Список тем абстрактной алгебры

Абстрактная алгебра — предметная область математики , изучающая алгебраические структуры , такие как группы , кольца , поля , модули , векторные пространства и алгебры . Фраза «абстрактная алгебра» была придумана на рубеже 20-го века, чтобы отличить эту область от того, что обычно называлось алгеброй, изучения правил манипулирования формулами и алгебраическими выражениями, включающими неизвестные и действительные или комплексные числа , часто называемой элементарной алгеброй. . В более поздних работах это различие редко проводится.

Основной язык

Алгебраические структуры определяются прежде всего как множества с операциями .

• Алгебраическая структура
  • Подобъекты : подгруппа , подкольцо , подалгебра , подмодуль и т. д.
• Бинарная операция
  • Закрытие операции
  • Ассоциативное свойство
  • Распределительная собственность
  • Коммутативное свойство
• Унарный оператор
  • Аддитивный инверсный , мультипликативный инверсный , обратный элемент
    • Элемент идентификации
    • Отмена собственности
• Финальная операция
  • Арити

Отображения, сохраняющие структуру, называемые гомоморфизмами, жизненно важны при изучении алгебраических объектов.

• Гомоморфизмы
  • Ядра и коядра
  • Изображение и коимаж
  • Эпиморфизмы и мономорфизмы
    • Изоморфизмы
      • Теоремы об изоморфизме

Существует несколько основных способов объединения алгебраических объектов одного типа для создания третьего объекта того же типа. Эти конструкции используются во всей алгебре.

• Прямая сумма
  • Прямой лимит
• Прямой продукт
  • Обратный предел
• Факторобъекты: факторгруппа , факторкольцо , фактормодуль и т. д.
• Тензорное произведение

Расширенные концепции:

• Теория категорий
  • Категория групп
    • Категория абелевых групп
  • Категория колец
  • Категория модулей (по фиксированному кольцу)
    • Эквивалентность Мориты , двойственность Мориты
  • Категория векторных пространств
• Гомологическая алгебра
  • Фильтрация (алгебра)
  • Точная последовательность
  • Функтор
• Лемма Цорна

Полугруппы и моноиды

• Полугруппа
  • Подполугруппа
  • Свободная полугруппа
  • Отношения Грина
  • Обратная полугруппа (или инверсионная полугруппа, см. [1] )
  • Теория Крона – Родса
  • Полугрупповая алгебра
  • Полугруппа трансформации
• Моноид
  • Апериодический моноид
  • Бесплатный моноид
  • Моноид (теория категорий)
  • Моноидная факторизация
  • Синтаксический моноид

Теория групп

Основная статья: Список тем теории групп

Структура

• Группа (математика)
  • Теорема Лагранжа (теория групп)
  • Подгруппа
    • Козет
    • Нормальная подгруппа
    • Характеристическая подгруппа
    • централизаторов и нормализаторов Подгруппы
    • Производная группа
    • Подгруппа Фраттини
    • Подгруппа фитингов
  • Классификация конечных простых групп
  • Теоремы Силова
  • Локальный анализ

Конструкции

• Бесплатная группа
  • Презентация группы
  • Словесная задача для групп.
• Факторная группа
  • Проблема с расширением
• Прямая сумма , прямой продукт
• Полупрямой продукт
  • Венок изделие

Типы

• Простая группа
• Конечная группа
• Абелева группа
  • Торсионная подгруппа
  • Свободная абелева группа
  • Конечно порожденная абелева группа
  • Ранг абелевой группы
• Циклическая группа
  • Локально циклическая группа
• Разрешимая группа
  • Композиционная серия
• Нильпотентная группа
• Делимая группа
• Группа Дедекинда , группа Гамильтона

Примеры

• Примеры групп
  • Тривиальная группа
  • Группа присадок
  • Группа перестановок
  • Симметричная группа
  • Альтернативная группа
  • p-группа
  • Список малых групп
  • Кляйна четыре группы
  • Группа кватернионов
  • Группа диэдра
  • Дициклическая группа
  • Группа автоморфизмов
  • Группа точек
  • Группа кругов
  • Линейная группа
  • Ортогональная группа

Приложения

• Групповое действие
  • Класс сопряжения
  • Внутренний автоморфизм
  • Сопряженное закрытие
  • Подгруппа стабилизатора
  • Орбита (теория групп)
  • Теорема о стабилизаторе орбиты
  • Теорема Кэли
  • Лемма Бернсайда
• Проблема Бернсайда
• Группа петель
• Фундаментальная группа

Теория колец

Основная статья: Теория колец

Общий

• Кольцо (математика)
• Коммутативная алгебра , Коммутативное кольцо
• Теория колец , Некоммутативное кольцо
• Алгебра над полем
  • Неассоциативная алгебра
• Родственники колец: Полукольцо , Некольцо , Риг (алгебра).

Структура

• Подкольцо , Подалгебра
  • Центр (алгебра)
• Кольцо идеальное
  • Главный идеал
  • Идеальный коэффициент
  • Максимальный идеал , минимальный идеал
  • Примитивный идеал , простой идеал , полупервичный идеал
  • Радикальный идеал
• радикал Джейкобсона
• Цоколь кольца
• единица (теория колец) , Идемпотент , Нильпотент , Делитель нуля
• Характеристика (алгебра)
• Гомоморфизм колец , Гомоморфизм алгебры
  • Кольцевой эпиморфизм
  • Кольцевой мономорфизм
  • Кольцевой изоморфизм
    • Теорема Скулема – Нётер
• Градуированная алгебра
• Эквивалентность Морита
  • Группа Брауэра

Конструкции

• Прямая сумма колец , Произведение колец
• Коэффициентное кольцо
• Матричное кольцо
• Кольцо эндоморфизмов
• Полиномиальное кольцо
• Формальный степенной ряд
• Моноидное кольцо , Групповое кольцо
• Локализация кольца
• Тензорная алгебра
  • Симметричная алгебра , Внешняя алгебра , Алгебра Клиффорда
• Бесплатная алгебра
• Завершение (теория колец)

Типы

• Поле (математика) , Тело , алгебра с телом
• Простое кольцо , Центральная простая алгебра , Полупростое кольцо , Полупростая алгебра
• Примитивное кольцо , Полупримитивное кольцо
• Первичное кольцо , Полупервичное кольцо , Уменьшенное кольцо
• Целочисленная область , Домен (теория колец)
  • Поле дробей , Интегральное замыкание
  • Евклидова область , Область главных идеалов , Область уникальной факторизации , Область Дедекинда , Область Прюфера
• Обычное кольцо фон Неймана
• Кольцо КвазиФробениуса
• Наследственное кольцо , Полунаследственное кольцо
• Локальное кольцо , Полулокальное кольцо
• Кольцо дискретной оценки
• Обычный местный звонок
• Кольцо Коэна – Маколея
• Кольцо Горенштейна
• Артиново кольцо , Нётерово кольцо
• Идеальное кольцо , полуидеальное кольцо
• Кольцо Бэра , кольцо Рикарта
• Кольцо Ли , Алгебра Ли
  • Идеал (алгебра Ли)
• Иорданская алгебра
• Дифференциальная алгебра
• Банахова алгебра

Примеры

• Рациональное число , Действительное число , Комплексное число , Кватернионы , Октонионы
  • Кватернион Гурвица
• Гауссово целое число

Теоремы и приложения

• Алгебраическая геометрия
  • Теорема Гильберта о нулевой точке
• Базисная теорема Гильберта
• Теорема Хопкинса – Левицкого
• Основная теорема Крулла об идеале
• Теорема Левицкого
• Теория Галуа
  • Теорема Абеля – Руффини
• Теорема Артина-Веддерберна
• Теорема плотности Джейкобсона
• Маленькая теорема Веддерберна
• Теорема Ласкера – Нётер

Теория поля

Основная статья: Теория поля (математика)

Основные понятия

• Поле (математика)
• Подполе (математика)
  • Мультипликативная группа
    • Примитивный элемент (теория поля)
• Расширение поля
  • Алгебраическое расширение
    • Разделение поля
    • Алгебраически замкнутое поле
      • Алгебраический элемент
      • Алгебраическое замыкание
  • Отделяемое расширение
    • Сепарабельный полином
  • Обычное расширение
  • Расширение Галуа
  • Абелева расширение
  • Степень трансцендентности
• Норма поля
• Трассировка поля
• Сопряженный элемент (теория поля)
• Тензорное произведение полей

Типы

• Поле алгебраических чисел
• Глобальное поле
• Локальное поле
• Конечное поле
• Симметричная функция
• Формально реальное поле
• Настоящее закрытое поле

Приложения

• Теория Галуа
  • группа Галуа
  • Обратная задача Галуа
• Теория Куммера

Теория модулей

Основная статья: Модуль (математика)

Общий

• Модуль (математика)
• Бимодуль
• Аннигилятор (теория колец)

Структура

• Субмодуль
  • Чистый субмодуль
• Гомоморфизм модулей
  • Основной субмодуль
  • Лишний субмодуль
  • Сингулярный подмодуль
• Цоколь модуля
• Радикал модуля

Конструкции

• Бесплатный модуль
• Модуль коэффициентов
• Прямая сумма , Прямое произведение модулей
• Прямой лимит , Обратный лимит
• Локализация модуля
• Завершение (теория колец)

Типы

• Простой модуль , Полупростой модуль
• Неразборный модуль
• Артинов модуль , Нётеров модуль
• Гомологические типы:
  • Проекционный модуль
    • Проекционное покрытие
    • Теорема Лебедя
    • Теорема Квиллена – Суслина
  • Инъекционный модуль
    • Инъективная оболочка
  • Плоский модуль
    • Плоская крышка
• Когерентный модуль
• Конечно-генерируемый модуль
• Конечно-представленный модуль
• Конечно связанный модуль
• Алгебраически компактный модуль
• Рефлексивный модуль

Концепции и теоремы

• Композиционная серия
  • Длина модуля
• Структурная теорема для конечно порожденных модулей в области главных идеалов
• Гомологическое измерение
  • Проективное измерение
  • Инъективное измерение
  • Плоский размер
  • Глобальное измерение
  • Слабое глобальное измерение
  • Когомологическое измерение
• Размер Крулля
• Регулярная последовательность (алгебра) , глубина (алгебра)
• Подгоночная лемма
• Лемма Шура
• Лемма Накаямы
• Теорема Крулля – Шмидта
• Лемма Стейница об обмене
• Теорема Джордана – Гёльдера
• Лемма Артина–Риса
• Девиз Шануэля
• Эквивалентность Морита
  • Прогенератор

Теория представлений

Основная статья: Список тем теории представлений

Теория представлений

• Алгебраическое представление
• Представительство группы
• Представление алгебры Ли
• Теорема Машке
• Лемма Шура
• Эквивариантная карта
• взаимность Фробениуса
  • Индуцированное представление
  • Ограниченное представительство
• Аффинное представление
• Проективное представление
• Модульная теория представлений
• Колчан (математика)
• Теория представлений алгебр Хопфа

Неассоциативные системы

Общий

• Ассоциативное свойство , Ассоциатор
• Куча (математика)
• Магма (алгебра)
  • Петля (алгебра) , Квазигруппа
• Неассоциативное кольцо , Неассоциативная алгебра
  • Универсальная обертывающая алгебра
  • Алгебра Ли ( см. также список тем о группах Ли и список тем по теории представлений )
  • Иорданская алгебра
  • Альтернативная алгебра
  • Силовая ассоциативность
  • Гибкая алгебра

Примеры

• Строительство Кэли – Диксона
  • Октонионы
  • Седенионы
• Гиперболические кватернионы
• Алгебра Вирасоро

Общие сведения

• Алгебраическая структура
• Универсальная алгебра
  • Разнообразие (универсальная алгебра)
  • Отношение конгруэнтности
  • Бесплатный объект
  • Генерирующий набор (универсальная алгебра)
  • Клон (алгебра)
• Ядро функции
  • Ядро (алгебра)
  • Класс изоморфизма
  • Теорема об изоморфизме
  • Основная теорема о гомоморфизмах
• Универсальная собственность
• Фильтрация (математика)
• Теория категорий
  • Моноидальная категория
  • группоид
  • Групповой объект
  • Коалгебра
  • Биалгебра
  • алгебра Хопфа
  • Магматический объект
• Кручение (алгебра)

Компьютерная алгебра

Основная статья: система компьютерной алгебры

• Символическая математика
  • Арифметика конечных полей
  • База Грёбнер
  • Алгоритм Бухбергера

См. также

• Список тем коммутативной алгебры
• Список тем гомологической алгебры
• Список тем линейной алгебры
• Список алгебраических структур
• Глоссарий теории поля
• Глоссарий теории групп
• Глоссарий теории колец
• Глоссарий тензорной теории