обратное неверно.
- Булева алгебра : дополненная дистрибутивная решетка. Либо встреча, либо объединение могут быть определены с точки зрения другого и дополнения. Можно показать, что это эквивалентно одноименной кольцевой структуре, приведенной выше.
- Алгебра Гейтинга : ограниченная дистрибутивная решетка с добавленной бинарной операцией, относительным псевдодополнением , обозначаемая инфиксным оператором → и управляемая аксиомами:
  - х → х = 1
  - Икс ( Икс → y ) знак равно Икс y
  - y ( Икс → y ) знак равно y
  - Икс → ( y z ) знак равно ( Икс → y ) ( Икс → z )

Модульные структуры на двух наборах [ править ]

Следующие модульные структуры имеют общую особенность: они имеют два набора, и B , так что существует бинарная операция из A × A в A и еще одна операция из A × B в A. A Модули, считая кольцевые операции, имеют не менее трех бинарных операций.

Группа с операторами : группа G с множеством Ω и бинарной операцией Ω × G → G, удовлетворяющей определенным аксиомам.
Модуль : абелева группа M и кольцо R, как операторы на M. действующие Члены R иногда называют скалярами , а бинарная операция скалярного умножения представляет собой функцию R × M → M , которая удовлетворяет нескольким аксиомам.
- специальные типы модулей, в том числе свободные модули , проективные модули , инъективные модули и плоские модули . В абстрактной алгебре изучаются
Векторные пространства : модуль, в котором кольцо R является телом или полем .
- Градуированные векторные пространства : векторные пространства, оснащенные прямым разложением суммы на подпространства или «классы».
- Квадратичное пространство : векторное пространство V над полем F с квадратичной формой на V, значения в F. принимающей

Алгебраподобные структуры множествах на двух

Эти структуры определены над двумя множествами: кольцом R и R -модулем M, снабженным операцией, называемой умножением. Ее можно рассматривать как систему с пятью двоичными операциями: две операции над R , две над M включающая и R , и M. и одна , Многие из этих структур представляют собой гибридные структуры ранее упомянутых.

Алгебра над кольцом (также R-алгебра ): модуль над коммутативным кольцом R , который также выполняет операцию умножения, совместимую со структурой модуля. Это включает в себя дистрибутивность по сложению и линейность по отношению к умножению на элементы R .
- Алгебра над полем : это кольцо, которое также является векторным пространством над полем. Обычно считается, что умножение ассоциативно. Особенно хорошо разработана теория.
Ассоциативная алгебра : алгебра над кольцом, умножение которой ассоциативно .
Неассоциативная алгебра : модуль над коммутативным кольцом, снабженный операцией умножения кольца, которая не обязательно является ассоциативной. Часто ассоциативность заменяется другим тождеством, например чередованием , тождеством Якоби или тождеством Джордана .
- Алгебра Ли : специальный тип неассоциативной алгебры, произведение которой удовлетворяет тождеству Якоби .
- Жордановая алгебра : специальный тип неассоциативной алгебры, произведение которой удовлетворяет тождеству Жордана .
Коалгебра : векторное пространство с «коумножением», определенным двойственно по отношению к ассоциативным алгебрам.
Коалгебра Ли : векторное пространство с «коумножением», определенным двойственно по отношению к алгебрам Ли.
Градуированная алгебра : градуированное векторное пространство со структурой алгебры, совместимой с градуировкой. Идея состоит в том, что если известны сорта двух элементов a и b , то известна марка ab место продукта ab при разложении. , и таким образом определяется
Пространство внутреннего произведения векторное F пространство V с определенной билинейной формой V × V → F. :
Биалгебра : ассоциативная алгебра с совместимой структурой коалгебры.
Биалгебра Ли : алгебра Ли с совместимой структурой биалгебры.
Алгебра Хопфа : биалгебра с аксиомой связности (антиподом).
Алгебра Клиффорда : ассоциатив $\mathbb {Z} _{2}$ -градуированная алгебра , дополнительно оснащенная внешним произведением , из которого можно получить несколько возможных внутренних произведений. Внешние алгебры и геометрические алгебры являются частными случаями этой конструкции.

неалгебраической структурой структуры с дополнительной Алгебраические

Существует множество примеров математических структур, в которых алгебраическая структура существует наряду с неалгебраической структурой.

Топологические векторные пространства — это векторные пространства с совместимой топологией .
Группы Ли : это топологические многообразия, которые также имеют совместимую групповую структуру.
Упорядоченные группы , упорядоченные кольца и упорядоченные поля имеют алгебраическую структуру, совместимую с порядком на множестве.
Алгебры фон Неймана : это *-алгебры в гильбертовом пространстве , наделенные слабой операторной топологией .

Алгебраические структуры в разных дисциплинах [ править ]

Некоторые алгебраические структуры находят применение в дисциплинах, выходящих за рамки абстрактной алгебры. Нижеследующее предназначено для демонстрации некоторых конкретных применений в других областях.

По физике :

Группы Ли широко используются в физике. Некоторые из них хорошо известны: ортогональные группы и унитарные группы .
Алгебры Ли
Внутренние пространства продукта
Алгебра Уэйка – Муди
Кватернионы геометрические и, в более общем смысле, алгебры.

В математической логике :

Булевы алгебры являются одновременно кольцами и решетками в соответствии с двумя операциями.
- Алгебры Гейтинга являются частным примером булевых алгебр.
Арифметика Пеано
Граничная алгебра
MV-алгебра

В области информатики :

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Джонатан Д. Х. Смит (15 ноября 2006 г.). Введение в квазигруппы и их представления . Чепмен и Холл. ISBN 9781420010633 . Проверено 2 августа 2012 г.

Гаррет Биркгоф , 1967. Теория решеток , 3-е изд., Публикации коллоквиума AMS Vol. 25. Американское математическое общество.
——— и Сондерс Маклейн , 1999 (1967). Алгебра , 2-е изд. Нью-Йорк: Челси.
Джордж Булос и Ричард Джеффри , 1980. Вычислимость и логика , 2-е изд. Кембриджский университет. Нажимать.
Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М., 2004. Абстрактная алгебра , 3-е изд. Джон Уайли и сыновья.
Гретцер, Джордж, 1978. Универсальная алгебра , 2-е изд. Спрингер.
Дэвид К. Льюис , 1991. Часть классов . Блэквелл.
Мишель, Энтони Н. и Херге, Чарльз Дж., 1993 (1981). Прикладная алгебра и функциональный анализ . Дувр.
Поттер, Майкл, 2004. Теория множеств и ее философия , 2-е изд. Оксфордский университет. Нажимать.
Сморинский, Крейг, 1991. Теория логических чисел I. Спрингер-Верлаг.

Монография доступна бесплатно в Интернете:

Беррис, Стэнли Н. и HP Санкаппанавар, HP, 1981. Курс универсальной алгебры. Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-90578-2 .

Внешние ссылки [ править ]

Гипс:
- Алфавитный список структур алгебры; включает в себя многие, не упомянутые здесь.
- Интернет-книги и конспекты лекций.
- Карта, содержащая около 50 построек, некоторые из которых не указаны выше. Аналогично, большинство вышеперечисленных структур отсутствуют на этой карте.
Указатель тем PlanetMath .
Хазевинкель, Мишель (2001) Математическая энциклопедия. Спрингер-Верлаг.
Страница Mathworld, посвященная абстрактной алгебре.
Стэнфордская энциклопедия философии : алгебра Воана Пратта .

[1] Джонатан Д. Х. Смит (15 ноября 2006 г.). Введение в квазигруппы и их представления . Чепмен и Холл. ISBN 9781420010633 . Проверено 2 августа 2012 г.

[1]